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第01讲 第01讲 7.1.1 条件概率
课程标准 学习目标
①结合古典概型，了解条件概率与概率的乘法公式。 ②了解条件概率与独立性的关系。 ③能计算简单的随机事件的条件概率。 1.通过本节课的学习，要求会判断条件概率，掌握条件概率的基本求法，能解决与条件概率相关的问题；
知识点01：条件概率
（1）一般地，设，为两个随机事件，且，我们称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率，简称条件概率．
①一般地，每个随机试验都是在一定条件下进行的，这里所说的条件概率是指随机试验结果的部分信息已知（即在原试验条件下，再加上一定的条件)，求另一事件在此条件下发生的概率.
②事件在“事件已发生”这个附加条件下的概率与没有这个附加条件下的概率在很多情况下是不同的.
③当题目涉及“在…前提下”等字眼时，一般为条件概率.若题目没有出现上述字眼，但已知事件的发生影响了所求事件的概率，也是条件概率.
④在条件概率的定义中，要强调,当时，不能用这一方法定义事件发生的条件下，事件发生的概率.
（2）特别说明：
①计算条件概率时，表示事件和同时发生的概率，不能随便用事件的概率代替；
②在条件概率的表示中，“”之后的部分表示条件；
③和的意义不同，表示在事件发生的条件下事件发生的概率，而是指在事件发生的条件下事件发生的概率；
④与的区别：二者的样本空间不一样，前者的样本空间为“原试验结果”，后者的样本空间为“在原试验条件下，再加上事件发生的条件”，一般地，.
知识点02：乘法公式
由条件概率的定义，对任意两个事件与，若，则．我们称上式为概率的乘法公式．
【即学即练1】（2024·全国·高三专题练习）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意，知.
故选：C.
知识点03：条件概率的性质
条件概率只是缩小了样本空间，因此条件概率同样具有概率的性质．设，则
①；
②如果和是两个互斥事件，则；
③设和互为对立事件，则．
④任何事件的条件概率都在0和1之间，即：.
知识点04：事件的相互独立性
（1）事件与事件相互独立：对任意的两个事件与,如果成立，则称事件与事件相互独立，简称为独立.
（2）性质：若事件与事件相互独立，则与,与,与也都相互独立，, .
（3）易混淆“相互独立”和“事件互斥”
两事件互斥是指两事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响，两个事件相互独立不一定互斥.
题型01 条件概率的求法
【典例1】（2024·福建漳州·统考模拟预测）甲、乙两名大学生利用假期时间参加社会实践活动，可以从，，，四个社区中随机选择一个社区，设事件为“甲和乙至少一人选择了社区”，事件为“甲和乙选择的社区不相同”，则（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2024上·内蒙古呼和浩特·高三统考期末）俗话说“斜风细雨不须归”，在自然界中，下雨大多伴随着刮风.已知某地8月份刮风的概率为，下雨的概率为，既刮风又下雨的概率为.记事件为“8月份某天刮风”，事件为“8月份某天下雨”，则（ ）
A． B． C． D．
【典例3】（2024·全国·高三专题练习）已知盒中装有大小一样，形状相同的3个白球与7个黑球，每次从中任取一个球并不放回，则在第1次取到白球的条件下，第2次取到的是黑球的概率为（ ）
A． B．
C． D．
【典例4】（2024·全国·高三专题练习）盒内装有除型号和颜色外完全相同的16个球，其中6个是E型玻璃球，10个是F型玻璃球．E型玻璃球中有2个是红色的，4个是蓝色的；F型玻璃球中有3个是红色的，7个是蓝色的．现从中任取1个，已知取到的是蓝球，问该球是E型玻璃球的概率是多少？
【变式1】（2024上·辽宁·高二盘锦市高级中学校联考期末）小张 小王两家计划国庆节期间去辽宁游玩，他们分别从“丹东凤凰山，鞍山千山，本溪水洞，锦州笔架山，盘锦红海滩”这五个景点中随机选择一个游玩，记事件A：“两家至少有一家选择丹东风凰山”，事件B：“两家选择景点不同”.则概率（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2024上·江苏泰州·高三统考期末）袋子中有10个大小相同的小球，其中7个白球，3个黑球.每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回.在第1次摸到白球的条件下，第2次摸到白球的概率为 .
【变式3】（2024·广东肇庆·校考模拟预测）一个盒子里装有3种颜色，大小形状质地都一样的9个球，其中黄球4个，蓝球3个，绿球2个，现从盒子中随机取出两个球，记事件“取出的两个球颜色不同”，记事件“取出一个蓝球，一个绿球”，则 .
