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第05讲 7.3.2 离散型随机变量的方差
课程标准 学习目标
①通过具体实例，理解离散型随机变量分布列的方差。 ②能解决与离散型随机变量相关的数学问题与实际问题中与方差的求解问题。 ③能解决一些稳定性的简单问题与决策性问题。 通过本节课的学习,要求掌握离散型随机变量的方差、标准差的求解，能解决与之相关的简单问题，有关决策性问题的处理意见与建议。
知识点1：离散型随机变量的方差
（1）离散型随机变量的方差的概念
一般地，若离散型随机变量的概率分布列为：
… …
… …
则称
为随机变量的方差，有时也记为.
称为随机变量的标准差.
（2）离散型随机变量的方差的深层理解
①离散型随机变量的方差是个数值，是随机变量的一个重要特征数.
描述了()相对于均值的偏离程度，而是上述偏离程度的加权平均值，刻画了随机变量的取值与其均值的平均偏离程度.随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值的稳定性和波动、集中与离散程度，越大，表明平均偏离程度越大，的取值越分散；反之，越小，的取值越集中在附近.
②标准差与随机变量有相同的单位，而方差的单位是随机变量单位的平方.
③均值与方差的关系
在实际问题中仅靠均值还不能全面地说明随机变量的特征，还必须研究随机变量的集中与离散程度，这就需要求出方差.
④方差公式的变形：
⑤方差也是一个常数，它不具有随机性，方差的值一定非负.
（3）两点分布的方差公式
一般地，如果随机变量服从两点分布，那么:.
1 0
【即学即练1】（2024·全国·高二假期作业）已知随机变量服从两点分布，且，若，则下列判断正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】∵，，∴，
∵，，
二次函数在区间上单调递减，
∴，，且.
故选：D
（4）方差的性质
若与都是随机变量，且，则由与之间分布列的关系可知.
【即学即练2】（2024·全国·高二假期作业）若随机变量满足，则（ ）
A．0.8 B．1.6 C．3.2 D．0.2
【答案】C
【详解】因为，所以.
故选：C
知识点2：样本方差与离散型随机变量方差的比较
（1）样本方差
样本数据；；；；记
均值：，其中.
方差：
（2）离散型随机变量方差
离散型随机变量的分布列
… …
… …
均值
方差：
【即学即练3】（2024·全国·高三专题练习）甲、乙两种零件某次性能测评的分值，的分布如下，则性能更稳定的零件是 ．
8 9 10
P 0.3 0.2 0.5
8 9 10
P 0.2 0.4 0.4
【答案】乙
【详解】由题意知：，
，
所以，
，
因为，所以乙更稳定．
故答案为:乙．
知识点3：求离散型随机变量的方差步骤
(1)理解离散型随机变量的意义，写出所有可能的取值.
(2)判断离散型随机变量是否服从特殊分布（如两点分布等).若服从特殊分布，则可利用公式直接求解；若不服从特殊分布，则继续下面步骤.
(3)求出离散型随机变量取每个值的概率.
(4)写出离散型随机变量的分布列.
(5)利用均值的定义求.
(6)利用求方差.
其中求均值的关键是写出离散型随机变量的分布列，前提是准确列出所有可能的取值，并真正理解取值的意义.
题型01 求离散型随机变量的方差、标准差
【典例1】（2024·全国·高二假期作业）甲乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投；已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为，.在前3次投篮中，乙投篮的次数为，求随机变量的概率分布、数学期望和方差．
【典例2】（2024下·全国·高二随堂练习）袋中有形状、大小完全相同的3个球，编号分别为1，2，3.用表示取出的2个球中的最大号码，有放回地从袋中取两次，每次取1个球
(1)写出的分布列；
(2)求的均值与方差.
【典例3】（2024·全国·高三专题练习）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局.三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军，已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立.
(1)求甲学校获得冠军的概率；
(2)用表示乙学校的总得分，求的分布列与期望.
(3)设用表示甲学校的总得分，比较和的大小（直接写出结果）.
【变式1】（2024·全国·高二假期作业）甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮；第一次由甲投篮，已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为，．在前3次投篮中，乙投篮的次数为X，求X的概率分布、均值及标准差．
【变式2】（2024·全国·高三专题练习）小王去自动取款机取款，发现自己忘记了6位密码的最后一位数字，他决定从0~9中不重复地随机选择1个进行尝试，直到输对密码，或者输错三次银行卡被锁定为止．
(1)求小王的该银行卡被锁定的概率；
(2)设小王尝试输入该银行卡密码的次数为X，求X的分布列、数学期望及方差．
【变式3】（2023下·湖北宜昌·高二校考阶段练习）新高考数学试卷中多选题规定：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．在做数学卷多选题时考生通常有以下两种策略：策略A：为避免有选错得0分，在四个选项中只选出一个自己最有把握的选项，将多选题当作“单选题”来做；策略B：争取得5分，选出自己认为正确的全部选项，本次考试前，某同学通过模拟训练得出其在两种策略下作完成下面小题的情况如下表：
策略 概率 每题耗时（分钟）
第11题 第12题
A 选对选项 0.8 0.5 3
B 部分选对 0.6 0.2 6
全部选对 0.3 0.7
已知该同学作答两题的状态互不影响，若该同学此次考试决定用以下方案：第11题采用策略B，第12题采用策略A，设他这两题得分之和为X，求X的分布列、均值及方差．
题型02 离散型随机变量的方差公式及性质
【典例1】（2024·全国·高二假期作业）已知随机变量的分布列如表：
0 1 2
m n
若，则 ．
【典例2】（2024上·陕西渭南·高二校考期末）随机变量的分布列如下表，则 ； .
