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【一模卷】高三数学精选模拟（人教A版）1
一、单选题（共8题，共 40 分）
1. （5分）设集合 ，，则 （　　）
A. B. C. D.
2. （5分）已知 （其中 为虚数单位），则复数 （　　）
A. B. C. D.
3. （5分）如图所示，中，是线段的中点，是线段上靠近的三等分点，则（　）．
A. B. C. D.
4. （5分）拟柱体（所有顶点均在两个平行平面内的多面体）可以用辛普森（）公式求体积，其中是高，是上底面面积，是下底面面积，是中截面（到上、下底面距离相等的截面）面积．如图所示，在五面体中，底面是边长为的正方形，，且直线到底面的距离为，则该五面体的体积为（　　）
A. B. C. D.
5. （5分）把函数图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把所得图象向右平移个单位，若最终所得图象对应的函数在区间上单调递增，则的最小值为（　）．
A. B. C. D.
6. （5分）一条斜率为的直线分别与曲线和曲线相切于点和点，则公切线段的长为（　）．
A. B. C. D.
7. （5分）在平面直角坐标系中，已知双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上一点，连接交轴于点．若为等边三角形，则双曲线的离心率为（　）．
A. B. C. D.
8. （5分）从装有个红球和个蓝球的袋中(，均不小于)，每次不放回地随机摸出一球．记“第一次摸球时摸到红球”为，“第一次摸球时摸到蓝球”为；“第二次摸球时摸到红球”为，“第二次摸球时摸到蓝球”为，则下列说法错误的是（　　）
A. B.
C. D.
二、多选题（共3题，共 18 分）
9. （6分）已知，则（　）．
A. 的值为 B. 的值为
C. 的值为 D. 的值为
10. （6分）如图所示，设单位圆与轴的正半轴相交于点，以轴非负半轴为始边作锐角，，，它们的终边分别与单位圆相交于点，，，则下列说法正确的是（　　）
A. 的长度为 B. 扇形的面积为
C. 当与重合时， D. 当时，四边形面积的最大值为
11. （6分）球面几何是几何学的一个重要分支，在航海、航空、卫星定位等方面都有广泛的应用．如图，，，是球面上不在同一大圆（大圆是过球心的平面与球面的交线）上的三点，经过这三点中任意两点的大圆的劣弧分别为，，，由这三条劣弧围成的球面部分称为球面，定义为经过，两点的大圆在这两点间的劣弧的长度，已知地球半径为，北极为点，点，是地球表面上的两点，则（　）．
A.
B. 若点，在赤道上，且经度分别为东经和东经，则
C. 若点，在赤道上，且经度分别为东经和东经，则球面的面积
D. 若，则球面的面积为
三、填空题（共3题，共 15 分）
12. （5分）使命题“若，则”为假命题的一组，的值分别为 　　　　 ， 　　　　 .
13. （5分）由直线上一点向圆引切线，则切线长的最小值为 　　　　 ．
14. （5分）已知函数有六个不同零点，且所有零点之和为，则的取值范围为 　　　　 ．
四、解答题（共5题，共 77 分）
15. 为庆祝中国共产主义青年团成立周年，某校团委组织团员参加知识竞赛．根据成绩，制成如图所示的频率分布直方图．
（1）（5分）计算的值；
（2）（8分）采用按比例分层抽样的方法从成绩在，的两组中共抽取人，再从这人中随机抽取人，记为这人中成绩落在的人数，求的分布列和数学期望．
16. 已知函数，其中．
（1）（6分）若是函数的极值点，求的值．
（2）（9分）讨论函数的单调性．
17. 如图，已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，点是圆上异于点，的任意一点．
（1）（7分）若点到平面的距离为，证明：．
（2）（8分）求与平面所成角的正弦值的取值范围．
18. 已知点是抛物线与椭圆的公共焦点，椭圆上的点到点的最大距离为．
（1）（6分）求椭圆的方程；
（2）（11分）过点作的两条切线，记切点分别为，，求面积的最大值．
19. 对于每项均是正整数的数列：，，，，定义变换，将数列变换成数列：，，，，．对于每项均是非负整数的数列：，，，，定义，定义变换，将数列各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列．
（1）（5分）若数列为，，，，求的值；
（2）（12分）对于每项均是正整数的有穷数列，令，．
（i）探究与的关系；
（ii）证明：．
参考答案
一、单选题（共8题，共 40 分）
1【答案】B
【解析】由题意可知，，
又因为 ，
所以 ．
2【答案】A
【解析】由题意可知 ．
故选：．
3【答案】A
【解析】因为是线段的中点，是线段上靠近的三等分点，
所以
．
故选．
4【答案】D
【解析】由题意得：，，，
分别取 ，，， 的中点 ，，，，
顺次连接，得到截面 为中截面，且为长方形，
边长为 ，，
所以 ，
所以 ．
故选：．
5【答案】C
【解析】把函数图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），
得到函数的图象，
再把的图象向右平移个单位，
得到的图象，
由于在单调递增，
所以，，
因此，，
即且，，
则且可得，
由于，故当时，取到最小值，
故选．
6【答案】D
【解析】，求导得，
因为切线斜率为，
所以，
即，
所以，
求导得，
因为切线斜率为，
所以，
而，
所以，
所以，
所以．
因此正确答案为：．
7【答案】C
【解析】
设，
为等边三角形，
，，
又，
，
，
，
，
，
，
解得：（舍）或，
双曲线的离心率为．
故选.
