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第03讲 7.2 离散型随机变量及其分布列
课程标准 学习目标
1.通过具体案例，了解离散型随机变量的 概念，理解随机变量的分布列及其性质。 2.通过具体案例，了解两点分布的概念及 特点。 3.会求离散型随机变量的分布列及两点 分布列的相关量。 通过本节课的学习，要求会求简单应用问题中的离散型随机变量的分布列，能应用分布列的相关性质求问题中的相关量，会应用两点分布的特点解决与两点分布有关的问题
知识点01：离散型随机变量
（1）随机变量的定义
一般地，对于随机试验样本空间中的每个样本点都有唯一的实数与之对应，我们称为随机变量．
表示：用大写英文字母表示随机变量，如，，；用小写英文字母表示随机变量的取值，如，，．
特征：随机试验中，每个样本点都有唯一的一个实数与之对应，随机变量有如下特征：
①取值依赖于样本点．
②所有可能取值是明确的．
（2）随机变量与函数的关系
共同点：随机变量和函数都是一种映射
区别: 随机变量把试验的结果映为实数，函数把实数映为实数
联系：试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当与函数的值域；
注意：所有随机变量的取值范围的集合叫做随机变量的值域.
（3）离散型随机变量的定义
对于随机变量可能取的值，如果可以一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．
离散型随机变量的特征：
①可用数值表示；
②试验之前可以判断其可能出现的所有值；
③试验之前不能确定取何值；
④试验结果能一一列出；
⑤本章研究的离散型随机变量只取有限个值
（4）连续型随机变量的定义
随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的随机变量叫做连续型随机变量.
知识点02：离散型随机变量的分布列
（1）离散型随机变量的分布列的定义
一般地，设离散型随机变量的可能取值为，，…，，我们称取每一个值的概率，为的概率分布列，简称分布列．
①解析式法：i,
②表格法：
… …
… …
③图象法:
（2）离散型随机变量的分布列的性质
①，
②
注意：①.列出随机变量的所有可能取值；
②.求出随机变量的每一个值发生的概率.
【即学即练1】1．（2024上·辽宁·高二校联考期末）设，随机变量的分布列为：
5 8 9
则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由，得，
所以.
故选：D
知识点03：两点分布
对于只有两个可能结果的随机试验,用表示“成功”,
表示“失败”,定义
如果，则，那么的分布列如下所示：
0 1
我们称服从两点分布或者分布.
【即学即练2】（2024·全国·高二假期作业）已知离散型随机变量的分布列服从两点分布，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为的分布列服从两点分布，所以，
又，所以，
所以，所以.
故选：A.
知识点04：写离散型随机变量的分布列的步骤
(1)找：理解并确定的意义，找出随机变量X的所有可能的取值()
(2)求：借助概率的有关知识求出随机变量X取每一个值的概率()注意应用计数原理、古典概型等知识
(3)列：列出表格并检验所求的概率是否满足分布列的两条性质.
注意：写出分布列时要注意将化为最简分式形式，但是在利用检验分布列是否正确时可利用化简前的分式结果.
题型01 随机变量
【典例1】（2024·全国·高三专题练习）袋中有2个黑球、5个红球，从中任取2个，可以作为随机变量的是（ ）
A．取到的球的个数 B．取到红球的个数
C．至少取到一个红球 D．至少取到一个红球的概率
【典例2】（2024·全国·高二假期作业）将一颗质地均匀的骰子掷两次，不能作为随机变量的是（　　）
A．两次掷出的点数之和
B．两次掷出的最大点数
C．第一次与第二次掷出的点数之差
D．两次掷出的点数
【典例3】（2024·全国·高二假期作业）在下列表述中不是离散型随机变量的是（ ）
①某机场候机室中一天的旅客数量；
②某寻呼台一天内收到的寻呼次数；
③某篮球下降过程中离地面的距离；
④某立交桥一天经过的车辆数X．
A．①中的 B．②中的 C．③中的 D．④中的
【变式1】（2024·全国·高三专题练习）下列叙述中，是离散型随机变量的为（　　）
A．将一枚质地均匀的硬币掷五次，出现正面和反面向上的次数之和
B．某人早晨在车站等出租车的时间
C．连续不断地射击，首次命中目标所需要的次数
D．袋中有个黑球个红球，任取个，取得一个红球的可能性
【变式2】（2024·全国·高二假期作业）5件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是（ ）
A．取到产品的件数 B．取到正品的概率
C．取到次品的件数 D．取到次品的概率
【变式3】（2024·全国·高二假期作业）袋中有大小相同质地均匀的5个黑球、3个白球，从中任取2个，则可以作为随机变量的是（ ）
A．至少取到1个黑球 B．取到黑球的个数
C．至多取到1个黑球 D．取到的球的个数
题型02 分布列及其性质的应用
【典例1】（2024·全国·高三专题练习）设某种疫苗试验的失败率是成功率的5倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则等于（ ）
A．0 B． C． D．1
【典例2】（2024下·全国·高二随堂练习）随机变量ξ的分布列如下：
其中，则等于（ ）
A． B．
C． D．
【典例3】（2024上·吉林·高二校联考期末）随机变量的分布列如下表所示：
1 2 3 4
0.1 0.3
则 .
【典例4】（2024·全国·高二假期作业）已知离散型随机变量X的分布列如表所示，则m的值为 .
0 1 2 3
【变式1】（2024下·全国·高二随堂练习）设随机变量X的分布列为，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（多选）（2024·全国·高二假期作业）已知随机变量X的分布列为（），其中是常数，则（ ）
A． B．
C． D．以上均不正确
【变式3】（2024上·河南·高二校联考期末）设随机变量的分布列为，则常数 .
【变式4】（2024·全国·高三专题练习）离散型随机变量的概率分布规律为，其中是常数，则 .
题型03求离散型随机变量的分布列
【典例1】（2024·全国·高三专题练习）某县教育局从县直学校推荐的6名教师中任选3人去参加进修活动，这6名教师中，语文、数学、英语教师各2人．
(1)求选出的数学教师人数多于语文教师人数的概率；
(2)设X表示选出的3人中数学教师的人数，求X的分布列．
【典例2】（2024下·全国·高二随堂练习）一台设备由三个部件构成，假设在一天的运转中，部件1，2，3需要调整的概率分别为0.1，0.2，0.2，各部件的状态相互独立．
(1)求设备在一天的运转中，部件1，2中至少有1个需要调整的概率；
(2)记设备在一天的运转中需要调整的部件个数为X，求随机变量X的分布列．
【典例3】（2024下·全国·高二随堂练习）某食堂为了了解同学们在高峰期打饭的时间，故安排一名食堂阿姨随机收集了在食堂某窗口打饭的100位同学的相关数据(假设同学们打饭所用时间均为下表列出时间之一)，如下表所示.