题型02 乘法公式的应用
【典例1】（2024·全国·高三专题练习）已知1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球（白球与红球大小、形状、质地相同），现随机从1号箱中取出一球放入2号箱，再从2号箱中随机取出一球，则两次都取到红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2023上·上海·高二上海市行知中学校考阶段练习）一个盒子中装有2个红球，8个黑球，从中不放回地任取1个小球，则第二次才取出红球的概率是 .
【典例3】（2024·全国·高三专题练习）某厂产品的废品率为4%，而合格品中有75%是一等品，求一等品率．
【变式1】（2024·全国·高二假期作业）设A，B是两个事件，，，则下列结论一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（2024上·河南南阳·高二南阳市第五中学校校联考期末）已知，，则 .
【变式3】（2024·全国·高三专题练习）玛丽想在网上购买一款品牌手机，客服承诺该品牌手机从1m高的地方掉落时，屏幕第一次未碎掉的概率为0.5，当第一次未碎掉时第二次也未碎掉的概率为0.3，玛丽想如果手机从1m高的地方掉落两次后屏幕仍未碎掉的概率大于0.2就可以购买，否则放弃．请你用所学的概率知识帮玛丽做一下决策．
题型03条件概率的性质及应用
【典例1】（2024·湖北武汉·武汉市第六中学校联考二模）设，为任意两个事件，且，，则下列选项必成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】（多选）（2024·全国·高三专题练习）设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【典例3】（多选）（2024上·辽宁沈阳·高二沈阳市第八十三中学校联考期末）为庆祝建党100周年，讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进全体党员干部职工对党史知识的了解，某单位组织开展党史知识竞赛活动，以支部为单位参加比赛，某支部在5道党史题中(有3道选择题和道填空题)，不放回地依次随机抽取道题作答，设事件A为“第1次抽到选择题”，事件B为“第次抽到选择题”，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】（2024·全国·高二假期作业）下列说法正确的是（ ）
A． B．是可能的
C． D．
【变式2】（多选）（2024·全国·高三专题练习）若、分别为随机事件、的对立事件，，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．若，则
【变式3】（2024·全国·高三专题练习）设某种灯管使用了500h还能继续使用的概率是0.94，使用到700h后还能继续使用的概率是0.87，问已经使用了500h的灯管还能继续使用到700h的概率是多少？
A夯实基础 B能力提升
A夯实基础
一、单选题
1．（2024上·陕西汉中·高二统考期末）袋中有除颜色外完全相同的6个小球，其中4个白球和2个红球，现从袋中不放回地连取两个．在第一次取得白球前提下，则第二次取得红球的概率为（ ）
A．0.25 B．0.4 C．0.5 D．0.6
2．（2024·全国·高三专题练习）某工厂生产了一批产品，需等待检测后才能销售.检测人员从这批产品中随机抽取了5件产品来检测，现已知这5件产品中有3件正品，2件次品，从中不放回地取出产品，每次1件，共取两次.已知第一次取得次品，则第二次取得正品的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·全国·高三专题练习）掷一个均匀的骰子．记为“掷得点数大于”，为“掷得点数为奇数”，则为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024上·全国·高三期末）某校举办中学生乒乓球运动会，高一年级初步推选3名女生和4名男生参赛，并从中随机选取3人组成代表队参赛，在代表队中既有男生又有女生的条件下，女生甲被选中的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·全国·高二假期作业）已知，，则（ ）
A．0.02 B．0.03
C．0.04 D．0.05
6．（2024·全国·高二假期作业）核酸检测是目前确认新型冠状病毒感染最可靠的依据．经大量病例调查发现，试剂盒的质量、抽取标本的部位和取得的标本数量，对检测结果的准确性有一定影响．已知国外某地新冠病毒感染率为0.5%，在感染新冠病毒的条件下，标本检出阳性的概率为99%．若该地全员参加核酸检测，则该地某市民感染新冠病毒且标本检出阳性的概率为（ ）
A．0.495% B．0.9405% C．0.99% D．0.9995%
7．（2024·全国·高三专题练习）某学校安排音乐 阅读 体育和编程四项课后服务供学生自愿选择参加，甲 乙 丙 丁4位同学每人限报其中一项.已知甲同学报的项目其他同学不报的情况下，4位同学所报项目各不相同的概率等于（ ）
A． B． C． D．
8．（2024上·山东潍坊·高二昌乐二中校考期末）已知与独立，且，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2024上·全国·高三期末）已知随机事件满足，，，则下列说法正确的是（ ）
A．不可能事件与事件互斥
B．必然事件与事件相互独立
C．
D．若，则
10．（2024·全国·高二假期作业）某气象台统计，该地区不下雨的概率为；刮四级以上风的概率为，既刮四级以上的风又下雨的概率为，设为下雨，为刮四级以上的风，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
11．（2024·全国·高三专题练习）抛掷红、蓝两颗骰子，记事件A为“蓝色骰子的点数为4或6”，事件B为“两颗骰子的点数之和大于8”，则P（B|A）＝ ；P（A|B）＝ .
