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第08讲 2.4.2圆的一般方程
课程标准 学习目标
①理解与掌握圆的一般方程的形式与条件。 ②能准确的判定圆的存在所满足的条件。 ③会判断点与圆的位置关系。 ④会用待定系数法求圆的一般方程，并能解决与圆有关的位置、距离的综合问题。 通过本节课的学习，要求会判断圆存在的条件，会将圆的标准形式与一般形式熟练转化，会根椐圆存的条件求待定参数的值，会用待定系数法求圆的一般式方程，会求简单问题中的轨迹问题，会解决与圆有关的位置与距离问题.
知识点01：圆的一般方程
对于方程（为常数），当时，方程叫做圆的一般方程.
①当时，方程表示以为圆心，以为半径的圆；
②当时，方程表示一个点
③当时，方程不表示任何图形
说明：圆的一般式方程特点：①和前系数相等（注意相等，不一定要是1）且不为0；②没有项；③.
【即学即练1】（多选）（2022秋·高二课时练习）（多选题）下列方程不是圆的一般方程的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【详解】根据二元二次方程表示圆的条件，
对于A中，方程，可得，
所以方程是圆的一般方程；
对于B中，方程，可得，
所以方程不是圆的一般方程；
对于C中，方程中，和的系数不相等，
所以方程不是圆的一般方程；
对于D中，方程中，存在项，所以方程不是圆的一般方程.
故选：BCD.
知识点02：圆的一般方程与圆的标准方程的特点
圆的标准方程 圆的一般方程
方程 （）
圆心
半径
知识点03：在圆的一般方程中，判断点与圆的位置关系
已知点和圆的一般式方程：（），
则点与圆的位置关系：
①点在外
②点在上
③点在内
【即学即练2】（2022·高二课时练习）点与圆的位置关系是_____________．（填“在圆内”、“在圆上”、“在圆外”）
【答案】在圆内
【详解】圆的圆心坐标为，半径为2
点到圆心的距离，
因为，所以点在圆内．
故答案为：在圆内
题型01圆的一般方程的理解
【典例1】（2022秋·安徽合肥·高二合肥市第七中学校联考期中）已知方程表示圆，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】（2023·高二课时练习）方程表示圆的充要条件是______．
【变式1】（2022秋·河南许昌·高二禹州市高级中学校考阶段练习）方程表示圆，则实数的可能取值为（ ）
A． B．2 C．0 D．
【变式2】（2023春·上海宝山·高二统考期末）若表示圆，则实数的值为______.
题型02求圆的一般方程
【典例1】（2023·高二课时练习）过三点的圆的一般方程为（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】（2023·新疆克拉玛依·高二克拉玛依市高级中学校考期中）求适合下列条件的圆的方程：
(1)圆心在直线上，且过点的圆；
(2)过三点的圆.
【典例3】（2023·高二课时练习）已知圆经过两点，，且圆心在直线上，则圆的一般方程为_______________；若直线的方程（），圆心到直线的距离是1，则的值是______．
【变式1】（2023·江苏·高二假期作业）过坐标原点，且在轴和轴上的截距分别为2和3的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（2023·江苏苏州·高二苏州中学校考期中）在平面直角坐标系中，已知的顶点，边上中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，求：
(1)顶点的坐标；
(2)外接圆的一般方程.
题型03圆的一般方程与标准方程转化
【典例1】（2023·高二课时练习）若圆的圆心到直线的距离为，则实数的值为（ ）
A．0或2 B．0或-2
C．0或 D．-2或2
【典例2】（2023秋·内蒙古巴彦淖尔·高二校考期末）若点为圆的弦的中点，则弦所在直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【典例3】（2023秋·高二课时练习）求圆关于直线的对称圆方程.
【变式1】（2023春·山东青岛·高二校联考期中）圆上的点到直线的最大距离是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023春·辽宁朝阳·高二校联考期中）已知点在圆 上，则点到轴的距离的最大值为（ ）
A．2 B．3 C． D．
题型04点与圆的位置关系
【典例1】（2023·江苏扬州·高二校考阶段练习）已知点为圆外一点，则实数的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【典例2】（多选）（2023·全国·高三专题练习）已知点在圆的外部，则的取值可能是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2022·高二课时练习）若点是圆内一点，则过点的最长的弦所在的直线方程是__________.
