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第04讲 7.3.1 离散型随机变量的均值
课程标准 学习目标
①通过具体实例，理解离散型随机变量分布列的均值。 ②能解决与离散型随机变量相关的数学问题与实际问题中的均值的求解问题。 ③能解决一些与平均水平有关的简单问题与决策性问题。 通过本节课的学习,要求掌握离散型随机变量的均值，能解决与之相关的简单问题，有关决策性问题的处理意见与建议.会判断平均水平
知识点01：离散型随机变量的均值
（1）离散型随机变量的均值的概念
一般地，若离散型随机变量的概率分布为：
… …
… …
则称为随机变量的均值(mean)或数学期望(mathematical expectation),数学期望简称期望.
均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数,它综合了随机变量的取值和取值的概率,反映了随机变量取值的平均水平.
【即学即练1】（2024·全国·高三专题练习）已知离散型随机变量的分布列如下表：
1 3 5
0.3 0.4
则其数学期望（ ）
A．1 B．0.3 C．2.3 D．3.2
【答案】D
【详解】分布列中出现的所有的概率之和等于1．，，
随机变量的数学期望．
故选：D.
（2）离散型随机变量的均值的深层理解
①离散型随机变量的均值（数学期望）是个数值，是随机变量的一个重要特征数，反映的是离散型随机变量取值的平均水平.即若随机试验进行了次，根据的分布列，在次试验中，有次出现了,有次出现了,…,有次出现了，则次试验中，出现的平均值为，即.
②随机变量的均值与随机变量本身具有相同的单位.
③是一个实数，由的分布列唯一确定，即作为随机变量，是可变的，可取不同值，而是不变的，它描述取值的平均状态.
（3）两点分布的均值公式
一般地，如果随机变量服从两点分布，那么:
1 0
【即学即练2】（2024·全国·高二假期作业）已知离散型随机变量X的分布列服从两点分布，满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：因为随机变量X的分布列服从两点分布，
所以，
则，解得或，
又因，
所以，则，
所以.
故选：C.
（4）均值的性质
①若与都是随机变量，且，则由与之间分布列的关系可知.
②若与相互独立，则.
知识点02：样本均值与离散型随机变量均值的比较
（1）样本均值
样本数据；；；；记
均值：，其中.
（2）离散型随机变量均值
离散型随机变量的分布列
… …
… …
均值
知识点03：求离散型随机变量的均值步骤
(1)理解离散型随机变量的意义，写出所有可能的取值.
(2)判断离散型随机变量是否服从特殊分布（如两点分布等).若服从特殊分布，则可利用公式直接求解；若不服从特殊分布，则继续下面步骤.
(3)求出离散型随机变量取每个值的概率.
(4)写出离散型随机变量的分布列.
(5)利用均值的定义求.
其中求均值的关键是写出离散型随机变量的分布列，前提是准确列出所有可能的取值，并真正理解取值的意义.
题型01 两点分布的均值
【典例1】（2023下·山西吕梁·高二山西省交城中学校统考期中）已知随机变量服从两点分布，，则其成功概率为（ ）
A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6
【典例2】（2023下·浙江嘉兴·高二校考期中）已知随机变量X的取值为0，1，若，则X的均值为 .
【变式1】（2023·全国·高三专题练习）设随机变量服从两点分布，若，则（ ）
A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7
【变式2】（2023下·山西朔州·高二校联考阶段练习）已知随机变量X服从两点分布，，则 ， .
题型02 离散型随机变量均值公式及性质
【典例1】（2024·全国·高三专题练习）已知随机变量X的分布列为
X 1 2 3
P
且，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2024·全国·高二假期作业）设的分布列如图，又，则 .
1 2 3 4
P a
【典例3】（2024·全国·高三专题练习）随机变量的分布列如下列表格所示，其中为的数学期望，则 .
1 2 3 4 5
0.1 0.2 0.3 0.1
【变式1】（2024·全国·高三专题练习）随机变量X的分布列如表，则的值为（ ）
X 1 2 3
P 0.2 A 0.4
A．4.4 B．7.4 C．21.2 D．22.2
【变式2】（2024·全国·高三专题练习）已知离散型随机变量X的分布列如表：若离散型随机变量，则 ．
0 1 2 3
【变式3】（2024上·河南漯河·高三漯河高中校考阶段练习）已知，则 .
题型03离散型随机变量的均值
【典例1】（2024·福建漳州·统考模拟预测）2023年12月11日至12日中央经济工作会议在北京举行，会议再次强调要提振新能源汽车消费.发展新能源汽车是我国从“汽车大国”迈向“汽车强国”的必由之路.我国某地一座新能源汽车工厂对线下的成品车要经过多项检测，检测合格后方可销售，其中关键的两项测试分别为碰撞测试和续航测试，测试的结果只有三种等次：优秀、良好、合格，优秀可得5分、良好可得3分、合格可得1分，该型号新能源汽车在碰撞测试中结果为优秀的概率为，良好的概率为；在续航测试中结果为优秀的概率为，良好的概率为，两项测试相互独立，互不影响，该型号新能源汽车两项测试得分之和记为.
(1)求该型号新能源汽车参加两项测试仅有一次为合格的概率；
(2)求离散型随机变量的分布列与期望.
【典例2】（2024上·云南·高三校联考阶段练习）某学校有1000人，想通过验血的方式筛查出某种病毒的携带者，如果对每个人的血样逐一化验，需要化验1000次，统计专家提出了一种方法：随机地按10人一组分组，然后将各组10个人的血样混合再化验，如果混合血样呈阴性，说明这10个人全部阴性；如果混合血样呈阳性，说明其中至少有一个人呈阳性，就需要对这组的每个人再分别化验一次．假设某学校携带病毒的人数有10人．（）
(1)用样本的频率估计概率，若5个人一组，求一组混合血样呈阳性的概率；
(2)用统计专家这种方法按照5个人一组或10个人一组，问哪种分组方式筛查出这1000人中该病毒携带者需要化验次数较少？为什么？
【典例3】（2024上·北京通州·高三统考期末）民航招飞是指普通高校飞行技术专业（本科）通过高考招收飞行学生，报名的学生参加预选初检 体检鉴定 飞行职业心理学检测 背景调查 高考选拔等5项流程，其中前4项流程选拔均通过，则被确认为有效招飞申请，然后参加高考，由招飞院校择优录取.据统计，每位报名学生通过前4项流程的概率依次约为.假设学生能否通过这5项流程相互独立，现有某校高三学生甲 乙 丙三人报名民航招飞.
(1)估计每位报名学生被确认为有效招飞申请的概率；
(2)求甲 乙 丙三人中恰好有一人被确认为有效招飞申请的概率；
(3)根据甲 乙 丙三人的平时学习成绩，预估高考成绩能被招飞院校录取的概率分别为，设甲 乙 丙三人能被招飞院校录取的人数为X，求X的分布列及数学期望.
【典例4】（2024上·山西朔州·高三统考期末）已知某足球赛事的决赛将在甲、乙两队之间进行.其规则为：每一场比赛均须决出胜负，按主、客场制先进行两场比赛（第一场在甲队主场比赛），若某一队在前两场比赛中均获胜，则该队获得冠军；否则，两队需在中立场进行第三场比赛，且其获胜方为冠军.已知甲队在主场、客场、中立场获胜的概率依次为，，，且每场比赛的胜负均相互独立.