12．（2024·广东肇庆·统考模拟预测）小明去书店买了5本参考书，其中有2本数学，2本物理，1本化学.小明从中随机抽取2本，若2本中有1本是数学，则另1本是物理或化学的概率是 .
四、解答题
13．（2024上·河南南阳·高二统考期末）一个袋子里放有除颜色外完全相同的2个白球、3个黑球.
(1)采取放回抽样方式，从中依次摸出两个小球，求两个小球颜色不同的概率；
(2)采取不放回抽样方式，从中依次摸出两个小球，求在第1次摸到的是黑球的条件下，第2次摸到的是黑球的概率.
14．（2024下·全国·高二随堂练习）已知某大学数学专业二年级的学生中，是否有自主创业打算的情况如下表所示．
男生/人 女生/人
有自主创业打算 16 15
无自主创业打算 64 60
从这些学生中随机抽取一人：
(1)求抽到的人有自主创业打算的概率；
(2)求抽到的人是女生的概率；
(3)若已知抽到的人是女生，求她有自主创业打算的概率；
(4)判断“抽到的人是女生”与“抽到的人有自主创业打算”是否独立．
B能力提升
1．（多选）（2023下·河北·高二校联考阶段练习）设、为随机事件，且、，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则、可能不相互独立
B．若，则
C．若，则
D．若，，则
2．（2023上·山东济南·高三山东省实验中学校考阶段练习）某中学有A，B两个餐厅为老师与学生们提供午餐与晚餐服务，王同学、张老师两人每天午餐和晚餐都在学校就餐，近一个月（30天）选择餐厅就餐情况统计如下：
选择餐厅情况（午餐，晚餐）
王同学 9天 6天 12天 3天
张老师 6天 6天 6天 12天
假设王同学、张老师选择餐厅相互独立，用频率估计概率．
(1)估计一天中王同学午餐和晚餐选择不同餐厅就餐的概率；
(2)记X为王同学、张老师在一天中就餐餐厅的个数，求X的分布列和数学期望；
(3)假设M表示事件“A餐厅推出优惠套餐”，N表示事件“某学生去A餐厅就餐”，，已知推出优惠套餐的情况下学生去该餐厅就餐的概率会比不推出优惠套餐的情况下去该餐厅就餐的概率要大，证明．．
3．（2023·江苏·高二专题练习）在一个袋子中装有10个球，设有1个红球，2个黄球，3个黑球，4个白球，从中依次摸2个球，求在第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球或黑球的概率．
4．（2023下·北京·高二校考期中）某单位有A，B两个餐厅为员工提供午餐与晚餐服务，甲、乙两位员工每个工作日午餐和晚餐都在单位就餐，近100个工作日选择餐厅就餐情况统计如下：
选择餐厅情况（午餐，晚餐）
甲员工 30天 20天 40天 10天
乙员工 20天 25天 15天 40天
假设甲、乙员工选择餐厅相互独立，用频率估计概率．
(1)分别估计一天中甲员工午餐和晚餐都选择A餐厅就餐的概率，乙员工午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的概率；
(2)试判断甲、乙员工在晚餐选择B餐厅就餐的条件下，哪位员工更有可能午餐选择A餐厅就餐，并说明理由．
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第01讲 第01讲 7.1.1 条件概率
课程标准 学习目标
①结合古典概型，了解条件概率与概率的乘法公式。 ②了解条件概率与独立性的关系。 ③能计算简单的随机事件的条件概率。 1.通过本节课的学习，要求会判断条件概率，掌握条件概率的基本求法，能解决与条件概率相关的问题；
知识点01：条件概率
（1）一般地，设，为两个随机事件，且，我们称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率，简称条件概率．
①一般地，每个随机试验都是在一定条件下进行的，这里所说的条件概率是指随机试验结果的部分信息已知（即在原试验条件下，再加上一定的条件)，求另一事件在此条件下发生的概率.