学生数(人) x 25 y 10
打饭时间(秒/人) 10 15 20 25
已知这100位同学的打饭时间从小排到大的第65百分位数为17.5秒．
(1)确定x，y的值；
(2)若各学生的结算相互独立，记X为该窗口开始打饭至20秒末已经打饭结束的学生人数，求X的分布列．(注：将频率视为概率)
【典例4】（2024·全国·高二假期作业）第33届夏季奥林匹克运动会即将于2024年在巴黎举办，其中游泳比赛分为预赛、半决赛和决赛三个阶段，只有预赛、半决赛都获胜才有资格进入决赛．已知甲在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和，乙在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和，丙在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和，其中．
(1)甲、乙、丙三人中，哪个人进入决赛的可能性更大
(2)如果甲、乙、丙三人中恰有两人进入决赛的概率为，求p的值；
(3)在（2）的条件下，设甲、乙、丙三人中进入决赛的人数为，求的分布列．
【变式1】（2024·全国·高三专题练习）学校举行定点投篮比赛，规定每人投篮4次，投中一球得2分，没有投中得0分，假设每次投篮投中与否是相互独立的.已知小明每次投篮投中的概率都是.
(1)求小明在投篮过程中直到第三次才投中的概率；
(2)求小明在4次投篮后的总得分ξ的分布列
【变式2】（2024下·全国·高二随堂练习）已知新高考数学共4道多选题，评分标准是每题满分5分，全部选对得5分，部分选对得2分，有错选或不选的得0分．每道多选题共有4个选项，正确答案往往为2项或3项. 为了研究多选题的答题规律，某数学兴趣小组研究发现：多选题正确答案是“选两项”的概率为，正确答案是“选三项”的概率为.现有学生甲、乙两人，由于数学基础很差，多选题完全没有思路，只能靠猜.
(1)已知某题正确答案是“选两项”，求学生甲不得0分的概率；
(2)学生甲的答题策略是“猜一个选项”，学生乙的策略是“猜两个选项”，试写出甲、乙两名学生得分的分布列.
【变式3】（2024下·全国·高二随堂练习）设离散型随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P 0.2 0.1 0.1 0.3 m
(1)求随机变量的分布列；
(2)求随机变量的分布列.
【变式4】（2024·全国·高二假期作业）某地区组织所有高一学生参加了“科技的力量”主题知识竟答活动，根据答题得分情况评选出一二三等奖若干，为了解不同性别学生的获奖情况，从该地区随机抽取了500名参加活动的高一学生，获奖情况统计结果如下：
性别 人数 获奖人数
一等奖 二等奖 三等奖
男生 200 10 15 15
女生 300 25 25 40
假设所有学生的获奖情况相互独立．
(1)分别从上述200名男生和300名女生中各随机抽取1名，求抽到的2名学生都获一等奖的概率；
(2)用频率估计概率，从该地区高一男生中随机抽取1名，从该地区高一女生中随机抽取1名，以X表示这2名学生中获奖的人数，求的分布列
题型04由随机变量分布列求概率
【典例1】（2024·全国·高二假期作业）设离散型随机变量X的概率分布为
X 0 1 2 3 4
P 0.15 0.15 0.15 0.25 m
若随机变量，则等于（　　）
A．0.3 B．0.4
C．0.6 D．0.7
【典例2】（2024·全国·高二假期作业）一袋中装有4个白球和2个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个不放回，取出后记下颜色，若为红色停止，若为白色则继续抽取，停止时从袋中抽取的白球的个数为随机变量，则（ ）
A． B． C． D．
【典例3】（2024·全国·高二假期作业）已知离散型随机变量的分布列为：
X 1 2 3
P m
则 ， ．
【变式1】（2024·全国·高二假期作业）设随机变量X的分布列，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
【变式2】（2024·全国·高二假期作业）已知离散型随机变量X的分布列如下表：
X 0 1 2 3
P a
若离散型随机变量，则（ ）．
A． B． C． D．
【变式3】（2024下·全国·高二随堂练习）设随机变量X的分布列如下表：
X 1 2 3 4
P m
则 ．
题型05两个相关随机变量的分布列
【典例1】（2024·全国·高二假期作业）已知随机变量服从两点分布，且.设，那么等于（ ）
A．0.6 B．0.3 C．0.2 D．0.4
【典例2】（2024·全国·高二假期作业）已知随机变量的分布列如表所示．
0 1 2 3
(1)求随机变量的分布列；
(2)若，求实数的取值范围．
【变式1】（2024·全国·高二假期作业）随机变量的取值范围是{1，2，3，4，5}，且．则Y的取值范围是 ．
【变式2】（2024·全国·高二假期作业）某快餐店的小时工是按照下述方式获取税前月工资的：底薪1000元，每工作1小时获取30元．从该快餐店中任意抽取一名小时工，设其月工作时间为X小时，获取的税前月工资为Y元．
(1)当时，求Y的值；
(2)写出X与Y之间的关系式；
(3)若，求的值．
题型06两点分布
【典例1】（2023上·江西吉安·高三江西省泰和中学校考阶段练习）已知随机变量X服从两点分布，且，，那么 .
【典例2】（2023·全国·高二专题练习）已知X服从参数为0.3的两点分布，则 ；若，则 .
【典例3】（2023上·高二课时练习）在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品．顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X的分布列．
【变式1】（2023下·山东聊城·高二统考期末）已知随机变量服从两点分布，且，，那么 ．
【变式2】（2023·全国·高二课堂例题）从装有个白球和个红球的口袋中任取个球，用表示“取到的白球个数”，则的取值为或，即，求随机变量的概率分布．
【变式3】（2023上·高二课时练习）掷一颗骰子，观察掷得的点数.
(1)求点数X的分布；
(2)只关心点数6是否出现.若出现，则记，否则记.求Y的分布.
