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第09讲 第七章 随机变量及其分布 章末题型大总结
题型01相互独立事件与互斥、对立事件
【典例1】（2023上·四川凉山·高二校联考期末）一个盒子中装有标号为1，2，3，4的4张号签，从中随机地选取两张号签，事件“取到标号为1和3的号签”，事件“两张号签标号之和为5”，则下列说法正确的是（ ）
A．与互斥 B．与独立 C．与对立 D．
【典例2】（2023上·江苏常州·高二常州高级中学校考开学考试）同时掷红、蓝两枚质地均匀的骰子，事件A表示“两枚骰子的点数之和为5”，事件B表示“红色骰子的点数是偶数”，事件C表示“两枚骰子的点数相同”，事件D表示“至少一枚骰子的点数是奇数”. 则下列说法中正确的是（ ）
①A与C互斥 ②B与D对立 ③A与D相互独立 ④B与C相互独立
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【典例3】（多选）（2023上·福建泉州·高二福建省德化第一中学校考阶段练习）同时掷红、蓝两枚质地均匀的骰子，事件A表示“两枚骰子的点数之和为5”，事件B表示“红色骰子的点数是偶数”，事件C表示“两枚骰子的点数相同”，事件D表示“至少一枚骰子的点数是奇数”.则下列说法中正确的是（ ）
A．A与C互斥 B．B与D对立
C．A与D相互独立 D．B与C相互独立
【典例4】（多选）（2023上·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）有4个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，从中不放回的随机取两次，每次取1个球，事件A表示“第一次取出的球的数字是1”，事件B表示“第二次取出的球的数字是偶数”，事件C表示“两次取出的球的数字之和是偶数”，事件D表示“两次取出的球的数字之和是奇数”，则（ ）
A．A与B互斥 B．C与D对立
C．B与C相互独立 D．B与D相互独立
【变式1】（2023上·上海·高三上海市行知中学校考期中）存在两个事件A和B，且，，若A与B是两个①事件，则；若A与B是两个②事件，则；其中（ ）
A．（1）互斥（2）独立 B．（1）互斥（2）对立
C．（1）独立（2）互斥 D．（1）对立（2）互斥
【变式2】（2022上·广东佛山·高三统考期中）国家于2021年8月20日表决通过了关于修改人口与计划生育法的决定，修改后的人口计生法规定，国家提倡适龄婚育 优生优育，一对夫妻可以生育三个子女，该政策被称为三孩政策.某个家庭积极响应该政策，一共生育了三个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，记事件：该家庭既有男孩又有女孩；事件：该家庭最多有一个男孩；事件：该家庭最多有一个女孩.则下列说法正确的是（ ）
A．事件与事件互斥但不对立 B．事件与事件互斥且对立
C．事件与事件相互独立 D．事件与事件相互独立
【变式3】（多选）（2023上·广东·高二校联考阶段练习）抛掷一黄一白两枚质地均匀的骰子，用表示黄色骰子朝上的点数，表示白色骰子朝上的点数，用表示一次试验的结果，该试验的样本空间为，事件 “”，事件“”，事件“”，事件“”则（ ）
A．与互斥 B．与对立
C．与相互独立 D．与相互独立
【变式4】（多选）（2023下·河北承德·高一统考期末）抛掷一黄一白两枚质地均匀的骰子，用a表示黄色骰子朝上的点数，用b表示白色骰子朝上的点数，用表示一次试验的结果，该试验的样本空间为，记事件“关于的方程无实根”，事件”，事件“”，事件“20”，则（ ）
A．与互斥 B．与对立
C．与相互独立 D．与相互独立
题型02离散型随机变量的均值与方差的性质
【典例1】（2024·全国·高三专题练习）已知的分布列如下表所示，设，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2024·全国·高二假期作业）设随机变量，随机变量，若，则（ ）
A．2 B．3
C．6 D．7
【典例3】（2024·全国·高三专题练习）若数据的平均数为，方差为，则的平均数和方差分别为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2024·全国·高二假期作业）若离散型随机变量的标准差，则随机变量的标准差为（ ）
A．8 B．15
C．16 D．32
【变式2】（2024·全国·高三专题练习）若随机变量服从两点分布，其中，分别为随机变量的均值与方差，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3】（2024·全国·高二假期作业）设随机变量满足为非零常数)，若，则 ， ．
题型03离散型随机变量的均值与方差
【典例1】（2024·吉林白山·统考一模）俗话说：“人配衣服，马配鞍”．合理的穿搭会让人舒适感十足，给人以赏心悦目的感觉．张老师准备参加某大型活动，他选择服装搭配的颜色规则如下：将一枚骰子连续投掷两次，两次的点数之和为3的倍数，则称为“完美投掷”，出现“完美投掷”，则记；若掷出的点数之和不是3的倍数，则称为“不完美投掷”，出现“不完美投掷”，则记；若，则当天穿深色，否则穿浅色．每种颜色的衣物包括西装和休闲装，若张老师选择了深色，再选西装的可能性为，而选择了浅色后，再选西装的可能性为．
(1)求出随机变量的分布列，并求出期望及方差；
(2)求张老师当天穿西装的概率．
【典例2】（2024·全国·高三专题练习）甲 乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投篮；已知每次投篮甲.乙命中的概率分别为，.
(1)求第三次由乙投篮的概率；
(2)在前3次投篮中，乙投篮的次数为，求的分布列；
(3)求的期望及标准差.
【典例3】（2023下·高二校考单元测试）气象部门提供了某地区今年六月份（30天）的日最高气温的统计表如下：
日最高气温t（单位：℃）
天数 6 12 Y Z
由于工作疏忽，统计表被墨水污染，Y和Z数据不清楚，但气象部门提供的资料显示，六月份的日最高气温不高于32℃的频率为0.9．
某水果商根据多年的销售经验，六月份的日最高气温t（单位：℃）对西瓜的销售影响如下表：
日最高气温t（单位：℃）
日销售额X（千元） 2 5 6 8
(1)求Y，Z的值；
(2)若视频率为概率，求六月份西瓜日销售额的期望和方差；
(3)在日最高气温不高于32℃时，求日销售额不低于5千元的概率．
【变式1】（2024·全国·高三专题练习）某短视频软件经过几年的快速发展，深受人们的喜爱，该软件除了有娱乐属性外，也可通过平台推送广告．某公司为了宣传新产品，现有以下两种宣传方案：
方案一：投放该平台广告，据市场调研，其收益X分别为0元，20万元，40万元，且，期望．
方案二：投放传统广告，据市场调研，其收益Y分别为10万元，20万元，30万元，其概率依次为．
(1)请写出方案一的分布列，并求方差；
(2)请你根据所学的统计知识给出建议，该公司宣传应该投放哪种广告？并说明你的理由．
【变式2】（2023上·辽宁沈阳·高三辽宁实验中学校考阶段练习）甲乙两人进行一场乒乓球比赛.已知每局甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为0.4，甲乙约定比赛采取“3局2胜制”.
(1)求这场比赛甲获胜的概率；
(2)这场比赛甲所胜局数的数学期望（保留两位有效数字）；
(3)根据（2）的结论，计算这场比赛甲所胜局数的方差.
