资源简介

第七章 随机变量及其分布 章节验收测评卷
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（2024·全国·高二假期作业）下表是离散型随机变量的分布列，则常数的值是（ ）
X 3 4 5 9
P
A． B． C． D．
2．（2024·全国·高三专题练习）设随机变量，若，则等于（ ）
A．0.2 B．0.7 C．0.8 D．0.9
3．（2024上·江苏扬州·高三统考期末）一个盒子中装有5个黑球和4个白球，现从中先后无放回的取2个球，记“第一次取得黑球”为事件，“第二次取得白球”为事件，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·全国·高三专题练习）一组数据、、、、的方差为，则、、、、的方差为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．
5．（2024上·河北保定·高三河北省唐县第一中学校考期末）我们将服从二项分布的随机变量称为二项随机变量，服从正态分布的随机变量称为正态随机变量.概率论中有一个重要的结论：若随机变量，当充分大时，二项随机变量可以由正态随机变量来近似地替代，且正态随机变量的期望和方差与二项随机变量的期望和方差相同.法国数学家棣莫弗（1667-1754）在1733年证明了时这个结论是成立的，法国数学家 物理学家拉普拉斯（1749-1827）在1812年证明了这个结论对任意的实数都成立，因此人们把这个结论称为棣莫弗—拉普拉斯极限定理.现抛掷一枚质地均匀的硬币2500次，利用正态分布估算硬币正面向上次数不少于1200次的概率为（ ）
（附：若，则，
A．0.99865 B．0.97725 C．0.84135 D．0.65865
6．（2024上·江西九江·高二统考期末）一袋中有除颜色外完全相同的7个白球和3个红球.现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到白球出现10次时停止.设停止时共取了次球，则（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024上·江西鹰潭·高二统考期末）若甲盒中有2个白球 2个红球 1个黑球，乙盒中有x个白球（） 3个红球 2个黑球，现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，若从甲盒中取出的球和从乙盒中取出的球颜色相同的概率大于等于，则的最大值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
8．（2024·全国·高二假期作业）2021年高考结束后小明与小华两位同学计划去老年公寓参加志愿者活动．小明在如图的街道E处，小华在如图的街道F处，老年公寓位于如图的G处，则下列说法正确的个数是（ ）
①小华到老年公寓选择的最短路径条数为4条
②小明到老年公寓选择的最短路径条数为35条
③小明到老年公寓在选择的最短路径中，与到F处和小华会合一起到老年公寓的概率为
④小明与小华到老年公寓在选择的最短路径中，两人并约定在老年公寓门口汇合，事件A：小明经过F事件B；从F到老年公寓两人的路径没有重叠部分（路口除外），则
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9．（2024·辽宁沈阳·统考一模）下图是离散型随机变量的概率分布直观图，其中，则（ ）

A． B．
C． D．
10．（2024·全国·高三专题练习）设随机变量X的可能取值为1，2，…，n，并且取1，2，…，n是等可能的．若，则下列结论正确的是（ ）．
A． B． C． D．
11．（2024上·山东日照·高三统考期末）数学家棣莫弗发现，如果随机变量服从二项分布，那么当比较大时，近似服从正态分布，其密度函数为.任意正态分布，可通过变换转化为标准正态分布.当时，对任意实数，记，则（ ）
A．
B．当时，
C．随机变量，当减小，增大时，概率保持不变
D．随机变量，当都增大时，概率增大
12．（2023·全国·高三专题练习）已知随机变量，，，，记，其中，，则（ ）
A． B．
C． D．若，则
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.）
13．（2024上·上海宝山·高三上海交大附中校考期末）已知随机变量的分布为，则 .
14．（2024上·江西九江·高二统考期末）某工厂生产一批零件，其直径，现在抽取10000件进行检查，则直径在之间的零件大约有 件.
（注：）
15．（2024下·全国·高二随堂练习）甲、乙两名游客慕名来到四川旅游，准备分别从九寨沟、峨眉山、海螺沟、都江堰、青城山这个景点中随机选一个．事件甲和乙选择的景点不同，事件甲和乙恰好有一人选择九寨沟．则条件概率 ；
16．（2023下·安徽安庆·高二安庆市第十中学校考竞赛）“三门问题”（MontyHallproblem）亦称为蒙提霍尔问题 蒙特霍问题或蒙提霍尔悖论，大致出自八九十年代美国的电视游戏节目Let'sMakeaDeal.问题名字来自该节目的主持人蒙提 霍尔（MontyHall）.参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇的后面有一辆跑车，选中后面有车的那扇门可赢得该跑车，另外两扇门后面则各藏有一只山羊.当参赛者选定了一扇门，但未去开启它的时候，节目主持人开启剩下两扇门的其中一扇，露出其中一只山羊.主持人其后会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门.问题是：换另一扇门是否会增加参赛者赢得跑车的概率.如果严格按照上述的条件，那么答案是 （填“会”或者“不会”）.换门的话，赢得跑车的概率是 .