(1)当甲队获得冠军时，求决赛需进行三场比赛的概率；
(2)若主办方在决赛的前两场中共投资（千万元），则能在这两场比赛中共盈利（千万元）.如果需进行第三场比赛，且主办方在第三场比赛中投资（千万元），则能在该场比赛中盈利（千万元）.若主办方最多能投资一千万元，请以决赛总盈利的数学期望为决策依据，则其在前两场的投资额应为多少万元？
【变式1】（2024·吉林长春·东北师大附中校联考模拟预测）为了更好地推广冰雪体育运动项目，某中学要求每位同学必须在高中三年的每个冬季学期选修滑冰 滑雪 冰壶三类体育课程之一，且不可连续选修同一类课程，若某生在选修滑冰后，下一次选修滑雪的概率为：在选修滑雪后，下一次选修冰壶的概率为，在选修冰壶后，下一次选修滑冰的概率为.
(1)若某生在高一冬季学期选修了滑雪，求他在高三冬季学期选修滑冰的概率：
(2)若某生在高一冬季学期选修了滑冰，设该生在高中三个冬季学期中选修滑冰课程的次数为随机变量X，求X的分布列及期望，
【变式2】（2024上·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习）某校高三年级嘟嘟老师准备利用高中数学知识对甲、乙、丙三名学生在即将到来的全省适应性考试成绩进行预测，为此，他收集了三位同学近三个月的数学月考、周测成绩（满分150分），若考试成绩超过100分则称为“破百”．
甲：74，85，81，90，103，89，92，97，109，95；
乙：95，92，97，99，89，103，105，108，101，113；
丙：92，102，97，105，89，94，92，97．
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙三名同学的考试成绩相互独立．
(1)分别估计甲、乙、丙三名同学“破百”的概率；
(2)设这甲、乙、丙三名同学在这次决赛上“破百”的人数为，求的分布列和数学期望．
【变式3】（2024·全国·模拟预测）2023年国庆节假期期间，某超市举行了购物抽奖赢手机活动．活动规则如下：在2023年9月29日到2023年10月6日期间，消费金额（单位：元）不低于100元的顾客可以参与一次活动（假设每名顾客只消费一次），每5人一组，每人可以随机选取A或B两个字母，其中选取相同字母的人数较少者每人获得10元购物券，其他人获得抽取价值6999元手机的资格（例如5人中有2人选取A，则这2人每人获得10元购物券，另外3人获得抽取手机的资格；5人全部选取A，则这5人均获得抽取手机的资格），根据统计，在此活动期间，顾客在该超市消费金额的频率分布直方图如图所示．
(1)从活动期间在该超市购物的顾客中随机选取2名，求这2名顾客中恰有1人获得10元购物券的概率
(2)设每5人组获得购物券的人数为X．
（ⅰ）求X的分布列与数学期望：
（ⅰⅰ）若超市计划投入的活动经费（购买手机的费用与发放的购物券金额总和）不超过顾客消费总金额的10%，则每1000名顾客最多送出多少部手机？（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）
【变式4】（2024·河南·模拟预测）矮化密植是指应用生物或栽培措施使果树生长树冠紧凑的方法，它与常规的矮小栽培相比有许多优势，如采用这种矮化果树可以建立比常规果园定植密度更高的果园，不仅能提高土壤及光能利用率，还能够获得更多的早期经济效益.某乡镇计划引进A，B两种矮化果树，已知A种矮化果树种植成功率为，成功后每公顷收益7.5万元；B种矮化果树种植成功率为，成功后每公顷收益9万元.假设种植不成功时，种植A，B两种矮化果树每公顷均损失1.5万元，每公顷是否种植成功相互独立.
(1)甲种植户试种两种矮化果树各1公顷，总收益为X万元，求X的分布列及数学期望；
(2)乙种植户有良田6公顷，本计划全部种植A，但是甲劝说乙应该种植两种矮化果树各3公顷，请按照总收益的角度分析一下，乙应选择哪一种方案
题型04均值的实际应用
【典例1】（2024·山西临汾·统考一模）现有5个红色气球和4个黄色气球，红色气球内分别装有编号为1，3，5，7，9的号签，黄色气球内分别装有编号为2，4，6，8的号签.参加游戏者，先对红色气球随机射击一次，记所得编号为，然后对黄色气球随机射击一次，若所得编号为，则游戏结束；否则再对黄色气球随机射击一次，将从黄色气球中所得编号相加，若和为，则游戏结束；否则继续对剩余的黄色气球进行射击，直到和为为止，或者到黄色气球打完为止，游戏结束.
(1)求某人只射击两次的概率；
(2)若某人射击气球的次数与所得奖金的关系为，求此人所得奖金的分布列和期望.
【典例2】（2024上·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习）某校高三年级嘟嘟老师准备利用高中数学知识对甲、乙、丙三名学生在即将到来的全省适应性考试成绩进行预测，为此，他收集了三位同学近三个月的数学月考、周测成绩（满分150分），若考试成绩超过100分则称为“破百”．
甲：74，85，81，90，103，89，92，97，109，95；
乙：95，92，97，99，89，103，105，108，101，113；
丙：92，102，97，105，89，94，92，97．
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙三名同学的考试成绩相互独立．
(1)分别估计甲、乙、丙三名同学“破百”的概率；
(2)设这甲、乙、丙三名同学在这次决赛上“破百”的人数为，求的分布列和数学期望．
【典例3】（2024上·上海·高二统考期末）年月日至月日在国家会展中心举办中国国际进口博览会期间，为保障展会的顺利进行，有、两家外卖公司负责为部分工作者送餐.两公司某天各自随机抽取名送餐员工，统计公司送餐员工送餐数，得到如图频率分布直方图；统计两公司样本送餐数，得到如图送餐数分布茎叶图，已知两公司样本送餐数平均值相同.

(1)求的值
(2)求、的值
(3)为宣传道路交通安全法，并遵循按劳分配原则，公司决定员工送餐份后，每多送份餐对其进行一次奖励，并制定了两种不同奖励方案：
方案一：奖励现金红包元.
方案二：答两道交通安全题，答对题奖励元，答对题奖励元，答对题奖励元.员工每一道题答题相互独立且每题答对概率为与该员工交通安全重视程度相关）.
求下表中的值（用表示）；从员工收益角度出发，如何选择方案较优？并说明理由.
附：方案二综合收益满足公式，为该员工被奖励次数.
方案二奖励 元 元 元
概率
【变式1】（2024·福建漳州·统考模拟预测）2023年12月11日至12日中央经济工作会议在北京举行，会议再次强调要提振新能源汽车消费.发展新能源汽车是我国从“汽车大国”迈向“汽车强国”的必由之路.我国某地一座新能源汽车工厂对线下的成品车要经过多项检测，检测合格后方可销售，其中关键的两项测试分别为碰撞测试和续航测试，测试的结果只有三种等次：优秀、良好、合格，优秀可得5分、良好可得3分、合格可得1分，该型号新能源汽车在碰撞测试中结果为优秀的概率为，良好的概率为；在续航测试中结果为优秀的概率为，良好的概率为，两项测试相互独立，互不影响，该型号新能源汽车两项测试得分之和记为.
(1)求该型号新能源汽车参加两项测试仅有一次为合格的概率；
(2)求离散型随机变量的分布列与期望.
【变式2】（2024上·北京通州·高三统考期末）民航招飞是指普通高校飞行技术专业（本科）通过高考招收飞行学生，报名的学生参加预选初检 体检鉴定 飞行职业心理学检测 背景调查 高考选拔等5项流程，其中前4项流程选拔均通过，则被确认为有效招飞申请，然后参加高考，由招飞院校择优录取.据统计，每位报名学生通过前4项流程的概率依次约为.假设学生能否通过这5项流程相互独立，现有某校高三学生甲 乙 丙三人报名民航招飞.
(1)估计每位报名学生被确认为有效招飞申请的概率；
(2)求甲 乙 丙三人中恰好有一人被确认为有效招飞申请的概率；
(3)根据甲 乙 丙三人的平时学习成绩，预估高考成绩能被招飞院校录取的概率分别为，设甲 乙 丙三人能被招飞院校录取的人数为X，求X的分布列及数学期望.