【变式3】（2023下·山东临沂·高二统考期中）甲、乙两种品牌手表，它们的日走时误差分别为X和Y（单位：s），其分布列为
甲品牌的走时误差分布列
X 0 1
P 0.1 0.8 0.1
乙品牌的走时误差分布列
Y 0 1 2
P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1
(1)求和；
(2)求和，并比较两种品牌手表的性能．
题型04二项分布
【典例1】（2024上·广东广州·高二华南师大附中校考期末）泊松分布的概率分布列为，其中为自然对数的底数，是泊松分布的均值．若随机变量服从二项分布，当很大且很小时，二项分布近似于泊松分布，其中，即，．现已知某种元件的次品率为0.01，抽检100个该种元件，则次品率小于的概率约为（参考数据：）（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2024·全国·高三专题练习）某同学参加学校数学知识竞赛，规定每个同学答20道题，已知该同学每道题答对的概率为0.6，每道题答对与否相互独立．若答对一题得3分，答错一题扣1分，则该同学总得分的数学期望为 ，方差为 ．
【典例3】（2024上·甘肃武威·高三统考期末）某单位招聘会设置了笔试、面试两个环节，先笔试后面试.笔试设有三门测试，三门测试相互独立，三门测试至少两门通过即通过笔试，通过笔试后进入面试环节，若不通过，则不予录用.面试只有一次机会，通过后即被录用.已知每一门测试通过的概率均为，面试通过的概率为.
(1)求甲通过了笔试的条件下，第三门测试没有通过的概率；
(2)已知有100人参加了招聘会，X为被录取的人数，求X的期望.
【典例4】（2024·全国·高三专题练习）部分高校开展基础学科招生改革试点工作（强基计划）的校考由试点高校自主命题，校考过程中达到笔试优秀才能进入面试环节.已知两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否达到优秀相互独立.若某考生报考大学，每门科目达到优秀的概率均为，若该考生报考大学，每门科目达到优秀的概率依次为，，，其中.
(1)若，分别求出该考生报考两所大学在笔试环节恰好有一门科目达到优秀的概率；
(2)强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中达到优秀科目个数的期望为依据作出决策，该考生更有希望进入大学的面试环节，求的范围.
【变式1】（多选）（2024上·辽宁抚顺·高二校联考期末）已知，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（2024上·河南·高二校联考期末）一台机器由于使用时间较长，生产的零件有可能会产生次品.设该机器生产零件的尺寸为，且规定尺寸为正品，其余的为次品.现从该机器生产的零件中随机抽取100件做质量分析，作出的频率分布直方图如图.
(1)试估计该机器生产的零件的平均尺寸；
(2)如果将每5件零件打包成一箱，若每生产一件正品可获利30元，每生产一件次品亏损80元.若随机取一箱零件，求这箱零件的期望利润.
【变式3】（2024·全国·高三专题练习）某种植户对一块地上的个坑进行播种，每个坑播3粒种子，每粒种子发芽的概率均为，且每粒种子是否发芽相互独立.如果每个坑内至少有两粒种子发芽，则不需要进行补种，否则需要补种.
(1)当n取何值时，有4个坑需要补种的概率最大？最大概率为多少？
(2)当时，用X表示要补种的坑的个数，求X的分布列及数学期望.
【变式4】（2024上·安徽·高三合肥市第八中学校联考开学考试）某公司使用甲、乙两台机器生产芯片，已知每天甲机器生产的芯片占产量的六成，且合格率为；乙机器生产的芯片占产量的四成，且合格率为，已知两台机器生产芯片的质量互不影响. 现对某天生产的芯片进行抽样.
(1)从所有芯片中任意抽取一个，求该芯片是不合格品的概率；
(2)现采用有放回的方法随机抽取3个芯片，记其中由乙机器生产的芯片的数量为，求的分布列以及数学期望.
题型05超几何分布
【典例1】（2024下·全国·高二随堂练习）盒中有10个螺丝钉，其中3个是坏的.现从盒中随机抽取4个，则概率是的事件为（ ）
A．恰有1个是坏的 B．4个全是好的
C．恰有2个是好的 D．至多有2个是坏的
【典例2】（多选）（2024上·海南省直辖县级单位·高三校考阶段练习）已知随机变量的概率为，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．甲每次射击命中的概率为0.6，甲连续射击10次的命中次数满足此分布列
D．一批产品共有10件，其中6件正品，4件次品，从10件产品中无放回地随机抽取4件，抽到的正品的件数满足此分布列
【典例3】（2024上·广东潮州·高三统考期末）2023年9月26日晚，位于潮州市南春路的南门古夜市正式开业了，首期共有70个摊位，集聚了潮州各式美食!南门古夜市的开业，推动潮州菜产业发展，是潮州美食产业的又一里程碑．为了解游客对潮州美食的满意度，随机对100名游客进行问卷调查（满分100分），这100名游客的评分分别落在区间，，，，内，统计结果如频率分布直方图所示．
(1)根据频率分布直方图，求这100名游客评分的平均值（同一区间的数据用该区间数据的中点值为代表）；
(2)为了进一步了解游客对潮州美食的评价，采用分层抽样的方法从满意度评分位于分组，，的游客中抽取10人，再从中任选3人进行调查，求抽到满意度评分位于的人数的分布列和数学期望．
【典例4】（2024·全国·高三专题练习）某市教师培训中心对2022年暑假教师培训进行总体评价，有1200名教师参与打分（满分10分），根据所得数据分为，，，，，六个组，绘制出如图所示的频率分布直方图．
(1)求图中的值，并求这1200份打分的平均数（同一组中的数据用该组的中点值作代表）；
(2)若培训中心将在打分中的教师中用分层抽样的方法抽取9人，再从这9人中随机抽取3人进行面谈，记表示打分在的人数，求的分布列和数学期望．
【变式1】（2024·全国·高二假期作业）一个袋子中100个大小相同的球，其中有40个黄球，60个白球，从中不放回地随机摸出20个球作为样本，用随机变量表示样本中黄球的个数，则服从（ ）
A．二项分布，且 B．两点分布，且
C．超几何分布，且 D．超几何分布，且
【变式2】（2024·全国·高三专题练习）在一次运动会上，某单位派出了名主力队员和名替队员组成代表队参加比赛.如果随机抽派名队员上场，则主力队员多于替补队员的概率为 .
【变式3】（2024上·广东揭阳·高三统考期末）为增强学生体质，某校高一（1）班组织全班同学参加限时投篮活动，记录他们在规定时间内的进球个数，将所得数据分成，，，，这5组，并得到如下频率分布直方图：
(1)估计全班同学的平均进球个数．（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
(2)现按比例分配的分层随机抽样方法，从进球个数在，，内的同学中抽取8人进行培训，再从中抽取3人做进一步培训．
（ⅰ）记这3人中进球个数在的人数为X，求X的分布列与数学期望；
（ⅱ）已知抽取的这3人的进球个数不全在同一区间，求这3人的进球个数在不同区间的概率．
【变式4】（2024·全国·高二假期作业）2020年5月28日，十三届全国人大三次会议表决通过了《中华人民共和国民法典》，自2021年1月1日起施行.它被称为“社会生活的百科全书”，是新中国第一部以法典命名的法律，在法律体系中居于基础性地位，也是市场经济的基本法某中学培养学生知法懂法，组织全校学生学习《中华人民共和国民法典》并组织知识竞赛.为了解学习的效果，现从高一，高二两个年级中各随机抽取20名学生的成绩（单位：分），绘制成如图所示的茎叶图：
根据学生的竞赛成绩，将其分为四个等级：
测试成绩（单位：分）
等级 合格 中等 良好 优秀
（1）从样本中任取2名同学的竞赛成绩，在成绩为优秀的情况下，求这2名同学来自同一个年级的概率；
（2）现从样本中成绩为良好的学生中随机抽取3人座谈，记为抽到高二年级的人数，求的分布列，数学期望与方差.
题型06正态分布
【典例1】（2024上·河南南阳·高二校联考期末）为了检测自动包装线生产的罐装咖啡，检验员每天从生产线上随机抽取罐咖啡，并测量其质量（单位：）.由于存在各种不可控制的因素，任意抽取的1罐咖啡的质量与标准质量之间存在一定的误差，已知这条包装线在正常状态下，每罐咖啡的质量服从正态分布.假设生产状态正常，记表示每天抽取的罐咖啡中质量在之外的罐数，若的数学期望，则的最小值为（ ）
附：若随机变量服从正态分布，则.