四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.）
17．（2023下·全国·高三校联考阶段练习）某学校组织了党的二十大知识竞赛（满分100分），随机抽取200份试卷，将得分制成如下表：
分数
频数 20 40 60 60 20
(1)估计这200份试卷得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
(2)用样本估计总体，用频率估计概率.从这200份试卷中按成绩是否低于80分采用分层抽样的方法抽取10份试卷，再从这10份试卷中随机抽取3份试卷，设为抽取的3份试卷中成绩不低于80分的试卷份数，求的分布列与数学期望.
18．（2023下·广东肇庆·高二校考期末）浙江省是第一批新高考改革省份，取消文理分科，变成必考科目和选考科目．其中必考科目是语文、数学、外语，选考科目由考生在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术7个科目中自主选择其中3个科目参加等级性考试．为了调查学生对物理、化学、生物的选考情况，从镇海中学高三在物理、化学、生物三个科目中至少选考一科的学生中随机抽取100名学生进行调查，他们选考物理、化学、生物的科目数及人数统计如表：
选考物理、化学、生物的科目数 1 2 3
人数 20 40 40
(1)从这100名学生中任选2名，求他们选考物理、化学、生物科目数相等的概率；
(2)从这100名学生中任选2名，记X表示这2名学生选考物理、化学、生物的科目数之差的绝对值，求随机变量X的数学期望；
19．（2023·全国·模拟预测）大气污染是指大气中污染物质的浓度达到有害程度，以至破坏生态系统和人类正常生存和发展的条件，对人和物造成危害的现象．某环境保护社团组织“大气污染的危害以及防治措施”讲座，并在讲座后对参会人员就讲座内容进行知识测试，从中随机抽取了100份试卷，将这100份试卷的成绩（单位：分，满分100分）整理得如下频率分布直方图（同一组中的数据以该组区间的中点值为代表）．

(1)根据频率分布直方图确定的值，再求出这100份样本试卷成绩的众数和75%分位数（精确到0.1）；
(2)根据频率分布直方图可认为此次测试的成绩近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差，约为6.75．用样本估计总体，假设有84.14%的参会人员的测试成绩不低于测试前预估的平均成绩，求测试前预估的平均成绩大约为多少分（精确到0.1）
参考数据：若，则，，．
20．（2023上·海南·高三海南中学校考阶段练习）某健身馆为预估2024年2月份客户投入的健身消费金额，随机抽样统计了2024年1月份100名客户的消费金额，分组如下：，，，…，（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图：
(1)请用抽样的数据预估2024年2月份健身客户人均消费的金额（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
(2)若消费金额不少于800元的客户称为健身卫士，不少于1000元的客户称为健身达人．现利用分层随机抽样的方法从健身卫士中抽取6人，再从这6人中抽取2人做进一步调查，求抽到的2人中至少1人为健身达人的概率；
(3)为吸引顾客，在健身项目之外，该健身馆特推出健身配套营养品的销售，现有两种促销方案．
方案一：每满800元可立减100元；
方案二：金额超过800元可抽奖三次，每次中奖的概率为，且每次抽奖互不影响，中奖1次打9折，中奖2次打8折，中奖3次打7折．
若某人打算购买1000元的营养品，请您帮他分析应该选择哪种促销方案．
21．（2023上·内蒙古呼伦贝尔·高二海拉尔第二中学校考期末）我校高二年级决定从2024年起实现新的奖励评审方案，方案起草后，为了了解学生对新方案的满意度，决定采取如下“随机化回答技术”进行问卷调查：每名学生抛掷一枚质地均匀的股子，连续抛掷两次.约定“如果两次的点数恰好有一次的点数能被3整除，则按方式I回答问卷，否则按方式II回答问卷”
方式I：若第一次点数能被3整除，则在问卷中画“△”，否则画“×”
方式II：若你对奖励评审方案满意，则在问卷中画“△”，否则画“×”.