A夯实基础 B能力提升
A夯实基础
一、单选题
1．（2024下·全国·高二随堂练习）设离散型随机变量ξ的分布列如下表所示：
ξ －1 0 1 2 3
P
则下列各式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·全国·高二假期作业）抛掷2枚骰子，所得点数之和记为，那么表示的随机试验结果是（ ）
A．2枚都是4点
B．1枚是1点，另1枚是3点
C．2枚都是2点
D．1枚是1点，另1枚是3点，或者2枚都是2点
3．（2024·全国·高二假期作业）已知随机变量的分布列为，2，3，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·全国·高二假期作业）若随机变量的分布列如表，则的值为（ ）
1 2 3 4
A． B． C． D．
5．（2024·全国·高二假期作业）抛掷两枚骰子，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为，则表示的试验结果是（ ）
A．第一枚6点，第二枚1点 B．第一枚5点，第二枚1点
C．第一枚2点，第二枚6点 D．第一枚6点，第二枚2点
6．（2024·江苏·高二假期作业）如图，我国古代珠算算具算盘每个档挂珠的杆上有颗算珠，用梁隔开，梁上面颗叫上珠，下面颗叫下珠，若从某一档的颗算珠中任取颗，记上珠的个数为，则 （ ）
A． B．
C． D．
7．（2024·全国·高三专题练习）泊松分布是统计学里常见的离散型概率分布，由法国数学家泊松首次提出，泊松分布的概率分布列为，其中为自然对数的底数，是泊松分布的均值.已知某线路每个公交车站台的乘客候车相互独立，且每个站台候车人数服从参数为的泊松分布，若该线路某站台的候车人数为2和3的概率相等，则该线路公交车两个站台各有1个乘客候车的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·全国·高二假期作业）设是一个离散型随机变量，其分布列如下，则等于（ ）

A． B． C． D．
二、多选题
9．（2024·全国·高二假期作业）已知随机变量ξ的分布列为：
ξ －2 －1 0 1 2 3
P
若，则实数的值可以是（ ）
A．5 B．7
C．9 D．10
10．（2023下·河南周口·高二校联考期中）已知离散型随机变量的分布列为
1 2 4 6
0.2 0.1
则下列选项正确的是（ ）
A． B．若，则
C．若，则 D．
三、填空题
11．（2023下·高二课时练习）离散型随机变量X的概率分布中部分数据丢失，丢失数据以x，y代替，其概率分布如下：
X 1 2 3 4 5 6
P 0.20 0.10 x 0.10 y 0.20
则等于 .
12．（2023下·高二课时练习）若随机变量X的概率分布列为，k＝1，2，3，则 .
四、解答题
13．（2023·全国·高二课堂例题）设随机变量X的分布列为，k=1，2，3，4，其中c为常数，求的值．
14．（2023·四川成都·校联考模拟预测）在全国硕士研究生统一招生考试中，甲，乙，丙三名应届本科毕业生都以优秀的成绩通过了某重点大学的初试，即将参加该重点大学组织的复试．已知甲，乙，丙三名同学通过复试的概率分别为，，p，复试是否通过互不影响，且甲，乙，丙三名同学都没有通过复试的概率为．
(1)求p的值；
(2)设甲，乙，丙三名同学中通过复试的人数为X，求随机变量X的分布列．
B能力提升
1．（2023上·吉林长春·高二东北师大附中校考期末）某商场为了促销规定顾客购买满500元商品即可抽奖，最多有3次抽奖机会，每次抽中，可依次获得10元，30元，50元奖金，若没有抽中，则停止抽奖．顾客每次轴中后，可以选择带走所有奖金，结束抽奖；也可选择继续抽奖，若没有抽中，则连同前面所得奖金全部归零，结束抽奖．小李购买了500元商品并参与了抽奖活动，己知他每次抽中的概率依次为，如果第一次抽中选择继续抽奖的概率为，第二次抽中选择继续抽奖的概率为，且每次是否抽中互不影响．
(1)求小李第一次抽中且所得奖金归零的概率；
(2)设小李所得奖金总数为随机变量，求的分布列．
2．（2023下·浙江·高二校联考期末）北京时间4月30日晩，2023年国际象棋世界冠军赛在哈萨克斯坦首都阿斯塔纳闭幕，来自温州的国际象棋男子特级大师丁立人最终击败涅波姆尼齐亚，加冕世界棋王.这是中国棋手首次夺得国际象棋男子世界冠军.某小学为了提高同学学习国际象棋的兴趣，举行了二年级国际象棋男子团体赛，各班级均可以报送一支5人队伍.比赛分多轮进行，每轮比赛每队都需选定4名选手，每轮比赛选手可不同.比赛没有平局，每轮比赛结束，得胜班级得1分，反之0分.晋级赛规则如下：第一轮随机为各队伍匹配对手；从第二轮比赛开始，积分相同的队伍之间再由抽签决定对手.具体比赛程序如下图.这样进行三轮对抗之后，得2分及以上的班级晋级，反之淘汰.晋级的队伍再进行相应的比赛.

(1)二（1）班选派了A，B，C，D，E五名选手，在第一轮比赛中，已知选手A参加了比赛，请列举出该班级所有可能的首发队员的样本空间；
(2)现共有8支参赛队伍，且实力相当，二（3）班在第一轮比赛输给了二（4）班，则两队在第三轮重新遇上的概率为多少
(3)某班级在筹备队员时，班内已推选水平较为稳定的选手4名，很多同学纷纷自荐最后一个名额.现共有5名自荐选手，分别为五级棋士2名、六级棋士2名和七级棋士1名，五、六、七级棋士被选上的概率分别为0.8，0.6，0.5，最后一名选手会在这5名同学中产生.现任选一名自荐同学，计算该同学被选上的概率，并用表示选出的该同学的级别，求X的分布列.