【变式2】（2023·湖北·高二校联考期中）过点可作圆的两条切线，则实数的取值范围______.
题型05圆过定点问题
【典例1】（2023春·上海普陀·高二曹杨二中校考阶段练习）对任意实数，圆恒过定点，则其坐标为______.
【典例2】（2023·高二课时练习）已知方程表示圆，其中，且，则不论取不为1的任何实数，上述圆恒过的定点的坐标是________________.
【变式1】（2023·上海徐汇·高二上海中学校考期中）对任意实数，圆恒过定点，则定点坐标为__．
【变式2】（2013·辽宁大连·高二统考期中）对于任意实数，曲线恒过定点
题型06求动点的轨迹方程
【典例1】（2023春·上海徐汇·高二上海中学校考期中）点与两个定点，的距离的比为，则点的轨迹方程为______．
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，曲线与两坐标轴的交点都在圆上.
(1)求圆的方程；
(2)已知为坐标原点，点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程.
【变式1】（2022秋·高二课时练习）过点的直线与圆交于点，则线段中点的轨迹方程为___________.
【变式2】（2023春·福建莆田·高二莆田一中校考期中）在平面直角坐标系中，点满足，则动点的运动轨迹方程为__________；的最小值为__________.
题型07与圆有关的最值问题
【典例1】（2023秋·北京·高二校考期末）设是圆上的动点，是圆的切线，且，则点到点距离的最小值为（ ）
A．15 B．6 C．5 D．4
【典例2】（2023·山东烟台·统考二模）已知实数满足，则的最大值为__________．
【典例3】（2023秋·江西宜春·高二江西省宜春市第一中学校考期末）已知为圆上任意一点．则的最大值为__________
【变式1】（2023春·江苏南京·高一南京市第二十九中学校考期中）在中，，若的平面内有一点满足，则的最小值为__________.
【变式2】（2023春·江西·高二校联考阶段练习）直线始终平分圆的周长，则的最小值为______．
题型08关于点或直线对称的圆
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）与圆关于直线对称的圆的标准方程是______.
【典例2】（2023秋·重庆沙坪坝·高二重庆市第七中学校校考期末）圆关于直线的对称圆的标准方程为__________.
【变式1】（2023秋·山东枣庄·高二统考期末）如果圆关于直线对称，则有（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（2023·江苏·高二假期作业）已知圆与圆关于直线对称，则圆的方程是__________
题型09圆的综合问题
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，设二次函数的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为.
(1)求实数b的取值范围；
(2)求圆的方程；
(3)请问圆是否经过某定点（其坐标与无关）？请证明你的结论.
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知经过圆上点的切线方程是.
（1）类比上述性质，直接写出经过椭圆上一点的切线方程；
（2）已知椭圆，为直线上的动点，过作椭圆的两条切线，切点分别为
①求证：直线过定点.
②当点到直线的距离为时，求三角形的外接圆方程.
【变式1】（2023·全国·高二专题练习）在平面直角坐标系中，设二次函数的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为．
（Ⅰ）若，求圆的方程；
（Ⅱ）当取所允许的不同的实数值时（，且），圆是否经过某定点（其坐标与无关）？请证明你的结论．
【变式2】（2023秋·上海普陀·高二上海市晋元高级中学校考期末）已知圆C经过，两点．
(1)如果AB是圆C的直径，证明：无论取何正实数，圆恒经过除外的另一个定点，求出这个定点坐标．
(2)已知点关于直线的对称点也在圆，且过点的直线与两坐标轴分别交于不同两点和，当圆的面积最小时，试求的最小值.
题型10圆的实际应用
【典例1】（2022·高二课时练习）苏州有很多圆拱的悬索拱桥（如寒山桥），经测得某圆拱索桥（如图）的跨度米，拱高米，在建造圆拱桥时每隔5米需用一根支柱支撑，求与相距30米的支柱的高度.
