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第06讲 7.4.1 二项分布
课程标准 学习目标
①理解相互独立事件的概念，理解独立重 复试验的概念，理解二项分布的概率模型。 ②理解相互独立事件的概率模型.伯努利 试验的特点。 ③掌握二项分布的特点，会求二项分布 列，期望与方差。 通过本节课的学习，要求会求二项分布列及应用分布列公式的特点求解相关量及参数，会求二项分布列的期望与方差
知识点1：重伯努利试验(次独立重复试验)
（1）重伯努利试验的定义
①我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验.
②将一个伯努利试验独立地重复进行次所组成的随机试验称为重伯努利试验.
（2）重伯努利试验的特征
①每次试验是在同样条件下进行的，有关事件的概率保持不变；
②各次试验中的事件是相互独立的，结果互不影响；
③每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生，这两种结果是对立的
（3）重伯努利试验的概率公式
一般地，如果在一次试验中事件发生的概率是,事件在次试验中发生次，共有种情形，由试验的独立性知，每种情形下，在次试验中发生，而在其余次试验中不发生的概率都是,所以由概率加法公式知，在重伯努利试验中，事件恰好发生次的概率为( ) .
知识点2：二项分布
（1）二项分布
一般地，在重伯努利试验中，设每次试验中事件发生的概率为()，用表示事件发生的次数，则的分布列为，.
如果随机变量的分布列具有上式的形式，则称随机变量服从二项分布，记作．
【即学即练1】（2023·全国·高二专题练习）某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从道备选题中一次性随机抽取道题，按照题目要求独立完成．规定：至少正确完成其中道题便可通过．已知道备选题中应聘者甲有道题能正确完成，道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响．
(1)求甲恰好正确完成两个面试题的概率；
(2)求乙正确完成面试题数的分布列及其期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【详解】（1）解：由题意得：
设甲正确完成面试的题数为，则的取值范围是． ；
（2）设乙正确完成面试的题数为，则取值范围是．
，，
，．
应聘者乙正确完成题数的分布列为
（2）明确二项分布中的各量表示的意义
：伯努利试验的次数
： 事件发生的次数
：每次试验中事件发生的概率
分布列：，
结论：随机变量服从参数为,的二项分布
记法：记作,并称为成功概率
（3）二项分布的均值与方差
若随机变量服从参数为,的二项分布，即,则, .
【即学即练2】（2023上·高二课时练习）已知随机变量X服从二项分布，若，，求的值.
【答案】
【详解】由二项分布的期望、方差公式可得：.
题型01 重伯努利试验的判断
【典例1】（2023上·高二课时练习）判断正误（正确的写正确，错误的打写错误）
（1）有放回地抽样试验是重伯努利试验．( )
（2）在重伯努利试验中，各次试验的结果相互没有影响．( )
（3）在重伯努利试验中，各次试验中事件发生的概率可以不同．( )
（4）如果在1次试验中某事件发生的概率是，那么在重伯努利试验中这个事件恰好发生k次的概率.( )
【典例2】（2022·高二课时练习）重伯努利试验应满足的条件：
①各次试验之间是相互独立的；②每次试验只有两种结果；
③各次试验成功的概率是相同的；④每次试验发生的事件是互斥的．
其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①②③ D．①②④
【典例3】（2022·高二课时练习）以下真命题共有 个．
①在n重伯努利试验中，各次试验的结果相互没有影响；
②在n重伯努利试验中，各次试验中某事件发生的概率可以不同；
③如果在1次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率．
【变式1】（2022·高二课时练习）判断正误
（1）在伯努利试验中，关注的是事件A是否发生，而在n重伯努利试验中，关注的是事件A发生的次数．( )
（2）n重伯努利试验中每次试验只有发生与不发生两种结果．( )
（3）将一枚硬币连续抛掷5次，则正面向上的次数的方差等于．( )
【变式2】（多选）（2022·高二课时练习）（多选）下列试验不是重伯努利试验的是（ ）．
A．依次投掷四枚质地不同的硬币
B．某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了次
C．口袋中装有个白球，个红球，个黑球，依次从中抽取个球
D．小明做道难度不同的数学单选题
【变式3】（2023下·高二课时练习）判断下列试验是不是n重伯努利试验：
(1)依次投掷四枚质地不同的硬币，3次正面向上；
(2)某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了10次，其中6次击中；
(3)口袋中装有5个白球，3个红球，2个黑球，依次从中抽取5个球，恰好抽出4个白球．
题型02 重伯努利试验的概率问题
【典例1】（2023下·福建南平·高二统考期末）在重伯努利试验中，设每次成功的概率为，则失败的概率为，将试验进行到恰好出现次成功时结束试验，用随机变量表示试验次数，则称服从以，为参数的帕斯卡分布，记为.已知，若，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2022上·吉林长春·高二东北师大附中校考期末）某n重伯努利试验中，事件A发生的概率为p，事件A发生的次数记为X，，，则 ．
【典例3】（2024·江苏·高二假期作业）将3个不同的小球随机投入编号分别为1，2，3，4的4个盒子中（每个盒子容纳的小球的个数不限），则1号盒子中有2个小球的概率为 ，2号盒子中小球的个数的数学期望为 .
【变式1】（2021·高二课时练习）若某一试验中事件发生的概率为，则在重伯努利试验中，发生次的概率为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（2024·全国·高三专题练习）一次掷两枚骰子，若两枚骰子点数之和为4或5或6，则称这是一次成功试验．现进行四次试验，则恰出现一次成功试验的概率为 ．
【变式3】（2023下·广东潮州·高二统考期末）在3重伯努利试验中事件出现的概率相同，若事件A至少出现1次的概率为，则事件A在1次试验中出现的概率为 ．
题型03 二项分布及其应用
【典例1】（2024上·广东广州·高二华南师大附中校考期末）为了响应教育部门疫情期间“停课不停学”的号召，某校实施网络授课，为了检验学生上网课的效果，在高三年级进行了一次网络模拟考试，从中抽取了100人的数学成绩，绘制成频率分布直方图（如下图所示），其中数学成绩落在区间[110，120），[120，130），[130，140]的频率之比为4：2：1.

(1)根据频率分布直方图求学生成绩在区间[110，120）的频率，并求抽取的这100名同学数学成绩的中位数
(2)若将频率视为概率，从全校高三年级学生中随机抽取3个人，记抽取的3人成绩在[100，130）内的学生人数为，求的分布列.
【典例2】（2024上·全国·高三专题练习）某电商车间生产了一批电子元件，为了检测元件是否合格，质检员设计了如图，甲所示的电路.于是他在一批产品中随机抽取了电子元件，，安装在如图甲所示的电路中，已知元件的合格率都为，元件的合格率都为.

(1)质检员在某次检测中，发现小灯泡亮了，他认为这三个电子元件都是合格的，求该质检员犯错误的概率；
(2)经反复测验，质检员把一些电子元件，接入了图乙的电路中，记该电路中小灯泡亮的个数为，求的分布列.
【典例3】（2024·全国·高三专题练习）在一个系统中，每一个设备能正常工作的概率称为设备的可靠度，而系统能正常工作的概率称为系统的可靠度，为了增加系统的可靠度，人们经常使用“备用冗余设备”（即正在使用的设备出故障时才启动的设备）．已知某计算机网络服务器系统采用的是“一用两备”（即一台正常设备，两台备用设备）的配置，这三台设备中，只要有一台能正常工作，计算机网络就不会断掉．系统就能正常工作．设三台设备的可靠度均为，它们之间相互不影响．
(1)要使系统的可靠度不低于0.992，求的最小值；
(2)当时，求能使系统正常工作的设备数的分布列；
(3)已知某高科技产业园当前的计算机网络中每台设备的可靠度是0.7，根据以往经验可知，计算机网络断掉可给该产业园带来约50万的经济损失．为减少对该产业园带来的经济损失，有以下两种方案：
方案1：更换部分设备的硬件，使得每台设备的可靠度维持在0.8，更换设备硬件总费用为0.8万元；
方案2：花费0.5万元增加一台可靠度是0.7的备用设备，达到“一用三备”．
请从经济损失期望最小的角度判断决策部门该如何决策？并说明理由．
【变式1】（2024上·辽宁沈阳·高二沈阳市第八十三中学校联考期末）有8件产品，其中4件是次品，从中有放回地取3次（每次1件），若X表示取得次品的次数，则
A． B． C． D．
【变式2】（2024上·广东深圳·高三统考期末）已知某地中学生的男生和女生的人数比例是，为了解该地中学生对羽毛球和乒乓球的喜欢情况，现随机抽取部分中学生进行调查，了解到该地中学生喜欢羽毛球和乒乓球的概率如下表：
男生 女生
只喜欢羽毛球 0.3 0.3
只喜欢乒乓球 0.25 0.2
既喜欢羽毛球，又喜欢乒乓球 0.3 0.15
(1)从该地中学生中随机抽取1人，已知抽取的这名中学生喜欢羽毛球，求该中学生也喜欢乒乓球的概率；
(2)从该地中学生中随机抽取100人，记抽取到的中学生既喜欢羽毛球，又喜欢乒乓球的人数为，求的分布列和期望.