3．（2023·河南·校联考模拟预测）为落实食品安全的“两个责任”，某市的食品药品监督管理部门和卫生监督管理部门在市人民代表大会召开之际特别邀请相关代表建言献策．为保证政策制定的公平合理性，两个部门将首先征求相关专家的意见和建议，已知专家库中共有4位成员，两个部门分别独立地发出邀请，邀请的名单从专家库中随机产生，两个部门均邀请2位专家，收到食品药品监督管理部门或卫生监督管理部门的邀请后，专家如约参加会议．
(1)用1，2，3，4代表专家库中的4位专家，甲、乙分别代表食品药品监督管理部门和卫生监督管理部门，将两个部门邀请的专家及参会的专家人数的所有情况绘制成一个表格，请完成如下表格．

(2)最大似然估计即最大概率估计，即当时，概率取得最大值，则X的估计值为k（，，，…，），其中为X所有可能取值的最大值．请用最大似然估计法估计参加会议的专家人数．21世纪教育网(www.21cnjy.com)
第03讲 7.2 离散型随机变量及其分布列
课程标准 学习目标
1.通过具体案例，了解离散型随机变量的 概念，理解随机变量的分布列及其性质。 2.通过具体案例，了解两点分布的概念及 特点。 3.会求离散型随机变量的分布列及两点 分布列的相关量。 通过本节课的学习，要求会求简单应用问题中的离散型随机变量的分布列，能应用分布列的相关性质求问题中的相关量，会应用两点分布的特点解决与两点分布有关的问题
知识点01：离散型随机变量
（1）随机变量的定义
一般地，对于随机试验样本空间中的每个样本点都有唯一的实数与之对应，我们称为随机变量．
表示：用大写英文字母表示随机变量，如，，；用小写英文字母表示随机变量的取值，如，，．
特征：随机试验中，每个样本点都有唯一的一个实数与之对应，随机变量有如下特征：
①取值依赖于样本点．
②所有可能取值是明确的．
（2）随机变量与函数的关系
共同点：随机变量和函数都是一种映射
区别: 随机变量把试验的结果映为实数，函数把实数映为实数
联系：试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当与函数的值域；
注意：所有随机变量的取值范围的集合叫做随机变量的值域.
（3）离散型随机变量的定义
对于随机变量可能取的值，如果可以一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．
离散型随机变量的特征：
①可用数值表示；
②试验之前可以判断其可能出现的所有值；
③试验之前不能确定取何值；
④试验结果能一一列出；
⑤本章研究的离散型随机变量只取有限个值
（4）连续型随机变量的定义
随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的随机变量叫做连续型随机变量.
知识点02：离散型随机变量的分布列
（1）离散型随机变量的分布列的定义
一般地，设离散型随机变量的可能取值为，，…，，我们称取每一个值的概率，为的概率分布列，简称分布列．
①解析式法：i,
②表格法：
… …
… …
③图象法:
（2）离散型随机变量的分布列的性质
①，
②
注意：①.列出随机变量的所有可能取值；
②.求出随机变量的每一个值发生的概率.
【即学即练1】1．（2024上·辽宁·高二校联考期末）设，随机变量的分布列为：
5 8 9
则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由，得，
所以.
故选：D
知识点03：两点分布
对于只有两个可能结果的随机试验,用表示“成功”,
表示“失败”,定义
如果，则，那么的分布列如下所示：
0 1
我们称服从两点分布或者分布.
【即学即练2】（2024·全国·高二假期作业）已知离散型随机变量的分布列服从两点分布，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为的分布列服从两点分布，所以，
又，所以，
所以，所以.
故选：A.
知识点04：写离散型随机变量的分布列的步骤
(1)找：理解并确定的意义，找出随机变量X的所有可能的取值()
(2)求：借助概率的有关知识求出随机变量X取每一个值的概率()注意应用计数原理、古典概型等知识
(3)列：列出表格并检验所求的概率是否满足分布列的两条性质.
注意：写出分布列时要注意将化为最简分式形式，但是在利用检验分布列是否正确时可利用化简前的分式结果.
题型01 随机变量
【典例1】（2024·全国·高三专题练习）袋中有2个黑球、5个红球，从中任取2个，可以作为随机变量的是（ ）
A．取到的球的个数 B．取到红球的个数
C．至少取到一个红球 D．至少取到一个红球的概率
【答案】B
【详解】选项A的取值是一个固定的数字，不具有随机性，故A错误；
选项B取到红球的个数是一个随机变量，它的可能取值是0，1，2，故B正确；
选项C是一个事件而非随机变量，故C错误；
选项D中一个事件的概率值是一个定值而非随机变量，故D错误．
故选：B.
【典例2】（2024·全国·高二假期作业）将一颗质地均匀的骰子掷两次，不能作为随机变量的是（　　）
A．两次掷出的点数之和
B．两次掷出的最大点数
C．第一次与第二次掷出的点数之差
D．两次掷出的点数
【答案】D
【详解】A中，将一个骰子掷两次，两次掷出的点数之和是一个变量，且随试验结果的变化而变化，是一个随机变量．
B中，两次掷出的最大点数是一个变量，且随试验结果的变化而变化，是一个随机变量．
C中，第一次与第二次掷出的点数是一个变量，且随试验结果的变化而变化，之差也都是随机变量，
D中，两次掷出的点数不是一个变量，所以不是随机变量．
故选：D.
【典例3】（2024·全国·高二假期作业）在下列表述中不是离散型随机变量的是（ ）
①某机场候机室中一天的旅客数量；
②某寻呼台一天内收到的寻呼次数；
③某篮球下降过程中离地面的距离；
④某立交桥一天经过的车辆数X．
A．①中的 B．②中的 C．③中的 D．④中的
【答案】C
【详解】①②④中的随机变量可能取的值，我们都可以按一定的次序一一列出，因此，它们都是离散型随机变量；③中的可以取一区间内的一切值，无法按一定次序一一列出，故不是离散型随机变量.
故选：C
【变式1】（2024·全国·高三专题练习）下列叙述中，是离散型随机变量的为（　　）
A．将一枚质地均匀的硬币掷五次，出现正面和反面向上的次数之和
B．某人早晨在车站等出租车的时间
C．连续不断地射击，首次命中目标所需要的次数
D．袋中有个黑球个红球，任取个，取得一个红球的可能性
【答案】C
【详解】对于A，掷硬币只有正面向上和反面向上两种结果，则掷五次，出现正面和反面向上的次数之和为，是常量，A错误；
对于B，等出租车的事件是随机变量，但无法一一列出，不是离散型随机变量，B错误；
对于C，连续不断地射击，首次命中目标所需要的次数是有限个或可列举的无限多个，是离散型随机变量，C正确；
对于D，事件发生的可能性不是随机变量，D错误.
故选：C.