0 1 2
【典例3】（2024·全国·高三专题练习）离散型随机变量X的分布为：
0 1 2 4 5
若离散型随机变量Y满足，则下列结果正确的为 ．
①；②；③；④．
【变式1】（2024上·辽宁·高二盘锦市高级中学校联考期末）设随机变量的方差，则的值为 .
【变式2】（2024·全国·高三专题练习）设样本数据的均值和方差分别为1和4，若，，且的均值为5，则方差为 .
【变式3】（2024·全国·高三专题练习）随机变量X的分布列如表所示，若，则 .
X －1 0 1
P a b
题型03两点分布的方差
【典例1】（2023·全国·高二专题练习）已知随机变量满足，，其中.令随机变量，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】（2023下·广东中山·高二统考期末）已知离散型随机变量X服从两点分布，且，则随机变量X的方差为 ．
题型04方差的实际应用
【典例1】（2023上·全国·高三专题练习）甲、乙两种品牌的手表，它们的日走时误差分别为X和Y(单位：s)，其分布列为
甲品牌的走时误差分布列
X －1 0 1
P 0.1 0.8 0.1
乙品牌的走时误差分布列
Y －2 －1 0 1 2
P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1
试对两种品牌手表的性能作出描述： ．
【典例2】（2024·江苏·高二假期作业）为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对500位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.
(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为45元，其余3个均为15元，求顾客所获的奖励额为60元的概率；
(2)商场对奖励总额的预算是30000元，为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请从如下两种方案中选择一种，并说明理由.方案一：袋中的4个球由2个标有面值15元和2个标有面值45元的两种球组成；方案二：袋中的4个球由2个标有面值20元和2个标有面值40元的两种球组成.
【典例3】（2024·全国·高二假期作业）已知某商业银行甲、乙两个风险理财项目的年利润率分别为和，利润率为负表示亏损，根据往年的统计数据得到和的分布列：
5 10 -2
P 0.6 0.15 0.25
4 6 12 -2.5
P 0.2 0.5 0.1 0.2
现有200万元资金准备投资到甲、乙两个风险理财项目一年．
(1)在甲、乙两个项目上各投资100万元，和分别表示投资项目甲和乙所获得的年利润，求和；
(2)项目甲投资x万元，项目乙投资万元，其中，，用表示投资甲项目的年利润方差与投资乙项目的年利润方差之和，问该如何分配这200万元资金，能使的数值最小？
【变式1】（2024·全国·高二假期作业）设有甲、乙两地生产的两批原棉，它们的纤维长度X，Y的分布如表1、表2所示．
表1
X 25 24 23 22 21 20
P 0.1 0.2 0.3 0.1 0.1 0.2
表2
Y 25 24 23 22 21 20
P 0.05 0.2 0.25 0.3 0.1 0.1
试问：这两批原棉的质量哪一批较好？
【变式2】（2024·全国·高三专题练习）为了解某中学高一年级学生身体素质情况，对高一年级的(1)班(8)班进行了抽测，采取如下方式抽样：每班随机各抽10名学生进行身体素质监测.经统计，每班10名学生中身体素质监测成绩达到优秀的人数散点图如下（轴表示对应的班号，轴表示对应的优秀人数）：

(1)若用散点图预测高一年级学生身体素质情况，从高一年级学生中任意抽测1人，求该生身体素质监测成绩达到优秀的概率；
(2)若从以上统计的高一（2）班和高一（4）班的学生中各抽出1人，设表示2人中身体素质监测成绩达到优秀的人数，求的分布列及其数学期望；
(3)假设每个班学生身体素质优秀的概率与该班随机抽到的10名学生的身体素质优秀率相等.现在从每班中分别随机抽取1名同学，用“”表示第班抽到的这名同学身体素质优秀，“”表示第班抽到的这名同学身体素质不是优秀（）．写出方差的大小关系（不必写出证明过程）．
【变式3】（2024上·江西新余·高二统考期末）为弘扬中华优秀传统文化，营造良好的文化氛围，增强文化自觉和文化自信，某区组织开展了中华优秀传统文化知识竞答活动，该活动有单人赛和PK赛，每人只能参加其中的一项.据统计，中小学生参与该项知识竞答活动的人数共计4.8万，其中获奖学生情况统计如下：
奖项 组别 单人赛 PK赛获奖
一等奖 二等奖 三等奖
中学组 40 40 120 100
小学组 32 58 210 100
(1)从获奖学生中随机抽取1人，若已知抽到的学生获得一等奖，求抽到的学生来自中学组的概率；
(2)从中学组和小学组获奖者中各随机抽取1人，以表示这2人中PK赛获奖的人数，求的分布列和数学期望；
(3)从获奖学生中随机抽取3人，设这3人中来自中学组的人数为，来自小学组的人数为，试判断与的大小关系.（结论不要求证明）
A夯实基础 B能力提升
A夯实基础
一、单选题
1．（2023下·贵州遵义·高二统考期中）若随机变量满足，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·高二课时练习）已知随机变量X的分布列是
X 1 2 3
P 0.4 0.2 0.4
则等于（ ）
A．0 B．0.8 C．2 D．1
3．（2023·江苏·高二专题练习）若数据，，…，的方差为3，则数据，，…，的方差为（ ）
A．12 B．9 C．6 D．3
4．（2023·全国·高三专题练习）已知随机变量的分布列如下表所示：
0 1 2
若，则（ ）
A．>，> B．<，>
C．>，< D．<，<
5．（2023·全国·高三专题练习）已知随机变量的分布列为：