【变式3】（2024上·安徽合肥·高三合肥一六八中学校联考期末）甲、乙两人进行射击比赛，每次比赛中，甲 乙各射击一次，甲 乙每次至少射中8环.根据统计资料可知，甲击中8环 9环 10环的概率分别为，乙击中8环 9环 10环的概率分别为，且甲 乙两人射击相互独立.
(1)在一场比赛中，求乙击中的环数少于甲击中的环数的概率；
(2)若独立进行三场比赛，其中X场比赛中甲击中的环数多于乙击中的环数，求的分布列与数学期望.
题型04 二项分布的均值与方差
【典例1】（2024上·湖北十堰·高三统考期末）某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取份作为样本，将个样本数据按、、、、、分成组，并整理得到如下频率分布直方图.
(1)请通过频率分布直方图估计这份样本数据的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.
(2)以样本频率估计概率，若竞赛成绩不低于分，则被认定为成绩合格，低于分说明成绩不合格.从参加知识竞赛的市民中随机抽取人，用表示成绩合格的人数，求的分布列及数学期望.
【典例2】（2024上·内蒙古鄂尔多斯·高三统考期末）为了检查工厂生产的某产品的质量指标，随机抽取了部分产品进行检测，所得数据统计如下图所示.（注：产品质量指标达到130及以上为优质品）；
(1)求的值以及这批产品的优质率；
(2)以本次抽检的频率作为概率，从工厂生产的所有产品中随机抽出件，记这件中优质产品的件数为，求的分布列与数学期望.
【典例3】（2024下·全国·高二随堂练习）为庆祝中国共产党成立周年，某市开展了党史知识竞赛活动，竞赛结束后，为了解本次竞赛的成绩情况，从所有参赛学生中随机抽取了名学生的竞赛成绩作为样本，数据整理后，统计结果如表所示．
成绩区间
频数
假设用样本频率估计总体概率，且每个学生的竞赛成绩相互独立．
(1)为了激励学生学习党史的热情，决定对竞赛成绩优异的学生进行表彰，如果获得表彰的学生占样本总人数的，试估计获奖分数线；
(2)该市决定从全市成绩不低于分的学生中随机抽取人参加省级党史知识竞赛，成绩在的人数为，求的分布列和数学期望．
【变式1】（2024上·四川内江·高三四川省内江市第一中学校考阶段练习）某大型企业生产的产品细分为10个等级，为了解这批产品的等级分布情况，从流水线上随机抽取了1000件进行检测、分类和统计，并依据以下规则对产品进行评分：检测到1级到3级的评为优秀，检测到4级到6级的评为良好，检测到7级到9级的评为合格，检测到10级的评为不合格.以下把频率视为概率，现有如下检测统计表：
等级 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
频数 10 90 100 150 150 200 100 100 50 50
(1)从这1000件产品中随机抽取1件，请估计这件产品评分为良好或优秀的概率；
(2)从该企业的流水线上随机抽取4件产品，设这一件产品中评分为优秀的产品个数为，求的分布列、期望.
【变式2】（2024·河南郑州·统考一模）某自行车厂为了解决复合材料制成的自行车车架应力不断变化问题，在不同条件下研究结构纤维按不同方向及角度黏合强度，在两条生产线上同时进行工艺比较实验，为了比较某项指标的对比情况，随机地抽取了部分甲生产线上产品该项指标的值，并计算得到其平均数，中位数，随机地抽得乙生产线上100件产品该项指标的值，并绘制成如下的频率分布直方图．
(1)求乙生产线的产品指标值的平均数与中位数（每组值用中间值代替，结果精确到0.01），并判断乙生产线较甲生产线的产品指标值是否更好（如果，则认为乙生产线的产品指标值较甲生产线的产品指标值更好，否则不认为更好）．
(2)用频率估计概率，现从乙生产线上随机抽取5件产品，抽出指标值不小于70的产品个数用表示，求的数学期望与方差．
【变式3】6（2024·全国·高二假期作业）为了检查工厂生产的某产品的质量指标，随机抽取了部分产品进行检测，所得数据统计如下图所示.

(1)求的值以及这批产品的优质率：（注：产品质量指标达到130及以上为优质品）；
(2)若按照分层的方法从质量指标值在的产品中随机抽取件，再从这件中随机抽取件，求至少有一件的指标值在的概率；
(3)以本次抽检的频率作为概率，从工厂生产的所有产品中随机抽出件，记这件中优质产品的件数为，求的分布列与数学期望.
题型05服从二项分布的概率最值问题
【典例1】（2024·全国·高三专题练习）已知随机变量，若对，都有，则的取值范围是 ．
【典例2】（2024上·江西赣州·高二统考期末）现有一种趣味答题比赛，其比赛规则如下：①每位参赛者最多参加5轮比赛；②每一轮比赛中，参赛选手从10道题中随机抽取4道回答，每答对一道题积2分，答错或放弃均积0分；③每一轮比赛中，获得积分至少6分的选手将获得“挑战达人”勋章一枚；④结束所有轮比赛后，参赛选手还可以凭总积分获得相对应的礼品．据主办方透露：这10道题中有7道题是大家都会做的，有3道题是大家都不会做的．
(1)求某参赛选手在一轮比赛中所获得积分X的分布列和期望；
(2)若参赛选手每轮获得勋章的概率稳定且每轮是否获得勋章相互独立．问：某参赛选手在5轮参赛中，获得多少枚“挑战达人”勋章的概率最大？
【典例3】（2024·全国·高二假期作业）某学校为了提升学生学习数学的兴趣，举行了“趣味数学”闯关比赛，每轮比赛从10道题中任意抽取3道回答，每答对一道题积1分.已知小明同学能答对10道题中的6道题.
(1)求小明同学在一轮比赛中所得积分的分布列和期望；
(2)规定参赛者在一轮比赛中至少积2分才视为闯关成功，若参赛者每轮闯关成功的概率稳定且每轮是否闯关成功相互独立，问：小明同学在5轮闯关比赛中，需几次闯关成功才能使得对应概率取值最大？
【变式1】（2024·云南昆明·统考一模）聊天机器人（chatterbot）是一个经由对话或文字进行交谈的计算机程序.当一个问题输入给聊天机器人时，它会从数据库中检索最贴切的结果进行应答.在对某款聊天机器人进行测试时，如果输入的问题没有语法错误，则应答被采纳的概率为80%，若出现语法错误，则应答被采纳的概率为30%.假设每次输入的问题出现语法错误的概率为10%.
(1)求一个问题的应答被采纳的概率；
(2)在某次测试中，输入了8个问题，每个问题的应答是否被采纳相互独立，记这些应答被采纳的个数为，事件（）的概率为，求当最大时的值.
【变式2】（2024上·广东东莞·高三统考期末）某区域中的物种C有A种和B种两个亚种．为了调查该区域中这两个亚种的数目比例（A种数目比B种数目少），某生物研究小组设计了如下实验方案：①在该区域中有放回的捕捉50个物种C，统计其中A种数目，以此作为一次试验的结果；②重复进行这个试验n次（其中），记第i次试验中的A种数目为随机变量（）；③记随机变量，利用的期望和方差进行估算．设该区域中A种数目为M，B种数目为N，每一次试验都相互独立．
(1)已知，，证明：，；
(2)该小组完成所有试验后，得到的实际取值分别为（），并计算了数据（）的平均值和方差，然后部分数据丢失，仅剩方差的数据．
（ⅰ）请用和分别代替和，估算和；
（ⅱ）在（ⅰ）的条件下，求的分布列中概率值最大的随机事件对应的随机变量的取值．
【变式3】（2024下·全国·高二随堂练习）4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”.为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了500名高一学生进行在线调查，得到了这500名学生的日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成、、、、、、、、九组，绘制成如图所示的频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中的值；
(2)为进一步了解这500名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在、、三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记日平均阅读时间在内的学生人数为，求的分布列和数学期望；
(3)以样本的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取8名学生，用表示这8名学生中恰有名学生日平均阅读时间在内的概率，其中.当最大时，请直接写出的值.（不需要说明理由）
A夯实基础 B能力提升
A夯实基础
一、单选题
1．（2024·全国·高二假期作业）若随机变量服从二项分布，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·全国·高二假期作业）某射手每次射击击中目标的概率是0.6，且各次射击的结果互不影响，则该射手射击30次恰有18次击中目标的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024上·黑龙江·高二校联考期末）设随机变量，则（ ）
A．2 B．3 C．6 D．7
4．（2024·全国·模拟预测）已知随机变量，若，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2024上·河南·高二校联考期末）一个不透明的袋子有10个除颜色不同外，大小 质地完全相同的球，其中有6个黑球，4个白球.现进行如下两个试验，试验一：逐个不放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为，期望和方差分别为；试验二：逐个有放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为，期望和方差分别为.则下列判断正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024·全国·高二假期作业）两组各有3人独立的破译某密码，组每个人成功破译出该密码的概率为，组每个人成功破译出该密码的概率为，记两组中成功破译出该密码的人数分别为，若，则下列关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024·全国·高二假期作业）已知，且，，则下列说法不正确的有（ ）
A．， B．
C． D．中是最大值
8．（2024·全国·高二假期作业）经检测一批产品中每件产品的合格率为，现从这批产品中任取5件，设取得合格产品的件数为，则以下选项正确的是（ ）
A．的可能取值为1，2，3，4，5 B．
C．的概率最大 D．服从超几何分布
二、多选题
9．（2023·全国·高三专题练习）若随机变量，则（ ）
A． B． C． D．
10．（2024·全国·高三专题练习）一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，则下列说法正确的是（ ）
A．从中任取3球，恰有2个白球的概率是；
B．从中有放回的取球6次，每次任取一球，设取到红球次数为X，则；
C．现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为；
D．从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到白球的概率为.