当所有学生完成问卷调查后，统计画△，画×的比例.用频率估计概率，由所学概率知识即可求得学生对新奖励评审方案的满意度的估计值.其中满意度=（满意的学生数/学生总数）.
(1)若高二年级-共有900名学生，用X表示其中用方式1回答问卷的人数，求X的数学期望；
(2)若高二年级的调查问卷中，画△与画×的人数的比例为5：4，试估计学生对新的奖励评审方案的满意度.
22．（2023·湖南永州·统考二模）在某网络平台组织的禁毒知识挑战赛中，挑战赛规则如下：每局回答3道题，若回答正确的次数不低于2次，该局得3分，否则得1分，每次回答的结果相互独立．已知甲、乙两人参加挑战赛，两人答对每道题的概率均为．
(1)若甲参加了3局禁毒知识挑战赛，设甲得分为随机变量，求的分布列与期望；
(2)若甲参加了局禁毒知识挑战赛，乙参加了局禁毒知识挑战赛，记甲在禁毒知识挑战赛中获得的总分大于的概率为，乙在禁毒知识挑战赛中获得的总分大于的概率为，证明：．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
第七章 随机变量及其分布 章节验收测评卷
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（2024·全国·高二假期作业）下表是离散型随机变量的分布列，则常数的值是（ ）
X 3 4 5 9
P
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意可得：，解得.
故选：C.
2．（2024·全国·高三专题练习）设随机变量，若，则等于（ ）
A．0.2 B．0.7 C．0.8 D．0.9
【答案】A
【详解】由题意知，正态曲线的对称轴为，与关于对称，
所以．
所以．
故选：A．
3．（2024上·江苏扬州·高三统考期末）一个盒子中装有5个黑球和4个白球，现从中先后无放回的取2个球，记“第一次取得黑球”为事件，“第二次取得白球”为事件，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】，，
．
故选：A.
4．（2024·全国·高三专题练习）一组数据、、、、的方差为，则、、、、的方差为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．
【答案】A
【详解】设原数据随机变量为X，根据题可知原数据方差，
则新数据随机变量可表示为，根据方差公式可知.
故选：A.
5．（2024上·河北保定·高三河北省唐县第一中学校考期末）我们将服从二项分布的随机变量称为二项随机变量，服从正态分布的随机变量称为正态随机变量.概率论中有一个重要的结论：若随机变量，当充分大时，二项随机变量可以由正态随机变量来近似地替代，且正态随机变量的期望和方差与二项随机变量的期望和方差相同.法国数学家棣莫弗（1667-1754）在1733年证明了时这个结论是成立的，法国数学家 物理学家拉普拉斯（1749-1827）在1812年证明了这个结论对任意的实数都成立，因此人们把这个结论称为棣莫弗—拉普拉斯极限定理.现抛掷一枚质地均匀的硬币2500次，利用正态分布估算硬币正面向上次数不少于1200次的概率为（ ）
（附：若，则，
A．0.99865 B．0.97725 C．0.84135 D．0.65865
【答案】B
【详解】抛掷一枚质地均匀的硬币2500次，设硬币正面向上的次数为，
则.
由题意，且，
因为，即，
所以利用正态分布估算硬币正面向上次数不少于1200次的概率为.
故选：B.
6．（2024上·江西九江·高二统考期末）一袋中有除颜色外完全相同的7个白球和3个红球.现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到白球出现10次时停止.设停止时共取了次球，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】由题知第12次必须取到白球，所以在前面11次取球中取到2次红球，
所以，
故选：C.
7．（2024上·江西鹰潭·高二统考期末）若甲盒中有2个白球 2个红球 1个黑球，乙盒中有x个白球（） 3个红球 2个黑球，现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，若从甲盒中取出的球和从乙盒中取出的球颜色相同的概率大于等于，则的最大值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【详解】设第一次从甲盒取出白球，红球，黑球的事件分别为，，，
从甲盒中取出的球和从乙盒中取出的球颜色相同的事件为，
则
，
解得，则的最大值为6．
故选：C.