则随机变量的方差的最大值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023上·高二课时练习）已知随机变量ξ的分布列如下：
若，则的最小值等于（ ）
A．0 B．2
C．1 D．
7．（2023上·高二课时练习）设，随机变量的分布列为
0 1 2
P b
则当在内增大时（ ）
A．增大
B．减小
C．先减小后增大
D．先增大后减小
8．（2023下·广东东莞·高二东莞实验中学校考阶段练习）已知随机变量X的概率分布如表.当在内增大时，方差的变化为（ ）
X 1
P
A．增大 B．减小 C．先增大再减小 D．先减小再增大
二、多选题
9．（2023下·广西河池·高二统考期末）已知随机变量满足，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2023下·高二课时练习）（多选）下列说法中错误的是（ ）
A．离散型随机变量的均值反映了取值的概率的平均值
B．离散型随机变量的方差反映了取值的平均水平
C．离散型随机变量的均值反映了取值的平均水平
D．离散型随机变量的方差反映了取值的概率的平均值
三、填空题
11．（2023上·内蒙古呼伦贝尔·高二海拉尔第二中学校考期末）离散型随机变量的分布列为，，2，3，…，6，其期望为，若，则 .
12．（2023下·福建福州·高二校联考期中）随机变量的概率分布列如下：
－1 0 1
其中，，成等差数列，若随机变量的期望，则其方差＝ ．
四、解答题
13．（2023上·江西上饶·高二校考期末）某网站为研究新闻点击量的变化情况，收集得到了该网站连续30天的新闻点击量变化数据，如下表所示.在描述新闻点击量变化时，用“↑”表示“上涨”，即当天新闻点击量比前一天新闻点击量高；用“↓”表示“下降”，即当天新闻点击量比前一天新闻点击量低；用“－”表示“不变”，即当天新闻点击量与前一天新闻点击量相同.
时段 新闻点击量
第1天到第15天 ↑ - ↑ ↓ ↑ - ↓ ↑ - ↓ ↑ ↓ - ↓ ↓
第16天到第30天 - ↑ - ↑ - ↑ ↓ ↑ ↓ ↑ - ↓ ↑ ↓ ↑
用频率估计概率.
(1)试估计该网站新闻点击量“下降”的概率；
(2)从样本中的前15天和后15天中各随机抽取1天，记表示其中该网站新闻点击量“上涨”的天数，求的分布列和数学期望；
(3)从样本给出的30天中任取1天，用“”表示该天新闻点击量“上涨”，“”表示该天新闻点击量“下降”或“不变”，然后继续统计接下来的10天的新闻点击量，其中有6天“上涨”、3天“下降”、1天“不变”，相应地，从这40天中任取1天，用“”表示该天新闻点击量“上涨”，“”表示该天新闻点击量“下降”或“不变”，直接写出方差，大小关系.
14．（2023下·新疆巴音郭楞·高二校考期末）已知随机变量X的分布列为
X 0 1 x
P p
若，
(1)求的值;
(2)若，求的值.
B能力提升
1．（2023上·北京顺义·高三北京市顺义区第一中学校考阶段练习）为了解顾客对五种款式运动鞋的满意度，厂家随机选取了2000名顾客进行回访，调查结果如表：
运动鞋款式 A B C D E
回访顾客（人数） 700 350 300 250 400
满意度
注：
1．满意度是指：某款式运动鞋的回访顾客中，满意人数与总人数的比值；
2．对于每位回访顾客，只调研一种款式运动鞋的满意度．假设顾客对各款式运动鞋是否满意相互独立，用顾客对某款式运动鞋的满意度估计对该款式运动鞋满意的概率．
(1)从所有的回访顾客中随机抽取1人，求此人是C款式运动鞋的回访顾客且对该款鞋满意的概率；
(2)从A、E两种款式运动鞋的回访顾客中各随机抽取1人，设其中满意的人数为，求的分布列和数学期望；
(3)用“”和“”分别表示对A款运动鞋满意和不满意，用“”和“”分别表示对B款运动满意和不满意，试比较方差与的大小．（结论不要求证明）
2．（2023上·高二课时练习）某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立．根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5，0.6，0.4．经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6，0.5，0.75．
(1)求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；
(2)经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为，求随机变量的期望与方差．
3．（2023·上海奉贤·上海市奉贤中学校考三模）某数学学习小组的5位学生在一次考试后调整了学习方法，一段时间后又参加了第二次考试．两次考试的成绩如下表所示（满分100分）
学生1 学生2 学生3 学生4 学生5
第一次 82 89 78 92 81
第二次 83 90 75 95 76
(1)在5位学生中依次抽取3位学生．在前2位学生中至少有1位学生第一次成绩高于第二次成绩的条件下，求第三位学生第二次考试成绩高于第一次考试成绩的概率；
(2)设（，2，…，5）表示第i位学生第二次考试成绩减去第一次考试成绩的值．从数学学习小组5位学生中随机选取2位，得到数据，定义随机变量X如下：求X的分布列和数学期望EX和方差．
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第05讲 7.3.2 离散型随机变量的方差
课程标准 学习目标
①通过具体实例，理解离散型随机变量分布列的方差。 ②能解决与离散型随机变量相关的数学问题与实际问题中与方差的求解问题。 ③能解决一些稳定性的简单问题与决策性问题。 通过本节课的学习,要求掌握离散型随机变量的方差、标准差的求解，能解决与之相关的简单问题，有关决策性问题的处理意见与建议。
知识点1：离散型随机变量的方差
（1）离散型随机变量的方差的概念
一般地，若离散型随机变量的概率分布列为：
… …
… …
则称
为随机变量的方差，有时也记为.