②事件在“事件已发生”这个附加条件下的概率与没有这个附加条件下的概率在很多情况下是不同的.
③当题目涉及“在…前提下”等字眼时，一般为条件概率.若题目没有出现上述字眼，但已知事件的发生影响了所求事件的概率，也是条件概率.
④在条件概率的定义中，要强调,当时，不能用这一方法定义事件发生的条件下，事件发生的概率.
（2）特别说明：
①计算条件概率时，表示事件和同时发生的概率，不能随便用事件的概率代替；
②在条件概率的表示中，“”之后的部分表示条件；
③和的意义不同，表示在事件发生的条件下事件发生的概率，而是指在事件发生的条件下事件发生的概率；
④与的区别：二者的样本空间不一样，前者的样本空间为“原试验结果”，后者的样本空间为“在原试验条件下，再加上事件发生的条件”，一般地，.
知识点02：乘法公式
由条件概率的定义，对任意两个事件与，若，则．我们称上式为概率的乘法公式．
【即学即练1】（2024·全国·高三专题练习）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意，知.
故选：C.
知识点03：条件概率的性质
条件概率只是缩小了样本空间，因此条件概率同样具有概率的性质．设，则
①；
②如果和是两个互斥事件，则；
③设和互为对立事件，则．
④任何事件的条件概率都在0和1之间，即：.
知识点04：事件的相互独立性
（1）事件与事件相互独立：对任意的两个事件与,如果成立，则称事件与事件相互独立，简称为独立.
（2）性质：若事件与事件相互独立，则与,与,与也都相互独立，, .
（3）易混淆“相互独立”和“事件互斥”
两事件互斥是指两事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响，两个事件相互独立不一定互斥.
题型01 条件概率的求法
【典例1】（2024·福建漳州·统考模拟预测）甲、乙两名大学生利用假期时间参加社会实践活动，可以从，，，四个社区中随机选择一个社区，设事件为“甲和乙至少一人选择了社区”，事件为“甲和乙选择的社区不相同”，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】甲、乙两名大学生从四个社区中随机选择一个社区的情况共有（种），
事件发生的情况共有（种），事件和事件同时发生的情况共有6种，
所以.
故选：B.
【典例2】（2024上·内蒙古呼和浩特·高三统考期末）俗话说“斜风细雨不须归”，在自然界中，下雨大多伴随着刮风.已知某地8月份刮风的概率为，下雨的概率为，既刮风又下雨的概率为.记事件为“8月份某天刮风”，事件为“8月份某天下雨”，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】根据题意可得
利用条件概率公式可得.
故选：B
【典例3】（2024·全国·高三专题练习）已知盒中装有大小一样，形状相同的3个白球与7个黑球，每次从中任取一个球并不放回，则在第1次取到白球的条件下，第2次取到的是黑球的概率为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解法一：设第1次抽到白球为事件A，第2次取到的是黑球为事件B，
则，，
所以.
解法二：盒中共有10个球，其中3白、7黑，在第一次取到白球的条件下，盒中还有2白、7黑共9个球，
从中任取一球，取到黑球的概率为．
故选：D
【典例4】（2024·全国·高三专题练习）盒内装有除型号和颜色外完全相同的16个球，其中6个是E型玻璃球，10个是F型玻璃球．E型玻璃球中有2个是红色的，4个是蓝色的；F型玻璃球中有3个是红色的，7个是蓝色的．现从中任取1个，已知取到的是蓝球，问该球是E型玻璃球的概率是多少？
【答案】
【详解】解法一：设取到的球是蓝球为事件，取到的球是E型玻璃球为事件，
则，，
∴．
解法二：设取到的球是蓝球为事件，取到的球是E型玻璃球为事件，
∵，，
∴．
故取到的是蓝球，该球是E型玻璃球的概率是.
【变式1】（2024上·辽宁·高二盘锦市高级中学校联考期末）小张 小王两家计划国庆节期间去辽宁游玩，他们分别从“丹东凤凰山，鞍山千山，本溪水洞，锦州笔架山，盘锦红海滩”这五个景点中随机选择一个游玩，记事件A：“两家至少有一家选择丹东风凰山”，事件B：“两家选择景点不同”.则概率（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题意可知两家都没选择丹东凤凰山，即，
所以，
而有一家选择丹东凤凰山，另一家选别的景点，则，
所以.
