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第07讲 2.4.1圆的标准方程
课程标准 学习目标
①理解圆的定义及确定圆的几何要素。 ②理解与掌握平面直角坐标系中圆的标准方程.。 ③会根据相关条件写出圆的标准方程及圆的圆心，半径。 通过本节课的学习，了解与掌握确定圆的位置，大小的几何要素，能根据相关条件求出圆的标准方程，并能解决与圆有关的问题.
知识点01：圆的定义
平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径.
如图，在平面直角坐标系中，的圆心的坐标为, 半径为, 为圆上任意一点， 可用集合表示为：
知识点02：圆的标准方程
我们把方程称为圆心为半径为的圆的标准方程.
【即学即练1】（2023春·重庆沙坪坝·高一重庆八中校考期末）在平面直角坐标系中，已知、两点，若圆以为直径，则圆的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】由题意可知，圆心的横坐标为，纵坐标为，即点，
圆的半径为，
因此，圆的标准方程为.
故选：A.
知识点03：点与圆的位置关系
判断点与：位置关系的方法:
（1）几何法（优先推荐）
设到圆心的距离为，则
①则点在外
②则点在上
③则点在内
（2）代数法
将点带入：方程内
①点在外
②点在上
③点在内
【即学即练2】（2023·江苏·高二假期作业）写出圆心为,半径为5的圆的标准方程,并判断点是否在这个圆上．若该点不在圆上,说明该点在圆外还是在圆内？
【答案】答案见解析
【详解】圆心为,半径为5的圆的标准方程是．
把点的坐标代入方程的左边,
得,左右两边相等,
点的坐标满足圆的方程,所以点在这个圆上．
把点的坐标代入方程的左边,
得,左右两边不相等,
点的坐标不满足圆的方程,所以点不在这个圆上．
又因为点到圆心A的距离．
故点在圆内．
知识点04：圆上的点到定点的最大、最小距离
设的方程，圆心，点是上的动点，点为平面内一点；记;
①若点在外，则;
②若点在上，则;
③若点在内，则;
【即学即练3】（2021秋·高二课时练习）已知圆，则圆上的点到点距离的最大值为_____.
【答案】6
【详解】因为圆的方程为，
所以圆心坐标为，半径,
又圆心到点的距离为，
所以圆上的点到点的距离的最大值为，
故答案为：6
题型01求圆的标准方程
【典例1】（2023·高二课时练习）已知圆C：，O为原点，则以为直径的圆方程为（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】（2023春·上海崇明·高二统考期末）已知两点、，则以PQ为直径的圆的方程是______.
【变式1】（2023·江苏·高二假期作业）圆心在轴上，半径为5，且过点，则圆的标准方程为_______．
【变式2】（2023·陕西西安·校联考模拟预测）过三点、、的圆的圆心坐标为___________.
题型02由圆的方程求圆心或半径
【典例1】（2023·江苏·高二假期作业）下列说法错误的是（ ）
A．圆的圆心为，半径为5
B．圆的圆心为，半径为
C．圆的圆心为，半径为
D．圆的圆心为，半径为
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知圆关于直线（，）对称，则的最小值为（ ）
A． B．9 C．4 D．8
【变式1】（2023·宁夏银川·六盘山高级中学校考三模）已知直线经过圆的圆心，其中，则的最小值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．12
【变式2】（2023·全国·高三专题练习）已知直线过圆的圆心，则的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．2
题型03点与圆的位置关系
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知两直线与的交点在圆的内部，则实数的取值范围是（ ）.
A． B．
C． D．
【典例2】（2023·江苏·高二假期作业）点与圆的位置关系是（ ）
A．在圆外 B．在圆内 C．在圆上 D．不确定
【变式1】（多选）（2023·全国·高二专题练习）（多选）点在圆的内部，则的取值不可能是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（2023·全国·高三专题练习）若点在圆内，则实数的取值范围为____________.
题型04与圆有关的最值问题
【典例1】（2023·广东佛山·统考模拟预测）已知圆：，过点的两条直线，互相垂直，圆心到直线，的距离分别为，，则的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．4
【典例2】（2023秋·四川巴中·高二统考期末）已知圆C过点，当圆到原点的距离
在轴和轴上滑动．求线段的中点的轨迹方程；
【变式1】（2023春·福建福州·高二福建省福州延安中学校考阶段练习）已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程是__________．
【变式2】（2023春·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考阶段练习）已知圆心为的圆经过，两点，且圆心在直线上.