A．10 B．11 C．12 D．13
【典例2】（2024上·河北保定·高三河北省唐县第一中学校考期末）我们将服从二项分布的随机变量称为二项随机变量，服从正态分布的随机变量称为正态随机变量.概率论中有一个重要的结论：若随机变量，当充分大时，二项随机变量可以由正态随机变量来近似地替代，且正态随机变量的期望和方差与二项随机变量的期望和方差相同.法国数学家棣莫弗（1667-1754）在1733年证明了时这个结论是成立的，法国数学家 物理学家拉普拉斯（1749-1827）在1812年证明了这个结论对任意的实数都成立，因此人们把这个结论称为棣莫弗—拉普拉斯极限定理.现抛掷一枚质地均匀的硬币2500次，利用正态分布估算硬币正面向上次数不少于1200次的概率为（ ）
（附：若，则，
A．0.99865 B．0.97725 C．0.84135 D．0.65865
【典例3】（2024·新疆乌鲁木齐·统考一模）在工业生产中轴承的直径服从，购买者要求直径为，不在这个范围的将被拒绝，要使拒绝的概率控制在之内，则至少为 ；（若，则）
【典例4】（2024上·安徽合肥·高三合肥一中校考期末）我国一科技公司生产的手机前几年的零部件严重依赖进口，2019年某大国对其实施限制性策略，该公司启动零部件国产替代计划，与国内产业链上下游企业开展深度合作，共同推动产业发展．2023年9月该公司最新发布的智能手机零部件本土制造比例达到」90%，以公司与一零部件制造公司合作生产某手机零部件，为提高零部件质量，该公司通过资金扶持与技术扶持，帮助制造公司提高产品质量和竞争力，同时派本公司技术人员进厂指导，并每天随机从生产线上抽取一批零件进行质量检测．下面是某天从生产线上抽取的10个零部件的质量分数（总分1000分，分数越高质量越好）：928、933、945、950、959、967、967、975、982、994．假设该生产线生产的零部件的质量分数X近似服从正态分布，并把这10个样本质量分数的平均数作为的值．
参考数据：若，则．
(1)求的值；
(2)估计该生产线上生产的1000个零部件中，有多少个零部件的质量分数低于940？
(3)若从该生产线上随机抽取n个零件中恰有个零部件的质量分数在内，则n为何值时，的值最大？
【变式1】（2024上·辽宁抚顺·高二校联考期末）已知随机变量服从正态分布，且，则（ ）
A．0.2 B．0.4 C．0.3 D．0.6
【变式2】（2024·全国·高三专题练习）“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究应用与推广，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全，农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高（单位：）服从正态分布，其密度曲线函数为，，则下列说法错误的是（ ）
A．该地水稻的平均株高为
B．该地水稻株高的方差为100
C．随机测量一株水稻，其株高在120cm以上的概率比株高在70cm以下的概率小
D．随机测量一株水稻，其株高在和在（单位：cm）的概率一样大
【变式3】（2024·四川内江·统考一模）某汽车公司最近研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程的测试.现对测试数据进行分析，得到如图所示的频率分布直方图：
根据大量的测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程近似地服从正态分布，用样本平均数和标准差分别作为、的近似值，其中样本标准差的近似值为50，现任取一辆汽车，则它的单次最大续航里程的概率为 .
（参考数据：若随机变量，则，，）
【变式4】（2024上·湖南衡阳·高三统考期末）已知某超市销售的袋装食用盐的质量（单位：）服从正态分布，且0.15.某次该超市称量了120袋食用盐，其总质量为的值恰好等于这120袋食用盐每袋的平均质量（单位：）.
(1)若从该超市销售的袋装食用盐中随机选取2袋，设这2袋中质量不小于的袋数为，求的分布列；
(2)若从该超市销售的袋装食用盐中随机选取（为正整数）袋，记质量在的袋数为，求满足的的最大值.
题型07正态分布的实际应用
【典例1】（2024上·江苏扬州·高三统考期末）某保险公司有一款保险产品，该产品今年保费为200元/人，赔付金额为5万元/人.假设该保险产品的客户为10000名，每人被赔付的概率均为，记10000名客户中获得赔偿的人数为.
(1)求，并计算该公司今年这一款保险产品利润的期望；
(2)二项分布是离散型的，而正态分布是连续型的，它们是不同的概率分布，但是，随着二项分布的试验次数的增加，二项分布折线图与正态分布曲线几乎一致，所以当试验次数较大时，可以利用正态分布处理二项分布的相关概率计算问题，我们知道若，则，当较大且较小时，我们为了简化计算，常用的值估算的值.
请根据上述信息，求：
①该公司今年这一款保险产品利润为50~100万元的概率；
②该公司今年这一款保险产品亏损的概率.
参考数据：若，则.
【典例2】（2024下·全国·高二随堂练习）全面建设社会主义现代化国家，最艰巨最繁重的任务仍然在农村，强国必先强农，农强方能国强．某市为了解当地农村经济情况，随机抽取该地2000户农户家庭年收入x（单位：万元）进行调查，并绘制得到如下图所示的频率分布直方图．
(1)求这2000户农户家庭年收入的样本平均数（同一组的数据用该组区间中点值代表）．
(2)由直方图可认为农户家庭年收入近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，其中.
①估计这2000户农户家庭年收入超过9.52万元（含9.52）的户数？（结果保留整数）
②如果用该地区农户家庭年收入的情况来估计全市农户家庭年收入的情况，现从全市农户家庭中随机抽取4户，即年收入不超过9.52万元的农户家庭数为，求．（结果精确到0.001）
附：①；②若，则，；③．
【变式1】（2024上·海南省直辖县级单位·高三校考阶段练习）红松树分布在我国东北的小兴安岭到长白山一带，耐荫性强.在一森林公园内种有一大批红松树，为了研究生长了4年的红松树的生长状况，从中随机选取了12棵生长了4年的红松树，并测量了它们的树干直径（单位：厘米），如下表：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
28.7 27.2 31.5 35.8 24.3 33.5 36.3 26.7 28.9 27.4 25.2 34.5
计算得：.
(1)求这12棵红松树的树干直径的样本均值与样本方差.
(2)假设生长了4年的红松树的树干直径近似服从正态分布.
记事件：在森林公园内再从中随机选取12棵生长了4年的红松树，其树干直径都位于区间.
①用（1）中所求的样本均值与样本方差分别作为正态分布的均值与方差，求；
②护林员在做数据统计时，得出了如下结论：生长了4年的红松树的树干直径近似服从正态分布.在这个条件下，求，并判断护林员的结论是否正确，说明理由.
参考公式：若，
则.
参考数据：.
【变式2】（2024下·全国·高二随堂练习）2023年中秋国庆双节期间，我国继续执行高速公路免费政策.交通部门为掌握双节期间车辆出行的高峰情况，在某高速公路收费点记录了10月1日上午这一时间段内通过的车辆数，统计发现这一时间段内共有1000辆车通过该收费点，为方便统计，时间段记作区间，记作，记作，记作，对通过该收费点的车辆数进行初步处理，已知，时间段内的车辆数的频数如下表：
时间段
频数 100 300 m n
(1)现对数据进一步分析，采用分层随机抽样的方法从这1000辆车中抽取10辆，再从这10辆车中随机抽取4辆，设抽到的4辆车中在9：00~9：40通过的车辆数为，求的分布列与期望；
(2)由大数据分析可知，工作日期间车辆在每天通过该收费点的时刻，其中可用（1）中这1000辆车在之间通过该收费点的时刻的平均值近似代替，可用样本的方差近似代替（同一组中的数据用该组区间的中点值代表），已知某天共有800辆车通过该收费点，估计在之间通过的车辆数（结果四舍五入保留到整数）.