故选：D
【变式2】（2024上·江苏泰州·高三统考期末）袋子中有10个大小相同的小球，其中7个白球，3个黑球.每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回.在第1次摸到白球的条件下，第2次摸到白球的概率为 .
【答案】
【详解】记事件A为第1次摸到白球，事件为第2次摸到黑球，
则，
所以.
故答案为：.
【变式3】（2024·广东肇庆·校考模拟预测）一个盒子里装有3种颜色，大小形状质地都一样的9个球，其中黄球4个，蓝球3个，绿球2个，现从盒子中随机取出两个球，记事件“取出的两个球颜色不同”，记事件“取出一个蓝球，一个绿球”，则 .
【答案】
【详解】事件“取出的两个球颜色不同”，包括一个黄球一个蓝球，
一个黄球一个绿球以及一个蓝球一个绿球，三种情况，
则,
事件“取出一个蓝球，一个绿球”，
则，
所以.
故答案为：
题型02 乘法公式的应用
【典例1】（2024·全国·高三专题练习）已知1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球（白球与红球大小、形状、质地相同），现随机从1号箱中取出一球放入2号箱，再从2号箱中随机取出一球，则两次都取到红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设“从1号箱中取到红球放入2号箱”为事件A，“从2号箱中取到红球”为事件B.
由题意，知，，所以，
所以两次都取到红球的概率为.
故选：C.
【典例2】（2023上·上海·高二上海市行知中学校考阶段练习）一个盒子中装有2个红球，8个黑球，从中不放回地任取1个小球，则第二次才取出红球的概率是 .
【答案】
【详解】由题意知第一次取出的是黑球，设为事件，
第二次取出红球设为事件，
则，则，
所以第二次才取出红球的概率是.
故答案为：
【典例3】（2024·全国·高三专题练习）某厂产品的废品率为4%，而合格品中有75%是一等品，求一等品率．
【答案】72%.
【详解】记A：合格品,记B：一等品，由于,则，
由题意，，
故，
即一等品率为72%.
【变式1】（2024·全国·高二假期作业）设A，B是两个事件，，，则下列结论一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】A：由，而，则，即时成立，否则不成立，排除；
B：当A，B是两个相互独立的事件，有，否则不成立，排除；
C：由且，故时成立，否则不成立，排除；
D：由，而，则，符合；
故选：D
【变式2】（2024上·河南南阳·高二南阳市第五中学校校联考期末）已知，，则 .
【答案】
【详解】因为，则，
所以，.
故答案为：.
【变式3】（2024·全国·高三专题练习）玛丽想在网上购买一款品牌手机，客服承诺该品牌手机从1m高的地方掉落时，屏幕第一次未碎掉的概率为0.5，当第一次未碎掉时第二次也未碎掉的概率为0.3，玛丽想如果手机从1m高的地方掉落两次后屏幕仍未碎掉的概率大于0.2就可以购买，否则放弃．请你用所学的概率知识帮玛丽做一下决策．
【答案】玛丽应该放弃购买
【详解】设“第i次掉落后，手机屏幕没有碎掉”，，2，
则由已知可得，，
故．
即这款手机从1m高的地方掉落两次后，屏幕仍未碎掉的概率为0.15，
因为，故玛丽应该放弃购买．
题型03条件概率的性质及应用
【典例1】（2024·湖北武汉·武汉市第六中学校联考二模）设，为任意两个事件，且，，则下列选项必成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】由，则，故，
而，则，又，
所以.
故选：D
【典例2】（多选）（2024·全国·高三专题练习）设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【详解】因为，，所以，.
因为与为互斥事件，所以，
所以
，
所以，
故，故A正确；
，故B正确；
，故C错误；
，，
所以，故D错误.
故选:AB.
【典例3】（多选）（2024上·辽宁沈阳·高二沈阳市第八十三中学校联考期末）为庆祝建党100周年，讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进全体党员干部职工对党史知识的了解，某单位组织开展党史知识竞赛活动，以支部为单位参加比赛，某支部在5道党史题中(有3道选择题和道填空题)，不放回地依次随机抽取道题作答，设事件A为“第1次抽到选择题”，事件B为“第次抽到选择题”，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【详解】,故A正确；
，故B正确；
，故C正确；
，，，故D错误.