(1)求圆的标准方程；
(2)设为圆上的一个动点，为坐标原点，求的中点的轨迹方程.
A夯实基础 B能力提升 C综合素养
A夯实基础
一、单选题
1．（2023春·上海徐汇·高二上海中学校考期中）已知一个圆的方程满足：圆心在点，且过原点，则它的方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·北京海淀·校考三模）若直线是圆的一条对称轴，则（ ）
A． B．1 C． D．
3．（2023春·四川南充·高二校考阶段练习）圆的圆心、半径是（　　）
A．，4 B．，2 C．，4 D．，2
4．（2023春·新疆省直辖县级单位·高二校考开学考试）已知点（1，1）在圆（x﹣a）2+（y+a）2＝4的内部，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣1，1） B．（0，1）
C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D．{1，﹣1}
5．（2023秋·河北保定·高二统考期末）圆关于直线对称的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023春·安徽·高二校联考开学考试）在圆的方程的探究中，有四位同学分别给出了一个结论，甲：该圆的半径为；乙：该圆经过点；丙：该圆的圆心为；丁：该圆经过点．如果只有一位同学的结论是错误的，那么这位同学是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
7．（2023春·甘肃兰州·高二统考期中）已知圆，则过点的直线l与圆C交于A，B两点，则的最小值是（ ）．
A．2 B．4 C． D．
8．（2023·福建泉州·泉州五中校考模拟预测）已知复数满足，则的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．3
二、多选题
9．（2023·江苏·高二假期作业）过点与且半径为2的圆的方程可以为（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
10．（2023秋·浙江湖州·高二统考期末）已知直线平分圆且与互相平行，则的距离是__________.
四、解答题
11．（2023春·甘肃兰州·高二统考期中）已知点求：
(1)过点A，B且周长最小的圆的方程；
(2)过点A，B且圆心在直线上的圆的方程.
12．（2023秋·高一单元测试）已知圆的圆心在轴上，并且过，两点.
(1)求圆的方程；
(2)若为圆上任意一点，定点，点满足，求点的轨迹方程.
B能力提升
1．（2023春·四川广安·高二四川省广安友谊中学校考阶段练习）动直线平分圆的周长，则的最小值（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·河北邯郸·统考三模）在平面直角坐标系内，已知，，动点满足，则（）的最小值是（ ）
A． B．2 C．4 D．16
3．（2023·甘肃·模拟预测）已知，是圆上的两个动点，若点在以为直径的圆上，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
C综合素养
4．（2023秋·辽宁沈阳·高二东北育才学校校考期末）已知中，点，边上中线所在直线的方程为，边上的高线所在直线的方程为.
(1)求点和点的坐标：
(2)以为圆心作一个圆，使得、、三点中的一个点在圆内，一个点在圆上，一个点在圆外，求这个圆的方程.
第07讲 2.4.1圆的标准方程
课程标准 学习目标
①理解圆的定义及确定圆的几何要素。 ②理解与掌握平面直角坐标系中圆的标准方程.。 ③会根据相关条件写出圆的标准方程及圆的圆心，半径。 通过本节课的学习，了解与掌握确定圆的位置，大小的几何要素，能根据相关条件求出圆的标准方程，并能解决与圆有关的问题.
知识点01：圆的定义
平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径.
如图，在平面直角坐标系中，的圆心的坐标为, 半径为, 为圆上任意一点， 可用集合表示为：
知识点02：圆的标准方程
我们把方程称为圆心为半径为的圆的标准方程.
【即学即练1】（2023春·重庆沙坪坝·高一重庆八中校考期末）在平面直角坐标系中，已知、两点，若圆以为直径，则圆的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】由题意可知，圆心的横坐标为，纵坐标为，即点，
圆的半径为，
因此，圆的标准方程为.
故选：A.
知识点03：点与圆的位置关系
判断点与：位置关系的方法:
（1）几何法（优先推荐）
设到圆心的距离为，则
①则点在外
②则点在上
③则点在内
（2）代数法
将点带入：方程内
①点在外
②点在上
③点在内
【即学即练2】（2023·江苏·高二假期作业）写出圆心为,半径为5的圆的标准方程,并判断点是否在这个圆上．若该点不在圆上,说明该点在圆外还是在圆内？
【答案】答案见解析
【详解】圆心为,半径为5的圆的标准方程是．
把点的坐标代入方程的左边,
得,左右两边相等,
点的坐标满足圆的方程,所以点在这个圆上．
把点的坐标代入方程的左边,
得,左右两边不相等,
点的坐标不满足圆的方程,所以点不在这个圆上．
又因为点到圆心A的距离．
故点在圆内．
知识点04：圆上的点到定点的最大、最小距离
设的方程，圆心，点是上的动点，点为平面内一点；记;
①若点在外，则;
②若点在上，则;
③若点在内，则;
【即学即练3】（2021秋·高二课时练习）已知圆，则圆上的点到点距离的最大值为_____.