【典例2】（2022秋·江西南昌·高二南昌市外国语学校校考阶段练习）如图所示，某隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和一个长方形的三边构成.已知隧道总宽度为，行车道总宽度为，侧墙高，为，弧顶高为.
（1）以所在直线为轴，所在直线为轴，为单位长度建立平面直角坐标系，求圆弧所在的圆的标准方程；
（2）为保证安全，要求隧道顶部与行驶车辆顶部（设为平顶）在竖直方向上的高度之差至少为，问车辆通过隧道的限制高度是多少？
【变式1】（2023秋·高一单元测试）如图是一座类似于上海卢浦大桥的圆拱桥示意图，该圆弧拱跨度为，圆拱的最高点离水面的高度为，桥面离水面的高度为.

(1)建立适当的平面直角坐标系，求圆拱所在圆的方程；
(2)求桥面在圆拱内部分的长度.（结果精确到）
【变式2】（2023春·上海浦东新·高二上海市实验学校校考期中）如图，在宽为14的路边安装路灯，灯
5．（2023·北京海淀·中关村中学校考三模）在平面直角坐标系中，已知是圆上的动点．若，，，则的最大值为（　　）
A．16 B．12 C．8 D．6
6．（2023春·甘肃张掖·高三高台县第一中学校考阶段练习）已知A，B为圆上的两个动点，P为弦的中点，若，则点P的轨迹方程为（）
A． B．
C． D．
7．（2023秋·高一单元测试）已知点P为直线上的一点，M，N分别为圆：与圆：上的点，则的最小值为（ ）
A．5 B．3 C．2 D．1
8．（2023·四川·校联考模拟预测）已知点，，，若点是的外接圆上一点，则点到直线：的距离的最大值为（ ）
A． B． C． D．14
二、多选题
9．（2023秋·广东揭阳·高二统考期末）已知方程表示一个圆，则实数可能的取值为（ ）
A． B．0 C． D．
三、填空题
10．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）已知抛物线的顶点为，与坐标轴交于三点，则过四点中的三点的一个圆的标准方程为__________.
11．（2023·全国·高三专题练习）直角坐标平面中，若定点A（1，2）与动点P（x，y）满足，则点P的轨迹方程是___________.
四、解答题
12．（2023春·湖北荆州·高二沙市中学校考阶段练习）在平面直角坐标系中，四点在同一个圆E上．
(1)求实数a的值；
(2)若点在圆E上，求的取值范围．
13．（2023秋·河北沧州·高二统考期末）已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高线为．
(1)求点坐标；
(2)求的外接圆方程．
B能力提升
1．（2023秋·高一单元测试）希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：“平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆”．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知动点在圆上，若点，点，则的最小值为 __．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知关于x，y的二元二次方程，当t为________时，方程表示的圆的半径最大．
3．（2023·江苏·高二假期作业）已知圆及点．
（1）若在圆上，求线段的长及直线的斜率；
（2）若M为圆C上的任一点，求的最大值和最小值．
C综合素养
1．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知平面上两定点A，B，则所有满足（且）的点P的轨迹是一个圆心在直线AB上，半径为的圆.这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿氏圆.已知动点P在棱长为6的正方体的一个侧面上运动，且满足，则点P的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知圆，点P是直线上的一动点，过点P作圆M的切线PA，PB，切点为A，B．
（1）当切线PA的长度为时，求点P的坐标；
（2）若的外接圆为圆N，试问：当P运动时，圆N是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）求线段AB长度的最小值．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知圆，点是直线上的动点，过点作圆的切线，，切点分别为，.
（1）当时，求点的坐标；
（2）设的外接圆为圆，当点在直线上运动时，圆是否过定点（异于原点）？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由.