8【答案】D
【解析】由题意可知，，，
，
，
从而，故正确；
又因为
，
，
故，故正确；
，
故
，故错误．
故选：．
二、多选题（共3题，共 18 分）
9【答案】A B C
【解析】令，得，故选项无误；
，故，故选项无误；
令，得①，
又，
∴，故选项无误；
令，得②，
由①②得：，故选项有误．
故选．
10【答案】A C D
【解析】解：依题意圆的半径，，，，
所以的长度为，故正确；
因为，
所以扇形的面积，故错误；
当与重合时，即，
则，则，故正确；
．
因为，所以
，
所以当，即时，，故正确；
故选：．
11【答案】B D
【解析】对于选项，当时，可得，
此时，可得，
所以选项错误；
对于选项，当点，在赤道上，且经度分别为东经和东经时，
可得球心角，此时，
所以选项正确；
对于选项，当点，在赤道上，且经度分别为东经和东经时，
可得球心角，
又因为球的表面积为，
所以球面的面积为，
所以选项错误；
对于选项，如下图所示，
当时，可得为等边三角形，
构造一个球内接正四面体，其中心为，连接交于点，
则，为正四面体内切球的半径，
设正四面体的表面积为，可得，
即，
可得，
即为高的靠近的四等分点，则，
由余弦定理的推论可得，
解得，
根据对称性，可得球面的面积为，
所以选项正确．
故选．
　
三、填空题（共3题，共 15 分）
12【答案】1 -1（答案不唯一）
【解析】若命题“若，则”为假命题，则可使，，命题为假命题，
可设．
故答案为：，（答案不唯一）．
13【答案】2
【解析】设过点的切线与圆相切于点，连接，则，
圆的圆心为，半径，则，
当与直线垂直时，取最小值，
且最小值为，
所以，即切线长的最小值为．
故答案为：．
14【答案】
【解析】∵，
∴的图象关于直线对称．
又的六个零点之和为，
∴，解得：，
∴．
令，
则与有个不同交点，
∴；
当时，，
∴在上单调递增；
当时，，
∵，，
又与在上单调递减，
∴在上单调递增．
∴，使得，
且当时，；
当时，；
∴在上单调递减，在上单调递增．
∵，，
结合对称性可得其大致图象如下图所示：
由图象可知：若与有个不同交点，则，
即实数的取值范围为．
故答案为：．
四、解答题（共5题，共 77 分）
15（1）【答案】
【解析】由频率分布直方图知：，
所以．
15（2）【答案】分布列见解析，数学期望为
【解析】按比例分层抽样抽取人，成绩在，的人数分别为，．
所以的所有可能取值为：，，，，
则，
，
，
；
则的分布列为：
所以的数学期望为：.
16（1）【答案】．
【解析】，，
，
因为是函数的极值点，
所以，解得，
经检验，符合题意，故．
16（2）【答案】见解析．
【解析】，
，
当时，当时，，
当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增；
当时，令，解得或，
当，即时，
因为当时，，
当或时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减；
当，即时，
因为当时，，
当或时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减；
当，即时，，
所以在上单调递减．
综上，当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减．
17（1）【答案】证明见解析；
【解析】如图，连接，过点作，垂足为，
由是圆的直径，得，
由是圆柱侧面的母线，得平面，
而平面，则，
又，平面，，
因此平面，
而平面，则，
又，，平面，，
于是平面，
则点到平面的距离为，
即，
设，有，
由，得，
解得，
又，则，而是的中点，
所以．
17（2）【答案】.
【解析】在平面内，过点作交圆于点，连接，
由平面，得直线，，两两垂直，
以为原点，直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，
则，
设点，而点在圆上，有，且，
于是，，，
设平面的法向量为，
则，
取，得，
设与平面所成角为，
则
，
显然，且，则，
于是，，
所以与平面所成角的正弦值的取值范围是．
18（1）【答案】
【解析】抛物线的焦点为，即，
椭圆上的点到点的最大距离为，
所以，，
所以椭圆方程为．
18（2）【答案】
【解析】抛物线的方程为，即，
对该函数求导得，
设点，，，
直线的方程为，
即，即，
同理可知，直线的方程为，
由于点为这两条直线的公共点，则，
所以点，的坐标满足方程，
所以直线的方程为，
联立，可得，
由根与系数的关系可得，，
所以
，
点到直线的距离为，
所以，
因为，
由已知可得，
所以当时，面积的最大值为．
19（1）【答案】
【解析】依题意，：，，，，：，，，，，．
19（2）【答案】（i）；
（ii）证明见解析.
【解析】（i）记，，
，
，
，
所以.
（ii）设是每项均为非负整数的数列，
当存在，使得时，交换数列的第项与第项得到数列，
则，
当存在，使得时，若记数列为，则，
因此，
从而对于任意给定的数列，
由，
，
由（i）知，
所以．

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