三、填空题
11．（2023下·广东肇庆·高二校考期末）设随机变量，，若，则 ， .
12．（2023上·山东德州·高二校考阶段练习）如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着若干排相互平行但错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入，小球下落过程中，每次碰到小木钉后可能向左或向右落下，其中向左落下的概率为，向右下落的概率为，最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为，，，，，则小球落入 号格子的概率最大.图片仅供参考
四、解答题
13．（2023·四川达州·统考一模）中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统.从全球应用北斗卫星的城市中随机选取了40个城市进行调研，下图是这40个城市北斗卫星导航系统与位置服务产业的产值（单位：万元）的频率分布直方图：
(1)根据频率分布直方图，求产值小于610万元的调研城市个数，并估计产值的中位数；
(2)视频率为概率，从全球应用北斗卫星的城市中任取5个城市，求恰有2个城市的产值超过600万元的概率.
14．（2023上·全国·高三专题练习）某地政府为鼓励大学生创业，制定了一系列优惠政策．已知创业项目甲成功的概率为，项目成功后可获得政府奖金20万元；创业项目乙成功的概率为，项目成功后可获得政府奖金30万元．项目没有成功，则没有奖励，每个项目有且只有一次实施机会，两个项目的实施是否成功互不影响，项目成功后当地政府兑现奖励．
(1)大学毕业生张某选择创业项目甲，毕业生李某选择创业项目乙，记他们获得的奖金累计为X(单位：万元)，若的概率为.求的大小；
(2)若两位大学毕业生都选择创业项目甲或创业项目乙进行创业，问：他们选择何种创业项目，累计得到的奖金的均值更大？
B能力提升
一、单选题
1．（2024·全国·高二假期作业）若随机变量服从二项分布，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·全国·高二假期作业）某射手每次射击击中目标的概率是0.6，且各次射击的结果互不影响，则该射手射击30次恰有18次击中目标的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024上·黑龙江·高二校联考期末）设随机变量，则（ ）
A．2 B．3 C．6 D．7
4．（2024·全国·模拟预测）已知随机变量，若，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2024上·河南·高二校联考期末）一个不透明的袋子有10个除颜色不同外，大小 质地完全相同的球，其中有6个黑球，4个白球.现进行如下两个试验，试验一：逐个不放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为，期望和方差分别为；试验二：逐个有放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为，期望和方差分别为.则下列判断正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024·全国·高二假期作业）两组各有3人独立的破译某密码，组每个人成功破译出该密码的概率为，组每个人成功破译出该密码的概率为，记两组中成功破译出该密码的人数分别为，若，则下列关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024·全国·高二假期作业）已知，且，，则下列说法不正确的有（ ）
A．， B．
C． D．中是最大值
8．（2024·全国·高二假期作业）经检测一批产品中每件产品的合格率为，现从这批产品中任取5件，设取得合格产品的件数为，则以下选项正确的是（ ）
A．的可能取值为1，2，3，4，5 B．
C．的概率最大 D．服从超几何分布
二、多选题
9．（2023·全国·高三专题练习）若随机变量，则（ ）
A． B． C． D．
10．（2024·全国·高三专题练习）一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，则下列说法正确的是（ ）
A．从中任取3球，恰有2个白球的概率是；
B．从中有放回的取球6次，每次任取一球，设取到红球次数为X，则；
C．现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为；
D．从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到白球的概率为.
三、填空题
11．（2023下·广东肇庆·高二校考期末）设随机变量，，若，则 ， .
12．（2023上·山东德州·高二校考阶段练习）如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着若干排相互平行但错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入，小球下落过程中，每次碰到小木钉后可能向左或向右落下，其中向左落下的概率为，向右下落的概率为，最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为，，，，，则小球落入 号格子的概率最大.图片仅供参考
四、解答题
13．（2023·四川达州·统考一模）中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统.从全球应用北斗卫星的城市中随机选取了40个城市进行调研，下图是这40个城市北斗卫星导航系统与位置服务产业的产值（单位：万元）的频率分布直方图：
(1)根据频率分布直方图，求产值小于610万元的调研城市个数，并估计产值的中位数；
(2)视频率为概率，从全球应用北斗卫星的城市中任取5个城市，求恰有2个城市的产值超过600万元的概率.
14．（2023上·全国·高三专题练习）某地政府为鼓励大学生创业，制定了一系列优惠政策．已知创业项目甲成功的概率为，项目成功后可获得政府奖金20万元；创业项目乙成功的概率为，项目成功后可获得政府奖金30万元．项目没有成功，则没有奖励，每个项目有且只有一次实施机会，两个项目的实施是否成功互不影响，项目成功后当地政府兑现奖励．
(1)大学毕业生张某选择创业项目甲，毕业生李某选择创业项目乙，记他们获得的奖金累计为X(单位：万元)，若的概率为.求的大小；
(2)若两位大学毕业生都选择创业项目甲或创业项目乙进行创业，问：他们选择何种创业项目，累计得到的奖金的均值更大？
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第06讲 7.4.1 二项分布
课程标准 学习目标
①理解相互独立事件的概念，理解独立重 复试验的概念，理解二项分布的概率模型。 ②理解相互独立事件的概率模型.伯努利 试验的特点。 ③掌握二项分布的特点，会求二项分布 列，期望与方差。 通过本节课的学习，要求会求二项分布列及应用分布列公式的特点求解相关量及参数，会求二项分布列的期望与方差
知识点1：重伯努利试验(次独立重复试验)
（1）重伯努利试验的定义
①我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验.
②将一个伯努利试验独立地重复进行次所组成的随机试验称为重伯努利试验.
（2）重伯努利试验的特征
①每次试验是在同样条件下进行的，有关事件的概率保持不变；
②各次试验中的事件是相互独立的，结果互不影响；
③每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生，这两种结果是对立的
（3）重伯努利试验的概率公式
一般地，如果在一次试验中事件发生的概率是,事件在次试验中发生次，共有种情形，由试验的独立性知，每种情形下，在次试验中发生，而在其余次试验中不发生的概率都是,所以由概率加法公式知，在重伯努利试验中，事件恰好发生次的概率为( ) .
知识点2：二项分布
（1）二项分布
一般地，在重伯努利试验中，设每次试验中事件发生的概率为()，用表示事件发生的次数，则的分布列为，.
如果随机变量的分布列具有上式的形式，则称随机变量服从二项分布，记作．
【即学即练1】（2023·全国·高二专题练习）某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从道备选题中一次性随机抽取道题，按照题目要求独立完成．规定：至少正确完成其中道题便可通过．已知道备选题中应聘者甲有道题能正确完成，道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响．
(1)求甲恰好正确完成两个面试题的概率；
(2)求乙正确完成面试题数的分布列及其期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【详解】（1）解：由题意得：
设甲正确完成面试的题数为，则的取值范围是． ；
（2）设乙正确完成面试的题数为，则取值范围是．
，，
，．
应聘者乙正确完成题数的分布列为
（2）明确二项分布中的各量表示的意义
：伯努利试验的次数
： 事件发生的次数
：每次试验中事件发生的概率
分布列：，
结论：随机变量服从参数为,的二项分布
记法：记作,并称为成功概率
（3）二项分布的均值与方差
若随机变量服从参数为,的二项分布，即,则, .
【即学即练2】（2023上·高二课时练习）已知随机变量X服从二项分布，若，，求的值.
【答案】
【详解】由二项分布的期望、方差公式可得：.
题型01 重伯努利试验的判断
【典例1】（2023上·高二课时练习）判断正误（正确的写正确，错误的打写错误）
（1）有放回地抽样试验是重伯努利试验．( )
（2）在重伯努利试验中，各次试验的结果相互没有影响．( )
（3）在重伯努利试验中，各次试验中事件发生的概率可以不同．( )
（4）如果在1次试验中某事件发生的概率是，那么在重伯努利试验中这个事件恰好发生k次的概率.( )
【答案】 正确 正确 错误 正确
【详解】（1）中，在有放回地抽样试验中，其中每次抽取之间是相互独立的，所以是重伯努利试验，所以（1）正确；
（2）中，在重伯努利试验中，每次的试验结果之间世相互独立的，所以各次试验的结果相互没有影响，所以（2）正确；
（3）中，在重伯努利试验中，各次试验中事件发生的概率是相同的，所以（3）错误；
（4）如果在1次试验中某事件发生的概率是p，根据独立重复试验的概率公式，可得在重伯努利试验中这个事件恰好发生k次的概率，所以（4）正确.