第08讲 2.4.2圆的一般方程
课程标准 学习目标
①理解与掌握圆的一般方程的形式与条件。 ②能准确的判定圆的存在所满足的条件。 ③会判断点与圆的位置关系。 ④会用待定系数法求圆的一般方程，并能解决与圆有关的位置、距离的综合问题。 通过本节课的学习，要求会判断圆存在的条件，会将圆的标准形式与一般形式熟练转化，会根椐圆存的条件求待定参数的值，会用待定系数法求圆的一般式方程，会求简单问题中的轨迹问题，会解决与圆有关的位置与距离问题.
知识点01：圆的一般方程
对于方程（为常数），当时，方程叫做圆的一般方程.
①当时，方程表示以为圆心，以为半径的圆；
②当时，方程表示一个点
③当时，方程不表示任何图形
说明：圆的一般式方程特点：①和前系数相等（注意相等，不一定要是1）且不为0；②没有项；③.
【即学即练1】（多选）（2022秋·高二课时练习）（多选题）下列方程不是圆的一般方程的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【详解】根据二元二次方程表示圆的条件，
对于A中，方程，可得，
所以方程是圆的一般方程；
对于B中，方程，可得，
所以方程不是圆的一般方程；
对于C中，方程中，和的系数不相等，
所以方程不是圆的一般方程；
对于D中，方程中，存在项，所以方程不是圆的一般方程.
故选：BCD.
知识点02：圆的一般方程与圆的标准方程的特点
圆的标准方程 圆的一般方程
方程 （）
圆心
半径
知识点03：在圆的一般方程中，判断点与圆的位置关系
已知点和圆的一般式方程：（），
则点与圆的位置关系：
①点在外
②点在上
③点在内
【即学即练2】（2022·高二课时练习）点与圆的位置关系是_____________．（填“在圆内”、“在圆上”、“在圆外”）
【答案】在圆内
【详解】圆的圆心坐标为，半径为2
点到圆心的距离，
因为，所以点在圆内．
故答案为：在圆内
题型01圆的一般方程的理解
【典例1】（2022秋·安徽合肥·高二合肥市第七中学校联考期中）已知方程表示圆，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】因为表示圆，
所以，解得，
得的取值范围是.
故选：C
【典例2】（2023·高二课时练习）方程表示圆的充要条件是______．
【答案】或
【详解】由题意知：，即，解得或.
故答案为：或.
【变式1】（2022秋·河南许昌·高二禹州市高级中学校考阶段练习）方程表示圆，则实数的可能取值为（ ）
A． B．2 C．0 D．
【答案】D
【详解】由，可得，
所以，
解得或，
选项中只有符合题意.
故选：D.
【变式2】（2023春·上海宝山·高二统考期末）若表示圆，则实数的值为______.
【答案】
【详解】因为表示圆，所以，
解得或，
当时方程，即，不表示任何图形，故舍去；
当时方程，即，表示以为圆心，为半径的圆，符合题意；
故答案为：
题型02求圆的一般方程
【典例1】（2023·高二课时练习）过三点的圆的一般方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】设圆的方程为，将A，B，C三点的坐标代入方程，
整理可得，解得，
故所求的圆的一般方程为，
故选：D．
【典例2】（2023·新疆克拉玛依·高二克拉玛依市高级中学校考期中）求适合下列条件的圆的方程：
(1)圆心在直线上，且过点的圆；
(2)过三点的圆.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设圆的标准方程为，由题知：
，解得.
所以圆的标准方程为：.
（2）设圆的一般方程为：，，
由题知：，
所以圆的方程为：.
【典例3】（2023·高二课时练习）已知圆经过两点，，且圆心在直线上，则圆的一般方程为_______________；若直线的方程（），圆心到直线的距离是1，则的值是______．
【答案】
【详解】设圆C的方程为，
由条件，得，解得，
因此圆的一般方程为，
故圆心，因此圆心到直线l的距离，解得．
故答案为：；.
【变式1】（2023·江苏·高二假期作业）过坐标原点，且在轴和轴上的截距分别为2和3的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】设圆的方程为，
由题意知,圆过点，和，
所以，解得，
所以所求圆的方程为.
故选：A
【变式2】（2023·江苏苏州·高二苏州中学校考期中）在平面直角坐标系中，已知的顶点，边上中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，求：
(1)顶点的坐标；
(2)外接圆的一般方程.
