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第05讲 直线的一般式方程
课程标准 学习目标
①理解与掌握直线的一般式方程的形式 及条件.会求直线的一般式方程。 ②能准确的将直线的五种形式的方程进 行形式上的转换.理解直线的代数形式与几何意义。 ③会用直线的一般式进行有关的直线位置的判定与参数的求解，能解决与直线有关的综合问题。 通过本节课的学习要求能掌握直线一般式方程的形式，会求直线一般式方程，能进行五种形式直线方程的相互转换，并能处理与直线位置有关的问题，并能解决与之有关的综合问题.
知识点01：直线的一般式方程
定义:关于,的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于,的二元一次方程(其中
,不同时为0)叫做直线的一般式方程,简称一般式.
说明：
1．、不全为零才能表示一条直线，若、全为零则不能表示一条直线.
当时，方程可变形为，它表示过点，斜率为的直线．
当，时，方程可变形为，即，它表示一条与轴垂直的直线．
由上可知，关于、的二元一次方程，它都表示一条直线．
2．在平面直角坐标系中，一个关于、的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于、的一次方程.
3.解题时,如无特殊说明,应把最终结果化为一般式.
【即学即练1】（2023·江苏·高二假期作业）已知直线和直线都过点，求过点和点的直线方程.
【答案】
【详解】把坐标代入直线和直线，
得,，
∴，
过点和点的直线的方程是：，
∴，则，
∵，
∴，
∴所求直线方程为．
知识点02：直线的一般式方程与其它形式方程的互化
【即学即练2】（2023·上海·高二专题练习）如果且，那么直线不经过第（　　）象限
A．一 B．二 C．三 D．四
【答案】C
【详解】∵且，则
∴，，
∴直线，即直线的斜率小于零，在y轴上的截距大于零，
故直线经过第一、第二、第四象限，不经过第三象限，
故选：C．
知识点03：直线系方程
1．平行直线系方程
把平面内具有相同方向的直线的全体称为平行直线系.一般地，与直线平行的直线系方程都可表示为 (其中为参数且≠C)，然后依据题设中另一个条件来确定的值.
【即学即练3】（2023秋·高二课时练习）经过点，且平行于直线的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】平行于直线的直线方程可设为，
又所求直线过点，
则，解之得，
则所求直线为.
故选：A
2．垂直直线系方程
一般地，与直线垂直的直线系方程都可表示为(其中为参数），然后依据题设中的另一个条件来确定的值.
【即学即练4】（2023秋·重庆长寿·高二统考期末）经过点且与直线垂直的直线方程是________．（用一般式表示）
【答案】
【详解】设与直线垂直的直线方程为，
于是，解得，
所以所求的直线方程为.
故答案为：
题型01直线的一般式方程及其辨析
【典例1】（2023秋·高二课时练习）已知直线在轴的截距大于在轴的截距，则、、应满足条件（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2023秋·广东江门·高二统考期末）直线（不同时为0），则下列选项正确的是（ ）
A．无论取任何值，直线都存在斜率
B．当，且时，直线只与轴相交
C．当，或时，直线与两条坐标轴都相交
D．当，且，且时，直线是轴所在直线
【典例3】（2023秋·高二课时练习）当直线方程的系数，，满足什么条件时，该直线分别具有以下性质？
(1)过坐标原点；
(2)与两条坐标轴都相交；
(3)只与轴相交；
(4)是轴所在直线；
(5)设为直线上一点，证明：这条直线的方程可以写成．
【变式1】（2023春·江苏南通·高一期末）已知与是直线（为常数）上两个不同的点，则关于和的交点情况是（ ）
A．无论，，如何，总有唯一交点 B．存在，，使之有无穷多个交点
C．无论，，如何，总是无交点 D．存在，，使之无交点
【变式2】（2023春·上海普陀·高二上海市晋元高级中学校考期中）若，且，则经过的直线的一般方程为_________
题型02直线的一般式方程与其他形式的相互转化
【典例1】（2023春·新疆塔城·高二统考开学考试）过点且斜率为的直线的方程是（　　）
A． B．
C． D．
【典例2】（2023秋·江苏苏州·高二统考期末）直线的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
【典例3】（2023春·上海闵行·高二校考阶段练习）过点，且在两坐标轴上截距相等的直线一般式方程是______．
【变式1】（2023春·上海宝山·高二统考期末）若，，则直线不经过第象限（ ）
A．一 B．二 C．三 D．四
【变式2】（2023·全国·高三专题练习）直线：的斜率和在轴上的截距分别为（ ）
A．，3 B．， C．，3 D．，
题型03根据直线平行求参数
【典例1】（2023·广东深圳·红岭中学校考模拟预测）“”是“直线与直线平行”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【典例2】（2023秋·江西新余·高三统考期末）已知直线：与直线；相互平行，则实数的值是（ ）
A． B．1 C． D．或1
【典例3】（2023秋·湖北武汉·高二武汉市第十七中学校联考期末）若直线和直线平行，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．
【变式1】（2023·全国·高三专题练习）若直线与直线平行，则m的值为（ ）
A．2 B． C．2或 D．或
【变式2】（2023春·高二单元测试）“”是“直线和直线平行且不重合”的（ ）.