参考数据：若，则①；②；③.21世纪教育网(www.21cnjy.com)
第09讲 第七章 随机变量及其分布 章末题型大总结
题型01相互独立事件与互斥、对立事件
【典例1】（2023上·四川凉山·高二校联考期末）一个盒子中装有标号为1，2，3，4的4张号签，从中随机地选取两张号签，事件“取到标号为1和3的号签”，事件“两张号签标号之和为5”，则下列说法正确的是（ ）
A．与互斥 B．与独立 C．与对立 D．
【答案】A
【详解】根据题意，选取两张号签用表示一次实验结果，
则随机试验结果的样本空间，
，.
对A，，所以与互斥，故A选项正确；
对B，，，，所以，与不独立，故B选项错误；
对C，，，所以与不对立，故C选项错误；
对D，，故D选项错误.
故选：A.
【典例2】（2023上·江苏常州·高二常州高级中学校考开学考试）同时掷红、蓝两枚质地均匀的骰子，事件A表示“两枚骰子的点数之和为5”，事件B表示“红色骰子的点数是偶数”，事件C表示“两枚骰子的点数相同”，事件D表示“至少一枚骰子的点数是奇数”. 则下列说法中正确的是（ ）
①A与C互斥 ②B与D对立 ③A与D相互独立 ④B与C相互独立
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【答案】B
【详解】①；因为两枚骰子的点数相同，所以两枚骰子的点数之和不能为5，
所以A与C互斥 ，因此本序号说法正确；
②：当红色骰子的点数是偶数，蓝色骰子的点数是奇数时，B与D同时发生，
因此这两个事件同时发生，所以本序号说法不正确；
③：，
显然，所以A与D不相互独立，所以本序号说法不正确；
④：，
显然，所以B与C相互独立，所以本序号说法正确，
故选：B
【典例3】（多选）（2023上·福建泉州·高二福建省德化第一中学校考阶段练习）同时掷红、蓝两枚质地均匀的骰子，事件A表示“两枚骰子的点数之和为5”，事件B表示“红色骰子的点数是偶数”，事件C表示“两枚骰子的点数相同”，事件D表示“至少一枚骰子的点数是奇数”.则下列说法中正确的是（ ）
A．A与C互斥 B．B与D对立
C．A与D相互独立 D．B与C相互独立
【答案】AD
【详解】解：对于选项A，因为两枚骰子的点数相同，所以两枚骰子的点数之和不能为5，
所以A与C互斥，故A正确；
对于选项B，当红色骰子的点数为偶数，蓝色骰子的点数为奇数时，B与D同时发生，
因此这两个事件不对立，故B错误；
对于选项C，，，，
显然，所以A与D不相互独立，故C错误；
对于选项D，，，，
显然，所以B与C相互独立，故D正确；
故选：AD.
【典例4】（多选）（2023上·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）有4个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，从中不放回的随机取两次，每次取1个球，事件A表示“第一次取出的球的数字是1”，事件B表示“第二次取出的球的数字是偶数”，事件C表示“两次取出的球的数字之和是偶数”，事件D表示“两次取出的球的数字之和是奇数”，则（ ）
A．A与B互斥 B．C与D对立
C．B与C相互独立 D．B与D相互独立
【答案】BCD
【详解】设采用不放回方式从中任意摸球两次，每次摸出一个球，
全部的基本事件有：，，，，，，，，，
，，共个，
事件发生包含的基本事件有：，，有个，
事件发生包含的基本事件有：，，，，，有个，
事件发生包含的基本事件：，，，有个，
事件发生包含的基本事件：，，，，，，，有个，
显然当出现，时事件、同时发生，故事件与不互斥，故A错误；
事件与不可能同时发生，即事件与互斥，又事件与包含所有的结果，
所以C与D对立，故B正确；
又，，，所以，
所以事件与相互独立，故C正确；
又，，，所以，
所以事件与相互独立，故D正确.
故选：BCD.
【变式1】（2023上·上海·高三上海市行知中学校考期中）存在两个事件A和B，且，，若A与B是两个①事件，则；若A与B是两个②事件，则；其中（ ）
A．（1）互斥（2）独立 B．（1）互斥（2）对立
C．（1）独立（2）互斥 D．（1）对立（2）互斥
【答案】A
【详解】由，仅当时，
所以A与B是两个互斥事件，
由独立事件的判定知：，即A与B是两个独立事件.
故选：A
【变式2】（2022上·广东佛山·高三统考期中）国家于2021年8月20日表决通过了关于修改人口与计划生育法的决定，修改后的人口计生法规定，国家提倡适龄婚育 优生优育，一对夫妻可以生育三个子女，该政策被称为三孩政策.某个家庭积极响应该政策，一共生育了三个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，记事件：该家庭既有男孩又有女孩；事件：该家庭最多有一个男孩；事件：该家庭最多有一个女孩.则下列说法正确的是（ ）
A．事件与事件互斥但不对立 B．事件与事件互斥且对立
C．事件与事件相互独立 D．事件与事件相互独立
【答案】D
【详解】有三个小孩的家庭的样本空间可记为：
={(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}，
事件={(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)}
事件={(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}，
事件={(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)}，
对于A，,且，所以事件B与事件C互斥且对立，故A不正确；
对于B，{(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)}，所以事件与事件不互斥，故B不正确；
对于C，事件有4个样本点，事件有4个样本点，事件有0个样本点，，显然有，即事件与事件不相互独立，故C不正确；
对于D，事件有6个样本点，事件有4个样本点，事件有3个样本点，，显然有，即事件与事件相互独立，故D正确；
故选：D
【变式3】（多选）（2023上·广东·高二校联考阶段练习）抛掷一黄一白两枚质地均匀的骰子，用表示黄色骰子朝上的点数，表示白色骰子朝上的点数，用表示一次试验的结果，该试验的样本空间为，事件 “”，事件“”，事件“”，事件“”则（ ）
A．与互斥 B．与对立
C．与相互独立 D．与相互独立
【答案】BCD
【详解】由题意可知，事件包含的基本事件有：、、、、、、
、、、、、、、、、、
、、、、、、、、、、
、、、，共个基本事件，
事件包含的基本事件有：、、、、、，共个基本事件，
事件包含的基本事件有：、、、、、、、
、、、、、、、、、、
，共个基本事件，
事件包含的基本事件有：、、、、、，共个基本事件，
所有的基本事件共个.
对于A选项，，
所以，与不互斥，A错；
对于B选项，由上可知，与对立，B对；
对于C选项，事件包含的基本事件有：、、，共个基本事件，
则，
又因为，，所以，，
故与相互独立，C对；
对于D选项，因为，则，
故与相互独立，D对.
故选：BCD.
【变式4】（多选）（2023下·河北承德·高一统考期末）抛掷一黄一白两枚质地均匀的骰子，用a表示黄色骰子朝上的点数，用b表示白色骰子朝上的点数，用表示一次试验的结果，该试验的样本空间为，记事件“关于的方程无实根”，事件”，事件“”，事件“20”，则（ ）
A．与互斥 B．与对立
C．与相互独立 D．与相互独立
【答案】BCD
【详解】由题意得，
，，
包含36个样本点.
由，得，
所以，，，，共包含30个样本点，，，共包含6个样本点，与不互斥，故选项错误；
又，，
共包含18个样本点，，共包含6个样本点，所以与对立，故选项B正确；
选项C，因为，
所以，故与相互独立，故选项C正确；
选项D，因为，所以，故与相互独立，故选项正确.
故选：BCD.
题型02离散型随机变量的均值与方差的性质
【典例1】（2024·全国·高三专题练习）已知的分布列如下表所示，设，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由分布列可得，
所以，，
又因为，则.
故选：A.