故选: ABC
【变式1】（2024·全国·高二假期作业）下列说法正确的是（ ）
A． B．是可能的
C． D．
【答案】B
【详解】由，当，则，A错误；
当A或B为不可能事件时，，C错误；
B：要使，即，当恰好为A的子事件成立，正确；
D：由，故错误.
故选：B
【变式2】（多选）（2024·全国·高三专题练习）若、分别为随机事件、的对立事件，，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．若，则
【答案】BD
【详解】对于A选项，因为，
但与不一定相等，故不一定等于，A错；
对于B选项，因为，，
所以，，B对；
对于C选项，，C错；
对于D选项，因为，所以，，
所以，事件、独立，故，D对.
故选：BD.
【变式3】（2024·全国·高三专题练习）设某种灯管使用了500h还能继续使用的概率是0.94，使用到700h后还能继续使用的概率是0.87，问已经使用了500h的灯管还能继续使用到700h的概率是多少？
【答案】
【详解】解：设A＝“能使用到500h”，B＝“能使用到700h”，则，．而所求的概率为，由于，故．
故答案为：.
A夯实基础 B能力提升
A夯实基础
一、单选题
1．（2024上·陕西汉中·高二统考期末）袋中有除颜色外完全相同的6个小球，其中4个白球和2个红球，现从袋中不放回地连取两个．在第一次取得白球前提下，则第二次取得红球的概率为（ ）
A．0.25 B．0.4 C．0.5 D．0.6
【答案】B
【分析】分别设事件“第一次取得白球”和“第二次取得红球”，由条件概率计算公式求解即可求解.
【详解】设第一次取得白球为事件，第二次取得红球为事件，
所以在第一次取得红球前提下，则第二次取得白球的概率为：
.
故选：B.
2．（2024·全国·高三专题练习）某工厂生产了一批产品，需等待检测后才能销售.检测人员从这批产品中随机抽取了5件产品来检测，现已知这5件产品中有3件正品，2件次品，从中不放回地取出产品，每次1件，共取两次.已知第一次取得次品，则第二次取得正品的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用条件概率的定义解题即可.
【详解】设事件A=“第一次取得次品”，事件B=“第二次取得次品”，
则，，故.
故选：C
3．（2024·全国·高三专题练习）掷一个均匀的骰子．记为“掷得点数大于”，为“掷得点数为奇数”，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据已知列出事件和事件的结果，求出，，然后利用条件概率公式求解即可.
【详解】掷一个均匀的骰子，有，，，，，共种结果，
事件包含点数为，共种结果，所以；
事件包含点数为共种结果，所以，
所以．
故选：D
4．（2024上·全国·高三期末）某校举办中学生乒乓球运动会，高一年级初步推选3名女生和4名男生参赛，并从中随机选取3人组成代表队参赛，在代表队中既有男生又有女生的条件下，女生甲被选中的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据条件概率知识即可求解.
【详解】用A表示事件“代表队既有男生又有女生”， B表示事件“女生甲被选中”，
则在代表队中既有男生又有女生的条件下，女生甲被选中的概率为.
所以，
故选：B.
5．（2024·全国·高二假期作业）已知，，则（ ）
A．0.02 B．0.03
C．0.04 D．0.05
【答案】B
【分析】根据条件概率公式运算求解.
【详解】因为，
所以.
故选：B.
6．（2024·全国·高二假期作业）核酸检测是目前确认新型冠状病毒感染最可靠的依据．经大量病例调查发现，试剂盒的质量、抽取标本的部位和取得的标本数量，对检测结果的准确性有一定影响．已知国外某地新冠病毒感染率为0.5%，在感染新冠病毒的条件下，标本检出阳性的概率为99%．若该地全员参加核酸检测，则该地某市民感染新冠病毒且标本检出阳性的概率为（ ）
A．0.495% B．0.9405% C．0.99% D．0.9995%
【答案】A
【分析】根据条件概率的乘法公式即可求解.
【详解】记感染新冠病毒为事件,感染新冠病毒的条件下,标本为阳性为事件 则,故某市民感染新冠病毒且标本检出阳性的概率为，
故选：A
7．（2024·全国·高三专题练习）某学校安排音乐 阅读 体育和编程四项课后服务供学生自愿选择参加，甲 乙 丙 丁4位同学每人限报其中一项.已知甲同学报的项目其他同学不报的情况下，4位同学所报项目各不相同的概率等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设甲同学报的项目其他同学不报, 4位同学所报项目各不相同,利用条件概率求解.