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
【变式3】（2023春·海南·高二统考学业考试）若直线与平行，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
题型04根据直线垂直求参数
【典例1】（2023·北京·高三专题练习）“”是“直线与直线相互垂直”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【典例2】（2023·江苏·高二假期作业）已知直线与直线互相垂直，垂足为.则等于（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2023春·贵州·高二校联考期中）直线与直线垂直，则等于（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）“”是“直线与直线互相垂直”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式31】（2023·上海·高二专题练习）直线与直线垂直，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．9
题型05由两条直线平行求方程
【典例1】（2023春·浙江杭州·高二校联考期中）过点且与直线平行的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】（2023·全国·高三对口高考）已知直线：，则与已知直线平行且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线方程为_________．
【变式1】（2023春·天津北辰·高二天津市第四十七中学校考阶段练习）过点且平行于直线的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023秋·四川凉山·高二统考期末）已知直线过点，且与直线平行，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式3】（2023春·上海浦东新·高二统考期中）过点且与直线平行的直线方程为_________.
题型06由两条直线垂直求方程
【典例1】（2023·贵州贵阳·高二贵阳一中校考阶段练习）过点且垂直于直线的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】（2023春·山东滨州·高一校考阶段练习）已知直线与垂直，求.
【变式1】（2023秋·高二课时练习）经过点，且与直线垂直的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023春·新疆伊犁·高二奎屯市第一高级中学校考期中）过点且垂直于直线 的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
题型07直线过定点问题
【典例1】（2023·全国·高二专题练习）直线，当变动时，所有直线恒过定点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）若直线恒过点，点也在直线上，其中均为正数，则的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【典例3】（2023春·江苏南通·高一期末）已知点，.若直线与线段恒相交，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】（2023秋·高二课时练习）不论取何值，直线都过定点（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023·高二课时练习）不论为何实数，直线恒通过一个定点，这个定点的坐标是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3】（2023·江苏·高二假期作业）不论取何值时，直线恒过第____象限．
题型08直线综合
【典例1】（2023春·湖南常德·高二常德市一中校考期中）已知直线的方程为．
(1)求直线过的定点的坐标；
(2)直线与 轴正半轴和 轴正半轴分别交于点， ，当面积最小时，求直线的方程；
【典例2】（2023春·福建福州·高二校联考期中）已知直线：，.
(1)证明直线过定点，并求出点的坐标；
(2)在（1）的条件下，若直线过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的，求直线的方程；
(3)若直线不经过第四象限，求的取值范围.
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）已知直线：，
（1）直线过定点，求点P坐标；
（2）若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，为坐标原点，设三角形的面积为4，求出直线方程．
【变式1】（2023秋·辽宁葫芦岛·高二兴城市高级中学校考期末）已知直线，若直线在两坐标轴上的截距相等，则实数的值为___________；若直线不经过第三象限，则的取值范围是___________.
【变式1】（2023·全国·高二专题练习）过点作直线分别交轴、轴的正半轴于，两点.
(1)求的最小值，及此时直线的截距式方程；
(2)求的最小值，及此时直线的截距式方程.
【变式2】（2023·全国·高二专题练习）已知直线.
（1）若直线不经过第四象限，求的取值范围；
（2）若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，求面积的最小值；
（3）已知，若点到直线的距离为，求最大时直线的方程.