【典例2】（2024·全国·高二假期作业）设随机变量，随机变量，若，则（ ）
A．2 B．3
C．6 D．7
【答案】C
【详解】由题意得
，
所以（舍去），则，故，
则．
故选：C．
【典例3】（2024·全国·高三专题练习）若数据的平均数为，方差为，则的平均数和方差分别为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由期望、方差的性质知：，.
故选：C
【变式1】（2024·全国·高二假期作业）若离散型随机变量的标准差，则随机变量的标准差为（ ）
A．8 B．15
C．16 D．32
【答案】C
【详解】.
故选：C
【变式2】（2024·全国·高三专题练习）若随机变量服从两点分布，其中，分别为随机变量的均值与方差，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】随机变量服从两点分布，其中，，
，
，
在A中，，故A正确；
在B中，，故B正确；
在C中，，故C错误；
在D中，，故D正确.
故选：C.
【变式3】（2024·全国·高二假期作业）设随机变量满足为非零常数)，若，则 ， ．
【答案】
【详解】设随机变量满足为非零常数)，
因为，则，所以，
又因为，所以.
故答案为：；.
题型03离散型随机变量的均值与方差
【典例1】（2024·吉林白山·统考一模）俗话说：“人配衣服，马配鞍”．合理的穿搭会让人舒适感十足，给人以赏心悦目的感觉．张老师准备参加某大型活动，他选择服装搭配的颜色规则如下：将一枚骰子连续投掷两次，两次的点数之和为3的倍数，则称为“完美投掷”，出现“完美投掷”，则记；若掷出的点数之和不是3的倍数，则称为“不完美投掷”，出现“不完美投掷”，则记；若，则当天穿深色，否则穿浅色．每种颜色的衣物包括西装和休闲装，若张老师选择了深色，再选西装的可能性为，而选择了浅色后，再选西装的可能性为．
(1)求出随机变量的分布列，并求出期望及方差；
(2)求张老师当天穿西装的概率．
【答案】(1)分布列见解析；，
(2)
【详解】（1）将一枚骰子连续投掷两次共有基本事件种，
掷出的点数之和是3的倍数有：
，12种；
则掷出的点数之和不是3的倍数有24种，
随机变量的取值为0，1，
，
所以的分布列为：
0 1
．
；
（2）设表示深色，则表示穿浅色，表示穿西装，则表示穿休闲装．
根据题意，穿深色衣物的概率为，则穿浅色衣物的概率为，
穿深色西装的概率为，穿浅色西装的概率为，
则当天穿西装的概率为．
所以张老师当天穿西装的概率为．
【典例2】（2024·全国·高三专题练习）甲 乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投篮；已知每次投篮甲.乙命中的概率分别为，.
(1)求第三次由乙投篮的概率；
(2)在前3次投篮中，乙投篮的次数为，求的分布列；
(3)求的期望及标准差.
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)，
【详解】（1）因为第三次由乙投篮包括第一次甲命中第二次甲未命中和第一次甲未命中第二次乙命中，
所以;
（2）由题意，可取0，1，2.
P(ξ＝0)＝；P(ξ＝1)＝；P(ξ＝2)＝.
故ξ的分布列为：
ξ 0 1 2
P
（3）由（2）有E(ξ)＝，
D(ξ)＝，所以.
【典例3】（2023下·高二校考单元测试）气象部门提供了某地区今年六月份（30天）的日最高气温的统计表如下：
日最高气温t（单位：℃）
天数 6 12 Y Z
由于工作疏忽，统计表被墨水污染，Y和Z数据不清楚，但气象部门提供的资料显示，六月份的日最高气温不高于32℃的频率为0.9．
某水果商根据多年的销售经验，六月份的日最高气温t（单位：℃）对西瓜的销售影响如下表：
日最高气温t（单位：℃）
日销售额X（千元） 2 5 6 8
(1)求Y，Z的值；
(2)若视频率为概率，求六月份西瓜日销售额的期望和方差；
(3)在日最高气温不高于32℃时，求日销售额不低于5千元的概率．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由题意，，
∴，
∴；
（2）由题意可取，
，
，
六月份西瓜日销售额的分布列为
X 2 5 6 8
P 0.2 0.4 0.3 0.1
∴，
；
（3）日最高气温不高于32℃共有天，
其中日销售额不低于5千元共有天，
则在日最高气温不高于32℃时，求日销售额不低于5千元的概率为．
【变式1】（2024·全国·高三专题练习）某短视频软件经过几年的快速发展，深受人们的喜爱，该软件除了有娱乐属性外，也可通过平台推送广告．某公司为了宣传新产品，现有以下两种宣传方案：
方案一：投放该平台广告，据市场调研，其收益X分别为0元，20万元，40万元，且，期望．
方案二：投放传统广告，据市场调研，其收益Y分别为10万元，20万元，30万元，其概率依次为．
(1)请写出方案一的分布列，并求方差；
(2)请你根据所学的统计知识给出建议，该公司宣传应该投放哪种广告？并说明你的理由．
【答案】(1)分布列见解析，方差为180
(2)答案见解析，理由见解析
【详解】（1）设，，
依题意得①，又②，
由①②解得：，．
∴X的分布列为
X 0 20 40
P 0.1 0.3 0.6
则．
（2）由题得Y的分布列为
Y 10 20 30
P 0.3 0.4 0.3
则，
．
由可知采用平台广告投放期望收益较大，又，说明平台广告投放的风险较高．
综上所述，如果公司期望高收益，选择平台广告；如果公司期望收益稳定，选择传统广告．
【变式2】（2023上·辽宁沈阳·高三辽宁实验中学校考阶段练习）甲乙两人进行一场乒乓球比赛.已知每局甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为0.4，甲乙约定比赛采取“3局2胜制”.
(1)求这场比赛甲获胜的概率；
(2)这场比赛甲所胜局数的数学期望（保留两位有效数字）；
(3)根据（2）的结论，计算这场比赛甲所胜局数的方差.
【答案】(1)0.648
(2)1.5
(3)0.57
【详解】（1）甲胜利的情况有：胜胜；败胜胜；胜败胜.
甲胜概率为：.
则甲胜利的概率为.
（2）设甲所胜的局数为，.
，，
，
则分布列为：
0 1 2
0.16 0.192 0.648
所以.
（3）.
【变式3】（2023下·山东临沂·高二统考期中）甲、乙两种品牌手表，它们的日走时误差分别为X和Y（单位：s），其分布列为
甲品牌的走时误差分布列
X 0 1
P 0.1 0.8 0.1
乙品牌的走时误差分布列
Y 0 1 2
P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1
(1)求和；
(2)求和，并比较两种品牌手表的性能．
【答案】(1)，．
(2)，，甲种品牌手表的性能要好
【详解】（1），
．
（2），
，
因为，，
所以仅考虑误差，甲种品牌手表的性能要好
题型04二项分布
【典例1】（2024上·广东广州·高二华南师大附中校考期末）泊松分布的概率分布列为，其中为自然对数的底数，是泊松分布的均值．若随机变量服从二项分布，当很大且很小时，二项分布近似于泊松分布，其中，即，．现已知某种元件的次品率为0.01，抽检100个该种元件，则次品率小于的概率约为（参考数据：）（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】依题意， ，，泊松分布可作为二项分布的近似，
此时，则，
于是, ,，
所以次品率小于的概率约为.
故选：C
【典例2】（2024·全国·高三专题练习）某同学参加学校数学知识竞赛，规定每个同学答20道题，已知该同学每道题答对的概率为0.6，每道题答对与否相互独立．若答对一题得3分，答错一题扣1分，则该同学总得分的数学期望为 ，方差为 ．
【答案】 28 76.8
【详解】设该同学答对题目的数量为，因为该同学每道题答对的概率为，共答道题，
所以，所以，．
设该同学总得分为，则，，．
故答案为：；.