故答案为：（1）正确；（2）正确；（3）错误；（4）正确.
【典例2】（2022·高二课时练习）重伯努利试验应满足的条件：
①各次试验之间是相互独立的；②每次试验只有两种结果；
③各次试验成功的概率是相同的；④每次试验发生的事件是互斥的．
其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①②③ D．①②④
【答案】C
【详解】解：只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验，将一个伯努利试验独立地重复进行次所组成的随机试验称为重伯努利试验，
故重伯努利试验应满足的条件：
①各次试验之间是相互独立的；
②每次试验只有两种结果；
③各次试验成功的概率是相同的；
故选：C
【典例3】（2022·高二课时练习）以下真命题共有 个．
①在n重伯努利试验中，各次试验的结果相互没有影响；
②在n重伯努利试验中，各次试验中某事件发生的概率可以不同；
③如果在1次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率．
【答案】2
【详解】①，n重伯努利试验是相互独立试验，各次试验的结果相互没有影响，①是真命题.
②，n重伯努利试验是独立重复试验，各次试验中某事件发生的概率相同，②是假命题.
③，结合二项分布的知识可知，在n次独立重复试验中事件恰好发生k次的概率为，
所以③是真命题.
综上所述，真命题共有个.
故答案为：
【变式1】（2022·高二课时练习）判断正误
（1）在伯努利试验中，关注的是事件A是否发生，而在n重伯努利试验中，关注的是事件A发生的次数．( )
（2）n重伯努利试验中每次试验只有发生与不发生两种结果．( )
（3）将一枚硬币连续抛掷5次，则正面向上的次数的方差等于．( )
【答案】 正确 正确 错误
【详解】（1）在伯努利试验中，关注的是事件A是否发生，而在n重伯努利试验中，关注的是事件A发生的次数．故正确；（2）n重伯努利试验中每次试验只有发生与不发生两种结果．故正确；（3）将一枚硬币连续抛掷5次，则正面向上的次数的方差等于．故错误.
【变式2】（多选）（2022·高二课时练习）（多选）下列试验不是重伯努利试验的是（ ）．
A．依次投掷四枚质地不同的硬币
B．某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了次
C．口袋中装有个白球，个红球，个黑球，依次从中抽取个球
D．小明做道难度不同的数学单选题
【答案】ACD
【详解】A．由于试验的条件不同（硬币质地不同），因此不是重伯努利试验．
B．某人射击，击中目标的概率是稳定的，因此是重伯努利试验．
C．每次抽取，每种颜色出现的可能性不相等，因此不是重伯努利试验．
D．道题难度不同，每道题做对的概率也不同，因此不是重伯努利试验．
故选：ACD．
【变式3】（2023下·高二课时练习）判断下列试验是不是n重伯努利试验：
(1)依次投掷四枚质地不同的硬币，3次正面向上；
(2)某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了10次，其中6次击中；
(3)口袋中装有5个白球，3个红球，2个黑球，依次从中抽取5个球，恰好抽出4个白球．
【答案】(1)不是n重伯努利试验
(2)是n重伯努利试验
(3)不是n重伯努利试验
【详解】（1）由题意，
∵试验的条件不同(质地不同)，
∴不是n重伯努利试验
（2）由题意，
∵某人射击且击中的概率是稳定的，
∴是n重伯努利试验．
（3）由题意，
∵每次抽取，试验的结果有三种不同的颜色，且每种颜色出现的可能性不相等，
∴不是n重伯努利试验．
题型02 重伯努利试验的概率问题
【典例1】（2023下·福建南平·高二统考期末）在重伯努利试验中，设每次成功的概率为，则失败的概率为，将试验进行到恰好出现次成功时结束试验，用随机变量表示试验次数，则称服从以，为参数的帕斯卡分布，记为.已知，若，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为，所以，
解得，即的最大值为.
故选：C
【典例2】（2022上·吉林长春·高二东北师大附中校考期末）某n重伯努利试验中，事件A发生的概率为p，事件A发生的次数记为X，，，则 ．
【答案】/0.2
【详解】依题意得X服从二项分布，则，解得，
故答案为：．
【典例3】（2024·江苏·高二假期作业）将3个不同的小球随机投入编号分别为1，2，3，4的4个盒子中（每个盒子容纳的小球的个数不限），则1号盒子中有2个小球的概率为 ，2号盒子中小球的个数的数学期望为 .
【答案】 /
【详解】由于每个小球投入每个盒子是可能的，故每个小球放入1号盒子的概率为，不放入1号盒子的概率为，
故1号盒子中有2个小球个概率，
同理，每个小球放入2号盒子的概率为，不放入2号盒子的概率为，
将3个小球投放到4个盒子中，则2号盒子中小球的个数，
故.
故答案为：；.
【变式1】（2021·高二课时练习）若某一试验中事件发生的概率为，则在重伯努利试验中，发生次的概率为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】由于，则，所以在重伯努利试验中，事件发生次的概率为．
故选：D．
【变式2】（2024·全国·高三专题练习）一次掷两枚骰子，若两枚骰子点数之和为4或5或6，则称这是一次成功试验．现进行四次试验，则恰出现一次成功试验的概率为 ．
【答案】
【详解】一次掷两枚骰子，两枚骰子点数之和为4的情况有3种，
两枚骰子点数之和为5的情况有4种，
两枚骰子点数之和为6的情况有5种，
在一次试验中，出现成功试验的概率，
设出现成功试验的次数为，则，
所以重复做这样的试验4次，则恰出现一次成功试验的概率为，
故答案为：．
【变式3】（2023下·广东潮州·高二统考期末）在3重伯努利试验中事件出现的概率相同，若事件A至少出现1次的概率为，则事件A在1次试验中出现的概率为 ．
【答案】
【详解】记“A至少发生1次”为事件，则表示其对立事件“A发生0次”，
事件A的发生符合二项分布，设事件A在1次试验中出现的概率为p，
，
所以，
所以，解得 ，
故答案为：．
题型03 二项分布及其应用
【典例1】（2024上·广东广州·高二华南师大附中校考期末）为了响应教育部门疫情期间“停课不停学”的号召，某校实施网络授课，为了检验学生上网课的效果，在高三年级进行了一次网络模拟考试，从中抽取了100人的数学成绩，绘制成频率分布直方图（如下图所示），其中数学成绩落在区间[110，120），[120，130），[130，140]的频率之比为4：2：1.

(1)根据频率分布直方图求学生成绩在区间[110，120）的频率，并求抽取的这100名同学数学成绩的中位数
(2)若将频率视为概率，从全校高三年级学生中随机抽取3个人，记抽取的3人成绩在[100，130）内的学生人数为，求的分布列.
【答案】(1)频率为；中位数为
(2)分布列见解析
【详解】（1）由直方图可知，数学成绩落在区间内的频率为,
所以数学成绩落在区间内的频率为，
因为数学成绩落在区间[110，120），[120，130），[130，140]的频率之比为4：2：1，
所以数学成绩落在区间[110，120）的频率为，
数学成绩落在区间[70，100）的频率为，
所以中位数落在区间内，
设中位数为，则，解得，
所以抽取的这100名同学数学成绩的中位数为.
（2）由（1）知，数学成绩落在区间[100，130）内的频率为，
由题意可知，，的所有可能取值为，
，，
，，
所以的分布列为：
0 1 2 3
【典例2】（2024上·全国·高三专题练习）某电商车间生产了一批电子元件，为了检测元件是否合格，质检员设计了如图，甲所示的电路.于是他在一批产品中随机抽取了电子元件，，安装在如图甲所示的电路中，已知元件的合格率都为，元件的合格率都为.

(1)质检员在某次检测中，发现小灯泡亮了，他认为这三个电子元件都是合格的，求该质检员犯错误的概率；
(2)经反复测验，质检员把一些电子元件，接入了图乙的电路中，记该电路中小灯泡亮的个数为，求的分布列.
【答案】(1)
(2)分布列见解析
【详解】（1）当小灯泡亮的时候，后一个元件是合格的，前面的AB至少有一个是合格的，
概率，
小灯泡亮了，并且质检员犯错误的情况，对于前面的元件，分为两大类：
第一类：元件合格，元件不合格，故，
第二类：元件合格，元件不合格，故，
所以在发现小灯泡亮了的前提下，该质检员犯错误的概率为：.
（2）在图甲中，记小灯泡亮的概率为，则，
所以服从二项分布：，
则，，
，.