【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）因为边上的高所在直线方程为，
所以,解得：.
所以直线的方程为，即.
由解得：，即.
（2）因为点C在直线上，所以可设，则中点为.
把代入直线：，有，解得：，所以.
经过，，可设为：,
所以，解得：,
所以外接圆的方程为.
题型03圆的一般方程与标准方程转化
【典例1】（2023·高二课时练习）若圆的圆心到直线的距离为，则实数的值为（ ）
A．0或2 B．0或-2
C．0或 D．-2或2
【答案】A
【详解】将圆的方程化为标准方程为：，
所以，圆心为，半径.
因为圆心到直线的距离为，
所以，，即，
所以，所以或.
故选：A.
【典例2】（2023秋·内蒙古巴彦淖尔·高二校考期末）若点为圆的弦的中点，则弦所在直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】圆的标准方程为，圆心．因为点为弦MN的中点，所以，
又AP的斜率，所以直线MN的斜率为2，弦MN所在直线的方程为，即.
故选：D
【典例3】（2023秋·高二课时练习）求圆关于直线的对称圆方程.
【答案】
【详解】由可得，
故圆心坐标为 ，半径为1，
设点P关于直线的对称点为 ，
则有 ，解得，故 ，
所以圆关于直线的对称圆的方程为：.
【变式1】（2023春·山东青岛·高二校联考期中）圆上的点到直线的最大距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】圆化为标准方程得，
圆心坐标为，半径为，圆心到直线的距离为
所以圆上的点到直线的最大距离为.
故选:C.
【变式2】（2023春·辽宁朝阳·高二校联考期中）已知点在圆 上，则点到轴的距离的最大值为（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】B
【详解】圆 ,即圆
圆心为，半径，得点P到x轴的距离的最大值为.
故选：B.
题型04点与圆的位置关系
【典例1】（2023·江苏扬州·高二校考阶段练习）已知点为圆外一点，则实数的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因在圆外，则，得.
又表示圆，则，得.
综上：.
故选：D
【典例2】（多选）（2023·全国·高三专题练习）已知点在圆的外部，则的取值可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【详解】由题意可得，解得，
故选：AC.
【变式1】（2022·高二课时练习）若点是圆内一点，则过点的最长的弦所在的直线方程是__________.
【答案】
【详解】圆可整理为，所以圆心，，
当过点的弦经过圆心时，弦长最长，所以过点的最长的弦所在的直线方程为，整理得.
故答案为：.
【变式2】（2023·湖北·高二校联考期中）过点可作圆的两条切线，则实数的取值范围______.
【答案】
【详解】因为方程表示圆，
过点可作圆的两条切线，则点在圆外，
所以，解得：.
故答案为：.
题型05圆过定点问题
【典例1】（2023春·上海普陀·高二曹杨二中校考阶段练习）对任意实数，圆恒过定点，则其坐标为______.
【答案】、
【详解】由由得，故，解得或.
故填：、.
【典例2】（2023·高二课时练习）已知方程表示圆，其中，且，则不论取不为1的任何实数，上述圆恒过的定点的坐标是________________.
【答案】
【详解】由已知得，它表示过圆与直线交点的圆.
由，解得
即定点坐标为.
故答案为
【变式1】（2023·上海徐汇·高二上海中学校考期中）对任意实数，圆恒过定点，则定点坐标为__．
【答案】或
【详解】解：，即，
令，解得，，或，，
所以定点的坐标是或．
故答案为：或.
【变式2】（2013·辽宁大连·高二统考期中）对于任意实数，曲线恒过定点
【答案】
【详解】变形为，令得，所以定点为
故答案为：
题型06求动点的轨迹方程
【典例1】（2023春·上海徐汇·高二上海中学校考期中）点与两个定点，的距离的比为，则点的轨迹方程为______．
【答案】
【详解】设点，由题知，两边平方化简得，即，
所以点的轨迹方程为.
故答案为：.
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，曲线与两坐标轴的交点都在圆上.