【变式2】（2024·全国·高二假期作业）5件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是（ ）
A．取到产品的件数 B．取到正品的概率
C．取到次品的件数 D．取到次品的概率
【答案】C
【详解】对于A，5件产品中有3件次品，从中任取2件，取到产品的件数是一个常量不是变量，
BD也是一个定值，而C中取到次品的件数可能为0、1、2是随机变量.
故选：C
【变式3】（2024·全国·高二假期作业）袋中有大小相同质地均匀的5个黑球、3个白球，从中任取2个，则可以作为随机变量的是（ ）
A．至少取到1个黑球 B．取到黑球的个数
C．至多取到1个黑球 D．取到的球的个数
【答案】B
【详解】根据离散型随机变量的定义，能够一一列出的只能是B选项，其中A、C选项是事件，D选项取到球的个数是2个为确定值，ACD错误；
故选：B．
题型02 分布列及其性质的应用
【典例1】（2024·全国·高三专题练习）设某种疫苗试验的失败率是成功率的5倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则等于（ ）
A．0 B． C． D．1
【答案】C
【详解】解：根据题意得，“”表示试验失败，
“”表示试验成功，成功率为p，失败率为5p，
故X的分布列为：
X 0 1
P 5p p
所以，得，
所以失败率为，即．
故选：C.
【典例2】（2024下·全国·高二随堂练习）随机变量ξ的分布列如下：
其中，则等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】，且，
解得，
.
故选：D.
【典例3】（2024上·吉林·高二校联考期末）随机变量的分布列如下表所示：
1 2 3 4
0.1 0.3
则 .
【答案】0.7/
【详解】由分布列的性质可得，，可得，
所以．
故答案为：0.7
【典例4】（2024·全国·高二假期作业）已知离散型随机变量X的分布列如表所示，则m的值为 .
0 1 2 3
【答案】/
【详解】依题意，，整理得，解得或，
当时，，，不符合题意，
当时，，，，，符合题意，
所以m的值为.
故答案为：
【变式1】（2024下·全国·高二随堂练习）设随机变量X的分布列为，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题意，．
故选：A．
【变式2】（多选）（2024·全国·高二假期作业）已知随机变量X的分布列为（），其中是常数，则（ ）
A． B．
C． D．以上均不正确
【答案】ABC
【详解】根据题意，随机变量的分布列为，
则，解得，
则.
故选：ABC.
【变式3】（2024上·河南·高二校联考期末）设随机变量的分布列为，则常数 .
【答案】
【详解】，
解得，
故答案为：.
【变式4】（2024·全国·高三专题练习）离散型随机变量的概率分布规律为，其中是常数，则 .
【答案】
【详解】，，解得：，
.
故答案为：.
题型03求离散型随机变量的分布列
【典例1】（2024·全国·高三专题练习）某县教育局从县直学校推荐的6名教师中任选3人去参加进修活动，这6名教师中，语文、数学、英语教师各2人．
(1)求选出的数学教师人数多于语文教师人数的概率；
(2)设X表示选出的3人中数学教师的人数，求X的分布列．
【答案】(1)
(2)分布列见解析
【详解】（1）从6名老师中选3人的方法种数有：.
数学老师多于语文老师的选法有：
①1名数学，2名英语的选法：种；
②2名数学的选法有：种.
所以数学老师多于语文老师的选法有：种.
故数学老师多于语文老师的概率为：.
（2）由题意，的可能取值为：0，1，2.
，，.
所以的分布列为：
0 1 2
0.2 0.6 0.2
【典例2】（2024下·全国·高二随堂练习）一台设备由三个部件构成，假设在一天的运转中，部件1，2，3需要调整的概率分别为0.1，0.2，0.2，各部件的状态相互独立．
(1)求设备在一天的运转中，部件1，2中至少有1个需要调整的概率；
(2)记设备在一天的运转中需要调整的部件个数为X，求随机变量X的分布列．
【答案】(1)0.28
(2)分布列见解析
【详解】（1）部件1，2都不需要调整的概率为，
则部件1，2中至少有1个需要调整的概率为P＝1－0.72＝0.28；
（2）由题意，X的所有可能取值为0，1，2，3，且
，
，
，
，
0 1 2 3
【典例3】（2024下·全国·高二随堂练习）某食堂为了了解同学们在高峰期打饭的时间，故安排一名食堂阿姨随机收集了在食堂某窗口打饭的100位同学的相关数据(假设同学们打饭所用时间均为下表列出时间之一)，如下表所示.
学生数(人) x 25 y 10
打饭时间(秒/人) 10 15 20 25
已知这100位同学的打饭时间从小排到大的第65百分位数为17.5秒．
(1)确定x，y的值；
(2)若各学生的结算相互独立，记X为该窗口开始打饭至20秒末已经打饭结束的学生人数，求X的分布列．(注：将频率视为概率)
【答案】(1)
(2)分布列见解析
【详解】（1）因为第65百分位数为17.5＝，所以，
所以.
（2）由已知得打饭时间为10秒的概率为，打饭时间为15秒的概率为，
打饭时间为20秒的概率为，打饭时间为25秒的概率为，
由题可知X的可能取值为0，1，2，
∴，，，
∴分布列如下：
X 0 1 2
P 0.1 0.74 0.16
【典例4】（2024·全国·高二假期作业）第33届夏季奥林匹克运动会即将于2024年在巴黎举办，其中游泳比赛分为预赛、半决赛和决赛三个阶段，只有预赛、半决赛都获胜才有资格进入决赛．已知甲在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和，乙在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和，丙在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和，其中．
(1)甲、乙、丙三人中，哪个人进入决赛的可能性更大
(2)如果甲、乙、丙三人中恰有两人进入决赛的概率为，求p的值；
(3)在（2）的条件下，设甲、乙、丙三人中进入决赛的人数为，求的分布列．
【答案】(1)乙
(2)
(3)分布列见解析
【详解】（1）解：甲进入决赛的概率为，乙进入决赛的概率为，
丙进入决赛的概率为，
因为，所以，
显然，乙进入决赛的概率最大，所以乙进入决赛的可能性最大.
（2）解：因为甲、乙、丙三人中恰有两队进入决赛的概率为，
则，
整理得，解得或，
因为，所以.