∴的分布列为：
0 1 2 3
【典例3】（2024·全国·高三专题练习）在一个系统中，每一个设备能正常工作的概率称为设备的可靠度，而系统能正常工作的概率称为系统的可靠度，为了增加系统的可靠度，人们经常使用“备用冗余设备”（即正在使用的设备出故障时才启动的设备）．已知某计算机网络服务器系统采用的是“一用两备”（即一台正常设备，两台备用设备）的配置，这三台设备中，只要有一台能正常工作，计算机网络就不会断掉．系统就能正常工作．设三台设备的可靠度均为，它们之间相互不影响．
(1)要使系统的可靠度不低于0.992，求的最小值；
(2)当时，求能使系统正常工作的设备数的分布列；
(3)已知某高科技产业园当前的计算机网络中每台设备的可靠度是0.7，根据以往经验可知，计算机网络断掉可给该产业园带来约50万的经济损失．为减少对该产业园带来的经济损失，有以下两种方案：
方案1：更换部分设备的硬件，使得每台设备的可靠度维持在0.8，更换设备硬件总费用为0.8万元；
方案2：花费0.5万元增加一台可靠度是0.7的备用设备，达到“一用三备”．
请从经济损失期望最小的角度判断决策部门该如何决策？并说明理由．
【答案】(1)0.8
(2)答案见解析
(3)决策部门应选择方案2，理由见解析
【详解】（1）要使系统的可靠度不低于0.992，设能正常工作的设备数为，
则，
解得，故的最小值为0.8．
（2）设为正常工作的设备数，由题意可知，，
，
，
，
，
从而的分布列为：
0 1 2 3
0.027 0.189 0.441 0.343
（3）设方案1 方案2的总损失分别为，，
采用方案1，更换部分设备的硬件，使得每台设备的可靠度维持在0.8，
可知计算机网络断掉的概率为：，
故万元．
采用方案2，花费0.5万元增加一台可靠度是0.7的备用设备，达到“一用三备”，
计算机网络断掉的概率为：，
故万元．
因此，从经济损失期望最小的角度，决策部门应选择方案2．
【变式1】（2024上·辽宁沈阳·高二沈阳市第八十三中学校联考期末）有8件产品，其中4件是次品，从中有放回地取3次（每次1件），若X表示取得次品的次数，则
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为是有放回地取产品，所以每次取产品取到次品的概率为．从中取3次，为取得次品的次数，则,
,选择D答案．
【变式2】（2024上·广东深圳·高三统考期末）已知某地中学生的男生和女生的人数比例是，为了解该地中学生对羽毛球和乒乓球的喜欢情况，现随机抽取部分中学生进行调查，了解到该地中学生喜欢羽毛球和乒乓球的概率如下表：
男生 女生
只喜欢羽毛球 0.3 0.3
只喜欢乒乓球 0.25 0.2
既喜欢羽毛球，又喜欢乒乓球 0.3 0.15
(1)从该地中学生中随机抽取1人，已知抽取的这名中学生喜欢羽毛球，求该中学生也喜欢乒乓球的概率；
(2)从该地中学生中随机抽取100人，记抽取到的中学生既喜欢羽毛球，又喜欢乒乓球的人数为，求的分布列和期望.
【答案】(1)；
(2)分布列见解析，24.
【详解】（1）记事件表示从该地中学生中随机抽取1人，被抽取的这名中学生喜欢羽毛球，
事件表示从该地中学生中随机抽取1人，被抽取的这名中学生喜欢乒乓球，
则，
，
所以所求的概率.
（2）由（1）知从该地中学生中随机抽取1人，被抽取的这名中学生既喜欢羽毛球，又喜欢乒乓球的概率，
因此，
所以的分布列为，
期望为.
【变式3】（2024上·安徽合肥·高三合肥一六八中学校联考期末）甲、乙两人进行射击比赛，每次比赛中，甲 乙各射击一次，甲 乙每次至少射中8环.根据统计资料可知，甲击中8环 9环 10环的概率分别为，乙击中8环 9环 10环的概率分别为，且甲 乙两人射击相互独立.
(1)在一场比赛中，求乙击中的环数少于甲击中的环数的概率；
(2)若独立进行三场比赛，其中X场比赛中甲击中的环数多于乙击中的环数，求的分布列与数学期望.
【答案】(1)0.2
(2)分布列见解析，数学期望为0.6
【详解】（1）设乙击中的环数少于甲击中的环数为事件，
则事件包括：甲击中9环乙击中8环，甲击中10环乙击中8环，甲击中10环乙击中9环，
则.
（2）由题可知的所有可能取值为，
由（1）可知，在一场比赛中，甲击中的环数多于乙击中的环数的概率为0.2，
则，
所以，
，
故的分布列为
0 1 2 3
0.512 0.384 0.096 0.008
所以.
题型04 二项分布的均值与方差
【典例1】（2024上·湖北十堰·高三统考期末）某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取份作为样本，将个样本数据按、、、、、分成组，并整理得到如下频率分布直方图.
(1)请通过频率分布直方图估计这份样本数据的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.
(2)以样本频率估计概率，若竞赛成绩不低于分，则被认定为成绩合格，低于分说明成绩不合格.从参加知识竞赛的市民中随机抽取人，用表示成绩合格的人数，求的分布列及数学期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【详解】（1）解：由频率分布直方图可知，份样本数据的平均值为
.
（2）解：竞赛成绩不低于分的频率为，
低于分的频率为.
由题意可知，，
，
，
，
，，
所以的分布列为
期望.
【典例2】（2024上·内蒙古鄂尔多斯·高三统考期末）为了检查工厂生产的某产品的质量指标，随机抽取了部分产品进行检测，所得数据统计如下图所示.（注：产品质量指标达到130及以上为优质品）；
(1)求的值以及这批产品的优质率；
(2)以本次抽检的频率作为概率，从工厂生产的所有产品中随机抽出件，记这件中优质产品的件数为，求的分布列与数学期望.
【答案】(1)，优质率为25%
(2)分布列见解析，1
【详解】（1）因为，所以，
产品质量指标超过130的频率为，
所以这批产品的优质率为；
（2）因为抽到产品为优质产品的频率为0.25，
以频率作为概率，所以每件产品为优质产品的概率为，
所以4件产品中优质产品的件数，
则，，
所以，，
，，
，
所以的分布列为
0 1 2 3 4
P
.
【典例3】（2024下·全国·高二随堂练习）为庆祝中国共产党成立周年，某市开展了党史知识竞赛活动，竞赛结束后，为了解本次竞赛的成绩情况，从所有参赛学生中随机抽取了名学生的竞赛成绩作为样本，数据整理后，统计结果如表所示．
成绩区间
频数
假设用样本频率估计总体概率，且每个学生的竞赛成绩相互独立．
(1)为了激励学生学习党史的热情，决定对竞赛成绩优异的学生进行表彰，如果获得表彰的学生占样本总人数的，试估计获奖分数线；
(2)该市决定从全市成绩不低于分的学生中随机抽取人参加省级党史知识竞赛，成绩在的人数为，求的分布列和数学期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【详解】（1）解：由表格知，成绩在的频率为，成绩在的频率为，
成绩在的频率为，
设获奖分数线为，则，
所以，，解得．
（2）解：从全市成绩不低于分的学生中随机抽取一人参加省级党史知识竞赛，
成绩在的概率为，
由题意知，，则的可能取值有、、、、，
则，，
，，
，
所以的分布列为
故．
【变式1】（2024上·四川内江·高三四川省内江市第一中学校考阶段练习）某大型企业生产的产品细分为10个等级，为了解这批产品的等级分布情况，从流水线上随机抽取了1000件进行检测、分类和统计，并依据以下规则对产品进行评分：检测到1级到3级的评为优秀，检测到4级到6级的评为良好，检测到7级到9级的评为合格，检测到10级的评为不合格.以下把频率视为概率，现有如下检测统计表：
等级 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
频数 10 90 100 150 150 200 100 100 50 50
(1)从这1000件产品中随机抽取1件，请估计这件产品评分为良好或优秀的概率；
(2)从该企业的流水线上随机抽取4件产品，设这一件产品中评分为优秀的产品个数为，求的分布列、期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，期望.
【详解】（1）记事件A：产品的评分为优秀，事件B：产品的评分为良好
根据统计学原理，可以用样本来估计总体，
由统计表得，，
因为A，B互斥，所以可以估计这件产品评分为良好或优秀的概率为.
（2）由（1）知，评分为优秀的概率为，由题意得，的可能值为，
则，
，，
，，
.
所以的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
.
【变式2】（2024·河南郑州·统考一模）某自行车厂为了解决复合材料制成的自行车车架应力不断变化问题，在不同条件下研究结构纤维按不同方向及角度黏合强度，在两条生产线上同时进行工艺比较实验，为了比较某项指标的对比情况，随机地抽取了部分甲生产线上产品该项指标的值，并计算得到其平均数，中位数，随机地抽得乙生产线上100件产品该项指标的值，并绘制成如下的频率分布直方图．
(1)求乙生产线的产品指标值的平均数与中位数（每组值用中间值代替，结果精确到0.01），并判断乙生产线较甲生产线的产品指标值是否更好（如果，则认为乙生产线的产品指标值较甲生产线的产品指标值更好，否则不认为更好）．
(2)用频率估计概率，现从乙生产线上随机抽取5件产品，抽出指标值不小于70的产品个数用表示，求的数学期望与方差．
【答案】(1)，，乙生产线较甲生产线的产品指标值更好
(2)
【详解】（1），
因为，
所以中位数在区间上，
则，解得，
即中位数，
因为，
所以乙生产线较甲生产线的产品指标值更好；
（2）指标值不小于70的概率为，
由题意可得，
所以.