称为随机变量的标准差.
（2）离散型随机变量的方差的深层理解
①离散型随机变量的方差是个数值，是随机变量的一个重要特征数.
描述了()相对于均值的偏离程度，而是上述偏离程度的加权平均值，刻画了随机变量的取值与其均值的平均偏离程度.随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值的稳定性和波动、集中与离散程度，越大，表明平均偏离程度越大，的取值越分散；反之，越小，的取值越集中在附近.
②标准差与随机变量有相同的单位，而方差的单位是随机变量单位的平方.
③均值与方差的关系
在实际问题中仅靠均值还不能全面地说明随机变量的特征，还必须研究随机变量的集中与离散程度，这就需要求出方差.
④方差公式的变形：
⑤方差也是一个常数，它不具有随机性，方差的值一定非负.
（3）两点分布的方差公式
一般地，如果随机变量服从两点分布，那么:.
1 0
【即学即练1】（2024·全国·高二假期作业）已知随机变量服从两点分布，且，若，则下列判断正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】∵，，∴，
∵，，
二次函数在区间上单调递减，
∴，，且.
故选：D
（4）方差的性质
若与都是随机变量，且，则由与之间分布列的关系可知.
【即学即练2】（2024·全国·高二假期作业）若随机变量满足，则（ ）
A．0.8 B．1.6 C．3.2 D．0.2
【答案】C
【详解】因为，所以.
故选：C
知识点2：样本方差与离散型随机变量方差的比较
（1）样本方差
样本数据；；；；记
均值：，其中.
方差：
（2）离散型随机变量方差
离散型随机变量的分布列
… …
… …
均值
方差：
【即学即练3】（2024·全国·高三专题练习）甲、乙两种零件某次性能测评的分值，的分布如下，则性能更稳定的零件是 ．
8 9 10
P 0.3 0.2 0.5
8 9 10
P 0.2 0.4 0.4
【答案】乙
【详解】由题意知：，
，
所以，
，
因为，所以乙更稳定．
故答案为:乙．
知识点3：求离散型随机变量的方差步骤
(1)理解离散型随机变量的意义，写出所有可能的取值.
(2)判断离散型随机变量是否服从特殊分布（如两点分布等).若服从特殊分布，则可利用公式直接求解；若不服从特殊分布，则继续下面步骤.
(3)求出离散型随机变量取每个值的概率.
(4)写出离散型随机变量的分布列.
(5)利用均值的定义求.
(6)利用求方差.
其中求均值的关键是写出离散型随机变量的分布列，前提是准确列出所有可能的取值，并真正理解取值的意义.
题型01 求离散型随机变量的方差、标准差
【典例1】（2024·全国·高二假期作业）甲乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投；已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为，.在前3次投篮中，乙投篮的次数为，求随机变量的概率分布、数学期望和方差．
【答案】分布列见解析，均值为，方差为.
【详解】依题意，的所有可能取值为0,1,2，
；；，
所以的概率分布为：
0 1 2
P
数学期望，
方差.
【典例2】（2024下·全国·高二随堂练习）袋中有形状、大小完全相同的3个球，编号分别为1，2，3.用表示取出的2个球中的最大号码，有放回地从袋中取两次，每次取1个球
(1)写出的分布列；
(2)求的均值与方差.
【答案】(1)
1 2 3
(2)；
【详解】（1）题意知的可能取值为1，2，3，
当时，有一种情况；
当时，有，，三种情况；
当时，有，，，，五种情况；
则，，，
所以的分布列：
1 2 3
（2）的均值为：，
方差为.
【典例3】（2024·全国·高三专题练习）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局.三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军，已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立.
(1)求甲学校获得冠军的概率；
(2)用表示乙学校的总得分，求的分布列与期望.
(3)设用表示甲学校的总得分，比较和的大小（直接写出结果）.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，的期望为
(3)
【详解】（1）甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，可以得到两个学校每场比赛获胜的概率如下表：
第一场比赛 第二场比赛 第三场比赛
甲学校获胜概率 0.5 0.4 0.8
乙学校获胜概率 0.5 0.6 0.2
甲学校要获得冠军，需要在3场比赛中至少获胜2场，
①甲学校3场全胜，概率为：，
②甲学校3场获胜2场败1场，概率为：，
所以甲学校获得冠军的概率为：；
（2）乙学校的总得分的可能取值为：0，10，20，30，其概率分别为：
，
，
，
，
则的分布列为：
0 10 20 30
0.16 0.44 0.34 0.06
的期望；
（3）甲学校的总得分的可能取值为：0，10，20，30，其概率分别为：
，
，
，
，
则的分布列为：
0 10 20 30
0.06 0.34 0.44 0.16
的期望；
故，
由（2）可得，
故.