【详解】解：设甲同学报的项目其他同学不报, 4位同学所报项目各不相同,
由题得,,
所以.
故选：C
8．（2024上·山东潍坊·高二昌乐二中校考期末）已知与独立，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据相互独立事件的性质进行求解即可.
【详解】因为与独立，所以，
故选：A
二、多选题
9．（2024上·全国·高三期末）已知随机事件满足，，，则下列说法正确的是（ ）
A．不可能事件与事件互斥
B．必然事件与事件相互独立
C．
D．若，则
【答案】ABC
【分析】对于随机事件的互斥、独立以及条件概率等式是否成立，应按照其定义进行判断即可；而要说明条件概率等式不能成立，则可以通过举反例说明.
【详解】因为不可能事件与事件不会同时发生，所以互斥，故选项A正确；
因为,
所以，所以必然事件与事件相互独立，故选项B正确；
因为，且互斥，所以，故选项C正确；
对于选项D，假如做抛掷一枚骰子1次的试验，设事件为出现点数小于等于4，事件为出现点数小于等于2，
则，但故选项 D 错误.
故选:ABC.
10．（2024·全国·高二假期作业）某气象台统计，该地区不下雨的概率为；刮四级以上风的概率为，既刮四级以上的风又下雨的概率为，设为下雨，为刮四级以上的风，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】根据条件概率的计算公式即可代入求解.
【详解】由题意可知，
所以,,
故选：BD
三、填空题
11．（2024·全国·高三专题练习）抛掷红、蓝两颗骰子，记事件A为“蓝色骰子的点数为4或6”，事件B为“两颗骰子的点数之和大于8”，则P（B|A）＝ ；P（A|B）＝ .
【答案】 / /
【分析】根据条件概率的求概率公式，分别求出，，或，，代入公式求解即可.
【详解】解法一：抛掷红、蓝两颗骰子，事件总数为，
事件A的基本事件数为，所以；
由于，，
，
所以事件B的基本事件数为，所以；
事件AB的基本事件数为6，故；
由条件概率公式得：
①＝＝＝；
②＝＝＝．
解法二：；
由，，，
，知，其中；
所以＝＝＝；
＝＝＝．
故答案为：；
12．（2024·广东肇庆·统考模拟预测）小明去书店买了5本参考书，其中有2本数学，2本物理，1本化学.小明从中随机抽取2本，若2本中有1本是数学，则另1本是物理或化学的概率是 .
【答案】
【分析】根据条件概率的计算公式即可求解.
【详解】记事件A为“取出的2本中有1本是数学”，事件为“另1本是物理或化学”，
则，
所以.
故答案为：.
四、解答题
13．（2024上·河南南阳·高二统考期末）一个袋子里放有除颜色外完全相同的2个白球、3个黑球.
(1)采取放回抽样方式，从中依次摸出两个小球，求两个小球颜色不同的概率；
(2)采取不放回抽样方式，从中依次摸出两个小球，求在第1次摸到的是黑球的条件下，第2次摸到的是黑球的概率.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分先白后黑和先黑后白两种情况，由概率公式计算.
（2）利用条件概率公式求解.
【详解】（1）设事件：用放回抽样方式摸出两个颜色不同的小球.
因为采取放回抽样方式，
所以每次摸一个白球的概率为，每一次摸一个黑球的概率为，
所以.
即用放回抽样方式摸出两个颜色不同的小球的概率为.
（2）设事件为第一次摸到黑球，
事件为第一次摸到黑球，第二次也摸到黑球，
所以，，
所以在第一次摸到黑球的条件下，第二次摸到黑球的概率为：
.
14．（2024下·全国·高二随堂练习）已知某大学数学专业二年级的学生中，是否有自主创业打算的情况如下表所示．
男生/人 女生/人
有自主创业打算 16 15
无自主创业打算 64 60
从这些学生中随机抽取一人：
(1)求抽到的人有自主创业打算的概率；
(2)求抽到的人是女生的概率；
(3)若已知抽到的人是女生，求她有自主创业打算的概率；
(4)判断“抽到的人是女生”与“抽到的人有自主创业打算”是否独立．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)独立．
【分析】（1）利用古典概型计算即可；
（2）利用古典概型计算即可；
（3）利用条件概率计算即可；
（4）根据事件的独立性判定即可.