A夯实基础 B能力提升 C综合素养
A夯实基础
一、单选题
1．（2023春·河南周口·高二校联考阶段练习）已知直线，的倾斜角分别为，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2023秋·高二课时练习）若直线与垂直，则m的值为（ ）
A． B． C．5 D．
3．（2023春·安徽·高二池州市第一中学校联考阶段练习）过点且与直线平行的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023秋·高二课时练习）经过点，且倾斜角为的直线的一般式方程为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·全国·高三对口高考）如果且，那么直线不通过（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
6．（2023·江西·江西师大附中校考三模）若为实数，则“”是“直线与平行”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
14．（2023·上海·高二专题练习）已知直线l过定点，且交x轴负半轴于点A、交y轴正半轴于点B，点O为坐标原点．
(1)若的面积为4，求直线l的方程；
(2)求的最小值，并求此时直线l的方程；
(3)求的最小值，并求此时直线l的方程．
B能力提升
1．（2023秋·广东广州·高二广州市天河中学校考期末）已知直线：经过定点P，直线经过点P，且的方向向量，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·全国·高二专题练习）设，过定点的动直线和过定点的动直线相交于点不重合），则面积的最大值是（ ）
A． B．5 C． D．
3．（2023·全国·高二专题练习）莱昂哈德·欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心、垂心和外心共线．后来人们称这条直线为该三角形的欧拉线．已知的三个顶点坐标分别是，，，则的垂心坐标为______，的欧拉线方程为______．
4．（2023·上海·高二专题练习）直线l过点P（3，2）且与x轴、y轴正半轴分别交于A、B两点．
(1)若直线l与2x+3y﹣2＝0法向量平行，写出直线l的方程；
(2)求△AOB面积的最小值；
(3)如图，若点P分向量AB所成的比的值为2，过点P作平行于x轴的直线交y轴于点M，动点E、F分别在线段MP和OA上，若直线EF平分直角梯形OAPM的面积，求证：直线EF必过一定点，并求出该定点坐标．
C综合素养
1．（2023秋·全国·高二期末）已知直线方程为.
（1）证明：直线恒过定点；
（2）为何值时，点到直线的距离最大，最大值为多少
（3）若直线分别与轴，轴的负半轴交于两点，求面积的最小值及此时直线的方程.
2．（2022·高二课时练习）如图直线过点(3，4)，与轴、轴的正半轴分别交于、两点，的面积为24.点为线段上一动点，且交于点.
（1）求直线斜率的大小；
（2）若的面积与四边形的面积满足：时，请你确定点在上的位置，并求出线段的长；
（3）在轴上是否存在点，使为等腰直角三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.
3．（2022秋·河南·高二校联考期中）已知直线．
(1)证明: 无论取何值，直线与直线总相交．
(2)若，直线与轴分别交于两点，，求面积的最小值．
第05讲 直线的一般式方程
课程标准 学习目标
①理解与掌握直线的一般式方程的形式 及条件.会求直线的一般式方程。 ②能准确的将直线的五种形式的方程进 行形式上的转换.理解直线的代数形式与几何意义。 ③会用直线的一般式进行有关的直线位置的判定与参数的求解，能解决与直线有关的综合问题。 通过本节课的学习要求能掌握直线一般式方程的形式，会求直线一般式方程，能进行五种形式直线方程的相互转换，并能处理与直线位置有关的问题，并能解决与之有关的综合问题.
知识点01：直线的一般式方程
定义:关于,的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于,的二元一次方程(其中
,不同时为0)叫做直线的一般式方程,简称一般式.
说明：
1．、不全为零才能表示一条直线，若、全为零则不能表示一条直线.
当时，方程可变形为，它表示过点，斜率为的直线．
当，时，方程可变形为，即，它表示一条与轴垂直的直线．
由上可知，关于、的二元一次方程，它都表示一条直线．
2．在平面直角坐标系中，一个关于、的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于、的一次方程.
3.解题时,如无特殊说明,应把最终结果化为一般式.
【即学即练1】（2023·江苏·高二假期作业）已知直线和直线都过点，求过点和点的直线方程.
【答案】
【详解】把坐标代入直线和直线，
得,，
∴，
过点和点的直线的方程是：，
∴，则，
∵，
∴，
∴所求直线方程为．
知识点02：直线的一般式方程与其它形式方程的互化
【即学即练2】（2023·上海·高二专题练习）如果且，那么直线不经过第（　　）象限
A．一 B．二 C．三 D．四
【答案】C
【详解】∵且，则
∴，，
∴直线，即直线的斜率小于零，在y轴上的截距大于零，
故直线经过第一、第二、第四象限，不经过第三象限，
故选：C．
知识点03：直线系方程
1．平行直线系方程
把平面内具有相同方向的直线的全体称为平行直线系.一般地，与直线平行的直线系方程都可表示为 (其中为参数且≠C)，然后依据题设中另一个条件来确定的值.
【即学即练3】（2023秋·高二课时练习）经过点，且平行于直线的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】平行于直线的直线方程可设为，
又所求直线过点，
则，解之得，
则所求直线为.
故选：A
2．垂直直线系方程
一般地，与直线垂直的直线系方程都可表示为(其中为参数），然后依据题设中的另一个条件来确定的值.
【即学即练4】（2023秋·重庆长寿·高二统考期末）经过点且与直线垂直的直线方程是________．（用一般式表示）
【答案】
【详解】设与直线垂直的直线方程为，
于是，解得，
所以所求的直线方程为.
故答案为：
题型01直线的一般式方程及其辨析
【典例1】（2023秋·高二课时练习）已知直线在轴的截距大于在轴的截距，则、、应满足条件（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由已知，
令得直线在y轴的截距为，
令得直线在x轴的截距为，
由直线在x轴的截距大于在y轴的截距可得，
即.