【变式1】（2024·全国·高二假期作业）甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮；第一次由甲投篮，已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为，．在前3次投篮中，乙投篮的次数为X，求X的概率分布、均值及标准差．
【答案】分布列见解析，均值为，标准差为
【详解】由题意，得X的所有可能取值为0,1,2，
故X的概率分布为:
X 0 1 2
P
，
，所以.
【变式2】（2024·全国·高三专题练习）小王去自动取款机取款，发现自己忘记了6位密码的最后一位数字，他决定从0~9中不重复地随机选择1个进行尝试，直到输对密码，或者输错三次银行卡被锁定为止．
(1)求小王的该银行卡被锁定的概率；
(2)设小王尝试输入该银行卡密码的次数为X，求X的分布列、数学期望及方差．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，数学期望，方差．
【详解】（1）设“小王的该银行卡被锁定”为事件A，
则．
（2）由题意，X的所有可能取值为1，2，3，
则，，，
所以X的分布列为
X 1 2 3
P
所以数学期望，
方差．
【变式3】（2023下·湖北宜昌·高二校考阶段练习）新高考数学试卷中多选题规定：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．在做数学卷多选题时考生通常有以下两种策略：策略A：为避免有选错得0分，在四个选项中只选出一个自己最有把握的选项，将多选题当作“单选题”来做；策略B：争取得5分，选出自己认为正确的全部选项，本次考试前，某同学通过模拟训练得出其在两种策略下作完成下面小题的情况如下表：
策略 概率 每题耗时（分钟）
第11题 第12题
A 选对选项 0.8 0.5 3
B 部分选对 0.6 0.2 6
全部选对 0.3 0.7
已知该同学作答两题的状态互不影响，若该同学此次考试决定用以下方案：第11题采用策略B，第12题采用策略A，设他这两题得分之和为X，求X的分布列、均值及方差．
【答案】分布列见解析，均值为3.7，方差为3.61.
【详解】设事件为“第11题得0分”，事件为“第11题得2分”，事件为“第11题得5分”，事件为“第12题得0分”，事件为“第12题得2分”，
则，，，，，
由题意知，X的可能取值为0，2，4，5，7，
所以，
，
，
，
，
所以X的分布列为
X 0 2 4 5 7
P 0.05 0.35 0.3 0.15 0.15
所以，
.
题型02 离散型随机变量的方差公式及性质
【典例1】（2024·全国·高二假期作业）已知随机变量的分布列如表：
0 1 2
m n
若，则 ．
【答案】
【详解】，①，
又②，
联立①②得，
所以，
则．
故答案为：．
【典例2】（2024上·陕西渭南·高二校考期末）随机变量的分布列如下表，则 ； .
0 1 2
【答案】 1 2.4
【详解】由题知：，，
.
，.
故答案为：，
【典例3】（2024·全国·高三专题练习）离散型随机变量X的分布为：
0 1 2 4 5
若离散型随机变量Y满足，则下列结果正确的为 ．
①；②；③；④．
【答案】①③
【详解】由离散型随机变量X的分布列的性质，可得，
则，
，
所以①③正确；
又由离散型随机变量Y满足，所以，
，所以②④错误，
故答案为：①③．
【变式1】（2024上·辽宁·高二盘锦市高级中学校联考期末）设随机变量的方差，则的值为 .
【答案】12
【详解】
故答案为：12
【变式2】（2024·全国·高三专题练习）设样本数据的均值和方差分别为1和4，若，，且的均值为5，则方差为 .
【答案】
【详解】由题设，则，
所以.
故答案为：
【变式3】（2024·全国·高三专题练习）随机变量X的分布列如表所示，若，则 .
X －1 0 1
P a b
【答案】5
【详解】依题意可得，解得，
所以，
所以.
故答案为：5.
题型03两点分布的方差
【典例1】（2023·全国·高二专题练习）已知随机变量满足，，其中.令随机变量，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】随机变量满足,,其中.
则随机变量的分布列为:
所以
随机变量,
所以当时,,当时,
所以随机变量的分布列如下表所示(当时,只有一个情况,概率为1):
则
当即,解得.所以A、B错误.
恒成立.
所以C错误,D正确
故选:D
【变式1】（2023下·广东中山·高二统考期末）已知离散型随机变量X服从两点分布，且，则随机变量X的方差为 ．
【答案】
【详解】因为离散型随机变量X服从两点分布，设，所以，
所以，代入有：，
解得：，，
因为离散型随机变量X服从两点分布，所以.
故答案为：.
题型04方差的实际应用
【典例1】（2023上·全国·高三专题练习）甲、乙两种品牌的手表，它们的日走时误差分别为X和Y(单位：s)，其分布列为
甲品牌的走时误差分布列
X －1 0 1
P 0.1 0.8 0.1
乙品牌的走时误差分布列
Y －2 －1 0 1 2
P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1
试对两种品牌手表的性能作出描述： ．
【答案】甲种手表的性能更好，更稳定
【详解】由甲品牌的走时误差分布列，可得：
，
；
由乙品牌的走时误差分布列，可得：
，
,
则甲、乙两种手表走时误差的期望一样，但甲种手表的方差小于乙种手表的方差，
所以认为甲种手表的性能更好，更稳定．
【典例2】（2024·江苏·高二假期作业）为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对500位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.