【详解】（1）由题意可知，所有学生人数为．
记A为“抽到的人有自主创业打算”，B为“抽到的人是女生”．
因为有自主创业打算的人数为，
因此抽到的人有自主创业打算的概率为；
（2）因为女生人数为，
因此抽到的人是女生的概率为；
（3）所要求的是，注意到75名女生中有15人有自主创业打算，
因此；
（4）由（1）和（3）的计算结果可知，即，
因此“抽到的人是女生”与“抽到的人有自主创业打算”独立．
B能力提升
1．（多选）（2023下·河北·高二校联考阶段练习）设、为随机事件，且、，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则、可能不相互独立
B．若，则
C．若，则
D．若，，则
【答案】BCD
【详解】对于A选项，根据条件概率公式及，
得，即，所以，、相互独立，A错；
对于B选项，由A知，当时，，
所以，，B对；
对于C选项，由，得，
所以，C对；
对于D选项，，
，所以，，D对.
故选：BCD．
2．（2023上·山东济南·高三山东省实验中学校考阶段练习）某中学有A，B两个餐厅为老师与学生们提供午餐与晚餐服务，王同学、张老师两人每天午餐和晚餐都在学校就餐，近一个月（30天）选择餐厅就餐情况统计如下：
选择餐厅情况（午餐，晚餐）
王同学 9天 6天 12天 3天
张老师 6天 6天 6天 12天
假设王同学、张老师选择餐厅相互独立，用频率估计概率．
(1)估计一天中王同学午餐和晚餐选择不同餐厅就餐的概率；
(2)记X为王同学、张老师在一天中就餐餐厅的个数，求X的分布列和数学期望；
(3)假设M表示事件“A餐厅推出优惠套餐”，N表示事件“某学生去A餐厅就餐”，，已知推出优惠套餐的情况下学生去该餐厅就餐的概率会比不推出优惠套餐的情况下去该餐厅就餐的概率要大，证明．．
【答案】(1)0.6
(2)分布列见解析，1.9
(3)证明见解析
【详解】（1）设事件C为“一天中王同学午餐和晚餐选择不同餐厅就餐”，
因为30天中王同学午餐和晚餐选择不同餐厅就餐的天数为，
所以．
（2）记X为王同学、张老师在一天中就餐餐厅的个数，
则X的所有可能取值为1和2，
所以，
，
所以X的分布列为
X 1 2
P 0.1 0.9
所以X的数学期望．
（3）由题知，所以
所以，
所以，
即，
所以，即
3．（2023·江苏·高二专题练习）在一个袋子中装有10个球，设有1个红球，2个黄球，3个黑球，4个白球，从中依次摸2个球，求在第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球或黑球的概率．
【答案】
【详解】解：设“摸出第一个球为红球”为事件A，“摸出第二个球为黄球”为事件B，“摸出第二个球为黑球”为事件C，
则，
,
所以．
4．（2023下·北京·高二校考期中）某单位有A，B两个餐厅为员工提供午餐与晚餐服务，甲、乙两位员工每个工作日午餐和晚餐都在单位就餐，近100个工作日选择餐厅就餐情况统计如下：
选择餐厅情况（午餐，晚餐）
甲员工 30天 20天 40天 10天
乙员工 20天 25天 15天 40天
假设甲、乙员工选择餐厅相互独立，用频率估计概率．
(1)分别估计一天中甲员工午餐和晚餐都选择A餐厅就餐的概率，乙员工午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的概率；
(2)试判断甲、乙员工在晚餐选择B餐厅就餐的条件下，哪位员工更有可能午餐选择A餐厅就餐，并说明理由．
【答案】(1)甲员工午餐和晚餐都选择A餐厅就餐的概率为，乙员工午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的概率为.
(2)甲员工更有可能午餐选A餐厅，理由见解析
【详解】（1）设事件C＝“一天中甲员工午餐和晚餐都选择A餐厅就餐”，
事件D＝“一天中乙员工午餐和晚餐都选择B餐厅就餐”．
由于100个工作日中甲员工午餐、晚餐都选择A餐厅就餐的天数为30，
乙员工午餐、晚餐都选择B餐厅就餐的天数为40，
所以，；
（2）设N1＝“甲员工晚餐选择B餐厅就餐”，
N2＝“乙员工晚餐选择B餐厅就餐”，
M1＝“甲员工在午餐时选择A餐厅就餐”，
M2＝“乙员工在午餐时选择A餐厅就餐”，则，．
因为，
所以在已知晚餐选择B餐厅就餐的条件下，甲员工更有可能在午餐时选择A餐厅就餐．
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