(1)求圆的方程；
(2)已知为坐标原点，点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程.
【答案】(1)
(2)
（1）由，
令，解得或；令，得，
所以圆过.
设圆的方程为，
，解得，
所以圆的方程为.
（2）
设，则，
将的坐标代入圆的方程得，
即.
【变式1】（2022秋·高二课时练习）过点的直线与圆交于点，则线段中点的轨迹方程为___________.
【答案】
【详解】设点P的坐标为，点B为，
由题意，结合中点坐标公式可得，
故，化简得.
即线段AB中点P的轨迹方程为.
故答案为：
【变式2】（2023春·福建莆田·高二莆田一中校考期中）在平面直角坐标系中，点满足，则动点的运动轨迹方程为__________；的最小值为__________.
【答案】
【详解】设，由题意可得，
整理得，故动点的运动轨迹方程为，
如图所示，点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，点在圆内部，
所以，
当且仅当在线段上时等号成立，
所以的最小值为，
故答案为：；
题型07与圆有关的最值问题
【典例1】（2023秋·北京·高二校考期末）设是圆上的动点，是圆的切线，且，则点到点距离的最小值为（ ）
A．15 B．6 C．5 D．4
【答案】D
【详解】解：由圆的方程，易知圆心，半径为，
因为是圆的切线，且，
所以，，
所以，点的轨迹方程为，
点到点距离的最小值为，
故选：D.
【典例2】（2023·山东烟台·统考二模）已知实数满足，则的最大值为__________．
【答案】/
【详解】方程整理得，设点，即点是圆上一点
又点在圆外，所以，
则，所以的最大值为.
故答案为：.
【典例3】（2023秋·江西宜春·高二江西省宜春市第一中学校考期末）已知为圆上任意一点．则的最大值为__________
【答案】/
【详解】圆即，
故圆心，半径为，
又表示圆C上的点M到点的距离，
故其最大值为，
故答案为：
【变式1】（2023春·江苏南京·高一南京市第二十九中学校考期中）在中，，若的平面内有一点满足，则的最小值为__________.
【答案】
【详解】
由题意，由余弦定理得 ，
， ，即以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，
则，设，则 ，
由已知 ，
即点D是在以AC的中点 为圆心，半径为1的圆周上，
，即是求 的最小值，
其几何意义为圆周上的一点D到AB的中点 的距离的平方的最小值，显然当D，E，O共线时DE最小（如上图），即 ，
的最小值为 ；
故答案为： .
【变式2】（2023春·江西·高二校联考阶段练习）直线始终平分圆的周长，则的最小值为______．
【答案】/
【详解】解：圆化为标准方程：，
圆心为，
因为直线始终平分圆的周长，
所以直线过圆心，
则，所以，
则，
当时，取得最小值.
故答案为：.
题型08关于点或直线对称的圆
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）与圆关于直线对称的圆的标准方程是______.
【答案】
【详解】圆的圆心，半径，
点关于直线对称的点坐标为
则所求圆的标准方程为
故答案为：
【典例2】（2023秋·重庆沙坪坝·高二重庆市第七中学校校考期末）圆关于直线的对称圆的标准方程为__________.
【答案】
【详解】圆的圆心，半径，
设点关于直线的对称点，
则有，解得，因此所求圆的圆心，半径为，
所以所求圆的标准方程为：.
故答案为：
【变式1】（2023秋·山东枣庄·高二统考期末）如果圆关于直线对称，则有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】由圆的对称性知，圆心在直线上，故有，即.
故选：B
【变式2】（2023·江苏·高二假期作业）已知圆与圆关于直线对称，则圆的方程是__________
【答案】
【详解】圆圆心为，半径等于1，
设圆心关于直线对称点，
则有，且，
解得，故点，
由于对称圆的半径与圆的半径相等，
故圆的方程为，
故答案为.
题型09圆的综合问题
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，设二次函数的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为.
(1)求实数b的取值范围；
(2)求圆的方程；
(3)请问圆是否经过某定点（其坐标与无关）？请证明你的结论.