(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为45元，其余3个均为15元，求顾客所获的奖励额为60元的概率；
(2)商场对奖励总额的预算是30000元，为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请从如下两种方案中选择一种，并说明理由.方案一：袋中的4个球由2个标有面值15元和2个标有面值45元的两种球组成；方案二：袋中的4个球由2个标有面值20元和2个标有面值40元的两种球组成.
【答案】(1)
(2)方案二，理由见解析
【详解】（1）设顾客的奖励额为X,依题意得
（2）根据方案一，设顾客的奖励额为其可能取值为30，，30m60，90
，，
根据方案二，设顾客的奖励额为其可能取值为40，60，80
，，
商场对奖励总额的预算是30000元，故每个顾客平均奖励额最多为60，两方案均符合要求，但方案二奖励的方差比方案一小，所以应选择方案二
【典例3】（2024·全国·高二假期作业）已知某商业银行甲、乙两个风险理财项目的年利润率分别为和，利润率为负表示亏损，根据往年的统计数据得到和的分布列：
5 10 -2
P 0.6 0.15 0.25
4 6 12 -2.5
P 0.2 0.5 0.1 0.2
现有200万元资金准备投资到甲、乙两个风险理财项目一年．
(1)在甲、乙两个项目上各投资100万元，和分别表示投资项目甲和乙所获得的年利润，求和；
(2)项目甲投资x万元，项目乙投资万元，其中，，用表示投资甲项目的年利润方差与投资乙项目的年利润方差之和，问该如何分配这200万元资金，能使的数值最小？
【答案】(1)，
(2)投资甲项目105万元，投资乙项目95万元时有最小值
【详解】（1）由题意可知（万元）和（万元）的分布列分别为
5 10 -2
P 0.6 0.15 0.25
4 6 12 -2.5
P 0.2 0.5 0.1 0.2
所以．
．
于是．
（2）由题意可知，根据方差性质可得
．
由二次函数性质可得，当，即时，取得最小值．
因此投资甲项目105万元，投资乙项目95万元时有最小值．
【变式1】（2024·全国·高二假期作业）设有甲、乙两地生产的两批原棉，它们的纤维长度X，Y的分布如表1、表2所示．
表1
X 25 24 23 22 21 20
P 0.1 0.2 0.3 0.1 0.1 0.2
表2
Y 25 24 23 22 21 20
P 0.05 0.2 0.25 0.3 0.1 0.1
试问：这两批原棉的质量哪一批较好？
【答案】乙地原棉比甲地原棉的质量要好一些
【详解】两批原棉纤维长度的均值分别为
，
．
这两批原棉的纤维平均长度相等．
两批原棉纤维长度的方差分别为
，
．
这说明乙地原棉纤维更加齐整，故乙地原棉比甲地原棉的质量要好一些．
【变式2】（2024·全国·高三专题练习）为了解某中学高一年级学生身体素质情况，对高一年级的(1)班(8)班进行了抽测，采取如下方式抽样：每班随机各抽10名学生进行身体素质监测.经统计，每班10名学生中身体素质监测成绩达到优秀的人数散点图如下（轴表示对应的班号，轴表示对应的优秀人数）：

(1)若用散点图预测高一年级学生身体素质情况，从高一年级学生中任意抽测1人，求该生身体素质监测成绩达到优秀的概率；
(2)若从以上统计的高一（2）班和高一（4）班的学生中各抽出1人，设表示2人中身体素质监测成绩达到优秀的人数，求的分布列及其数学期望；
(3)假设每个班学生身体素质优秀的概率与该班随机抽到的10名学生的身体素质优秀率相等.现在从每班中分别随机抽取1名同学，用“”表示第班抽到的这名同学身体素质优秀，“”表示第班抽到的这名同学身体素质不是优秀（）．写出方差的大小关系（不必写出证明过程）．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，1
(3)
【详解】（1）从高一年级（1）班~（8）班学生中抽测了80人，
其中身体素质检测成绩优秀的人数有人，所以，优秀的概率是
因为是随机抽样，所以用样本估计总体，可知从高一年级学生中任意抽测一人，
该生身体素质检测成绩达到优秀的概率是
（2）因为高一（2）班抽出的10名同学中，身体素质监测成绩达到优秀的人数有6人，不优秀的有4人，
因为高一（4）班抽出的10名同学中，身体素质监测成绩达到优秀的人数有4人，不优秀的有6人，
所以从中抽出2人，的可能取值为
，，，
所以的分布列为
数学期望
（3），
理由：由于
且服从二点分布，所以，
由于在单调递减，
所以.
【变式3】（2024上·江西新余·高二统考期末）为弘扬中华优秀传统文化，营造良好的文化氛围，增强文化自觉和文化自信，某区组织开展了中华优秀传统文化知识竞答活动，该活动有单人赛和PK赛，每人只能参加其中的一项.据统计，中小学生参与该项知识竞答活动的人数共计4.8万，其中获奖学生情况统计如下：
奖项 组别 单人赛 PK赛获奖
一等奖 二等奖 三等奖
中学组 40 40 120 100
小学组 32 58 210 100
(1)从获奖学生中随机抽取1人，若已知抽到的学生获得一等奖，求抽到的学生来自中学组的概率；
(2)从中学组和小学组获奖者中各随机抽取1人，以表示这2人中PK赛获奖的人数，求的分布列和数学期望；
(3)从获奖学生中随机抽取3人，设这3人中来自中学组的人数为，来自小学组的人数为，试判断与的大小关系.（结论不要求证明）
【答案】(1)
(2)分布列见解析，期望为
(3)，理由见解析
【详解】（1）若事件表示抽到的学生获得一等奖，事件表示抽到的学生来自中学组，
所以抽到的1个学生获得一等奖，学生来自中学组的概率为，
由表格知：，则.