（3）解：由（2）知，丙进入决赛的概率为，
所以甲、乙、丙三人进入决赛的概率分布为，
根据题意，得到随机变量的可能取值为，
可得；
，
，
则，
所以随机变量的分布列为：
0 1 2 3
【变式1】（2024·全国·高三专题练习）学校举行定点投篮比赛，规定每人投篮4次，投中一球得2分，没有投中得0分，假设每次投篮投中与否是相互独立的.已知小明每次投篮投中的概率都是.
(1)求小明在投篮过程中直到第三次才投中的概率；
(2)求小明在4次投篮后的总得分ξ的分布列
【答案】(1)
(2)分布列见解析
【详解】（1）设“小明在投篮过程中直到第三次才投中”为事件，
事件说明小明前两次没有投中，第三次投中，
，
小明在投篮过程中直到第三次才投中的概率为.
（2）小明在4次投篮后的总得分ξ的可能取值为0，2，4，6，8，
，
，
，
，
，
则总得分的分布列为：
0 2 4 6 8
【变式2】（2024下·全国·高二随堂练习）已知新高考数学共4道多选题，评分标准是每题满分5分，全部选对得5分，部分选对得2分，有错选或不选的得0分．每道多选题共有4个选项，正确答案往往为2项或3项. 为了研究多选题的答题规律，某数学兴趣小组研究发现：多选题正确答案是“选两项”的概率为，正确答案是“选三项”的概率为.现有学生甲、乙两人，由于数学基础很差，多选题完全没有思路，只能靠猜.
(1)已知某题正确答案是“选两项”，求学生甲不得0分的概率；
(2)学生甲的答题策略是“猜一个选项”，学生乙的策略是“猜两个选项”，试写出甲、乙两名学生得分的分布列.
【答案】(1)；
(2)答案见解析.
【详解】（1）某题正确答案是“选两项”的条件下，他不得0分的情况有两种：
①只选一个选项得2分的概率为：;
②选两个选项，得5分的概率为：;
所以某题正确答案是“选两项”的条件下，学生甲不得0分的概率为：;
（2）结合题意：设学生甲得分为,则的可能取值为，
;
;
学生甲得分的分布列为:
0 2
设学生乙得分为,则的可能取值为，
;
;
;
学生乙得分的分布列为:
0 2 5
【变式3】（2024下·全国·高二随堂练习）设离散型随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P 0.2 0.1 0.1 0.3 m
(1)求随机变量的分布列；
(2)求随机变量的分布列.
【答案】(1)分布列见解析
(2)分布列见解析
【详解】（1）由分布列的性质知：，解得，
列表为
X 0 1 2 3 4
1 0 1 2 3
即随机变量的可能取值为0，1，2，3，
可得，
，
，
故的分布列为
η 0 1 2 3
P 0.1 0.3 0.3 0.3
（2）列表得
X 0 1 2 3 4
0 1 4 9 16
即随机变量的可能取值为0，1，4，9，16.
从而的分布列为
0 1 4 9 16
P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3
【变式4】（2024·全国·高二假期作业）某地区组织所有高一学生参加了“科技的力量”主题知识竟答活动，根据答题得分情况评选出一二三等奖若干，为了解不同性别学生的获奖情况，从该地区随机抽取了500名参加活动的高一学生，获奖情况统计结果如下：
性别 人数 获奖人数
一等奖 二等奖 三等奖
男生 200 10 15 15
女生 300 25 25 40
假设所有学生的获奖情况相互独立．
(1)分别从上述200名男生和300名女生中各随机抽取1名，求抽到的2名学生都获一等奖的概率；
(2)用频率估计概率，从该地区高一男生中随机抽取1名，从该地区高一女生中随机抽取1名，以X表示这2名学生中获奖的人数，求的分布列
【答案】(1)
(2)分布列见解析
【详解】（1）设事件为“分别从上述200名男生和300名女生中各随机抽取1名，抽到的2名学生都获一等奖”，
则.
（2）随机变量的所有可能取值为0，1，2.
记事件为“从该地区高一男生中随机抽取1名，该学生获奖”，
事件为“从该地区高一女生中随机抽取1名，该学生获奖”.
由题设知，事件，相互独立，且估计为估计为.
所以，
，
.
所以的分布列为
0 1 2
题型04由随机变量分布列求概率
【典例1】（2024·全国·高二假期作业）设离散型随机变量X的概率分布为
X 0 1 2 3 4
P 0.15 0.15 0.15 0.25 m
若随机变量，则等于（　　）
A．0.3 B．0.4
C．0.6 D．0.7
【答案】A
【详解】由0.15＋0.15＋0.15＋0.25＋m＝1，得m＝0.3，
所以.
故选：A.
【典例2】（2024·全国·高二假期作业）一袋中装有4个白球和2个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个不放回，取出后记下颜色，若为红色停止，若为白色则继续抽取，停止时从袋中抽取的白球的个数为随机变量，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】令表示前k个球为白球，第个球为红球，
此时，
则．
故选：A．
【典例3】（2024·全国·高二假期作业）已知离散型随机变量的分布列为：
X 1 2 3
P m
则 ， ．
【答案】 / /
【详解】由离散型随机变量的分布列的性质，可得，解得，
所以.
故答案为：；
【变式1】（2024·全国·高二假期作业）设随机变量X的分布列，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【详解】因为随机变量X的分布列，
所以，解得：，
.
故选：B.
【变式2】（2024·全国·高二假期作业）已知离散型随机变量X的分布列如下表：
X 0 1 2 3
P a
若离散型随机变量，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由分布列的性质可知： 解得 ，
由 ， 等价于 ，由表可知 ；
故选：A.
【变式3】（2024下·全国·高二随堂练习）设随机变量X的分布列如下表：
X 1 2 3 4
P m
则 ．
【答案】
【详解】，.
故答案为：
题型05两个相关随机变量的分布列
【典例1】（2024·全国·高二假期作业）已知随机变量服从两点分布，且.设，那么等于（ ）
A．0.6 B．0.3 C．0.2 D．0.4
【答案】D
【详解】当时，由，
所以.
故选：D
【典例2】（2024·全国·高二假期作业）已知随机变量的分布列如表所示．
0 1 2 3
(1)求随机变量的分布列；
(2)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)分布列见解析
(2)
【详解】（1）由随机变量的分布列知，的可能取值为0，1，4，9，
则，
或，
或
．
可得随机变量的分布列如表所示．
0 1 4 9
（2）因为，，
又因为，所以.