【答案】6
【详解】因为圆的方程为，
所以圆心坐标为，半径,
又圆心到点的距离为，
所以圆上的点到点的距离的最大值为，
故答案为：6
题型01求圆的标准方程
【典例1】（2023·高二课时练习）已知圆C：，O为原点，则以为直径的圆方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】由圆C：可知圆心，，
故以为直径的圆的圆心为，半径为，
故所求圆的方程为：.
故选：D
【典例2】（2023春·上海崇明·高二统考期末）已知两点、，则以PQ为直径的圆的方程是______.
【答案】
【详解】、,的中点坐标为，即为圆心坐标，
又圆的半径为
则所求圆的方程为.
故答案为：.
【变式1】（2023·江苏·高二假期作业）圆心在轴上，半径为5，且过点，则圆的标准方程为_______．
【答案】或.
【详解】由题意，设圆的方程为，
因为点在圆上，可得，解得b＝0或b＝－8，
所以所求圆的方程为或.
故答案为：或.
【变式2】（2023·陕西西安·校联考模拟预测）过三点、、的圆的圆心坐标为___________.
【答案】
【详解】设圆的方程为：，代入点的坐标有：
，所以，
所以圆的方程为：.
故答案为：.
题型02由圆的方程求圆心或半径
【典例1】（2023·江苏·高二假期作业）下列说法错误的是（ ）
A．圆的圆心为，半径为5
B．圆的圆心为，半径为
C．圆的圆心为，半径为
D．圆的圆心为，半径为
【答案】ABD
【详解】对于A：由圆可得：圆心为，半径为，故选项A错误；
对于B：由圆可得：圆心为，半径为，故选项B错误，
对于C：由圆可得：圆心为，半径为，故选项C正确；
对于D：由圆可得：圆心为，半径为，故选项D错误，
故选：ABD.
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知圆关于直线（，）对称，则的最小值为（ ）
A． B．9 C．4 D．8
【答案】B
【详解】圆的圆心为，依题意，点在直线上，
因此，即，
∴，
当且仅当，即时取“=”，
所以的最小值为9.
故选：B.
【变式1】（2023·宁夏银川·六盘山高级中学校考三模）已知直线经过圆的圆心，其中，则的最小值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．12
【答案】D【详解】因为直线经过圆的圆心，
故，
所以，
当且仅当 ，即时，等号成立.
故选：D
【变式2】（2023·全国·高三专题练习）已知直线过圆的圆心，则的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】A
【详解】由题意得圆心为（1,1），因为直线过圆心，
所以，即，
所以，
所以当时，的最小值为.
故选：A
题型03点与圆的位置关系
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知两直线与的交点在圆的内部，则实数的取值范围是（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】圆的圆心为，半径为，
由得，则两直线与的交点为，
依题意得，解得.
故选：B
【典例2】（2023·江苏·高二假期作业）点与圆的位置关系是（ ）
A．在圆外 B．在圆内 C．在圆上 D．不确定
【答案】B
【详解】圆的圆心为，半径，，
故点在圆内.
故选：B
【变式1】（多选）（2023·全国·高二专题练习）（多选）点在圆的内部，则的取值不可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【详解】由已知条件可得，即，解得.
故选：AD.
【变式2】（2023·全国·高三专题练习）若点在圆内，则实数的取值范围为____________.
【答案】
【详解】解：由题意得
点在圆内
，解得
所以实数的取值范围为
故答案为：
题型04与圆有关的最值问题
【典例1】（2023·广东佛山·统考模拟预测）已知圆：，过点的两条直线，互相垂直，圆心到直线，的距离分别为，，则的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．4
【答案】B
【详解】过圆心C分别作直线，的垂线，垂足分别为，．
，互相垂直，所以四边形为矩形．
由圆C：，可得，又，
，
所以，当且仅当时取等号，即的最大值为1，
故选：B.