（2）由题意，可能值为，
，，，
的分布列如下：
0 1 2
所以.
（3）由题设知，所以.
A夯实基础 B能力提升
A夯实基础
一、单选题
1．（2023下·贵州遵义·高二统考期中）若随机变量满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据方差的性质计算可得.
【详解】因为，所以.
故选：A
2．（2023上·高二课时练习）已知随机变量X的分布列是
X 1 2 3
P 0.4 0.2 0.4
则等于（ ）
A．0 B．0.8 C．2 D．1
【答案】B
【分析】根据离散型随机变量的方差公式求解即可.
【详解】∵，
∴．
故选:B.
3．（2023·江苏·高二专题练习）若数据，，…，的方差为3，则数据，，…，的方差为（ ）
A．12 B．9 C．6 D．3
【答案】A
【分析】由方差的性质求解即可.
【详解】数据，，…，的方差，则数据，，…，的方差为.
故选：A
4．（2023·全国·高三专题练习）已知随机变量的分布列如下表所示：
0 1 2
若，则（ ）
A．>，> B．<，>
C．>，< D．<，<
【答案】A
【分析】通过计算期望和方差来求得正确答案.
【详解】，
，
由于，所以.
，
同理可得.
，
所以.
故选：A
5．（2023·全国·高三专题练习）已知随机变量的分布列为：
则随机变量的方差的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由随机变量的分布列，求出的值，并根据二次函数的性质求出最大值．
【详解】解：由题意可得，，
则，
当，有最大值为．
故选：A．
6．（2023上·高二课时练习）已知随机变量ξ的分布列如下：
若，则的最小值等于（ ）
A．0 B．2
C．1 D．
【答案】A
【分析】由分布列的性质求出，由期望公式可得，由方差公式及二次函数的性质即可求解.
【详解】由题意得，
所以，即.
又，
所以当时，取最小值为0.
故选:A.
7．（2023上·高二课时练习）设，随机变量的分布列为
0 1 2
P b
则当在内增大时（ ）
A．增大
B．减小
C．先减小后增大
D．先增大后减小
【答案】A
【分析】根据随机变量分布列的性质，结合方差的公式、二次函数的性质进行求解即可.
【详解】根据随机变量分布列的性质可知，所以，
所以，
所以
，
因为，所以单调递增，
故选：A
8．（2023下·广东东莞·高二东莞实验中学校考阶段练习）已知随机变量X的概率分布如表.当在内增大时，方差的变化为（ ）
X 1
P
A．增大 B．减小 C．先增大再减小 D．先减小再增大
【答案】D
【分析】求出期望与方差，结合二次函数的性质即可判断方差的单调性．
【详解】由分布列可得，
所以，
所以，当时，单调递减；当时，单调递增．
故选：D．
二、多选题
9．（2023下·广西河池·高二统考期末）已知随机变量满足，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】根据期望及方差的性质即可求解.
【详解】，则,故A正确，B错误；
，则，故C正确，D错误.
故选：AC
10．（2023下·高二课时练习）（多选）下列说法中错误的是（ ）
A．离散型随机变量的均值反映了取值的概率的平均值
B．离散型随机变量的方差反映了取值的平均水平
C．离散型随机变量的均值反映了取值的平均水平
D．离散型随机变量的方差反映了取值的概率的平均值
【答案】ABD
【分析】由均值和方差的定义，均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，即可判断A、C是否正确；方差反映了随机变量取值的集中分散情况，即可判断B、D是否正确；即可得答案．
【详解】离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，故C正确，A错误；
离散型随机变量的方差反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度，故B、D错误.
故选：ABD．
三、填空题
11．（2023上·内蒙古呼伦贝尔·高二海拉尔第二中学校考期末）离散型随机变量的分布列为，，2，3，…，6，其期望为，若，则 .
【答案】
【分析】根据方差的定义求得，然后利用方差性质求解即可.
【详解】由题意及方差定义知，所以.
故答案为：
12．（2023下·福建福州·高二校联考期中）随机变量的概率分布列如下：
－1 0 1
其中，，成等差数列，若随机变量的期望，则其方差＝ ．
【答案】
【分析】利用等差中项的性质，分布列中概率和为1以及均值的计算公式构建方程求得，，，再由方差的计算公式求得答案.
【详解】因为，，成等差数列，则，又由分布列的性质，则，
所以得，
又因为随机变量的均值且,
故解得，，
所以.
故答案为：.
四、解答题
13．（2023上·江西上饶·高二校考期末）某网站为研究新闻点击量的变化情况，收集得到了该网站连续30天的新闻点击量变化数据，如下表所示.在描述新闻点击量变化时，用“↑”表示“上涨”，即当天新闻点击量比前一天新闻点击量高；用“↓”表示“下降”，即当天新闻点击量比前一天新闻点击量低；用“－”表示“不变”，即当天新闻点击量与前一天新闻点击量相同.