故选：D.
【典例2】（2023秋·广东江门·高二统考期末）直线（不同时为0），则下列选项正确的是（ ）
A．无论取任何值，直线都存在斜率
B．当，且时，直线只与轴相交
C．当，或时，直线与两条坐标轴都相交
D．当，且，且时，直线是轴所在直线
【答案】D
【详解】解：对于A选项，当，且时，直线斜率不存在，故错误；
对于B选项，当，且，时，直线只与轴相交；当，且，时，直线与轴重合，故错误；
对于C选项，当，且时，直线与两条坐标轴都相交，故错误；
对于D选项，当，且，且时，直线方程为，即轴所在直线，故正确.
故选：D
【典例3】（2023秋·高二课时练习）当直线方程的系数，，满足什么条件时，该直线分别具有以下性质？
(1)过坐标原点；
(2)与两条坐标轴都相交；
(3)只与轴相交；
(4)是轴所在直线；
(5)设为直线上一点，证明：这条直线的方程可以写成．
【答案】(1)且不同为
(2)都不为0
(3)且
(4)
(5)证明见解析
【详解】（1）将代入得，
当且不同为方程表示过坐标原点的直线；
（2）直线与两条坐标轴都相交说明横纵截距都存在，
当且时直线过原点满足条件，
当时，令时，令时，
所以都不为0，
综上所述，时直线与两条坐标轴都相交；
（3）直线只与x轴相交，就是与轴平行、重合均可，
因此直线方程可化成形式，
故且；
（4）x轴的方程为，因此方程中时
方程表示的直线是x轴所在直线；
（5）因为为直线上一点，所以，
所以，
所以方程可化为，
即，
所以这条直线的方程可以写成．
【变式1】（2023春·江苏南通·高一期末）已知与是直线（为常数）上两个不同的点，则关于和的交点情况是（ ）
A．无论，，如何，总有唯一交点 B．存在，，使之有无穷多个交点
C．无论，，如何，总是无交点 D．存在，，使之无交点
【答案】A
【详解】因为与是直线（为常数）上两个不同的点，
所以即，
故既在直线上，也在直线上.
因为与是两个不同的点，故、不重合，
故无论，，如何，总有唯一交点.
故选：A.
【变式2】（2023春·上海普陀·高二上海市晋元高级中学校考期中）若，且，则经过的直线的一般方程为_________
【答案】
【详解】若,
则点在直线上,
点在直线上
即、都在同一直线上
因为两点确定一条直线,所以由、确定的直线即为
故答案为:
题型02直线的一般式方程与其他形式的相互转化
【典例1】（2023春·新疆塔城·高二统考开学考试）过点且斜率为的直线的方程是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】过点且斜率为的直线的方程是，
即.
故选：C
【典例2】（2023秋·江苏苏州·高二统考期末）直线的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：直线的方程可化为，可知倾斜角，满足，因此.
故选：B.
【典例3】（2023春·上海闵行·高二校考阶段练习）过点，且在两坐标轴上截距相等的直线一般式方程是______．
【答案】或
【详解】解：由题意，当直线过原点时，此时所求直线方程的斜率，
所以直线方程为，即；
当直线不过原点时，设直线方程为，代入点，
可得，所以直线方程为，
故答案为：或.
【变式1】（2023春·上海宝山·高二统考期末）若，，则直线不经过第象限（ ）
A．一 B．二 C．三 D．四
【答案】D
【详解】依题意、、均不为，所以直线可化为，
因为，，所以，，
所以直线的斜率为正，纵截距为正，
即直线通过第一、二、三象限，不通过第四象限.
故选：D
【变式2】（2023·全国·高三专题练习）直线：的斜率和在轴上的截距分别为（ ）
A．，3 B．， C．，3 D．，
【答案】B
【详解】，则直线斜率为，
又令，则，故直线在x轴上的截距分别为.
故选：B
题型03根据直线平行求参数
【典例1】（2023·广东深圳·红岭中学校考模拟预测）“”是“直线与直线平行”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】若直线与直线平行，则有解得或，所以当时，直线与直线平行，当直线与直线平行时，或.
故选：A
【典例2】（2023秋·江西新余·高三统考期末）已知直线：与直线；相互平行，则实数的值是（ ）
A． B．1 C． D．或1
【答案】A
【详解】因为直线：的斜率，斜率存在，且，
所以直线；的斜率存在，且，
化简得：，解得或.
当时，直线：，直线；，此时.
当时，直线：，直线；，此时重合，舍去.
所以.
故选：A
【典例3】（2023秋·湖北武汉·高二武汉市第十七中学校联考期末）若直线和直线平行，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】A
【详解】直线和直线平行，
可得，得.