【典例2】（2023秋·四川巴中·高二统考期末）已知圆C过点，当圆到原点的距离最小时，圆的标准方程为______．
【答案】
【详解】由可得线段中点坐标为，又，
所以垂直平分线的方程为，所以圆心C在线段垂直平分线上，
当圆C到原点O的距离最小时，则,所以直线方程为，
联立，所以圆心,
又半径,故圆的方程为：
故答案为：
【变式1】（2023春·广西·高一校联考阶段练习）若复数满足，则的最大值为（ ）
A． B． C．7 D．
【答案】C
【详解】复数满足，所以复数对应的点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，
的几何意义为圆上的点与的距离，
所以的最大值为．
故选：C.
【变式2】（2023·甘肃酒泉·统考三模）点在圆上，点，则的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【详解】圆的圆心，半径为，
由于在圆外，
．
故选：D.
题型05与圆有关的对称问题
【典例1】（2023秋·四川成都·高二统考期末）已知圆和直线.若圆与圆关于直线对称，则圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】圆的圆心为，半径为，
关于直线的对称点是，
所以圆的圆心是，半径是，
所以圆的方程为.
故选：B
【典例2】（2023春·四川凉山·高二校考阶段练习）若圆和圆关于直线对称，则直线的方程是___________
【答案】
【详解】解：圆的圆心为，圆的圆心为，
则线段的中点为，
因为圆和圆关于直线对称，
所以，
所以直线的方程是，即，
故答案为：
【变式1】（2023秋·四川成都·高二统考期末）已知圆和直线.若圆与圆关于直线对称，则圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】圆与圆关于直线对称，则圆心与圆关于对称
可得，化简得，解得
又两圆半径相等，故圆的方程为
故选：B
【变式2】（2023秋·云南昆明·高二统考期末）已知圆的圆心坐标为，半径为2，圆与圆关于轴对称，则圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】因为圆与圆关于轴对称，
所以圆的圆心与点关于轴对称，
所以的坐标为，
又圆的半径为2，所以圆 半径为2，
所以圆的方程为，
故选：C.
题型06轨迹方程
【典例1】（2023秋·高一单元测试）已知定点，是圆上的一动点，是的中点，则点的轨迹方程是_______________.
【答案】
【详解】如图所示，

设，，则，①
因为Q为AP的中点，
所以，②
所以由①②得：，即：，
所以点Q的轨迹方程为：.
故答案为：.
【典例2】（2023秋·浙江丽水·高二统考期末）在平面直角坐标系中，已知点，点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程是______．
【答案】
【详解】
如图所示，取OA中点D，连接DQ，则DQ为的一条中位线，，
即有DQ∥OP，且，故Q在以D为圆心，DQ长为半径的圆上，
所以Q的轨迹方程为.
故答案为：.
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）在直角坐标系中，线段，且两个端点、分别在轴和轴上滑动．求线段的中点的轨迹方程；
【答案】
【详解】
设，线段的中点，
因为为线段的中点，，
，
，即，得.
所以点的轨迹方程是．
【变式1】（2023春·福建福州·高二福建省福州延安中学校考阶段练习）已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程是__________．
【答案】
【详解】设，，则由已知可得.
又是线段的中点，所以有，所以，
所以有，整理可得.
所以的轨迹方程是.
故答案为：.
【变式2】（2023春·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考阶段练习）已知圆心为的圆经过，两点，且圆心在直线上.
(1)求圆的标准方程；
(2)设为圆上的一个动点，为坐标原点，求的中点的轨迹方程.
【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）设圆心C的坐标为，半径为r，
∵圆心C在直线上，
∴，
∵圆C经过，两点，
∴，
即，
化简得：，又，
所以，
∴圆心C的坐标为，，
所以圆C的标准方程为：；
（2）设，，
∵M为OP的中点，
∴，
∴，
∵P在圆C上，
∴，即，
∴OP的中点M的轨迹方程为.
A夯实基础 B能力提升 C综合素养
A夯实基础
一、单选题
1．（2023春·上海徐汇·高二上海中学校考期中）已知一个圆的方程满足：圆心在点，且过原点，则它的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】设圆的半径为，因为圆心是，且过点，所以，所以半圆的方程为，
故选：D.
2．（2023·北京海淀·校考三模）若直线是圆的一条对称轴，则（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【详解】圆的圆心为，因为直线是圆的一条对称轴，
所以圆心在直线上，所以，解得.