时段 新闻点击量
第1天到第15天 ↑ - ↑ ↓ ↑ - ↓ ↑ - ↓ ↑ ↓ - ↓ ↓
第16天到第30天 - ↑ - ↑ - ↑ ↓ ↑ ↓ ↑ - ↓ ↑ ↓ ↑
用频率估计概率.
(1)试估计该网站新闻点击量“下降”的概率；
(2)从样本中的前15天和后15天中各随机抽取1天，记表示其中该网站新闻点击量“上涨”的天数，求的分布列和数学期望；
(3)从样本给出的30天中任取1天，用“”表示该天新闻点击量“上涨”，“”表示该天新闻点击量“下降”或“不变”，然后继续统计接下来的10天的新闻点击量，其中有6天“上涨”、3天“下降”、1天“不变”，相应地，从这40天中任取1天，用“”表示该天新闻点击量“上涨”，“”表示该天新闻点击量“下降”或“不变”，直接写出方差，大小关系.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
(3)，理由见解析
【详解】（1）30天中，有10天点击量下降，故估计该网站新闻点击量“下降”的概率为；
（2）前15天中，有5天的点击量上涨，后15天中，有7天上涨，
故的可能取值为，
则，，
，
故的分布列如下：
0 1 2
；
（3），理由如下：
由（2）知，样本给出的30天中点击量上涨的天数为12，
故，，
则，，
这40天中点击量上涨的天数为，
故，，
故，，
由于，故.
14．（2023下·新疆巴音郭楞·高二校考期末）已知随机变量X的分布列为
X 0 1 x
P p
若，
(1)求的值;
(2)若，求的值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意可得：，解得，
所以.
（2）因为，则，
所以.
B能力提升
1．（2023上·北京顺义·高三北京市顺义区第一中学校考阶段练习）为了解顾客对五种款式运动鞋的满意度，厂家随机选取了2000名顾客进行回访，调查结果如表：
运动鞋款式 A B C D E
回访顾客（人数） 700 350 300 250 400
满意度
注：
1．满意度是指：某款式运动鞋的回访顾客中，满意人数与总人数的比值；
2．对于每位回访顾客，只调研一种款式运动鞋的满意度．假设顾客对各款式运动鞋是否满意相互独立，用顾客对某款式运动鞋的满意度估计对该款式运动鞋满意的概率．
(1)从所有的回访顾客中随机抽取1人，求此人是C款式运动鞋的回访顾客且对该款鞋满意的概率；
(2)从A、E两种款式运动鞋的回访顾客中各随机抽取1人，设其中满意的人数为，求的分布列和数学期望；
(3)用“”和“”分别表示对A款运动鞋满意和不满意，用“”和“”分别表示对B款运动满意和不满意，试比较方差与的大小．（结论不要求证明）
【答案】(1)顾客是款式运动鞋的回访顾客且对该款鞋满意的概率是．
(2)的分布列见解答．的期望是1
(3)
【详解】（1）由题意知，是款式运动鞋的回访顾客且对该款鞋满意的人数为，
故从所有的回访顾客中随机抽取1人，此人是C款式运动鞋的回访顾客且对该款鞋满意的概率是．
（2）的取值为0，1，2．设事件为“从款式运动鞋的回访顾客中随机抽取的1人对该款式运动鞋满意”，
事件为“从款式运动鞋的回访顾客中随机抽取的1人对该款式运动鞋满意”，
且事件与相互独立．
根据题意，，．
则，
，
，
所以的分布列为：
0 1 2
0.24 0.52 0.24
的期望是：．（3）都服从两点分布，，，
，，
所以.
2．（2023上·高二课时练习）某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立．根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5，0.6，0.4．经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6，0.5，0.75．
(1)求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；
(2)经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为，求随机变量的期望与方差．
【答案】(1)0.38
(2)
【详解】（1）分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件，，，
则，，，
设表示第一次烧制后恰好有一件合格， ，
所以
；
（2）设甲、乙、丙经第二次烧制后合格为事件，，，分别记甲、乙、丙经过两次烧制后合格为事件，，，则，，，，，，
，，
所以，
，
，
，
于是，，
.
3．（2023·上海奉贤·上海市奉贤中学校考三模）某数学学习小组的5位学生在一次考试后调整了学习方法，一段时间后又参加了第二次考试．两次考试的成绩如下表所示（满分100分）
学生1 学生2 学生3 学生4 学生5
第一次 82 89 78 92 81
第二次 83 90 75 95 76
(1)在5位学生中依次抽取3位学生．在前2位学生中至少有1位学生第一次成绩高于第二次成绩的条件下，求第三位学生第二次考试成绩高于第一次考试成绩的概率；
(2)设（，2，…，5）表示第i位学生第二次考试成绩减去第一次考试成绩的值．从数学学习小组5位学生中随机选取2位，得到数据，定义随机变量X如下：求X的分布列和数学期望EX和方差．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，期望为1，方差为.
【详解】（1）表中2人第一次成绩优于第二次成绩,3人第二次成绩优于第一次成绩.
设事件为在5名学生中先抽取2名学生其中至少有1名同学第一次成绩高于第二次成绩,事件为抽取的第三名学生第二次考试成绩高于第一次考试成绩.
则，
，
所以，
则抽一名学生，且该生第二次考试成绩高于第一次考试成绩的概率为 .
（2）共种，
，
，
随机变量可能的取值为0,1,2.
，
则随机变量的分布列为:，
的数学期望，
.
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