8．（2024·全国·高二假期作业）2021年高考结束后小明与小华两位同学计划去老年公寓参加志愿者活动．小明在如图的街道E处，小华在如图的街道F处，老年公寓位于如图的G处，则下列说法正确的个数是（ ）
①小华到老年公寓选择的最短路径条数为4条
②小明到老年公寓选择的最短路径条数为35条
③小明到老年公寓在选择的最短路径中，与到F处和小华会合一起到老年公寓的概率为
④小明与小华到老年公寓在选择的最短路径中，两人并约定在老年公寓门口汇合，事件A：小明经过F事件B；从F到老年公寓两人的路径没有重叠部分（路口除外），则
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【详解】由图知，要使小华、小明到老年公寓的路径最短，则只能向上、向右移动，而不能向下、向左移动，
对于①，小华到老年公寓需要向上1格，向右2格，即小华共走3步其中1步向上，
所以最短路径条数为条，错误；
对于②，小明到老年公寓需要向上3格，向右4格，即小明共走7步其中3步向上，最短路径条数为条，正确；
对于③，小明到的最短路径走法有条，再从F处和小华一起到老年公寓的路径最短有3条，而小明到老年公寓共有条，
所以到F处和小华会合一起到老年公寓的概率为，正确；
对于④，由题意知：事件的走法有18条即，事件的概率，
所以，错误.
故说法正确的个数是2.
故选：B.
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9．（2024·辽宁沈阳·统考一模）下图是离散型随机变量的概率分布直观图，其中，则（ ）

A． B．
C． D．
【答案】ABC
【详解】由题知解得，A选项正确；
所以，B选项正确；
，C选项正确；
，D选项错误.
故选：ABC.
10．（2024·全国·高三专题练习）设随机变量X的可能取值为1，2，…，n，并且取1，2，…，n是等可能的．若，则下列结论正确的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】AC
【详解】由题意知，
则，解得，
可得，，．
故选：AC．
11．（2024上·山东日照·高三统考期末）数学家棣莫弗发现，如果随机变量服从二项分布，那么当比较大时，近似服从正态分布，其密度函数为.任意正态分布，可通过变换转化为标准正态分布.当时，对任意实数，记，则（ ）
A．
B．当时，
C．随机变量，当减小，增大时，概率保持不变
D．随机变量，当都增大时，概率增大
【答案】BC
【详解】对于A，根据正态曲线的对称性可得：，即，故A不正确；
对于B, 当时，，故B正确；
对于C，D，根据正态分布的准则，在正态分布中代表标准差，代表均值,
即为图象的对称轴，根据原则可知数值分布在的概率是常数，
故由可知，C正确，D错误，
故选：BC
12．（2023·全国·高三专题练习）已知随机变量，，，，记，其中，，则（ ）
A． B．
C． D．若，则
【答案】ABD
【详解】对于A，∵，∴A正确；对于B，∵，∴B正确；对于C，当时，，∴C错误；对于D，若，则，又∵，∴不是整数，∴根据二项分布中概率最大值理论可知：当时，对应概率最大，即最大，从而成立，∴D正确.
综上，选ABD.
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.）
13．（2024上·上海宝山·高三上海交大附中校考期末）已知随机变量的分布为，则 .
【答案】7.64
【详解】由题意可得,
所以,
故答案为：7.64
14．（2024上·江西九江·高二统考期末）某工厂生产一批零件，其直径，现在抽取10000件进行检查，则直径在之间的零件大约有 件.
（注：）
【答案】
【详解】满足正态分布，
，
直径在之间的零件大约有件.
故答案为：
15．（2024下·全国·高二随堂练习）甲、乙两名游客慕名来到四川旅游，准备分别从九寨沟、峨眉山、海螺沟、都江堰、青城山这个景点中随机选一个．事件甲和乙选择的景点不同，事件甲和乙恰好有一人选择九寨沟．则条件概率 ；
【答案】/
【详解】甲、乙两名游客慕名来到四川旅游，准备分别从九寨沟、峨眉山、海螺沟、都江堰、青城山这个景点中随机选一个．
事件甲和乙选择的景点不同，则，
事件甲和乙恰好有一人选择九寨沟，
则事件甲和乙中一人选九寨沟，另一人选峨眉山、海螺沟、都江堰、青城山中的一个景点，
所以，，
由条件概率公式可得.
故答案为：.
16．（2023下·安徽安庆·高二安庆市第十中学校考竞赛）“三门问题”（MontyHallproblem）亦称为蒙提霍尔问题 蒙特霍问题或蒙提霍尔悖论，大致出自八九十年代美国的电视游戏节目Let'sMakeaDeal.问题名字来自该节目的主持人蒙提 霍尔（MontyHall）.参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇的后面有一辆跑车，选中后面有车的那扇门可赢得该跑车，另外两扇门后面则各藏有一只山羊.当参赛者选定了一扇门，但未去开启它的时候，节目主持人开启剩下两扇门的其中一扇，露出其中一只山羊.主持人其后会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门.问题是：换另一扇门是否会增加参赛者赢得跑车的概率.如果严格按照上述的条件，那么答案是 （填“会”或者“不会”）.换门的话，赢得跑车的概率是 .