【典例3】（2024上·甘肃武威·高三统考期末）某单位招聘会设置了笔试、面试两个环节，先笔试后面试.笔试设有三门测试，三门测试相互独立，三门测试至少两门通过即通过笔试，通过笔试后进入面试环节，若不通过，则不予录用.面试只有一次机会，通过后即被录用.已知每一门测试通过的概率均为，面试通过的概率为.
(1)求甲通过了笔试的条件下，第三门测试没有通过的概率；
(2)已知有100人参加了招聘会，X为被录取的人数，求X的期望.
【答案】(1)
(2)20
【详解】（1）设事件为甲通过了笔试，事件为甲第三门测试没有通过，
则，
，
故甲通过了笔试的条件下，第三门测试没有通过的概率为；
（2）设某人被录取的概率为，
则，
由题可知，
所以.
【典例4】（2024·全国·高三专题练习）部分高校开展基础学科招生改革试点工作（强基计划）的校考由试点高校自主命题，校考过程中达到笔试优秀才能进入面试环节.已知两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否达到优秀相互独立.若某考生报考大学，每门科目达到优秀的概率均为，若该考生报考大学，每门科目达到优秀的概率依次为，，，其中.
(1)若，分别求出该考生报考两所大学在笔试环节恰好有一门科目达到优秀的概率；
(2)强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中达到优秀科目个数的期望为依据作出决策，该考生更有希望进入大学的面试环节，求的范围.
【答案】(1)报考大学恰好有一门笔试科目优秀概率为；报考大学恰好有一门笔试科目优秀概率为
(2)
【详解】（1）设该考生报考大学恰好有一门笔试科目优秀为事件，
则；
该考生报考大学恰好有一门笔试科目优秀为事件，
则.
（2）该考生报考大学达到优秀科目的个数设为，则，；
该考生报考大学达到优秀科目的个数设为，则所有可能的取值为，
；
；
；
；
随机变量的分布列：
；
该考生更有希望进入大学的面试环节，，即，
解得：，的范围为.
【变式1】（多选）（2024上·辽宁抚顺·高二校联考期末）已知，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【详解】由题意得
.
因为函数在上单调递增，且，所以，故A错误；
因为，故BC正确；
所以，
则，故D错误.
故选：BC
【变式2】（2024上·河南·高二校联考期末）一台机器由于使用时间较长，生产的零件有可能会产生次品.设该机器生产零件的尺寸为，且规定尺寸为正品，其余的为次品.现从该机器生产的零件中随机抽取100件做质量分析，作出的频率分布直方图如图.
(1)试估计该机器生产的零件的平均尺寸；
(2)如果将每5件零件打包成一箱，若每生产一件正品可获利30元，每生产一件次品亏损80元.若随机取一箱零件，求这箱零件的期望利润.
【答案】(1)
(2)40元
【详解】（1）生产线生产的产品平均尺寸为：.
（2）次品的尺寸范围，
故生产线生产的产品次品率为.
设生产一箱零件（5件）中的正品数为，正品率为，
故，则.
设生产一箱零件获利为元，
则，
则（元），
所以这箱零件的期望利润为40元.
【变式3】（2024·全国·高三专题练习）某种植户对一块地上的个坑进行播种，每个坑播3粒种子，每粒种子发芽的概率均为，且每粒种子是否发芽相互独立.如果每个坑内至少有两粒种子发芽，则不需要进行补种，否则需要补种.
(1)当n取何值时，有4个坑需要补种的概率最大？最大概率为多少？
(2)当时，用X表示要补种的坑的个数，求X的分布列及数学期望.
【答案】(1)当或时，有4个坑要补种的概率最大，最大概率
(2)分布列见解析，
【详解】（1）由题意可知每个坑要补种的概率，则n个坑中有4个坑要补种的概率为.
欲使最大，只需
解得.因为，所以.
当时，，当时，，
所以当或时，有4个坑要补种的概率最大，最大概率.
（2）易知X的取值范围为，且，则
,，
,，
,,
所以X的分布列为:
X 0 1 2 3 4 5
P
.
【变式4】（2024上·安徽·高三合肥市第八中学校联考开学考试）某公司使用甲、乙两台机器生产芯片，已知每天甲机器生产的芯片占产量的六成，且合格率为；乙机器生产的芯片占产量的四成，且合格率为，已知两台机器生产芯片的质量互不影响. 现对某天生产的芯片进行抽样.
(1)从所有芯片中任意抽取一个，求该芯片是不合格品的概率；
(2)现采用有放回的方法随机抽取3个芯片，记其中由乙机器生产的芯片的数量为，求的分布列以及数学期望.
【答案】(1)0.056
(2)分布列见解析，
【详解】（1）记事件表示芯片来自甲机器生产，事件表示芯片来自乙机器生产，事件表示取到的是合格品；
则
.
（2）由题意得，，
故，
所以的分布列为
0 1 2 3
故.
题型05超几何分布
【典例1】（2024下·全国·高二随堂练习）盒中有10个螺丝钉，其中3个是坏的.现从盒中随机抽取4个，则概率是的事件为（ ）
A．恰有1个是坏的 B．4个全是好的
C．恰有2个是好的 D．至多有2个是坏的
【答案】C
【详解】对于A，事件的概率为；
对于B，事件的概率为；
对于C，事件的概率为；
对于D，事件的概率为.
故选：C.
【典例2】（多选）（2024上·海南省直辖县级单位·高三校考阶段练习）已知随机变量的概率为，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．甲每次射击命中的概率为0.6，甲连续射击10次的命中次数满足此分布列
D．一批产品共有10件，其中6件正品，4件次品，从10件产品中无放回地随机抽取4件，抽到的正品的件数满足此分布列
【答案】ABD
【详解】对于A:，正确;
对于B：
，正确;
对于C：由每次射击相互独立，选项满足二项分布，而题干中X为超几何分布，错误;
对于D：由超几何分布的定义，则正确.
故选：ABD.
【典例3】（2024上·广东潮州·高三统考期末）2023年9月26日晚，位于潮州市南春路的南门古夜市正式开业了，首期共有70个摊位，集聚了潮州各式美食!南门古夜市的开业，推动潮州菜产业发展，是潮州美食产业的又一里程碑．为了解游客对潮州美食的满意度，随机对100名游客进行问卷调查（满分100分），这100名游客的评分分别落在区间，，，，内，统计结果如频率分布直方图所示．
(1)根据频率分布直方图，求这100名游客评分的平均值（同一区间的数据用该区间数据的中点值为代表）；
(2)为了进一步了解游客对潮州美食的评价，采用分层抽样的方法从满意度评分位于分组，，的游客中抽取10人，再从中任选3人进行调查，求抽到满意度评分位于的人数的分布列和数学期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，数学期望为.
【详解】（1）根据频率分布直方图得：
．
（2）由题意可知，和的频率之比为：，
故抽取的10人中，和分别为：2人，4人，4人，
随机变量的取值可以为，
，，
，，
故的分布列为：
0 1 2 3
所以.
【典例4】（2024·全国·高三专题练习）某市教师培训中心对2022年暑假教师培训进行总体评价，有1200名教师参与打分（满分10分），根据所得数据分为，，，，，六个组，绘制出如图所示的频率分布直方图．
(1)求图中的值，并求这1200份打分的平均数（同一组中的数据用该组的中点值作代表）；
(2)若培训中心将在打分中的教师中用分层抽样的方法抽取9人，再从这9人中随机抽取3人进行面谈，记表示打分在的人数，求的分布列和数学期望．
【答案】(1)，
(2)分布列见解析，
【详解】（1）由于各组数据频率之和为1，即，则，
故平均数为：
.
所以图中的值为0.25，这1200份打分的平均数为7.35.