【变式3】6（2024·全国·高二假期作业）为了检查工厂生产的某产品的质量指标，随机抽取了部分产品进行检测，所得数据统计如下图所示.

(1)求的值以及这批产品的优质率：（注：产品质量指标达到130及以上为优质品）；
(2)若按照分层的方法从质量指标值在的产品中随机抽取件，再从这件中随机抽取件，求至少有一件的指标值在的概率；
(3)以本次抽检的频率作为概率，从工厂生产的所有产品中随机抽出件，记这件中优质产品的件数为，求的分布列与数学期望.
【答案】(1)，优质率为25%
(2)
(3)分布列见解析，
【详解】（1）因为，所以，
产品质量指标超过130的频率为，
所以这批产品的优质率为25%.
（2）因为质量指标在和的频率分别为0.4和0.3.
所以质量指标在产品中抽取7件，则质量指标在有件，质量指标在有件.
所以从这7件中任取2件，至少有一件质量指标在的概率为.
（3）因为抽到产品为优质产品的频率为0.25，以频率作为概率，所以每件产品为优质产品的概率为.
所以4件产品中优质产品的件数.
则，，
所以，，
，，
，
所以的分布列为
0 1 2 3 4
P
.
题型05服从二项分布的概率最值问题
【典例1】（2024·全国·高三专题练习）已知随机变量，若对，都有，则的取值范围是 ．
【答案】
【详解】由，得，
当，即时，；
当，即时，，
而，即，则当时，；
当时，，因此，
则，
所以的取值范围是．
故答案为：
【典例2】（2024上·江西赣州·高二统考期末）现有一种趣味答题比赛，其比赛规则如下：①每位参赛者最多参加5轮比赛；②每一轮比赛中，参赛选手从10道题中随机抽取4道回答，每答对一道题积2分，答错或放弃均积0分；③每一轮比赛中，获得积分至少6分的选手将获得“挑战达人”勋章一枚；④结束所有轮比赛后，参赛选手还可以凭总积分获得相对应的礼品．据主办方透露：这10道题中有7道题是大家都会做的，有3道题是大家都不会做的．
(1)求某参赛选手在一轮比赛中所获得积分X的分布列和期望；
(2)若参赛选手每轮获得勋章的概率稳定且每轮是否获得勋章相互独立．问：某参赛选手在5轮参赛中，获得多少枚“挑战达人”勋章的概率最大？
【答案】(1)分布列见解析，数学期望为
(2)获得3枚或4枚“挑战达人”勋章的概率最大.
【详解】（1）由题知：可取2，4，6，8，
则，，
，，
故的分布列为：
2 4 6 8
则的期望.
（2）解法一：由（1）知参赛选手在一轮比赛中获得“挑战达人”勋章的概率为，
则某参赛选手在5轮挑战比赛中，记获得“挑战达人”勋章的枚数为，则，
故（），
假设当时，概率最大，则，
解得，而.
故某参赛选手在5轮挑战比赛中，获得3枚或4枚“挑战达人”勋章的概率最大．
解法二：由（1）知参赛选手在一轮获得“挑战达人”勋章的概率为，
则某参赛选手在5轮挑战比赛中，获得“挑战达人”勋章的枚数为，则，
故（），
所以Y的分布列为：
0 1 2 3 4 5
从分布列中可以看出，概率最大为，
所以参赛选手在5轮挑战比赛中，获得3枚或4枚“挑战达人”勋章的概率最大．
【典例3】（2024·全国·高二假期作业）某学校为了提升学生学习数学的兴趣，举行了“趣味数学”闯关比赛，每轮比赛从10道题中任意抽取3道回答，每答对一道题积1分.已知小明同学能答对10道题中的6道题.
(1)求小明同学在一轮比赛中所得积分的分布列和期望；
(2)规定参赛者在一轮比赛中至少积2分才视为闯关成功，若参赛者每轮闯关成功的概率稳定且每轮是否闯关成功相互独立，问：小明同学在5轮闯关比赛中，需几次闯关成功才能使得对应概率取值最大？
【答案】(1)分布列见解析，
(2)3次或4次
【详解】（1）由题知：可取0，1，2，3，则:
，，
，，
故的分布列为：
0 1 2 3
则的期望为：.
（2）方法1、参赛者在一轮比赛中至少积2分才视为闯关成功，记概率为
若小明同学在5轮闯关比赛中，记闯关成功的次数为，则.
故
所以的分布列为：
0 1 2 3 4 5
故小明同学在5轮闯关比赛中，需3次或4次闯关成功才能使得对应概率取值最大.
方法2、参赛者在一轮比赛中至少积2分才视为闯关成功，记概率为
若小明同学在5轮闯关比赛中，记闯关成功的次数为，则
故
∴假设当时，对应概率取值最大，则
解得，而
故小明同学在5轮闯关比赛中，需3次或4次闯关成功才能使得对应概率取值最大.
【变式1】（2024·云南昆明·统考一模）聊天机器人（chatterbot）是一个经由对话或文字进行交谈的计算机程序.当一个问题输入给聊天机器人时，它会从数据库中检索最贴切的结果进行应答.在对某款聊天机器人进行测试时，如果输入的问题没有语法错误，则应答被采纳的概率为80%，若出现语法错误，则应答被采纳的概率为30%.假设每次输入的问题出现语法错误的概率为10%.
(1)求一个问题的应答被采纳的概率；
(2)在某次测试中，输入了8个问题，每个问题的应答是否被采纳相互独立，记这些应答被采纳的个数为，事件（）的概率为，求当最大时的值.
【答案】(1)0.75
(2)6
【详解】（1）记“输入的问题没有语法错误”为事件， “一次应答被采纳”为事件，
由题意，，，则
，
.
（2）依题意，，，
当最大时，有
即解得：，，
故当最大时，.
【变式2】（2024上·广东东莞·高三统考期末）某区域中的物种C有A种和B种两个亚种．为了调查该区域中这两个亚种的数目比例（A种数目比B种数目少），某生物研究小组设计了如下实验方案：①在该区域中有放回的捕捉50个物种C，统计其中A种数目，以此作为一次试验的结果；②重复进行这个试验n次（其中），记第i次试验中的A种数目为随机变量（）；③记随机变量，利用的期望和方差进行估算．设该区域中A种数目为M，B种数目为N，每一次试验都相互独立．
(1)已知，，证明：，；
(2)该小组完成所有试验后，得到的实际取值分别为（），并计算了数据（）的平均值和方差，然后部分数据丢失，仅剩方差的数据．
（ⅰ）请用和分别代替和，估算和；
（ⅱ）在（ⅰ）的条件下，求的分布列中概率值最大的随机事件对应的随机变量的取值．
【答案】(1)证明见解析
(2)（ⅰ），；（ⅱ）15
【详解】（1）由题可知（，2，…，n）均近似服从完全相同的二项分布，
则，，
，
，
所以，.
（2）（ⅰ）由（1）可知，
则的均值，的方差，
所以，解得或，
由题意可知：，则，
所以，；
（ⅱ）由（ⅰ）可知：，则，
则，
由题意可知：，
解得，且，则，
所以的分布列中概率值最大的随机事件对应的随机变量的取值为15.
【变式3】（2024下·全国·高二随堂练习）4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”.为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了500名高一学生进行在线调查，得到了这500名学生的日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成、、、、、、、、九组，绘制成如图所示的频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中的值；
(2)为进一步了解这500名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在、、三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记日平均阅读时间在内的学生人数为，求的分布列和数学期望；
(3)以样本的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取8名学生，用表示这8名学生中恰有名学生日平均阅读时间在内的概率，其中.当最大时，请直接写出的值.（不需要说明理由）
【答案】(1)
(2)分布列见解析
(3)
【详解】（1）由概率和为1得：，
解得；
（2）由频率分布直方图得：这500名学生中日平均阅读时间在、、三组内的学生人数分别为：
人，人，人，
若采用分层抽样的方法抽取了10人，
则应从阅读时间在中抽取5人，从阅读时间在中抽取4人，从阅读时间在中抽取1人，
现从这10人中随机抽取3人，则的可能取值为0，1，2，3，
，，
，，
的分布列为：
0 1 2 3
数学期望．
（3），理由如下：
由频率分布直方图得学生日平均阅读时间在,内的概率为0.50，
从该地区所有高一学生中随机抽取8名学生，恰有名学生日平均阅读时间在,内的分布列服从二项分布，
，由组合数的性质可得时最大．
A夯实基础 B能力提升
A夯实基础
一、单选题
1．（2024·全国·高二假期作业）若随机变量服从二项分布，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二项分布的概率公式求解即可.