【答案】 会
【详解】设三扇门为，假设我们已经选了门，主持人打开了门，
若车在，则打开的概率是，
若车在，则打开的概率为1，
被打开可能是在以车在的前提下以概率随机选择的（情况1），
也可能是以车在为前提以1的概率打开的（情况2），
虽然我不知道究竟是哪种情况，但是情况2使被打开的可能性更大，
所以以被打开作为已知信息，可以推出已发生情况2的概率更大，
所以换另一扇门会增加参赛者赢得跑车的概率，
用概率论公式来分析，我们得到：
车在门的概率为：，
车在门的概率为：.
故答案为：会；.
四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.）
17．（2023下·全国·高三校联考阶段练习）某学校组织了党的二十大知识竞赛（满分100分），随机抽取200份试卷，将得分制成如下表：
分数
频数 20 40 60 60 20
(1)估计这200份试卷得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
(2)用样本估计总体，用频率估计概率.从这200份试卷中按成绩是否低于80分采用分层抽样的方法抽取10份试卷，再从这10份试卷中随机抽取3份试卷，设为抽取的3份试卷中成绩不低于80分的试卷份数，求的分布列与数学期望.
【答案】(1)76
(2)分布列见解析，
【详解】（1）这200份试卷成绩的平均值估计为
.
（2）这200份试卷中按成绩低于80分的有120份试卷，不低于80分的有80份试卷，
因此抽取10份试卷中成绩低于80分的有6份试卷，不低于80分的有4份试卷.
的可能取值为.
所以的分布列为
0 1 2 3
所以.
18．（2023下·广东肇庆·高二校考期末）浙江省是第一批新高考改革省份，取消文理分科，变成必考科目和选考科目．其中必考科目是语文、数学、外语，选考科目由考生在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术7个科目中自主选择其中3个科目参加等级性考试．为了调查学生对物理、化学、生物的选考情况，从镇海中学高三在物理、化学、生物三个科目中至少选考一科的学生中随机抽取100名学生进行调查，他们选考物理、化学、生物的科目数及人数统计如表：
选考物理、化学、生物的科目数 1 2 3
人数 20 40 40
(1)从这100名学生中任选2名，求他们选考物理、化学、生物科目数相等的概率；
(2)从这100名学生中任选2名，记X表示这2名学生选考物理、化学、生物的科目数之差的绝对值，求随机变量X的数学期望；
【答案】(1)
(2)答案见解析
【详解】（1）记“所选取的2名学生选考物理、化学、生物科目数量相等”为事件A，
则两人选考科目数量为1的情况数为，数目为2的情况数为，数目为3的情况数有，
则.
（2）由题意可知X的可能取值分别为0，1，2．
当X为0时，对应概率为（1）中所求概率，；
当X为1时，一人选考科目数为1，另一人选考科目数为2或一人选考科目数为2，另一人选考科目数为3，
；
当X为2时，一人选考科目数为1，另一人选考科目数为3，．
则分布列如图所示：
X 0 1 2
P
故X的期望为．
19．（2023·全国·模拟预测）大气污染是指大气中污染物质的浓度达到有害程度，以至破坏生态系统和人类正常生存和发展的条件，对人和物造成危害的现象．某环境保护社团组织“大气污染的危害以及防治措施”讲座，并在讲座后对参会人员就讲座内容进行知识测试，从中随机抽取了100份试卷，将这100份试卷的成绩（单位：分，满分100分）整理得如下频率分布直方图（同一组中的数据以该组区间的中点值为代表）．

(1)根据频率分布直方图确定的值，再求出这100份样本试卷成绩的众数和75%分位数（精确到0.1）；
(2)根据频率分布直方图可认为此次测试的成绩近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差，约为6.75．用样本估计总体，假设有84.14%的参会人员的测试成绩不低于测试前预估的平均成绩，求测试前预估的平均成绩大约为多少分（精确到0.1）
参考数据：若，则，，．
【答案】(1)0.048；众数是，分位数是
(2)分
【详解】（1）根据频率分布直方图，可得：
，解得，
这组数据的众数为，
由，
则这100份样本试卷成绩的75%分位数是.