∴实数的取值范围是．
【变式1】（2024·全国·高二假期作业）随机变量的取值范围是{1，2，3，4，5}，且．则Y的取值范围是 ．
【答案】{3，5，7，9，11}
【详解】因为的取值范围是{1，2，3，4，5}，
且，
所以的取值范围是{3，5，7，9，11}．
故答案为：{3，5，7，9，11}
【变式2】（2024·全国·高二假期作业）某快餐店的小时工是按照下述方式获取税前月工资的：底薪1000元，每工作1小时获取30元．从该快餐店中任意抽取一名小时工，设其月工作时间为X小时，获取的税前月工资为Y元．
(1)当时，求Y的值；
(2)写出X与Y之间的关系式；
(3)若，求的值．
【答案】(1)4300
(2)
(3)0.4
【详解】（1）当时，表示工作了110个小时，
所以．
（2）由题意得：．
（3）因为，
所以，
从而.
题型06两点分布
【典例1】（2023上·江西吉安·高三江西省泰和中学校考阶段练习）已知随机变量X服从两点分布，且，，那么 .
【答案】
【详解】由题意可知，解得.
故答案为：.
【典例2】（2023·全国·高二专题练习）已知X服从参数为0.3的两点分布，则 ；若，则 .
【答案】 0.7/ 0.3/
【详解】因为服从参数为0.3的两点分布，
所以， .
当时，，所以.
故答案为：0.7，0.3
【典例3】（2023上·高二课时练习）在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品．顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X的分布列．
【答案】分布列见解析
【详解】抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，故X的取值只有1和0两种情况．
，
则.
因此X的分布列为：
X 0 1
P
【变式1】（2023下·山东聊城·高二统考期末）已知随机变量服从两点分布，且，，那么 ．
【答案】/0.5
【详解】由题意可知或，
由于，所以，
故答案为：
【变式2】（2023·全国·高二课堂例题）从装有个白球和个红球的口袋中任取个球，用表示“取到的白球个数”，则的取值为或，即，求随机变量的概率分布．
【答案】分布列见解析
【详解】由题意知，，
故随机变量的概率分布列如下表所示：
0 1
【变式3】（2023上·高二课时练习）掷一颗骰子，观察掷得的点数.
(1)求点数X的分布；
(2)只关心点数6是否出现.若出现，则记，否则记.求Y的分布.
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【详解】（1）因为掷得每个点数为等可能事件，所以点数X的分布为．
（2）因为，而，所以Y的分布为．
A夯实基础 B能力提升
A夯实基础
一、单选题
1．（2024下·全国·高二随堂练习）设离散型随机变量ξ的分布列如下表所示：
ξ －1 0 1 2 3
P
则下列各式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】＋＋＋＝，A错误；
＋＝，B错误；
，C正确；
＋＝，D错误.
故选：C
2．（2024·全国·高二假期作业）抛掷2枚骰子，所得点数之和记为，那么表示的随机试验结果是（ ）
A．2枚都是4点
B．1枚是1点，另1枚是3点
C．2枚都是2点
D．1枚是1点，另1枚是3点，或者2枚都是2点
【答案】D
【详解】A表示的是随机试验中的其中一个结果，
B，C中表示的是随机试验中的部分结果，
而D是代表随机试验中的所有试验结果.
故选：D.
3．（2024·全国·高二假期作业）已知随机变量的分布列为，2，3，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】根据题意，随机变量的分布列为，
由分布列的性质，则有，解得，
故.
.
故选：C.
4．（2024·全国·高二假期作业）若随机变量的分布列如表，则的值为（ ）
1 2 3 4
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】根据题意可得，
所以.
故选：A.
5．（2024·全国·高二假期作业）抛掷两枚骰子，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为，则表示的试验结果是（ ）
A．第一枚6点，第二枚1点 B．第一枚5点，第二枚1点
C．第一枚2点，第二枚6点 D．第一枚6点，第二枚2点
【答案】A
【详解】由题意知表示第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差，
当第一枚6点，第二枚1点时，，满足题意，所以选项A正确；
当第一枚5点，第二枚1点时，，不满足，所以选项B错误；
当第一枚2点，第二枚6点时，，不满足，所以选项C错误；
当第一枚5点，第二枚1点时，，不满足，所以选项D错误.
故选：A
6．（2024·江苏·高二假期作业）如图，我国古代珠算算具算盘每个档挂珠的杆上有颗算珠，用梁隔开，梁上面颗叫上珠，下面颗叫下珠，若从某一档的颗算珠中任取颗，记上珠的个数为，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】方法一：由题意可知，的所有可能取值为，，，
则．
方法二：由题意可知，的所有可能取值为，，，
则．
故选：A
7．（2024·全国·高三专题练习）泊松分布是统计学里常见的离散型概率分布，由法国数学家泊松首次提出，泊松分布的概率分布列为，其中为自然对数的底数，是泊松分布的均值.已知某线路每个公交车站台的乘客候车相互独立，且每个站台候车人数服从参数为的泊松分布，若该线路某站台的候车人数为2和3的概率相等，则该线路公交车两个站台各有1个乘客候车的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题意可知，即解得，
所以，
从而，
故该线路公交车两个站台各有1个乘客候车的概率为.
故选：D
8．（2024·全国·高二假期作业）设是一个离散型随机变量，其分布列如下，则等于（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：由离散型随机变量的性质可得，
即，解得或，
时，不合题意，
．
故选：B．
二、多选题
9．（2024·全国·高二假期作业）已知随机变量ξ的分布列为：
ξ －2 －1 0 1 2 3
P
若，则实数的值可以是（ ）
A．5 B．7
C．9 D．10
【答案】ABC
【详解】由随机变量的分布列，知：
的可能取值为，
且，
，
，
，
则，.
若，则实数的取值范围是.
故选：ABC.
10．（2023下·河南周口·高二校联考期中）已知离散型随机变量的分布列为
1 2 4 6
0.2 0.1
则下列选项正确的是（ ）
A． B．若，则
C．若，则 D．
【答案】ABD
【详解】对于A中，由分布列的性质，可得，解得，所以A正确；
对于B中，若，可得，则，故B正确；
对于C中，由概率的定义知，所以C不正确；
对于D中，由，，则，所以D正确．
故选：ABD.