【详解】因为随机变量服从二项分布，
所以.
故选：C
2．（2024·全国·高二假期作业）某射手每次射击击中目标的概率是0.6，且各次射击的结果互不影响，则该射手射击30次恰有18次击中目标的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】依据二项分布的概率公式来解.
【详解】设为射手在30次射击中击中目标的次数，则，
故在30次射击中，恰有18次击中目标的概率为.
故选：B.
3．（2024上·黑龙江·高二校联考期末）设随机变量，则（ ）
A．2 B．3 C．6 D．7
【答案】C
【分析】根据二项分布的方差公式及性质进行计算即可.
【详解】由题意得，
故.
故选：C.
4．（2024·全国·模拟预测）已知随机变量，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二项分布的期望和方差公式即可求解，进而根据二项分布的概率公式求解即可.
【详解】因为，所以，解得，
所以．
故选：C．
5．（2024上·河南·高二校联考期末）一个不透明的袋子有10个除颜色不同外，大小 质地完全相同的球，其中有6个黑球，4个白球.现进行如下两个试验，试验一：逐个不放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为，期望和方差分别为；试验二：逐个有放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为，期望和方差分别为.则下列判断正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】分别计算从中随机地无放回摸出3个球、从中随机地有放回摸出3个球的期望、方差，再做比较可得答案.
【详解】①从中随机地无放回摸出3个球，记白球的个数为的可能取值是，
则，
故随机变量的概率分布列为
0 1 2 3
则数学期望为，
方差为.
②从中随机地有放回摸出3个球，则每次摸到白球的概率为，
则，故，，
故.
故选：D.
6．（2024·全国·高二假期作业）两组各有3人独立的破译某密码，组每个人成功破译出该密码的概率为，组每个人成功破译出该密码的概率为，记两组中成功破译出该密码的人数分别为，若，则下列关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由题意分析，均服从二项分布，利用二项分布的均值和方差公式直接求得.
【详解】由题意可知：服从二项分布，所以.
同理：服从二项分布，所以.
因为，所以，所以.
对于二次函数，对称轴，所以在上函数单调递增，
所以当时，有，即.
故选：C
7．（2024·全国·高二假期作业）已知，且，，则下列说法不正确的有（ ）
A．， B．
C． D．中是最大值
【答案】D
【分析】根据二项分布期望和方差公式建立方程求解即可判断AB；利用根据二项分布概率公式即可计算判断CD．
【详解】因为，，
所以，，
由，所以，，所以，，故A正确；
，B正确；
又，故C正确；
，
令，
故当时，所以，
而当时，所以，
因此是最大值，D错误．
故选：D．
8．（2024·全国·高二假期作业）经检测一批产品中每件产品的合格率为，现从这批产品中任取5件，设取得合格产品的件数为，则以下选项正确的是（ ）
A．的可能取值为1，2，3，4，5 B．
C．的概率最大 D．服从超几何分布
【答案】C
【分析】的可能取值包括0可判断A；可判断B；随机变量，，若取得最大值时,则有，，求出的值可判断C；服从二项分布可判断D.
【详解】对于A，的可能取值为0，1，2，3，4，5，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于D，由题意，随机变量，故D不正确；
对于C，随机变量，，
若取得最大值时，则:
，
则，解得，则．
故的概率最大，所以C正确；
故选：C.
二、多选题
9．（2023·全国·高三专题练习）若随机变量，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】根据二项分布的性质进行逐一求解判断即可.
【详解】A，，故A正确；
B，，故B错误；
C，，故C正确；
D，，故D错误.
故选：AC.
10．（2024·全国·高三专题练习）一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，则下列说法正确的是（ ）
A．从中任取3球，恰有2个白球的概率是；
B．从中有放回的取球6次，每次任取一球，设取到红球次数为X，则；
C．现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为；
D．从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到白球的概率为.
【答案】AD
【分析】根据古典概型的概率公式可判断A，根据二项分布的期望公式可判断C，根据条件概率的计算可判断C，根据对立重复事件的概率可求D.
【详解】对于A，从中任取3球，恰有2个白球的概率是,故A正确，
对于B, 从中有放回的取球6次，每次任取一球，设取到红球次数为X服从二项分布，即，故B错误，
对于C ,第一次取到红球后，第二次取球时，袋子中还有3个红球和2个白球，再次取到红球的概率为，故C错误，
对于D，有放回的取球，每次取到白球的概率为，没有取到白球的概率为，
所以取球3次没有取到白球的概率为，
.所以至少有一次取到白球的概率为，故D正确，
故选：AD
三、填空题
11．（2023下·广东肇庆·高二校考期末）设随机变量，，若，则 ， .
【答案】 /
【分析】根据已知条件，结合二项分布的期望与方差公式求解即可.
【详解】随机变量，且，
则，解得，
所以，
又，则，
，
所以.
故答案为：；.
12．（2023上·山东德州·高二校考阶段练习）如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着若干排相互平行但错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入，小球下落过程中，每次碰到小木钉后可能向左或向右落下，其中向左落下的概率为，向右下落的概率为，最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为，，，，，则小球落入 号格子的概率最大.图片仅供参考
【答案】7
【分析】小球下落需要次碰撞，每次向左落下的概率为，向右下落的概率为，归纳出小球掉入号格子，需要向左次，向右次，概率为，然后由小球落入号格子的概率最大，列不等式组求解．
【详解】小球下落需要次碰撞，每次向左落下的概率为，向右下落的概率为，
小球掉入号格子，需要向左次，概率为，
小球掉入号格子，需要向左次，向右次，概率为，
小球掉入号格子，需要向左次，向右次，概率为，
小球掉入号格子，需要向左次，向右次，概率为，
依此类推，小球掉入号格子，需要向左次，向右次，
概率为，
设小球落入号格子的概率最大，显然，，
则解得，又为整数，所以，
所以小球落入号格子的概率最大．
故答案为：．
四、解答题
13．（2023·四川达州·统考一模）中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统.从全球应用北斗卫星的城市中随机选取了40个城市进行调研，下图是这40个城市北斗卫星导航系统与位置服务产业的产值（单位：万元）的频率分布直方图：
(1)根据频率分布直方图，求产值小于610万元的调研城市个数，并估计产值的中位数；
(2)视频率为概率，从全球应用北斗卫星的城市中任取5个城市，求恰有2个城市的产值超过600万元的概率.
【答案】(1)12个；615.
(2)
【分析】（1）根据频率分布直方图小矩形面积求产值小于610万元的调研城市个数，并估计产值的中位数；
（2）由已知可得该分布满足，根据二项分布概率公式直接计算概率.
【详解】（1）由频率分布直方图可知产值于610万元的频率为，
所以产值小于610万元的调研城市个数为（个）；
设产值的中位数为，，
，，，所以产值的中位数为.
（2）由频率分布直方图可知城市的产值超600万元的概率为
，
设任取5个城市中城市的产值超过600万元的城市的个数为，
可知随机变量满足，所以.
14．（2023上·全国·高三专题练习）某地政府为鼓励大学生创业，制定了一系列优惠政策．已知创业项目甲成功的概率为，项目成功后可获得政府奖金20万元；创业项目乙成功的概率为，项目成功后可获得政府奖金30万元．项目没有成功，则没有奖励，每个项目有且只有一次实施机会，两个项目的实施是否成功互不影响，项目成功后当地政府兑现奖励．
(1)大学毕业生张某选择创业项目甲，毕业生李某选择创业项目乙，记他们获得的奖金累计为X(单位：万元)，若的概率为.求的大小；
(2)若两位大学毕业生都选择创业项目甲或创业项目乙进行创业，问：他们选择何种创业项目，累计得到的奖金的均值更大？
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）间接求，因为“”的对立事件是“”，由已知条件的概率建立等式即可求得；
（2）设两位大学毕业生都选择创业项目甲且创业成功的次数为，都选择创业项目乙且创业成功的次数为，则这两人选择项目甲累计获奖得奖金的数学期望为，选择项目乙累计获奖得奖金的数学期望为.又，服从二项分布，利用二项分布期望的计算公式以及期望的运算性质比较二者的大小即可.
【详解】（1）由已知可知，张某创业成功的概率为，李某创业成功的概率为，且两人是否创业成功互不影响，
记“这2人累计获得的奖金”的事件为A，则事件A的对立事件为“”，
∵，
∴，解得.
（2）设两位大学毕业生都选择创业项目甲且创业成功的次数为，都选择创业项目乙且创业成功的次数为，
则这两人选择项目甲累计获得的奖金的均值为，选择项目乙累计获得的奖金的均值为，
由已知可得，,，∴
∴
若，即，解得；
若，即，解得；
若，即，解得；
综上所述，当时，他们都选择项目甲进行创业，累计得到的奖金的均值更大；
当时，他们都选择项目乙进行创业，累计得到的奖金的均值更大；
当时，他们选择两项目进行创业，累计得到的奖金的均值相等．
B能力提升
一、单选题
1．（2024·全国·高二假期作业）若随机变量服从二项分布，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二项分布的概率公式求解即可.