【变式3】（2024上·江西抚州·高三金溪一中校考阶段练习）甲、乙两人准备进行羽毛球比赛，比赛规定：一回合中赢球的一方作为下一回合的发球方.若甲发球，则本回合甲赢的概率为，若乙发球，则本回合甲赢的概率为，每回合比赛的结果相互独立.经抽签决定，第1回合由甲发球.
(1)求第4个回合甲发球的概率；
(2)设前4个回合中，甲发球的次数为，求的分布列及期望.
题型05由离散型随机变量的均值求参数
【典例1】（2024·全国·高三专题练习）已知随机变量X的分布列为
X 1 2 3
P
且，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2024·全国·高三专题练习）某医院对10名入院人员进行新冠病毒感染筛查，若采用单管检验需检验10次；若采用10合一混管检验，检验结果为阴性则只要检验1次，如果检验结果为阳性，就要再全部进行单管检验．记10合一混管检验次数为，当时，10名人员均为阴性的概率为（ ）
A．0.01 B．0.02 C．0.1 D．0.2
【典例3】（2024下·全国·高二随堂练习）已知随机变量满足，其中，若，则 ， ．
【变式1】（2024·江苏·高二假期作业）若随机变量X的分布列为
X 0 1 2
P a b
且，则a，b分别为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2024下·全国·高二随堂练习）设随机变量X的概率分布列为：
X 1 2 3 4
P m n
已知，则 .
【变式3】（2024·全国·高三专题练习）已知随机变量的分布为，且，若，则实数 ．
A夯实基础 B能力提升
A夯实基础
一、单选题
1．（2024·全国·高二假期作业）某同学求得的一个离散型随机变量的分布列为（ ）
X 1 2 3
P 0.2 m n
若，则（ ）
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
2．（2024·全国·高二假期作业）已知随机变量的期望为，则（ ）
A．9 B．11 C．27 D．29
3．（2024·全国·高二假期作业）已知离散型随机变量的概率分布列如下表：则数学期望等于（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·全国·高三专题练习）已知随机变量X的分布列为
X 1 2 3
P
且，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·全国·高三专题练习）随机变量X的分布列如表，则的值为（ ）
X 1 2 3
P 0.2 A 0.4
A．4.4 B．7.4 C．21.2 D．22.2
6．（2024上·江西宜春·高三江西省宜丰中学校考阶段练习）从1-20中随机抽取3个数，记随机变量为这3个数中相邻数组的个数.如当这三个数为11，12，14时，；当这三个数为7，8，9时，.则的值约为（ ）
A．0.22 B．0.31 C．0.47 D．0.53
7．（2024·全国·模拟预测）已知某多选题给出的四个选项中会有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．若选项中有（其中）个选项符合题目要求，记随机作答该题时（至少选择一个选项）所得的分数为随机变量，则（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2024·全国·高二假期作业）某实验测试的规则是：每位学生最多可做实验3次，一旦实验成功，则停止实验，否则一直做到3次为止.设某学生一次实验成功的概率为，实验次数为随机变量，若的数学期望，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2024下·全国·高二随堂练习）（多选）已知随机变量的分布列为：
4 9 10
0.3 0.1 0.2
若，则以下结论正确的是（ ）
A．无法确定 B．
C． D．
10．（2023·全国·高二专题练习）设随机变量X表示从1到n这n个整数中随机抽取的一个整数，Y表示从1到X这X个整数中随机抽取的一个整数，则下列正确的是（ ）
A．当时，
B．当时，
C．当（且）时，
D．当时，Y的均值为
三、填空题
11．（2023上·上海·高二上海市第二中学校考阶段练习）已知随机变量的分布为，且，则 .
12．（2023上·天津河东·高三校考阶段练习）设随机变量X的概率分布列为：
X 1 2 3 4
P m n
已知，则 .
四、解答题
13．（2023·全国·校联考模拟预测）新冠疫情下，为了应对新冠病毒极强的传染性，每个人出门做好口罩防护工作刻不容缓．某口罩加工厂加工口罩由三道工序组成，每道工序之间相互独立，且每道工序加工质量分为高和低两种层次级别，三道工序加工的质量层次决定口罩的过滤等级；工序加工质量层次均为高时，口罩过滤等级为100等级(表示最低过滤效率为99.97%)；工序的加工质量层次为高，工序至少有一个质量层次为低时，口罩过滤等级为99等级(表示最低过滤效率为99%)；其余均为95级(表示最低过滤效率为95%)．
表①:表示三道工序加工质量层次为高的概率；表②:表示加工一个口罩的利润．
表①
工序
概率
表②
口罩等级 100等级 99等级 95等级
利润/元
(1)表示一个口罩的利润，求的分布列和数学期望；
(2)由于工厂中工序加工质量层次为高的概率较低，工厂计划通过增加检测环节对工序进行升级．在升级过程中，每个口罩检测成本增加了()元时，相应的工序加工层次为高的概率在原来的基础上增加了;试问：若工厂升级方案后对一个口罩利润的期望有所提高，则与应该满足怎样的关系
14．（2023上·四川雅安·高三校联考期中）为了促进消费，某商场针对会员客户推出会员积分兑换商品活动：每位会员客户可在价值80元，90元，100元的，，三种商品中选择一种使用积分进行兑换，每10积分可兑换1元.已知参加活动的甲、乙两位客户各有1000积分，且甲兑换，，三种商品的概率分别为，，，乙兑换，，三种商品的概率分别为，，，且他们兑换何种商品相互独立.
(1)求甲、乙两人兑换同一种商品的概率；
(2)记为两人兑换商品后的积分总余额，求的分布列与期望
B能力提升
1．（2023·湖南株洲·株洲二中校考一模）民航招飞是指普通高校飞行技术专业（本科）通过高考招收飞行学生，报名的学生参加预选初检 体检鉴定 飞行职业心理学检测 背景调查 高考选拔等5项流程，其中前4项流程选拔均通过，则被确认为有效招飞申请，然后参加高考，由招飞院校择优录取.据统计，每位报名学生通过前4项流程的概率依次约为.假设学生能否通过这5项流程相互独立，现有某校高三学生甲 乙 丙三人报名民航招飞.
(1)估计每位报名学生被确认为有效招飞申请的概率；
(2)求甲 乙 丙三人中恰好有一人被确认为有效招飞申请的概率；
(3)根据甲 乙 丙三人的平时学习成绩，预估高考成绩能被招飞院校录取的概率分别为，设甲 乙 丙三人能被招飞院校录取的人数为X，求X的分布列及数学期望.
2．（2023上·广东广州·高三铁一中学校联考期中）根据社会人口学研究发现，一个家庭有个孩子的概率模型为：
1 2 3 0
概率
其中，.每个孩子的性别是男孩还是女孩的概率均为且相互独立，事件表示一个家庭有个孩子（），事件表示一个家庭的男孩比女孩多（例如：一个家庭恰有一个男孩，则该家庭男孩多.）
(1)为了调控未来人口结构，其中参数受到各种因素的影响（例如生育保险的增加，教育、医疗福利的增加等），是否存在的值使得，请说明理由；
(2)若，求，并根据全概率公式，求.