（2）采用分层抽样抽取的9名教师中有3名在内，6名在内，
则的可能取值为0，1，2，3，
则，，
，，
即的分布列为
0 1 2 3
所以．
【变式1】（2024·全国·高二假期作业）一个袋子中100个大小相同的球，其中有40个黄球，60个白球，从中不放回地随机摸出20个球作为样本，用随机变量表示样本中黄球的个数，则服从（ ）
A．二项分布，且 B．两点分布，且
C．超几何分布，且 D．超几何分布，且
【答案】C
【详解】解：由于是不放回地随机摸出20个球作为样本，所以由超几何分布得定义得服从超几何分布，所以.
故选：C
【变式2】（2024·全国·高三专题练习）在一次运动会上，某单位派出了名主力队员和名替队员组成代表队参加比赛.如果随机抽派名队员上场，则主力队员多于替补队员的概率为 .
【答案】
【详解】将主力队员上场的人数记为，
则，，
则所求概率为
.
故答案为：
【变式3】（2024上·广东揭阳·高三统考期末）为增强学生体质，某校高一（1）班组织全班同学参加限时投篮活动，记录他们在规定时间内的进球个数，将所得数据分成，，，，这5组，并得到如下频率分布直方图：
(1)估计全班同学的平均进球个数．（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
(2)现按比例分配的分层随机抽样方法，从进球个数在，，内的同学中抽取8人进行培训，再从中抽取3人做进一步培训．
（ⅰ）记这3人中进球个数在的人数为X，求X的分布列与数学期望；
（ⅱ）已知抽取的这3人的进球个数不全在同一区间，求这3人的进球个数在不同区间的概率．
【答案】(1)
(2)（ⅰ）分布列见解析，；（ⅱ）
【详解】（1）该班同学的平均进球个数:
．
（2）由题意可知进球个数在，，内的频率分别为0.16，0.32，0.16，
频率比为；
所以抽取的8人中，进球个数在，，内的人数分别为2，4，2．
（ⅰ）由题意可知，，1，2，3，
所以，，
，，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以．
（ⅱ）记事件“抽取的3人的进球个数不全在同一区间”，
事件“抽取的这3人的进球个数在不同区间”，
则，，
所以，
即这3个人的进球个数在不同区间的概率为．
【变式4】（2024·全国·高二假期作业）2020年5月28日，十三届全国人大三次会议表决通过了《中华人民共和国民法典》，自2021年1月1日起施行.它被称为“社会生活的百科全书”，是新中国第一部以法典命名的法律，在法律体系中居于基础性地位，也是市场经济的基本法某中学培养学生知法懂法，组织全校学生学习《中华人民共和国民法典》并组织知识竞赛.为了解学习的效果，现从高一，高二两个年级中各随机抽取20名学生的成绩（单位：分），绘制成如图所示的茎叶图：
根据学生的竞赛成绩，将其分为四个等级：
测试成绩（单位：分）
等级 合格 中等 良好 优秀
（1）从样本中任取2名同学的竞赛成绩，在成绩为优秀的情况下，求这2名同学来自同一个年级的概率；
（2）现从样本中成绩为良好的学生中随机抽取3人座谈，记为抽到高二年级的人数，求的分布列，数学期望与方差.
【答案】（1）；（2）分布列答案见解析，，.
【详解】（1）记事件为“从样本中任取2名同学的竞赛成绩为优秀”，事件为“这两个同学来自同一个年级”，则，.
所以在成绩为优秀的情况下，这2个同学来自同一个年级的概率为
.
（2）由题意的可能取值为0，1，2，3.
，，，.
所以的分布列为：
0 1 2 3
数学期望为：
.
题型06正态分布
【典例1】（2024上·河南南阳·高二校联考期末）为了检测自动包装线生产的罐装咖啡，检验员每天从生产线上随机抽取罐咖啡，并测量其质量（单位：）.由于存在各种不可控制的因素，任意抽取的1罐咖啡的质量与标准质量之间存在一定的误差，已知这条包装线在正常状态下，每罐咖啡的质量服从正态分布.假设生产状态正常，记表示每天抽取的罐咖啡中质量在之外的罐数，若的数学期望，则的最小值为（ ）
附：若随机变量服从正态分布，则.
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】B
【详解】因为，所以，
故，
所以，解得，
因为，故的最小值为11.
故选：B.
【典例2】（2024上·河北保定·高三河北省唐县第一中学校考期末）我们将服从二项分布的随机变量称为二项随机变量，服从正态分布的随机变量称为正态随机变量.概率论中有一个重要的结论：若随机变量，当充分大时，二项随机变量可以由正态随机变量来近似地替代，且正态随机变量的期望和方差与二项随机变量的期望和方差相同.法国数学家棣莫弗（1667-1754）在1733年证明了时这个结论是成立的，法国数学家 物理学家拉普拉斯（1749-1827）在1812年证明了这个结论对任意的实数都成立，因此人们把这个结论称为棣莫弗—拉普拉斯极限定理.现抛掷一枚质地均匀的硬币2500次，利用正态分布估算硬币正面向上次数不少于1200次的概率为（ ）
（附：若，则，
A．0.99865 B．0.97725 C．0.84135 D．0.65865
【答案】B
【详解】抛掷一枚质地均匀的硬币2500次，设硬币正面向上的次数为，
则
由题意，且，
因为，即，
所以利用正态分布估算硬币正面向上次数不少于1200次的概率为.
故选：B.
【典例3】（2024·新疆乌鲁木齐·统考一模）在工业生产中轴承的直径服从，购买者要求直径为，不在这个范围的将被拒绝，要使拒绝的概率控制在之内，则至少为 ；（若，则）
【答案】0.1/
【详解】若，则）
因为工业生产中轴承的直径服从，
所以，则，
由，
得，
则要使拒绝的概率控制在之内，则至少为.
故答案为：##
【典例4】（2024上·安徽合肥·高三合肥一中校考期末）我国一科技公司生产的手机前几年的零部件严重依赖进口，2019年某大国对其实施限制性策略，该公司启动零部件国产替代计划，与国内产业链上下游企业开展深度合作，共同推动产业发展．2023年9月该公司最新发布的智能手机零部件本土制造比例达到」90%，以公司与一零部件制造公司合作生产某手机零部件，为提高零部件质量，该公司通过资金扶持与技术扶持，帮助制造公司提高产品质量和竞争力，同时派本公司技术人员进厂指导，并每天随机从生产线上抽取一批零件进行质量检测．下面是某天从生产线上抽取的10个零部件的质量分数（总分1000分，分数越高质量越好）：928、933、945、950、959、967、967、975、982、994．假设该生产线生产的零部件的质量分数X近似服从正态分布，并把这10个样本质量分数的平均数作为的值．
参考数据：若，则．
(1)求的值；
(2)估计该生产线上生产的1000个零部件中，有多少个零部件的质量分数低于940？
(3)若从该生产线上随机抽取n个零件中恰有个零部件的质量分数在内，则n为何值时，的值最大？
【答案】(1)
(2)160
(3)
【详解】（1），
所以．
（2）由（1）知，，
．
该生产线上生产的1000个零部件中，质量分数低于940的个数约为
．
（3）每个零部件的质量分数在内的概率为，
由题意可知，
则，
设（），
则，
令，得，
所以当时，，
令，得，
所以当时，，
所以时，最大，故使最大的n的值为14．
【变式1】（2024上·辽宁抚顺·高二校联考期末）已知随机变量服从正态分布，且，则（ ）
A．0.2 B．0.4 C．0.3 D．0.6
【答案】A
【详解】由题意得，得，
则，所以，
故选:.