故选：A
3．（2023春·四川南充·高二校考阶段练习）圆的圆心、半径是（　　）
A．，4 B．，2 C．，4 D．，2
【答案】D
【详解】圆的圆心为半径
故选：D
4．（2023春·新疆省直辖县级单位·高二校考开学考试）已知点（1，1）在圆（x﹣a）2+（y+a）2＝4的内部，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣1，1） B．（0，1）
C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D．{1，﹣1}
【答案】A
【详解】由于（1，1）在圆（x﹣a）2+（y+a）2＝4的内部，
所以点（1，1）到圆心（a，﹣a）的距离d＜2，
即：，整理得：﹣1＜a＜1.
故选：A.
5．（2023秋·河北保定·高二统考期末）圆关于直线对称的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】设圆的圆心
关于直线对称的点为，
则有整理得解得，
因为关于直线对称的两个圆半径相等，所以所求圆的半径为2，
所以所求圆方程为，
故选:C.
6．（2023春·安徽·高二校联考开学考试）在圆的方程的探究中，有四位同学分别给出了一个结论，甲：该圆的半径为；乙：该圆经过点；丙：该圆的圆心为；丁：该圆经过点．如果只有一位同学的结论是错误的，那么这位同学是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】D
【详解】设.
假设甲错误，乙丙丁正确，
，
，矛盾，所以甲正确.
假设乙错误，甲丙丁正确，
由甲、丙正确可知圆的方程为，
不满足上式，矛盾，所以乙正确.
假设丙错误，甲乙丁正确.
由乙丁得，与半径为矛盾，所以丙正确.
假设丁错误，甲乙丙正确，
则由甲丙可知圆的方程为，
满足上式，符合题意.
综上所述，结论错误的同学是丁.
故选：D
7．（2023春·甘肃兰州·高二统考期中）已知圆，则过点的直线l与圆C交于A，B两点，则的最小值是（ ）．
A．2 B．4 C． D．
【答案】C
【详解】因为，圆的标准方程为，
所以半径，圆心，
当直线l与直线CP垂直时，所截得弦长AB最短．此时，
所以．
故选：C．
8．（2023·福建泉州·泉州五中校考模拟预测）已知复数满足，则的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】C
【详解】设，
因为，
所以，
因为，
所以相当于圆上的点到点距离，
所以的最大值为圆心到点距离与圆的半径的和，即.
故选：C.

二、多选题
9．（2023·江苏·高二假期作业）过点与且半径为2的圆的方程可以为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【详解】因为圆过点与，所以圆心在线段AB的垂直平分线上，其中，设圆心所在的直线为l，则，解得：，又因为
与的中点坐标为，所以直线l为，设圆心坐标为，因为半径为2，所以圆的方程为：，代入得：，解得：，综上圆的方程为或.
故选：BC
三、填空题
10．（2023秋·浙江湖州·高二统考期末）已知直线平分圆且与互相平行，则的距离是__________.
B能力提升
1．（2023春·四川广安·高二四川省广安友谊中学校考阶段练习）动直线平分圆的周长，则的最小值（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题意，动直线过圆的圆心，
则，又，
则，
当且仅当且，即时，等号成立，
故的最小值为.
故选：D.
2．（2023·河北邯郸·统考三模）在平面直角坐标系内，已知，，动点满足，则（）的最小值是（ ）
A． B．2 C．4 D．16
【答案】C
【详解】因为，，动点满足，
则，整理得，
可以看成圆上动点与定直线上动点的距离，
其最小值为圆心到直线的距离减去圆的半径2，即，
因此，的最小值是，
故选：C.
3．（2023·甘肃·模拟预测）已知，是圆上的两个动点，若点在以为直径的圆上，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】如图所示，设的中点为，连接，
因为点在以为直径的圆上，所以，
所以，
连接，，，则，所以，
所以，
设，则，整理得，
所以点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，
因为，所以当取最大值时，取最大值，
又因为，
故的最大值为.
故选：B.
C综合素养
4．（2023秋·辽宁沈阳·高二东北育才学校校考期末）已知中，点，边上中线所在直线的方程为，边上的高线所在直线的方程为.
(1)求点和点的坐标：
(2)以为圆心作一个圆，使得、、三点中的一个点在圆内，一个点在圆上，一个点在圆外，求这个圆的方程.
【答案】(1)，
(2)
【详解】（1）解：因为边上的高线所在直线的方程为，
且直线的斜率为，则，故直线的方程为，即，
联立直线和直线的方程可得，解得，即点，
设点，则线段的中点为，
由题意可得，解得，即点.
（2）解：因为，，
，则，
故圆的半径为，所以，圆的方程为.
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