3．（2023·山西临汾·校考模拟预测）魔方，又叫鲁比可方块，最早是由匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺·鲁比克教授于1974年发明的机械益智玩具．魔方拥有竞速、盲拧、单拧等多种玩法，风靡程度经久未衰，每年都会举办大小赛事，是最受欢迎的智力游戏之一．通常意义下的魔方，是指狭义的三阶魔方．三阶魔方形状通常是正方体，由有弹性的硬塑料制成．常规竞速玩法是将魔方打乱，然后在最短的时间内复原．广义的魔方，指各类可以通过转动打乱和复原的几何体．魔方与华容道、法国的单身贵族（独立钻石棋）并称为智力游戏界的三大不可思议．在2018WCA世界魔方芜湖公开赛上，杜宇生以3.47秒的成绩打破了三阶魔方复原的世界纪录，勇夺世界魔方运动的冠军，并成为世界上第一个三阶魔方速拧进入4秒的选手．
(1)小王和小吴同学比赛三阶魔方，已知小王每局比赛获胜的概率均为，小吴每局比赛获胜的概率均为，若采用三局两胜制，两人共进行了局比赛，求的分布列和数学期望；
(2)小王和小吴同学比赛四阶魔方，首局比赛小吴获胜的概率为0.5，若小王本局胜利，则他赢得下一局比赛的概率为0.6，若小王本局失败，则他赢得下一局比赛的概率为0.5，为了赢得比赛，小王应选择“五局三胜制”还是“三局两胜制”？
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第04讲 7.3.1 离散型随机变量的均值
课程标准 学习目标
①通过具体实例，理解离散型随机变量分布列的均值。 ②能解决与离散型随机变量相关的数学问题与实际问题中的均值的求解问题。 ③能解决一些与平均水平有关的简单问题与决策性问题。 通过本节课的学习,要求掌握离散型随机变量的均值，能解决与之相关的简单问题，有关决策性问题的处理意见与建议.会判断平均水平
知识点01：离散型随机变量的均值
（1）离散型随机变量的均值的概念
一般地，若离散型随机变量的概率分布为：
… …
… …
则称为随机变量的均值(mean)或数学期望(mathematical expectation),数学期望简称期望.
均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数,它综合了随机变量的取值和取值的概率,反映了随机变量取值的平均水平.
【即学即练1】（2024·全国·高三专题练习）已知离散型随机变量的分布列如下表：
1 3 5
0.3 0.4
则其数学期望（ ）
A．1 B．0.3 C．2.3 D．3.2
【答案】D
【详解】分布列中出现的所有的概率之和等于1．，，
随机变量的数学期望．
故选：D.
（2）离散型随机变量的均值的深层理解
①离散型随机变量的均值（数学期望）是个数值，是随机变量的一个重要特征数，反映的是离散型随机变量取值的平均水平.即若随机试验进行了次，根据的分布列，在次试验中，有次出现了,有次出现了,…,有次出现了，则次试验中，出现的平均值为，即.
②随机变量的均值与随机变量本身具有相同的单位.
③是一个实数，由的分布列唯一确定，即作为随机变量，是可变的，可取不同值，而是不变的，它描述取值的平均状态.
（3）两点分布的均值公式
一般地，如果随机变量服从两点分布，那么:
1 0
【即学即练2】（2024·全国·高二假期作业）已知离散型随机变量X的分布列服从两点分布，满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：因为随机变量X的分布列服从两点分布，
所以，
则，解得或，
又因，
所以，则，
所以.
故选：C.
（4）均值的性质
①若与都是随机变量，且，则由与之间分布列的关系可知.
②若与相互独立，则.
知识点02：样本均值与离散型随机变量均值的比较
（1）样本均值
样本数据；；；；记
均值：，其中.
（2）离散型随机变量均值
离散型随机变量的分布列
… …
… …
均值
知识点03：求离散型随机变量的均值步骤
(1)理解离散型随机变量的意义，写出所有可能的取值.
(2)判断离散型随机变量是否服从特殊分布（如两点分布等).若服从特殊分布，则可利用公式直接求解；若不服从特殊分布，则继续下面步骤.
(3)求出离散型随机变量取每个值的概率.
(4)写出离散型随机变量的分布列.
(5)利用均值的定义求.
其中求均值的关键是写出离散型随机变量的分布列，前提是准确列出所有可能的取值，并真正理解取值的意义.
题型01 两点分布的均值
【典例1】（2023下·山西吕梁·高二山西省交城中学校统考期中）已知随机变量服从两点分布，，则其成功概率为（ ）
A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6
【答案】D
【详解】随机变量服从两点分布，设成功的概率为，
．
故选:D．
【典例2】（2023下·浙江嘉兴·高二校考期中）已知随机变量X的取值为0，1，若，则X的均值为 .
【答案】/
【详解】由题意可得，X服从两点分布，
，
故.
故答案为：.
【变式1】（2023·全国·高三专题练习）设随机变量服从两点分布，若，则（ ）
A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7
【答案】D
【详解】由题意得，
因为，
所以解得，
所以，
故选：D
【变式2】（2023下·山西朔州·高二校联考阶段练习）已知随机变量X服从两点分布，，则 ， .
【答案】 0.66 0.34
【详解】由两点分布可知，
.
故答案为：0.66;0.34.
题型02 离散型随机变量均值公式及性质
【典例1】（2024·全国·高三专题练习）已知随机变量X的分布列为
X 1 2 3
P
且，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】结合题意：，
因为，所以，解得：，
故选：A.
【典例2】（2024·全国·高二假期作业）设的分布列如图，又，则 .
1 2 3 4
P a
【答案】
【详解】由分布列的性质得，得，
从而，
而，
所以.
故答案为：.
【典例3】（2024·全国·高三专题练习）随机变量的分布列如下列表格所示，其中为的数学期望，则 .
1 2 3 4 5
0.1 0.2 0.3 0.1
【答案】0
【详解】根据概率的性质可得解得，
所以，
所以.
故答案为:0.
【变式1】（2024·全国·高三专题练习）随机变量X的分布列如表，则的值为（ ）
X 1 2 3
P 0.2 A 0.4
A．4.4 B．7.4 C．21.2 D．22.2
【答案】B
【详解】由得，
所以，
所以.
故选：B
【变式2】（2024·全国·高三专题练习）已知离散型随机变量X的分布列如表：若离散型随机变量，则 ．
0 1 2 3
【答案】/
【详解】由题
，
所以，
由，
所以，
故答案为：.
【变式3】（2024上·河南漯河·高三漯河高中校考阶段练习）已知，则 .
【答案】
【详解】由，可得.
故答案为：
题型03离散型随机变量的均值
【典例1】（2024·福建漳州·统考模拟预测）2023年12月11日至12日中央经济工作会议在北京举行，会议再次强调要提振新能源汽车消费.发展新能源汽车是我国从“汽车大国”迈向“汽车强国”的必由之路.我国某地一座新能源汽车工厂对线下的成品车要经过多项检测，检测合格后方可销售，其中关键的两项测试分别为碰撞测试和续航测试，测试的结果只有三种等次：优秀、良好、合格，优秀可得5分、良好可得3分、合格可得1分，该型号新能源汽车在碰撞测试中结果为优秀的概率为，良好的概率为；在续航测试中结果为优秀的概率为，良好的概率为，两项测试相互独立，互不影响，该型号新能源汽车两项测试得分之和记为.
(1)求该型号新能源汽车参加两项测试仅有一次为合格的概率；
(2)求离散型随机变量的分布列与期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，数学期望为
【详解】（1）记事件为“该型号新能源汽车参加碰撞测试的得分为分”，
则，，.
记事件为“该型号新能源汽车参加续航测试的得分为分”，
则，，.
记事件为“该型号新能源汽车参加两项测试仅有一次为合格”，
则
，
则该型号新能源汽车参加两项测试仅有一次为合格的概率为.
（2）由题知离散型随机变量的所有可能取值分别为2，4，6，8，10，
，
，
，
，
，
则离散型随机变量的分布列为
2 4 6 8 10
所以数学期望.