三、填空题
11．（2023下·高二课时练习）离散型随机变量X的概率分布中部分数据丢失，丢失数据以x，y代替，其概率分布如下：
X 1 2 3 4 5 6
P 0.20 0.10 x 0.10 y 0.20
则等于 .
【答案】/
【详解】由概率分布的性质可知随机变量的所有取值的概率和为1，
则.
故答案为: .
12．（2023下·高二课时练习）若随机变量X的概率分布列为，k＝1，2，3，则 .
【答案】/0.5
【详解】由题意知，，
所以.
故答案为：.
四、解答题
13．（2023·全国·高二课堂例题）设随机变量X的分布列为，k=1，2，3，4，其中c为常数，求的值．
【答案】
【详解】解 由离散型随机变量分布列的性质可知
，
所以．
解得．
所以，
．
14．（2023·四川成都·校联考模拟预测）在全国硕士研究生统一招生考试中，甲，乙，丙三名应届本科毕业生都以优秀的成绩通过了某重点大学的初试，即将参加该重点大学组织的复试．已知甲，乙，丙三名同学通过复试的概率分别为，，p，复试是否通过互不影响，且甲，乙，丙三名同学都没有通过复试的概率为．
(1)求p的值；
(2)设甲，乙，丙三名同学中通过复试的人数为X，求随机变量X的分布列．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【详解】（1）因为甲，乙，丙三名同学都没有通过复试的概率为，
所以，则．
（2）由题意知，随机变量X的可能取值为0，1，2，3．
，
，
，
．
所以随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P
B能力提升
1．（2023上·吉林长春·高二东北师大附中校考期末）某商场为了促销规定顾客购买满500元商品即可抽奖，最多有3次抽奖机会，每次抽中，可依次获得10元，30元，50元奖金，若没有抽中，则停止抽奖．顾客每次轴中后，可以选择带走所有奖金，结束抽奖；也可选择继续抽奖，若没有抽中，则连同前面所得奖金全部归零，结束抽奖．小李购买了500元商品并参与了抽奖活动，己知他每次抽中的概率依次为，如果第一次抽中选择继续抽奖的概率为，第二次抽中选择继续抽奖的概率为，且每次是否抽中互不影响．
(1)求小李第一次抽中且所得奖金归零的概率；
(2)设小李所得奖金总数为随机变量，求的分布列．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【详解】（1）记小李第次抽中为事件，则有，且两两互相独立，
记小李第一次抽中但奖金归零为事件，
则；
（2）由题意可知的可能取值为：，
，
，
，
，
所以的分布列为：
2．（2023下·浙江·高二校联考期末）北京时间4月30日晩，2023年国际象棋世界冠军赛在哈萨克斯坦首都阿斯塔纳闭幕，来自温州的国际象棋男子特级大师丁立人最终击败涅波姆尼齐亚，加冕世界棋王.这是中国棋手首次夺得国际象棋男子世界冠军.某小学为了提高同学学习国际象棋的兴趣，举行了二年级国际象棋男子团体赛，各班级均可以报送一支5人队伍.比赛分多轮进行，每轮比赛每队都需选定4名选手，每轮比赛选手可不同.比赛没有平局，每轮比赛结束，得胜班级得1分，反之0分.晋级赛规则如下：第一轮随机为各队伍匹配对手；从第二轮比赛开始，积分相同的队伍之间再由抽签决定对手.具体比赛程序如下图.这样进行三轮对抗之后，得2分及以上的班级晋级，反之淘汰.晋级的队伍再进行相应的比赛.

(1)二（1）班选派了A，B，C，D，E五名选手，在第一轮比赛中，已知选手A参加了比赛，请列举出该班级所有可能的首发队员的样本空间；
(2)现共有8支参赛队伍，且实力相当，二（3）班在第一轮比赛输给了二（4）班，则两队在第三轮重新遇上的概率为多少
(3)某班级在筹备队员时，班内已推选水平较为稳定的选手4名，很多同学纷纷自荐最后一个名额.现共有5名自荐选手，分别为五级棋士2名、六级棋士2名和七级棋士1名，五、六、七级棋士被选上的概率分别为0.8，0.6，0.5，最后一名选手会在这5名同学中产生.现任选一名自荐同学，计算该同学被选上的概率，并用表示选出的该同学的级别，求X的分布列.
【答案】(1)
(2)
(3); 分布列见解析.
【详解】（1）选手A参加了比赛，该班级所有可能的首发队员的样本空间：
.
（2）在第二轮比赛时，设1分队伍为，其中代表二（4）班，
0分队伍为，其中代表二（3）班，
在1分队伍中比赛后失败，其概率为，在0分队伍中比赛后胜利，其概率为，
在第三轮比赛中进入1分队伍的不妨设有四支队伍，
抽签后所有可能对手情况有共3种，重新遇上的情况只有，故其概率为，
综上：两队在第三轮重新遇上的概率为.
（3）设从5人中任选一人是五、六、七级棋士的事件是, 则, 且两两互斥,
，
设“任选一名自荐同学，计算该同学被选上”,
则.
可能的取值有：，
X的分布列为
X 5 6 7
P
3．（2023·河南·校联考模拟预测）为落实食品安全的“两个责任”，某市的食品药品监督管理部门和卫生监督管理部门在市人民代表大会召开之际特别邀请相关代表建言献策．为保证政策制定的公平合理性，两个部门将首先征求相关专家的意见和建议，已知专家库中共有4位成员，两个部门分别独立地发出邀请，邀请的名单从专家库中随机产生，两个部门均邀请2位专家，收到食品药品监督管理部门或卫生监督管理部门的邀请后，专家如约参加会议．
(1)用1，2，3，4代表专家库中的4位专家，甲、乙分别代表食品药品监督管理部门和卫生监督管理部门，将两个部门邀请的专家及参会的专家人数的所有情况绘制成一个表格，请完成如下表格．

(2)最大似然估计即最大概率估计，即当时，概率取得最大值，则X的估计值为k（，，，…，），其中为X所有可能取值的最大值．请用最大似然估计法估计参加会议的专家人数．
【答案】(1)表格见解析
(2)3
【详解】（1）完成的表格如下：
（2）记X为参加会议的专家人数，（，3，4）的概率记为．
由（1）中的表格可知出现的次数为6，出现的次数为24，出现的次数为6，
则，，，
则，，
根据最大似然估计法，可以估计出参加会议的专家人数为3．
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