故选：A.
【变式1】（2023·全国·高三专题练习）若直线与直线平行，则m的值为（ ）
A．2 B． C．2或 D．或
【答案】B
【详解】由题意知直线与直线平行，
而直线的斜率为，
则直线必有斜率，即，则，
故，解得或，
当时，直线与直线重合，不合题意；
当时，直线与直线平行，符合题意，
故，
故选：B
【变式2】（2023春·高二单元测试）“”是“直线和直线平行且不重合”的（ ）.
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
【答案】C
【详解】当时，两直线分别为：，，
∴两直线斜率相等且，
∴两条直线平行且不重合；
若两直线平行且不重合，则，∴，综上所述，是两直线平行且不重合的充要条件，
故选：C.
【变式3】（2023春·海南·高二统考学业考试）若直线与平行，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由可知，其斜率为，
又两直线平行，所以可得，解得.
故选：B
题型04根据直线垂直求参数
【典例1】（2023·北京·高三专题练习）“”是“直线与直线相互垂直”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】因为直线与直线相互垂直，
所以，
所以.
所以时，直线与直线相互垂直，所以“”是“直线与直线相互垂直”的充分条件；
当直线与直线相互垂直时，不一定成立，所以“”是“直线与直线相互垂直”的非必要条件.
所以“”是“直线与直线相互垂直”的充分非必要条件.
故选：A
【典例2】（2023·江苏·高二假期作业）已知直线与直线互相垂直，垂足为.则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由两直线垂直得，解得，
所以原直线直线可写为，
又因为垂足为同时满足两直线方程，
所以代入得，
解得，
所以，
故选:D
【变式1】（2023春·贵州·高二校联考期中）直线与直线垂直，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为直线与直线垂直，
所以，解得.
故选：B
【变式2】（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）“”是“直线与直线互相垂直”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】若直线与直线互相垂直，
则，解得.
所以“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件，选C.
【变式31】（2023·上海·高二专题练习）直线与直线垂直，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．9
【答案】B
【详解】由题意，得，解得.
故选：B.
题型05由两条直线平行求方程
【典例1】（2023春·浙江杭州·高二校联考期中）过点且与直线平行的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】设过点且与直线平行的直线方程是，
将点的坐标代入直线的方程得，解得，
故所求直线方程为，即.
故选：A.
【典例2】（2023·全国·高三对口高考）已知直线：，则与已知直线平行且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线方程为_________．
【答案】
【详解】
由题意可设方程为：，
令，得，
令，得，
由题意知：，
得，
故直线方程为：，
故答案为：
【变式1】（2023春·天津北辰·高二天津市第四十七中学校考阶段练习）过点且平行于直线的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】平行于直线的直线方程可设为
又所求直线过点
则，解之得，
则所求直线为
故选：A
【变式2】（2023秋·四川凉山·高二统考期末）已知直线过点，且与直线平行，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】设与直线即平行的直线l的方程为，
把点代入可得，解得．
因此直线l的方程为
故选：D
【变式3】（2023春·上海浦东新·高二统考期中）过点且与直线平行的直线方程为_________.
【答案】
【详解】令所求直线为，且在直线上，
所以，即，故所求直线为.
故答案为：
题型06由两条直线垂直求方程
【典例1】（2023·贵州贵阳·高二贵阳一中校考阶段练习）过点且垂直于直线的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】设垂直于直线的直线为，
代入点得，
则所求直线为.
故选：A.
【典例2】（2023春·山东滨州·高一校考阶段练习）已知直线与垂直，求.
【答案】m=1或m=3
【详解】因为直线与垂直，
所以，解得m=1或m=3.
【变式1】（2023秋·高二课时练习）经过点，且与直线垂直的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】设与直线垂直的直线方程为，于是，解得，
所以所求的直线方程为.
故选：A
【变式2】（2023春·新疆伊犁·高二奎屯市第一高级中学校考期中）过点且垂直于直线 的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】设所求的直线方程为，
代入方程解得，
所求的直线方程为.
故选：B.
题型07直线过定点问题
【典例1】（2023·全国·高二专题练习）直线，当变动时，所有直线恒过定点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】把直线方程整理为，
令，故，所以直线恒过定点为.
故选：C.
【典例2】（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）若直线恒过点，点也在直线上，其中均为正数，则的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【详解】因为，则，
令，解得，
即直线恒过点.
又因为点A也在直线上，则，
可得，且，
则，即，当且仅当时，等号成立
所以的最大值为.
故选：B.
【典例3】（2023春·江苏南通·高一期末）已知点，.若直线与线段恒相交，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】由直线方程，令，解得，故直线过定点，如下图：
则直线的斜率，直线的斜率，
由图可知：.
故选：D.