【典例2】（2024上·云南·高三校联考阶段练习）某学校有1000人，想通过验血的方式筛查出某种病毒的携带者，如果对每个人的血样逐一化验，需要化验1000次，统计专家提出了一种方法：随机地按10人一组分组，然后将各组10个人的血样混合再化验，如果混合血样呈阴性，说明这10个人全部阴性；如果混合血样呈阳性，说明其中至少有一个人呈阳性，就需要对这组的每个人再分别化验一次．假设某学校携带病毒的人数有10人．（）
(1)用样本的频率估计概率，若5个人一组，求一组混合血样呈阳性的概率；
(2)用统计专家这种方法按照5个人一组或10个人一组，问哪种分组方式筛查出这1000人中该病毒携带者需要化验次数较少？为什么？
【答案】(1)
(2)10个人一组的分组方式筛查出这1000人中该病毒携带者需要化验次数较少，理由见解析
【详解】（1）由已知可得，该单位每个人携带病毒的概率为．
所以5个人一组，该组混合血样不是阳性的概率为，
所以，一组混合血样呈阳性的概率为．
（2）设5个人一组，每组需要化验的次数为随机变量，则．
由（1）知，5个人一组，需要重新化验的概率为0.05，
则X的分布列为
1 6
所以，，
总的化验次数为；
设10个人一组，每组需要化验的次数为随机变量，则．
10个人一组，该组混合血样不是阳性的概率为0.9，则10个人一组，需要重新化验的概率为0.1，
则Y的分布列为
1 11
所以，总的化验次数为，
所以，10个人一组的分组方式筛查出这1000人中该病毒携带者需要化验次数较少．
【典例3】（2024上·北京通州·高三统考期末）民航招飞是指普通高校飞行技术专业（本科）通过高考招收飞行学生，报名的学生参加预选初检 体检鉴定 飞行职业心理学检测 背景调查 高考选拔等5项流程，其中前4项流程选拔均通过，则被确认为有效招飞申请，然后参加高考，由招飞院校择优录取.据统计，每位报名学生通过前4项流程的概率依次约为.假设学生能否通过这5项流程相互独立，现有某校高三学生甲 乙 丙三人报名民航招飞.
(1)估计每位报名学生被确认为有效招飞申请的概率；
(2)求甲 乙 丙三人中恰好有一人被确认为有效招飞申请的概率；
(3)根据甲 乙 丙三人的平时学习成绩，预估高考成绩能被招飞院校录取的概率分别为，设甲 乙 丙三人能被招飞院校录取的人数为X，求X的分布列及数学期望.
【答案】(1)
(2)
(3)分布列见解析，
【详解】（1）因为每位报名学生通过前4项流程的概率依次约为，且能否通过相互独立，
所以估计每位报名学生被确认为有效招飞申请的概率.
（2）因为每位报名学生被确认为有效招飞申请的概率为，
所以甲 乙 丙三人中恰好有一人被确认为有效招飞申请的概率.
（3）因为每位报名学生被确认为有效招飞申请的概率为，且预估甲 乙 丙三人的高考成绩能被招飞院校录取的概率分别为，
所以甲能被招飞院校录取的概率，
乙能被招飞院校录取的概率，
丙能被招飞院校录取概率.
依题意的可能取值为，
所以，
，
，
.
所以的分布列为：
0 1 2 3
所以.
【典例4】（2024上·山西朔州·高三统考期末）已知某足球赛事的决赛将在甲、乙两队之间进行.其规则为：每一场比赛均须决出胜负，按主、客场制先进行两场比赛（第一场在甲队主场比赛），若某一队在前两场比赛中均获胜，则该队获得冠军；否则，两队需在中立场进行第三场比赛，且其获胜方为冠军.已知甲队在主场、客场、中立场获胜的概率依次为，，，且每场比赛的胜负均相互独立.
(1)当甲队获得冠军时，求决赛需进行三场比赛的概率；
(2)若主办方在决赛的前两场中共投资（千万元），则能在这两场比赛中共盈利（千万元）.如果需进行第三场比赛，且主办方在第三场比赛中投资（千万元），则能在该场比赛中盈利（千万元）.若主办方最多能投资一千万元，请以决赛总盈利的数学期望为决策依据，则其在前两场的投资额应为多少万元？
【答案】(1)
(2)主办方在决赛的前两场的投资额应为千万元，即万元.
【详解】（1）记“甲队获得冠军”为事件，“决赛进行三场比赛”为事件，
由题可知，
，
∴当甲队获得冠军时，决赛需进行三场比赛的概率为.
（2）设主办方在决赛前两场中共投资（千万元）， 其中，
若需进行第三场比赛，则还可投资（千万元），
记随机变量为决赛的总盈利，则可以取，，
∴，，
∴随机变量的分布列为
∴的数学期望，
令，则，
∴当，即时，取得最大值，
∴主办方在决赛的前两场的投资额应为千万元，即万元.
【变式1】（2024·吉林长春·东北师大附中校联考模拟预测）为了更好地推广冰雪体育运动项目，某中学要求每位同学必须在高中三年的每个冬季学期选修滑冰 滑雪 冰壶三类体育课程之一，且不可连续选修同一类课程，若某生在选修滑冰后，下一次选修滑雪的概率为：在选修滑雪后，下一次选修冰壶的概率为，在选修冰壶后，下一次选修滑冰的概率为.
(1)若某生在高一冬季学期选修了滑雪，求他在高三冬季学期选修滑冰的概率：
(2)若某生在高一冬季学期选修了滑冰，设该生在高中三个冬季学期中选修滑冰课程的次数为随机变量X，求X的分布列及期望，
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【详解】（1）解：若高一选修滑雪，设高三冬季学期选修滑冰为随机事件，
则.
（2）随机变量的可能取值为1，2.
所以的分布列为：
1 2
【变式2】（2024上·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习）某校高三年级嘟嘟老师准备利用高中数学知识对甲、乙、丙三名学生在即将到来的全省适应性考试成绩进行预测，为此，他收集了三位同学近三个月的数学月考、周测成绩（满分150分），若考试成绩超过100分则称为“破百”．
甲：74，85，81，90，103，89，92，97，109，95；
乙：95，92，97，99，89，103，105，108，101，113；
丙：92，102，97，105，89，94，92，97．
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙三名同学的考试成绩相互独立．
(1)分别估计甲、乙、丙三名同学“破百”的概率；
(2)设这甲、乙、丙三名同学在这次决赛上“破百”的人数为，求的分布列和数学期望．
【答案】(1)甲同学“破百”的概率为，乙同学“破百”的概率为，丙同学“破百”的概率为
(2)分布列见解析；期望为
【详解】（1）甲同学“破百”的概率为，
乙同学“破百”的概率为，
丙同学“破百”的概率为．
（2）的可能取值为0，1，2，3，则：
，
，
，
，
所以的分布列为
0 1 2 3
所以，期望．
【变式3】（2024·全国·模拟预测）2023年国庆节假期期间，某超市举行了购物抽奖赢手机活动．活动规则如下：在2023年9月29日到2023年10月6日期间，消费金额（单位：元）不低于100元的顾客可以参与一次活动（假设每名顾客只消费一次），每5人一组，每人可以随机选取A或B两个字母，其中选取相同字母的人数较少者每人获得10元购物券，其他人获得抽取价值6999元手机的资格（例如5人中有2人选取A，则这2人每人获得10元购物券，另外3人获得抽取手机的资格；5人全部选取A，则这5人均获得抽取手机的资格），根据统计，在此活动期间，顾客在该超市消费金额的频率分布直方图如图所示．
(1)从活动期间在该超市购物的顾客中随机选取2名，求这2名顾客中恰有1人获得10元购物券的概率
(2)设每5人组获得购物券的人数为X．
（ⅰ）求X的分布列与数学期望：
（ⅰⅰ）若超市计划投入的活动经费（购买手机的费用与发放的购物券金额总和）不超过顾客消费总金额的10%，则每1000名顾客最多送出多少部手机？（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）
【答案】(1)
(2)（ⅰ）分布列见解析， （ⅱ）3
【详解】（1）由频率分布直方图可知，每名顾客获得抽奖资格的概率为．
参与抽奖的顾客获得10元购物券的概率为，
则每名顾客获得10元购物券的概率，
则这2名顾客中恰有1人获得10元购物券的概率．
（2）（ⅰ）的所有可能取值为0，1，2，
，，，
则的分布列为
0 1 2
则的数学期望．
（ⅱ）由频率分布直方图可知，顾客消费金额的平均值（元），
则1000名顾客的消费总金额为（元）．
设每1000名顾客最多送出部手机，
则，
又，所以，故每1000名顾客最多送出3部手机．
【变式4】（2024·河南·模拟预测）矮化密植是指应用生物或栽培措施使果树生长树冠紧凑的方法，它与常规的矮小栽培相比有许多优势，如采用这种矮化果树可以建立比常规果园定植密度更高的果园，不仅能提高土壤及光能利用率，还能够获得更多的早期经济效益.某乡镇计划引进A，B两种矮化果树，已知A种矮化果树种植成功率为，成功后每公顷收益7.5万元；B种矮化果树种植成功率为，成功后每公顷收益9万元.假设种植不成功时，种植A，B两种矮化果树每公顷均损失1.5万元，每公顷是否种植成功相互独立.