（2）由，
所以，
因为，
所以，
所以测试前预估的平均成绩大约为分．
20．（2023上·海南·高三海南中学校考阶段练习）某健身馆为预估2024年2月份客户投入的健身消费金额，随机抽样统计了2024年1月份100名客户的消费金额，分组如下：，，，…，（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图：
(1)请用抽样的数据预估2024年2月份健身客户人均消费的金额（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
(2)若消费金额不少于800元的客户称为健身卫士，不少于1000元的客户称为健身达人．现利用分层随机抽样的方法从健身卫士中抽取6人，再从这6人中抽取2人做进一步调查，求抽到的2人中至少1人为健身达人的概率；
(3)为吸引顾客，在健身项目之外，该健身馆特推出健身配套营养品的销售，现有两种促销方案．
方案一：每满800元可立减100元；
方案二：金额超过800元可抽奖三次，每次中奖的概率为，且每次抽奖互不影响，中奖1次打9折，中奖2次打8折，中奖3次打7折．
若某人打算购买1000元的营养品，请您帮他分析应该选择哪种促销方案．
【答案】(1)元
(2)
(3)应选择第二种促销方案
【详解】（1）因为样本数据的平均数为：
，
所以预估2024年2月份健身客户人均消费的金额为元.
（2）健身卫士中健身达人所占比例为，
所以抽取的人中健身达人有人，
记“抽到的2人中至少1人为健身达人”为事件，
所以.
（3）若选方案一，只需付款元；
若选方案二，设付款金额为元，则可取，
且，
，
，
，
所以元，
因为，
所以应选择第二种促销方案.
21．（2023上·内蒙古呼伦贝尔·高二海拉尔第二中学校考期末）我校高二年级决定从2024年起实现新的奖励评审方案，方案起草后，为了了解学生对新方案的满意度，决定采取如下“随机化回答技术”进行问卷调查：每名学生抛掷一枚质地均匀的股子，连续抛掷两次.约定“如果两次的点数恰好有一次的点数能被3整除，则按方式I回答问卷，否则按方式II回答问卷”
方式I：若第一次点数能被3整除，则在问卷中画“△”，否则画“×”
方式II：若你对奖励评审方案满意，则在问卷中画“△”，否则画“×”.
当所有学生完成问卷调查后，统计画△，画×的比例.用频率估计概率，由所学概率知识即可求得学生对新奖励评审方案的满意度的估计值.其中满意度=（满意的学生数/学生总数）.
(1)若高二年级-共有900名学生，用X表示其中用方式1回答问卷的人数，求X的数学期望；
(2)若高二年级的调查问卷中，画△与画×的人数的比例为5：4，试估计学生对新的奖励评审方案的满意度.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）先后抛掷两枚骰子，出现的点数情形共有：，，，，，，
，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共36种，
其中两次的点数恰好有一次的点数能被3整除的情形有：，，，，，，，，，，，，，，，，
共16种，故其概率为.
由题意可得：该高二年级900名学生中按方式I回答问卷的人数，
所以的数学期望；
（2）记事件为“按方式I回答问卷”，事件为“按方式II回答问卷”，事件为“在问卷中画△”.
由（1）知，，，，
则.
由全概率公式，得，
所以，所以.
故由调查问卷估计，该中学高二年级学生对新的奖励评审方案的满意度估计值是.
22．（2023·湖南永州·统考二模）在某网络平台组织的禁毒知识挑战赛中，挑战赛规则如下：每局回答3道题，若回答正确的次数不低于2次，该局得3分，否则得1分，每次回答的结果相互独立．已知甲、乙两人参加挑战赛，两人答对每道题的概率均为．
(1)若甲参加了3局禁毒知识挑战赛，设甲得分为随机变量，求的分布列与期望；
(2)若甲参加了局禁毒知识挑战赛，乙参加了局禁毒知识挑战赛，记甲在禁毒知识挑战赛中获得的总分大于的概率为，乙在禁毒知识挑战赛中获得的总分大于的概率为，证明：．
【答案】(1)分布列见解析；6
(2)证明见解析
【详解】（1）依题意可得，随机变量，
设甲、乙在一局比赛中得3分的概率为P，则，
则，
，
故X的分布列为：
X 3 5 7 9
P
故；
（2）证明：设在甲参加了的局禁毒知识挑战赛中，获胜局数为Y，
则所获总分为，若，则，
则，因为，
故，同理可得,
则
，
故.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