【变式1】（2023秋·高二课时练习）不论取何值，直线都过定点（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为，整理得，
令，解得，
所以直线过定点.
故选：B.
【变式2】（2023·高二课时练习）不论为何实数，直线恒通过一个定点，这个定点的坐标是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】原方程可化为，由直线恒过定点可知，
，解得，所以直线恒过定点
故选：B
【变式3】（2023·江苏·高二假期作业）不论取何值时，直线恒过第____象限．
【答案】四
【详解】直线可化为，
由，得，
所以直线恒过定点，
因为在第四象限，
故直线恒过第四象限．
故答案为：四.
题型08直线综合
【典例1】（2023春·湖南常德·高二常德市一中校考期中）已知直线的方程为．
(1)求直线过的定点的坐标；
(2)直线与 轴正半轴和 轴正半轴分别交于点， ，当面积最小时，求直线的方程；
【答案】(1)；
(2)
【详解】（1）由题意，直线的方程可化为，
联立方程组解得，
所以直线过的定点．
（2）设直线 ，则，
由 （1） 知，直线 过的定点，可得，
因为，
所以，解得，
当且仅当且即时，等号成立，
所以面积为 ，
此时对应的直线方程为，即．
【典例2】（2023春·福建福州·高二校联考期中）已知直线：，.
(1)证明直线过定点，并求出点的坐标；
(2)在（1）的条件下，若直线过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的，求直线的方程；
(3)若直线不经过第四象限，求的取值范围.
【答案】(1)证明见解析，点的坐标为
(2)或
(3)
【详解】（1）证明：整理直线的方程，得，
所以直线过直线与的交点，
联立方程组，
解得，
所以直线过定点，点的坐标为.
（2）当截距为0时，直线的方程为，即，
当截距不为0时，设直线的方程为，
则，
解得，
直线的方程为，即，
故直线的方程为或.
（3）当时，直线的方程为，符合题意；
当时，直线的方程为，不符合题意；
当，且时，，
所以
解得或，
综上所述，当直线不经过第四象限时，
的取值范围是：.
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）已知直线：，
（1）直线过定点，求点P坐标；
（2）若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，为坐标原点，设三角形的面积为4，求出直线方程．
【答案】（1）（2）
【详解】解：（1）由，可得，
∴直线：必过直线，的交点，
∴；
（2）∵直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，
∴，
令，得；令，得，
三角形的面积为，
解得，
∴直线方程为：.
【变式1】（2023秋·辽宁葫芦岛·高二兴城市高级中学校考期末）已知直线，若直线在两坐标轴上的截距相等，则实数的值为___________；若直线不经过第三象限，则的取值范围是___________.
【答案】 或； .
【详解】因为直线l在两坐标轴上的截距相等，所以，
在中，
令，得，令，得，
依题意可得，即，
解得或；
直线的方程可化为，所以，
所以，所以直线过定点，
所以，由直线可得：，
若不经过第三象限，则，
故答案为：或；.
【变式1】（2023·全国·高二专题练习）过点作直线分别交轴、轴的正半轴于，两点.
(1)求的最小值，及此时直线的截距式方程；
(2)求的最小值，及此时直线的截距式方程.
【答案】(1)8，
(2)4，
【详解】（1）根据题意可设直线l的方程为，则，，
因为直线l过点，所以，
又（当且仅当，即，时取等号），
所以，即，
所以的最小值为8，此时直线l的截距式方程为.
（2）由（1）可知，
所以，则，
所以
，
当且仅当，即时取等号.
所以的最小值为4，此时，，直线l的截距式方程为.
【变式2】（2023·全国·高二专题练习）已知直线.
（1）若直线不经过第四象限，求的取值范围；
（2）若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，求面积的最小值；
（3）已知，若点到直线的距离为，求最大时直线的方程.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【详解】（1）直线l的方程为，直线l恒过定点，
∴若直线l不经过第四象限，则，
（2）因为直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，所以
取，，，，
所以，当且仅当时等号成立.
（3）当时，d最大，，可得直线的斜率为，
则直线的方程，即.
A夯实基础 B能力提升 C综合素养
A夯实基础
一、单选题
1．（2023春·河南周口·高二校联考阶段练习）已知直线，的倾斜角分别为，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题意得，，所以为钝角，为锐角，所以．
故选：A．
2．（2023秋·高二课时练习）若直线与垂直，则m的值为（ ）
A． B． C．5 D．
【答案】D
【详解】直线：的斜率，
当时，直线：的斜率为，由于两直线垂直，
，解得；
若，，直线的斜率不存在，要保证必有，显然不成立；
；
故选：D.
3．（2023春·安徽·高二池州市第一中学校联考阶段练习）过点且与直线平行的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】直线的斜率为-2，所以所求直线的方程为，
即.
故选：A.