(1)甲种植户试种两种矮化果树各1公顷，总收益为X万元，求X的分布列及数学期望；
(2)乙种植户有良田6公顷，本计划全部种植A，但是甲劝说乙应该种植两种矮化果树各3公顷，请按照总收益的角度分析一下，乙应选择哪一种方案
【答案】(1)分布列见解析；
(2)乙应选择两种果树各种植3公顷
【详解】（1）依题意，当均种植成功时，，此时，
当种植不成功，种植成功时，，此时，
当种稙成功，种植不成功时，，此时，
当均种植不成功时，，此时，
所以的可能取值为：，的分布列为：
16.5 7.5 6
数学期望为.
（2）全种植的收益期望为万元，
由（1）得，各种一半的收益期望为万元
因为，
乙应选择两种果树各种植3公顷.
题型04均值的实际应用
【典例1】（2024·山西临汾·统考一模）现有5个红色气球和4个黄色气球，红色气球内分别装有编号为1，3，5，7，9的号签，黄色气球内分别装有编号为2，4，6，8的号签.参加游戏者，先对红色气球随机射击一次，记所得编号为，然后对黄色气球随机射击一次，若所得编号为，则游戏结束；否则再对黄色气球随机射击一次，将从黄色气球中所得编号相加，若和为，则游戏结束；否则继续对剩余的黄色气球进行射击，直到和为为止，或者到黄色气球打完为止，游戏结束.
(1)求某人只射击两次的概率；
(2)若某人射击气球的次数与所得奖金的关系为，求此人所得奖金的分布列和期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【详解】（1）设表示事件：对红色气球随机射击一次，所得编号为，则，
设表示事件：对黄色气球随机射击一次，所得编号为，则，
表示事件：某人只射击两次.
则
.
即某人只射击两次的概率为.
（2）由题知的可能取值为2，3，4，5，为30，20，10，0，
其概率分别为，
，
，
，
的分布列为
0 10 20 30
.
【典例2】（2024上·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习）某校高三年级嘟嘟老师准备利用高中数学知识对甲、乙、丙三名学生在即将到来的全省适应性考试成绩进行预测，为此，他收集了三位同学近三个月的数学月考、周测成绩（满分150分），若考试成绩超过100分则称为“破百”．
甲：74，85，81，90，103，89，92，97，109，95；
乙：95，92，97，99，89，103，105，108，101，113；
丙：92，102，97，105，89，94，92，97．
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙三名同学的考试成绩相互独立．
(1)分别估计甲、乙、丙三名同学“破百”的概率；
(2)设这甲、乙、丙三名同学在这次决赛上“破百”的人数为，求的分布列和数学期望．
【答案】(1)甲同学“破百”的概率为，乙同学“破百”的概率为，丙同学“破百”的概率为
(2)分布列见解析；期望为
【详解】（1）甲同学“破百”的概率为，
乙同学“破百”的概率为，
丙同学“破百”的概率为．
（2）的可能取值为0，1，2，3，则：
，
，
，
，
所以的分布列为
0 1 2 3
所以，期望．
【典例3】（2024上·上海·高二统考期末）年月日至月日在国家会展中心举办中国国际进口博览会期间，为保障展会的顺利进行，有、两家外卖公司负责为部分工作者送餐.两公司某天各自随机抽取名送餐员工，统计公司送餐员工送餐数，得到如图频率分布直方图；统计两公司样本送餐数，得到如图送餐数分布茎叶图，已知两公司样本送餐数平均值相同.

(1)求的值
(2)求、的值
(3)为宣传道路交通安全法，并遵循按劳分配原则，公司决定员工送餐份后，每多送份餐对其进行一次奖励，并制定了两种不同奖励方案：
方案一：奖励现金红包元.
方案二：答两道交通安全题，答对题奖励元，答对题奖励元，答对题奖励元.员工每一道题答题相互独立且每题答对概率为与该员工交通安全重视程度相关）.
求下表中的值（用表示）；从员工收益角度出发，如何选择方案较优？并说明理由.
附：方案二综合收益满足公式，为该员工被奖励次数.
方案二奖励 元 元 元
概率
【答案】(1)
(2)，
(3)，答案见解析
【详解】（1）解：因为两公司样本送餐数平均值相同，
则，
则.
（2）解：因为公司中，送餐数在区间和送餐数在区间的员工人数之比为，
则，可得，
由频率分布直方图可知，.
（3）解：由题意知，，，
方案一的综合收益满足，
方案二综合收益满足，
，
由可得，解得，
故当时，方案一较优；
由可得，解得，
故当时，方案一和方案二收益相同；
由可得，解得，
故当时，方案二较优.
【变式1】（2024·福建漳州·统考模拟预测）2023年12月11日至12日中央经济工作会议在北京举行，会议再次强调要提振新能源汽车消费.发展新能源汽车是我国从“汽车大国”迈向“汽车强国”的必由之路.我国某地一座新能源汽车工厂对线下的成品车要经过多项检测，检测合格后方可销售，其中关键的两项测试分别为碰撞测试和续航测试，测试的结果只有三种等次：优秀、良好、合格，优秀可得5分、良好可得3分、合格可得1分，该型号新能源汽车在碰撞测试中结果为优秀的概率为，良好的概率为；在续航测试中结果为优秀的概率为，良好的概率为，两项测试相互独立，互不影响，该型号新能源汽车两项测试得分之和记为.
(1)求该型号新能源汽车参加两项测试仅有一次为合格的概率；
(2)求离散型随机变量的分布列与期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，数学期望为
【详解】（1）记事件为“该型号新能源汽车参加碰撞测试的得分为分”，
则，，.
记事件为“该型号新能源汽车参加续航测试的得分为分”，
则，，.
记事件为“该型号新能源汽车参加两项测试仅有一次为合格”，
则
，
则该型号新能源汽车参加两项测试仅有一次为合格的概率为.
（2）由题知离散型随机变量的所有可能取值分别为2，4，6，8，10，
，
，
，
，
，
则离散型随机变量的分布列为
2 4 6 8 10
所以数学期望.
【变式2】（2024上·北京通州·高三统考期末）民航招飞是指普通高校飞行技术专业（本科）通过高考招收飞行学生，报名的学生参加预选初检 体检鉴定 飞行职业心理学检测 背景调查 高考选拔等5项流程，其中前4项流程选拔均通过，则被确认为有效招飞申请，然后参加高考，由招飞院校择优录取.据统计，每位报名学生通过前4项流程的概率依次约为.假设学生能否通过这5项流程相互独立，现有某校高三学生甲 乙 丙三人报名民航招飞.