【变式2】（2024·全国·高三专题练习）“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究应用与推广，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全，农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高（单位：）服从正态分布，其密度曲线函数为，，则下列说法错误的是（ ）
A．该地水稻的平均株高为
B．该地水稻株高的方差为100
C．随机测量一株水稻，其株高在120cm以上的概率比株高在70cm以下的概率小
D．随机测量一株水稻，其株高在和在（单位：cm）的概率一样大
【答案】C
【详解】依题意，
所以平均数为，方差为，所以AB选项正确.
依题意，
而，即，所以C选项错误.
，所以D选项正确.
故选：C
【变式3】（2024·四川内江·统考一模）某汽车公司最近研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程的测试.现对测试数据进行分析，得到如图所示的频率分布直方图：
根据大量的测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程近似地服从正态分布，用样本平均数和标准差分别作为、的近似值，其中样本标准差的近似值为50，现任取一辆汽车，则它的单次最大续航里程的概率为 .
（参考数据：若随机变量，则，，）
【答案】
【详解】
，
故，
.
故答案为：
【变式4】（2024上·湖南衡阳·高三统考期末）已知某超市销售的袋装食用盐的质量（单位：）服从正态分布，且0.15.某次该超市称量了120袋食用盐，其总质量为的值恰好等于这120袋食用盐每袋的平均质量（单位：）.
(1)若从该超市销售的袋装食用盐中随机选取2袋，设这2袋中质量不小于的袋数为，求的分布列；
(2)若从该超市销售的袋装食用盐中随机选取（为正整数）袋，记质量在的袋数为，求满足的的最大值.
【答案】(1)分布列见解析
(2)199
【详解】（1）依题意可得，
则，
的可能取值为，
，，
所以的分布列为
0 1 2
0.25 0.5 0.25
（2）因为，所以.
依题意可得，
所以.
因为，所以，又为正整数，所以的最大值为199.
题型07正态分布的实际应用
【典例1】（2024上·江苏扬州·高三统考期末）某保险公司有一款保险产品，该产品今年保费为200元/人，赔付金额为5万元/人.假设该保险产品的客户为10000名，每人被赔付的概率均为，记10000名客户中获得赔偿的人数为.
(1)求，并计算该公司今年这一款保险产品利润的期望；
(2)二项分布是离散型的，而正态分布是连续型的，它们是不同的概率分布，但是，随着二项分布的试验次数的增加，二项分布折线图与正态分布曲线几乎一致，所以当试验次数较大时，可以利用正态分布处理二项分布的相关概率计算问题，我们知道若，则，当较大且较小时，我们为了简化计算，常用的值估算的值.
请根据上述信息，求：
①该公司今年这一款保险产品利润为50~100万元的概率；
②该公司今年这一款保险产品亏损的概率.
参考数据：若，则.
【答案】(1)，75万元
(2)①0.683；②0.0015
【详解】（1）由题可知，
则，
记该公司今年这一款保险产品利润为变量，则，
所以万元.
（2）因为，当较大且较小时，，则.
由于较大，，其中，
若该公司今年这一款保险产品利润，则，
；
若该公司今年这一款保险产品利润，则，
.
答：（1），该公司今年这一款保险产品利润的期望为75万元；
（2）①该公司今年这一款保险产品利润为万元的概率为0.683；
②亏损的概率为0.0015.
【典例2】（2024下·全国·高二随堂练习）全面建设社会主义现代化国家，最艰巨最繁重的任务仍然在农村，强国必先强农，农强方能国强．某市为了解当地农村经济情况，随机抽取该地2000户农户家庭年收入x（单位：万元）进行调查，并绘制得到如下图所示的频率分布直方图．
(1)求这2000户农户家庭年收入的样本平均数（同一组的数据用该组区间中点值代表）．
(2)由直方图可认为农户家庭年收入近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，其中.
①估计这2000户农户家庭年收入超过9.52万元（含9.52）的户数？（结果保留整数）
②如果用该地区农户家庭年收入的情况来估计全市农户家庭年收入的情况，现从全市农户家庭中随机抽取4户，即年收入不超过9.52万元的农户家庭数为，求．（结果精确到0.001）
附：①；②若，则，；③．
【答案】(1)8
(2)①317户；②
【详解】（1）解：这2000户农户家庭年收入的样本平均数.
（2）①农户家庭年收入近似服从正态分布.
因为，
所以.
因为，
所以这2000户农户家庭年收入超过9.52万元（含9.52）的户数为317.
②年收入不超过9.52万元的农户家庭数服从二项分布.
所以.
【变式1】（2024上·海南省直辖县级单位·高三校考阶段练习）红松树分布在我国东北的小兴安岭到长白山一带，耐荫性强.在一森林公园内种有一大批红松树，为了研究生长了4年的红松树的生长状况，从中随机选取了12棵生长了4年的红松树，并测量了它们的树干直径（单位：厘米），如下表：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
28.7 27.2 31.5 35.8 24.3 33.5 36.3 26.7 28.9 27.4 25.2 34.5
计算得：.
(1)求这12棵红松树的树干直径的样本均值与样本方差.
(2)假设生长了4年的红松树的树干直径近似服从正态分布.
记事件：在森林公园内再从中随机选取12棵生长了4年的红松树，其树干直径都位于区间.
①用（1）中所求的样本均值与样本方差分别作为正态分布的均值与方差，求；
②护林员在做数据统计时，得出了如下结论：生长了4年的红松树的树干直径近似服从正态分布.在这个条件下，求，并判断护林员的结论是否正确，说明理由.
参考公式：若，
则.
参考数据：.
【答案】(1)，.
(2)①；②，护林员给出的结论是错误的，理由见解析.
【详解】（1）样本均值，
样本方差
.
（2）①由题意可得，树干直径（单位：近似服从正态分布.
在森林公园内再随机选一棵生长了4年的红松树，其树干直径位于区间的概率是，所以.
②若树干直径近似服从正态分布，
在森林公园内再随机选一棵生长了4年的红松树，其树干直径位于区间的概率是，则.
此时事件发生的概率远小于①中根据测量结果得出的概率估计值.
事件是一个小概率事件，但是第一次随机选取的12棵生长了4年的红松树，事件发生了，所以认为护林员给出的结论是错误的.
【变式2】（2024下·全国·高二随堂练习）2023年中秋国庆双节期间，我国继续执行高速公路免费政策.交通部门为掌握双节期间车辆出行的高峰情况，在某高速公路收费点记录了10月1日上午这一时间段内通过的车辆数，统计发现这一时间段内共有1000辆车通过该收费点，为方便统计，时间段记作区间，记作，记作，记作，对通过该收费点的车辆数进行初步处理，已知，时间段内的车辆数的频数如下表：
时间段
频数 100 300 m n
(1)现对数据进一步分析，采用分层随机抽样的方法从这1000辆车中抽取10辆，再从这10辆车中随机抽取4辆，设抽到的4辆车中在9：00~9：40通过的车辆数为，求的分布列与期望；
(2)由大数据分析可知，工作日期间车辆在每天通过该收费点的时刻，其中可用（1）中这1000辆车在之间通过该收费点的时刻的平均值近似代替，可用样本的方差近似代替（同一组中的数据用该组区间的中点值代表），已知某天共有800辆车通过该收费点，估计在之间通过的车辆数（结果四舍五入保留到整数）.
参考数据：若，则①；②；③.
【答案】(1)分布列见解析，期望为
(2)
【详解】（1）因为，，所以，.
由分层随机抽样可知，抽取的10辆车中，在9：00~9：40通过的车辆数位于时间段，这两个区间内的车辆数为，
车辆数的可能取值为0，1，2，3，4，
，，，
，，
所以X的分布列为
所以.
（2）这1000辆车在时间段内通过该收费点的时刻的平均值，即9：04，
，
所以.
估计在这一时间段内通过的车辆数，也就是通过的车辆数，
工作日期间车辆在每天通过该收费点的时刻，
，
所以估计在这一时间段内通过的车辆数为.
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