4．（2023秋·高二课时练习）经过点，且倾斜角为的直线的一般式方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由直线的倾斜角为知，直线的斜率，
因此，其直线方程为，即.
故选：A
5．（2023·全国·高三对口高考）如果且，那么直线不通过（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【详解】因为，且，所以、、均不为零，
由直线方程，可化为，
因为，且，可得，，
所以直线经过第一、二、四象限，所以不经过第三象限．
故选：C.
6．（2023·江西·江西师大附中校考三模）若为实数，则“”是“直线与平行”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
【答案】C
【详解】若“直线与平行”，
则，解得或，
当时，直线，，此时//，符合题意；
当时，直线，即，，
此时，重合，不符合题意；
综上所述：“直线与平行”等价于.
所以“”是“直线与平行”的充要条件.
故选：C.
7．（2023秋·高二课时练习）直线与连接的线段相交，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】直线过点.
如图，

由题意，直线与线段总有公共点，
即直线以直线为起始位置，绕点P逆时针旋转到直线即可，
直线的斜率为，直线的斜率分别为，于是或，
而，因此或，
所以或，解得或，即a的取值范围是.
故选：D.
8．（2023·山东青岛·统考三模）瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上．这条直线被称为欧拉线．已知的顶点，，，若直线l：与的欧拉线平行，则实数a的值为（ ）
A．－2 B．－1 C．－1或3 D．3
【答案】B
【详解】由的顶点，，知，
重心为，即，
又三角形为直角三角形，所以外心为斜边中点，即，
所以可得的欧拉线方程，即，
因为与平行，
所以，
解得，
故选：B
二、多选题
9．（2023秋·福建莆田·高二校考期末）已知直线，则（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若与坐标轴围成的三角形面积为1，则
D．当时，不经过第一象限
【答案】BCD
【详解】由题知，直线
对于A，当时，，解得或，故A错误；
对于B，当时，，解得，故B正确；
对于C，在直线中，
当时，，当时，，
所以与坐标轴围成的三角形面积为，解得，故C正确；
对于D，由题知当时，的图象为
故D正确；
故选：BCD
10．（2023春·广西南宁·高二统考开学考试）下列说法错误的是（ ）
A．直线必过定点
B．过点且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为
C．经过点，倾斜角为的直线方程为
D．已知直线和以，为端点的线段相交，则实数k的取值范围为
【答案】BCD
【详解】A选项，直线方程变形为，令，解得，即原直线必过定点，A正确；
B选项，当直线l过原点时，也满足在两坐标轴上的截距相等，此时直线l的方程为，B不正确；
C选项，当时，无意义，故C不正确；
D选项，直线经过定点，当直线经过M时，斜率为，当直线经过N点时，斜率为，由于线段MN与y轴相交，故实数k的取值范围为或，D不正确.
故选：BCD.
三、填空题
11．（2023·江苏·高二假期作业）已知直线在x轴上的截距是它在y轴上截距的4倍，则 ________.
【答案】/-0.5
【详解】令，得，令，得．
由于直线在轴上的截距是它在y轴上截距的4倍，
故，解得．
故答案为：
12．（2023春·上海浦东新·高二上海市实验学校校考期中）已知直线，当变化时，直线总是经过定点，则定点坐标为______.
【答案】
【详解】因为直线可化为，
令，解得，
所以直线过定点，
故答案为：.
四、解答题
13．（2023秋·安徽蚌埠·高二统考期末）已知直线和直线.
(1)若，求实数的值；
(2)若，求实数的值.
【答案】(1)0或2
(2)
【详解】（1）若，则
，解得或2；
（2）若，则
，解得或1.
时，，满足，
时，，此时与重合，
所以.
14．（2023·上海·高二专题练习）已知直线l过定点，且交x轴负半轴于点A、交y轴正半轴于点B，点O为坐标原点．
(1)若的面积为4，求直线l的方程；
(2)求的最小值，并求此时直线l的方程；
(3)求的最小值，并求此时直线l的方程．
【答案】(1)
(2)，
(3)，
【详解】（1）设直线l：，由直线过可得，∴，
由可得.
所以直线l的方程为，即.
（2）设直线l：，则，
，
当且仅当时，即时取等号，
此时直线方程.
（3）设直线l：，∵三点共线，且，，
即，，
∴
|，
当且仅当时，即时取等号，此时直线方程．
B能力提升
1．（2023秋·广东广州·高二广州市天河中学校考期末）已知直线：经过定点P，直线经过点P，且的方向向量，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】可变形为，
解得，即点坐标为.
因为，所以直线的斜率为，又过点，
代入点斜式方程可得，整理可得.
故选：A.