(1)估计每位报名学生被确认为有效招飞申请的概率；
(2)求甲 乙 丙三人中恰好有一人被确认为有效招飞申请的概率；
(3)根据甲 乙 丙三人的平时学习成绩，预估高考成绩能被招飞院校录取的概率分别为，设甲 乙 丙三人能被招飞院校录取的人数为X，求X的分布列及数学期望.
【答案】(1)
(2)
(3)分布列见解析，
【详解】（1）因为每位报名学生通过前4项流程的概率依次约为，且能否通过相互独立，
所以估计每位报名学生被确认为有效招飞申请的概率.
（2）因为每位报名学生被确认为有效招飞申请的概率为，
所以甲 乙 丙三人中恰好有一人被确认为有效招飞申请的概率.
（3）因为每位报名学生被确认为有效招飞申请的概率为，且预估甲 乙 丙三人的高考成绩能被招飞院校录取的概率分别为，
所以甲能被招飞院校录取的概率，
乙能被招飞院校录取的概率，
丙能被招飞院校录取概率.
依题意的可能取值为，
所以，
，
，
.
所以的分布列为：
0 1 2 3
所以.
【变式3】（2024上·江西抚州·高三金溪一中校考阶段练习）甲、乙两人准备进行羽毛球比赛，比赛规定：一回合中赢球的一方作为下一回合的发球方.若甲发球，则本回合甲赢的概率为，若乙发球，则本回合甲赢的概率为，每回合比赛的结果相互独立.经抽签决定，第1回合由甲发球.
(1)求第4个回合甲发球的概率；
(2)设前4个回合中，甲发球的次数为，求的分布列及期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【详解】（1）由题可知，第2回合甲发球的概率为，乙发球的概率为.
所以第3回合甲发球的概率为，
乙发球的概率为.
可得第4个回合甲发球的概率为.
故第4个回合甲发球的概率为；
（2）由题意可知：可以取1，2，3，4.
当时，；当时，；
当时，前4个回合甲发球两次的情况分以下三种：
第一种情况，甲第1，2回合发球，乙第3，4回合发球，其概率为.
第二种情况，甲第1，3回合发球，乙第2，4回合发球，其概率为.
第三种情况，甲第1，4回合发球，乙第2，3回合发球，其概率为.
故前4个回合甲发球两次的概率为；
当时，，
故的分布列为：
1 2 3 4
.
题型05由离散型随机变量的均值求参数
【典例1】（2024·全国·高三专题练习）已知随机变量X的分布列为
X 1 2 3
P
且，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】结合题意：，
因为，所以，解得：，
故选：A.
【典例2】（2024·全国·高三专题练习）某医院对10名入院人员进行新冠病毒感染筛查，若采用单管检验需检验10次；若采用10合一混管检验，检验结果为阴性则只要检验1次，如果检验结果为阳性，就要再全部进行单管检验．记10合一混管检验次数为，当时，10名人员均为阴性的概率为（ ）
A．0.01 B．0.02 C．0.1 D．0.2
【答案】C
【详解】设10人全部为阴性的概率为，混有阳性的概率为，
若全部为阴性，需要检测1次，若混有阳性，需要检测11次，
则随机变量的分布列
，解得，
故选：C.
【典例3】（2024下·全国·高二随堂练习）已知随机变量满足，其中，若，则 ， ．
【答案】
【详解】由，
可得，，，
所以，则，
又，则.
故答案为：；.
【变式1】（2024·江苏·高二假期作业）若随机变量X的分布列为
X 0 1 2
P a b
且，则a，b分别为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由已知，根据分布列的性质可得，，，
因为，所以，
解得，
故选：A.
【变式2】（2024下·全国·高二随堂练习）设随机变量X的概率分布列为：
X 1 2 3 4
P m n
已知，则 .
【答案】/0.5
【详解】依题意有，解得，
则.
故答案为：.
【变式3】（2024·全国·高三专题练习）已知随机变量的分布为，且，若，则实数 ．
【答案】
【详解】因，则.
又，则.
故选：.
A夯实基础 B能力提升
A夯实基础
一、单选题
1．（2024·全国·高二假期作业）某同学求得的一个离散型随机变量的分布列为（ ）
X 1 2 3
P 0.2 m n
若，则（ ）
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
【答案】B
【详解】由题意可得，，
即，所以.
故选：B
2．（2024·全国·高二假期作业）已知随机变量的期望为，则（ ）
A．9 B．11 C．27 D．29
【答案】B
【详解】因为，所以.
故选：B
3．（2024·全国·高二假期作业）已知离散型随机变量的概率分布列如下表：则数学期望等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】结合表格可知，
即，解得：，
所以.
故选:D.
4．（2024·全国·高三专题练习）已知随机变量X的分布列为
X 1 2 3
P
且，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】结合题意：，
因为，所以，解得：，
故选：A.
5．（2024·全国·高三专题练习）随机变量X的分布列如表，则的值为（ ）
X 1 2 3
P 0.2 A 0.4
A．4.4 B．7.4 C．21.2 D．22.2
【答案】B
【详解】由得，
所以，
所以.
故选：B
6．（2024上·江西宜春·高三江西省宜丰中学校考阶段练习）从1-20中随机抽取3个数，记随机变量为这3个数中相邻数组的个数.如当这三个数为11，12，14时，；当这三个数为7，8，9时，.则的值约为（ ）
A．0.22 B．0.31 C．0.47 D．0.53
【答案】B
【详解】随机变量的取值为0，1，2，
当时，所取的三个数中仅两个数相邻，两数相邻有19种情况，
其中相邻两数取1，2和19，20时，对应取法为17种，
其余17种情况取法均有16种，，
当时，即所取的三个数中两两相邻，取法有18种，，
所以当时，即所取的三个数彼此不相邻，取法有种，
，
.
故选：B.
7．（2024·全国·模拟预测）已知某多选题给出的四个选项中会有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．若选项中有（其中）个选项符合题目要求，记随机作答该题时（至少选择一个选项）所得的分数为随机变量，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由题意可知：当至少选择一个选项时，共有（种）可能，
因为可取0，2，5，
且，
所以．
又因为可取0，2，5，
且，
所以．
而可取2，5，且，则，
所以；
即，所以，故D正确．
故选：D．
8．（2024·全国·高二假期作业）某实验测试的规则是：每位学生最多可做实验3次，一旦实验成功，则停止实验，否则一直做到3次为止.设某学生一次实验成功的概率为，实验次数为随机变量，若的数学期望，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】X的所有可能取值为1,2,3，
，，，
由，
解得或，
又因为，所以.
故选：A.
二、多选题
9．（2024下·全国·高二随堂练习）（多选）已知随机变量的分布列为：
4 9 10
0.3 0.1 0.2
若，则以下结论正确的是（ ）
A．无法确定 B．
C． D．
【答案】BCD
【详解】由分布列的性质，可得，解得，故B正确；
又由，解得，故A不正确；
由均值的性质，可知，故C正确；
又由，故D正确．
故选：BCD．
10．（2023·全国·高二专题练习）设随机变量X表示从1到n这n个整数中随机抽取的一个整数，Y表示从1到X这X个整数中随机抽取的一个整数，则下列正确的是（ ）
A．当时，
B．当时，
C．当（且）时，
D．当时，Y的均值为
【答案】BCD
【详解】对于选项A：当时，，，
则，故A错误；
对于选项B，当时，由，，可得，或，，
所以，故B正确；
对于选项C，当（且）时，，，则，故选项C正确；
对于选项D，当时，Y的可能取值为1，2，
则，
，
所以Y的均值为，故D正确．
故选：BCD
三、填空题
11．（2023上·上海·高二上海市第二中学校考阶段练习）已知随机变量的分布为，且，则 .