【详解】因为随机变量服从二项分布，
所以.
故选：C
2．（2024·全国·高二假期作业）某射手每次射击击中目标的概率是0.6，且各次射击的结果互不影响，则该射手射击30次恰有18次击中目标的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】依据二项分布的概率公式来解.
【详解】设为射手在30次射击中击中目标的次数，则，
故在30次射击中，恰有18次击中目标的概率为.
故选：B.
3．（2024上·黑龙江·高二校联考期末）设随机变量，则（ ）
A．2 B．3 C．6 D．7
【答案】C
【分析】根据二项分布的方差公式及性质进行计算即可.
【详解】由题意得，
故.
故选：C.
4．（2024·全国·模拟预测）已知随机变量，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二项分布的期望和方差公式即可求解，进而根据二项分布的概率公式求解即可.
【详解】因为，所以，解得，
所以．
故选：C．
5．（2024上·河南·高二校联考期末）一个不透明的袋子有10个除颜色不同外，大小 质地完全相同的球，其中有6个黑球，4个白球.现进行如下两个试验，试验一：逐个不放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为，期望和方差分别为；试验二：逐个有放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为，期望和方差分别为.则下列判断正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】分别计算从中随机地无放回摸出3个球、从中随机地有放回摸出3个球的期望、方差，再做比较可得答案.
【详解】①从中随机地无放回摸出3个球，记白球的个数为的可能取值是，
则，
故随机变量的概率分布列为
0 1 2 3
则数学期望为，
方差为.
②从中随机地有放回摸出3个球，则每次摸到白球的概率为，
则，故，，
故.
故选：D.
6．（2024·全国·高二假期作业）两组各有3人独立的破译某密码，组每个人成功破译出该密码的概率为，组每个人成功破译出该密码的概率为，记两组中成功破译出该密码的人数分别为，若，则下列关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由题意分析，均服从二项分布，利用二项分布的均值和方差公式直接求得.
【详解】由题意可知：服从二项分布，所以.
同理：服从二项分布，所以.
因为，所以，所以.
对于二次函数，对称轴，所以在上函数单调递增，
所以当时，有，即.
故选：C
7．（2024·全国·高二假期作业）已知，且，，则下列说法不正确的有（ ）
A．， B．
C． D．中是最大值
【答案】D
【分析】根据二项分布期望和方差公式建立方程求解即可判断AB；利用根据二项分布概率公式即可计算判断CD．
【详解】因为，，
所以，，
由，所以，，所以，，故A正确；
，B正确；
又，故C正确；
，
令，
故当时，所以，
而当时，所以，
因此是最大值，D错误．
故选：D．
8．（2024·全国·高二假期作业）经检测一批产品中每件产品的合格率为，现从这批产品中任取5件，设取得合格产品的件数为，则以下选项正确的是（ ）
A．的可能取值为1，2，3，4，5 B．
C．的概率最大 D．服从超几何分布
【答案】C
【分析】的可能取值包括0可判断A；可判断B；随机变量，，若取得最大值时,则有，，求出的值可判断C；服从二项分布可判断D.
【详解】对于A，的可能取值为0，1，2，3，4，5，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于D，由题意，随机变量，故D不正确；
对于C，随机变量，，
若取得最大值时，则:
，
则，解得，则．
故的概率最大，所以C正确；
故选：C.
二、多选题
9．（2023·全国·高三专题练习）若随机变量，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】根据二项分布的性质进行逐一求解判断即可.
【详解】A，，故A正确；
B，，故B错误；
C，，故C正确；
D，，故D错误.
故选：AC.
10．（2024·全国·高三专题练习）一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，则下列说法正确的是（ ）
A．从中任取3球，恰有2个白球的概率是；
B．从中有放回的取球6次，每次任取一球，设取到红球次数为X，则；
C．现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为；
D．从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到白球的概率为.
【答案】AD
【分析】根据古典概型的概率公式可判断A，根据二项分布的期望公式可判断C，根据条件概率的计算可判断C，根据对立重复事件的概率可求D.
【详解】对于A，从中任取3球，恰有2个白球的概率是,故A正确，
对于B, 从中有放回的取球6次，每次任取一球，设取到红球次数为X服从二项分布，即，故B错误，
对于C ,第一次取到红球后，第二次取球时，袋子中还有3个红球和2个白球，再次取到红球的概率为，故C错误，
对于D，有放回的取球，每次取到白球的概率为，没有取到白球的概率为，
所以取球3次没有取到白球的概率为，
.所以至少有一次取到白球的概率为，故D正确，
故选：AD
三、填空题
11．（2023下·广东肇庆·高二校考期末）设随机变量，，若，则 ， .
【答案】 /
【分析】根据已知条件，结合二项分布的期望与方差公式求解即可.
【详解】随机变量，且，
则，解得，
所以，
又，则，
，
所以.
故答案为：；.
12．（2023上·山东德州·高二校考阶段练习）如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着若干排相互平行但错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入，小球下落过程中，每次碰到小木钉后可能向左或向右落下，其中向左落下的概率为，向右下落的概率为，最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为，，，，，则小球落入 号格子的概率最大.图片仅供参考
【答案】7
【分析】小球下落需要次碰撞，每次向左落下的概率为，向右下落的概率为，归纳出小球掉入号格子，需要向左次，向右次，概率为，然后由小球落入号格子的概率最大，列不等式组求解．
【详解】小球下落需要次碰撞，每次向左落下的概率为，向右下落的概率为，
小球掉入号格子，需要向左次，概率为，
小球掉入号格子，需要向左次，向右次，概率为，
小球掉入号格子，需要向左次，向右次，概率为，
小球掉入号格子，需要向左次，向右次，概率为，
依此类推，小球掉入号格子，需要向左次，向右次，
概率为，
设小球落入号格子的概率最大，显然，，
则解得，又为整数，所以，
所以小球落入号格子的概率最大．
故答案为：．
四、解答题
13．（2023·四川达州·统考一模）中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统.从全球应用北斗卫星的城市中随机选取了40个城市进行调研，下图是这40个城市北斗卫星导航系统与位置服务产业的产值（单位：万元）的频率分布直方图：
(1)根据频率分布直方图，求产值小于610万元的调研城市个数，并估计产值的中位数；
(2)视频率为概率，从全球应用北斗卫星的城市中任取5个城市，求恰有2个城市的产值超过600万元的概率.
【答案】(1)12个；615.
(2)
【分析】（1）根据频率分布直方图小矩形面积求产值小于610万元的调研城市个数，并估计产值的中位数；
（2）由已知可得该分布满足，根据二项分布概率公式直接计算概率.
【详解】（1）由频率分布直方图可知产值于610万元的频率为，
所以产值小于610万元的调研城市个数为（个）；
设产值的中位数为，，
，，，所以产值的中位数为.
（2）由频率分布直方图可知城市的产值超600万元的概率为
，
设任取5个城市中城市的产值超过600万元的城市的个数为，
可知随机变量满足，所以.
14．（2023上·全国·高三专题练习）某地政府为鼓励大学生创业，制定了一系列优惠政策．已知创业项目甲成功的概率为，项目成功后可获得政府奖金20万元；创业项目乙成功的概率为，项目成功后可获得政府奖金30万元．项目没有成功，则没有奖励，每个项目有且只有一次实施机会，两个项目的实施是否成功互不影响，项目成功后当地政府兑现奖励．
(1)大学毕业生张某选择创业项目甲，毕业生李某选择创业项目乙，记他们获得的奖金累计为X(单位：万元)，若的概率为.求的大小；
(2)若两位大学毕业生都选择创业项目甲或创业项目乙进行创业，问：他们选择何种创业项目，累计得到的奖金的均值更大？
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）间接求，因为“”的对立事件是“”，由已知条件的概率建立等式即可求得；
（2）设两位大学毕业生都选择创业项目甲且创业成功的次数为，都选择创业项目乙且创业成功的次数为，则这两人选择项目甲累计获奖得奖金的数学期望为，选择项目乙累计获奖得奖金的数学期望为.又，服从二项分布，利用二项分布期望的计算公式以及期望的运算性质比较二者的大小即可.
【详解】（1）由已知可知，张某创业成功的概率为，李某创业成功的概率为，且两人是否创业成功互不影响，
记“这2人累计获得的奖金”的事件为A，则事件A的对立事件为“”，
∵，
∴，解得.
（2）设两位大学毕业生都选择创业项目甲且创业成功的次数为，都选择创业项目乙且创业成功的次数为，
则这两人选择项目甲累计获得的奖金的均值为，选择项目乙累计获得的奖金的均值为，
由已知可得，,，∴
∴
若，即，解得；
若，即，解得；
若，即，解得；
综上所述，当时，他们都选择项目甲进行创业，累计得到的奖金的均值更大；
当时，他们都选择项目乙进行创业，累计得到的奖金的均值更大；
当时，他们选择两项目进行创业，累计得到的奖金的均值相等．
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