2．（2023·全国·高二专题练习）设，过定点的动直线和过定点的动直线相交于点不重合），则面积的最大值是（ ）
A． B．5 C． D．
【答案】D
【详解】由题意直线过定点，
直线可变为，所以该直线过定点，
所以，
又，
所以直线与直线互相垂直，
所以，
所以即，
当且仅当时取等号,
所以，，即面积的最大值是.
故选：D.
3．（2023·全国·高二专题练习）莱昂哈德·欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心、垂心和外心共线．后来人们称这条直线为该三角形的欧拉线．已知的三个顶点坐标分别是，，，则的垂心坐标为______，的欧拉线方程为______．
【答案】 /(0,1.5)
【详解】由，可知边上的高所在的直线为，
又，因此边上的高所在的直线的斜率为，
所以边上的高所在的直线为：，即，
所以，所以的垂心坐标为，
由重心坐标公式可得的重心坐标为，
所以的欧拉线方程为：，化简得.
故答案为：；
4．（2023·上海·高二专题练习）直线l过点P（3，2）且与x轴、y轴正半轴分别交于A、B两点．
(1)若直线l与2x+3y﹣2＝0法向量平行，写出直线l的方程；
(2)求△AOB面积的最小值；
(3)如图，若点P分向量AB所成的比的值为2，过点P作平行于x轴的直线交y轴于点M，动点E、F分别在线段MP和OA上，若直线EF平分直角梯形OAPM的面积，求证：直线EF必过一定点，并求出该定点坐标．
【答案】(1)3x﹣2y﹣5＝0；
(2)12；
(3)证明见解析，定点（3，1）．
【详解】（1）由题设直线l：3x﹣2y+C＝0，将点（3，2）代入得9﹣4+C＝0，所以C＝﹣5，故直线l的方程为3x﹣2y﹣5＝0.
（2）设直线l的方程为，
将点（3，2）代入得，则ab≥24，
则，当且仅当，结合，即a＝6，b＝4时等号成立，
故△AOB的面积最小值为12.
（3）证明：点P分向量所成的比的值为2，即为，
设A（a，0），B（0，b），由P（3，2），，
即有（3﹣a，2）＝2（﹣3，b﹣2），
可得a＝9，b＝3，M（0，2），|OM|＝2，|PM|＝3，
梯形AOMP的面积为，由题意可得梯形FOME的面积为6，
设E（m，2），F（n，0），可得，即m+n＝6，
由直线EF的方程为，
将n＝6﹣m代入上式可得，
由，解得x＝3，y＝1，
则直线EF经过定点（3，1）．
C综合素养
1．（2023秋·全国·高二期末）已知直线方程为.
（1）证明：直线恒过定点；
（2）为何值时，点到直线的距离最大，最大值为多少
（3）若直线分别与轴，轴的负半轴交于两点，求面积的最小值及此时直线的方程.
【答案】（1）证明见解析；（2）时，距离最大，最大值为；（3）面积的最小值为，此时直线方程为.
【详解】（1）由直线方程整理可得：，
由得：，直线恒过定点；
（2）由（1）知：直线恒过定点，
则当与直线垂直时，点到直线距离最大，
又所在直线方程为：，即，
当与直线垂直时，，解得：；
则最大值；
【答案】（1）；（2）点是线段的中点，；（3）存在点或或使为等腰直角三角形.
【详解】1）显然直线斜率存在，设直线方程为，
则直线交轴的正半轴于点，交轴的正半轴于点，
于是得，解得，
所以直线斜率为；
（2）由（1）知直线的方程为：，即，，
因，则，
又，则与相似，于是有，即，得，此时点为线段中点，
所以时，点为线段中点，且；
（3）假定在轴上存在点，使为等腰直角三角形，由(1)知直线的方程为：，如图，
当时，而点在轴上，点Q在x轴的正半轴上，则M必与原点O重合，
设，因，则，于是有，解得，此时，
当时，由，知四边形为正方形，
设，则，于是有，解得，此时，
当时，由，得，即，
设，则，直线上点，
显然直线斜率为-1，则斜率必为1，即，解得，此时，
综上，轴上存在点或或使为等腰直角三角形.
3．（2022秋·河南·高二校联考期中）已知直线．
(1)证明: 无论取何值，直线与直线总相交．
(2)若，直线与轴分别交于两点，，求面积的最小值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：直线的方程可化为．
令解得，故直线经过定点．
当直线的斜率不存在时，方程为，显然与相交，
当直线的斜率存在时，直线l的斜率为，
故直线与直线不重合．
又因为满足，即是直线上一点，
所以，是直线与直线的公共点，
综上，无论取何值，直线l与直线总相交．
（2）解：由（1）可知，直线经过定点，不妨设的方程为．
因为，，
所以．
令得，令得，
所以，，．
所以的面积，
当且仅当，即时，等号成立．
所以，面积的最小值为
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