【答案】/
【详解】由题意得，
故.
故答案为：
12．（2023上·天津河东·高三校考阶段练习）设随机变量X的概率分布列为：
X 1 2 3 4
P m n
已知，则 .
【答案】/0.5
【详解】依题意有，解得，
则.
故答案为：.
四、解答题
13．（2023·全国·校联考模拟预测）新冠疫情下，为了应对新冠病毒极强的传染性，每个人出门做好口罩防护工作刻不容缓．某口罩加工厂加工口罩由三道工序组成，每道工序之间相互独立，且每道工序加工质量分为高和低两种层次级别，三道工序加工的质量层次决定口罩的过滤等级；工序加工质量层次均为高时，口罩过滤等级为100等级(表示最低过滤效率为99.97%)；工序的加工质量层次为高，工序至少有一个质量层次为低时，口罩过滤等级为99等级(表示最低过滤效率为99%)；其余均为95级(表示最低过滤效率为95%)．
表①:表示三道工序加工质量层次为高的概率；表②:表示加工一个口罩的利润．
表①
工序
概率
表②
口罩等级 100等级 99等级 95等级
利润/元
(1)表示一个口罩的利润，求的分布列和数学期望；
(2)由于工厂中工序加工质量层次为高的概率较低，工厂计划通过增加检测环节对工序进行升级．在升级过程中，每个口罩检测成本增加了()元时，相应的工序加工层次为高的概率在原来的基础上增加了;试问：若工厂升级方案后对一个口罩利润的期望有所提高，则与应该满足怎样的关系
【答案】(1)分布列见解析，
(2)()
【详解】（1）的可能取值为，，，
；；；
所以的分布列为
（2）设升级后一件产品的利润为，则的可能取值为，，
；
；
；
所以，
由得，解得，
所以与满足的关系为().
14．（2023上·四川雅安·高三校联考期中）为了促进消费，某商场针对会员客户推出会员积分兑换商品活动：每位会员客户可在价值80元，90元，100元的，，三种商品中选择一种使用积分进行兑换，每10积分可兑换1元.已知参加活动的甲、乙两位客户各有1000积分，且甲兑换，，三种商品的概率分别为，，，乙兑换，，三种商品的概率分别为，，，且他们兑换何种商品相互独立.
(1)求甲、乙两人兑换同一种商品的概率；
(2)记为两人兑换商品后的积分总余额，求的分布列与期望
【答案】(1)；
(2)分布列见解析，.
【详解】（1）由题可知，甲、乙两人兑换同一种商品的概率为；
（2）由题意，兑换，，三种商品所需的积分分别为800，900，1000，
则的取值可能为0，100，200，300，400，
，，
，，
，
则的分布列为
0 100 200 300 400
.
B能力提升
1．（2023·湖南株洲·株洲二中校考一模）民航招飞是指普通高校飞行技术专业（本科）通过高考招收飞行学生，报名的学生参加预选初检 体检鉴定 飞行职业心理学检测 背景调查 高考选拔等5项流程，其中前4项流程选拔均通过，则被确认为有效招飞申请，然后参加高考，由招飞院校择优录取.据统计，每位报名学生通过前4项流程的概率依次约为.假设学生能否通过这5项流程相互独立，现有某校高三学生甲 乙 丙三人报名民航招飞.
(1)估计每位报名学生被确认为有效招飞申请的概率；
(2)求甲 乙 丙三人中恰好有一人被确认为有效招飞申请的概率；
(3)根据甲 乙 丙三人的平时学习成绩，预估高考成绩能被招飞院校录取的概率分别为，设甲 乙 丙三人能被招飞院校录取的人数为X，求X的分布列及数学期望.
【答案】(1)
(2)
(3)分布列见解析，
【详解】（1）因为每位报名学生通过前4项流程的概率依次约为，且能否通过相互独立，
所以估计每位报名学生被确认为有效招飞申请的概率.
（2）因为每位报名学生被确认为有效招飞申请的概率为，
所以甲 乙 丙三人中恰好有一人被确认为有效招飞申请的概率.
（3）因为每位报名学生被确认为有效招飞申请的概率为，且预估甲 乙 丙三人的高考成绩能被招飞院校录取的概率分别为，
所以甲能被招飞院校录取的概率，
乙能被招飞院校录取的概率，
丙能被招飞院校录取概率.
依题意的可能取值为，
所以，
，
，
.
所以的分布列为：
0 1 2 3
所以.
2．（2023上·广东广州·高三铁一中学校联考期中）根据社会人口学研究发现，一个家庭有个孩子的概率模型为：
1 2 3 0
概率
其中，.每个孩子的性别是男孩还是女孩的概率均为且相互独立，事件表示一个家庭有个孩子（），事件表示一个家庭的男孩比女孩多（例如：一个家庭恰有一个男孩，则该家庭男孩多.）
(1)为了调控未来人口结构，其中参数受到各种因素的影响（例如生育保险的增加，教育、医疗福利的增加等），是否存在的值使得，请说明理由；
(2)若，求，并根据全概率公式，求.
【答案】(1)不存在的值使得，理由见解析
(2)，
【详解】（1）不存在的值使得，理由如下：
由题意得，①，
且②，
由②得到，将其代入①，整理得到，
令，，则，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
故在处取得极小值，也是最小值，
又，
故无解，
所以不存在的值使得；
（2）若，则，解得，
，，，
由全概率公式可得，
因为，，所以.
3．（2023·山西临汾·校考模拟预测）魔方，又叫鲁比可方块，最早是由匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺·鲁比克教授于1974年发明的机械益智玩具．魔方拥有竞速、盲拧、单拧等多种玩法，风靡程度经久未衰，每年都会举办大小赛事，是最受欢迎的智力游戏之一．通常意义下的魔方，是指狭义的三阶魔方．三阶魔方形状通常是正方体，由有弹性的硬塑料制成．常规竞速玩法是将魔方打乱，然后在最短的时间内复原．广义的魔方，指各类可以通过转动打乱和复原的几何体．魔方与华容道、法国的单身贵族（独立钻石棋）并称为智力游戏界的三大不可思议．在2018WCA世界魔方芜湖公开赛上，杜宇生以3.47秒的成绩打破了三阶魔方复原的世界纪录，勇夺世界魔方运动的冠军，并成为世界上第一个三阶魔方速拧进入4秒的选手．
(1)小王和小吴同学比赛三阶魔方，已知小王每局比赛获胜的概率均为，小吴每局比赛获胜的概率均为，若采用三局两胜制，两人共进行了局比赛，求的分布列和数学期望；
(2)小王和小吴同学比赛四阶魔方，首局比赛小吴获胜的概率为0.5，若小王本局胜利，则他赢得下一局比赛的概率为0.6，若小王本局失败，则他赢得下一局比赛的概率为0.5，为了赢得比赛，小王应选择“五局三胜制”还是“三局两胜制”？
【答案】(1)分布列见解析；
(2)小王应选择“五局三胜制”
【详解】（1）因为采用三局两胜制，所以的可能取值为，
表示小王或小吴连胜两局；表示小王与小吴前两局一胜一负；
所以，，
所以的分布列为：
则的数学期望为.
（2）若小王选择“三局两胜制”，
则小王获胜的情况为：胜胜；胜负胜；负胜胜；
则小王获胜的概率为；
若小王选择“五局三胜制”，
则小王获胜的情况为：胜胜胜；胜胜负胜；胜负胜胜；负胜胜胜；胜胜负负胜；胜负胜负胜；胜负负胜胜；负负胜胜胜；负胜负胜胜；负胜胜负胜；
则小王获胜的概率为
，
因为，
所以小王应选择“五局三胜制”.
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