【答案】(1)，且；
(2)（，且）；
(3)过定点和.
【详解】（1）令得抛物线与轴交点是；
令，
由题意，且，解得，且．
即实数的取值范围，且．
（2）设所求圆的一般方程为，
由题意得的图象与两坐标轴的三个交点即为圆和坐标轴的交点，
令得，，由题意可得，这与是同一个方程，故，．
令得，，由题意可得，此方程有一个根为，代入此方程得出，
∴圆的方程为（，且）．
（3）把圆的方程改写为，令，
解得或，故圆过定点和．
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知经过圆上点的切线方程是.
（1）类比上述性质，直接写出经过椭圆上一点的切线方程；
（2）已知椭圆，为直线上的动点，过作椭圆的两条切线，切点分别为
①求证：直线过定点.
②当点到直线的距离为时，求三角形的外接圆方程.
【答案】（1）.（2）①证明见解析；②，.
【详解】（1）类比上述性质知：切线方程为.
（2）①设切点为，点，
由（1）的结论的AP直线方程：，BP直线方程：，
通过点，∴有， ∴A，B满足方程：，
∴直线AB恒过点：，即直线AB恒过点.
②已知点到直线AB的距离为. ∴，
故，， ∴.
当时，点，直线AB的方程为：， ，
解得或，故点.
设的外接圆方程为：，代入得，
解得,所以的外接圆方程为，
即的外接圆方程为： ，
当时，由对称性可知，三角形PAB的外接圆方程为：.
【变式1】（2023·全国·高二专题练习）在平面直角坐标系中，设二次函数的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为．
（Ⅰ）若，求圆的方程；
（Ⅱ）当取所允许的不同的实数值时（，且），圆是否经过某定点（其坐标与无关）？请证明你的结论．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）
【详解】（Ⅰ）设圆的方程为，
令 得，与是同一方程，
所以，
令 得，方程有一根为，
所以，
所以圆的方程为，
当时，圆C的方程为 .
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，圆的方程为，
转化为： ，
令，
解得 或.
故圆经过定点 .
【变式2】（2023秋·上海普陀·高二上海市晋元高级中学校考期末）已知圆C经过，两点．
(1)如果AB是圆C的直径，证明：无论取何正实数，圆恒经过除外的另一个定点，求出这个定点坐标．
(2)已知点关于直线的对称点也在圆，且过点的直线与两坐标轴分别交于不同两点和，当圆的面积最小时，试求的最小值.
【答案】(1)证明见解析，定点为
(2)
【详解】（1）设点是圆上任意一点，
因为AB是圆C的直径，所以，
即，
所以圆的方程为：，
则，时等式恒成立，故定点为，
所以无论a取何正实数，圆C恒经过除A外的另一个定点，定点坐标为；
（2）因点A关于直线的对称点也在圆C上，
所以点C在直线上，
又圆C的面积最小，所以圆C是以直径的圆，
设过点A与直线垂直的直线方程为，
由方程组得，则
所以圆C的方程为，
当时，或，又，所以，即，
由题意知直线l斜率存在且不为零，设直线l的方程为，
当时，当，时，
所以，
（当且仅当，即时取等号）
则当时，
题型10圆的实际应用
【典例1】（2022·高二课时练习）苏州有很多圆拱的悬索拱桥（如寒山桥），经测得某圆拱索桥（如图）的跨度米，拱高米，在建造圆拱桥时每隔5米需用一根支柱支撑，求与相距30米的支柱的高度.
【答案】（米）
【详解】以为原点，所在的直线为轴，建立如图所示的直角坐标系
根据题意可知，，所以，
设圆心为，圆拱所在圆的方程为，则
因为在圆拱所在圆的方程上，
所以，解得.
即圆拱所在的圆方程为，
将代入圆方程，得，解得
，.
所以与OP相距30米的支柱MN的高度为（米）.
【典例2】（2022秋·江西南昌·高二南昌市外国语学校校考阶段练习）如图所示，某隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和一个长方形的三边构成.已知隧道总宽度为，行车道总宽度为，侧墙高，为，弧顶高为.
（1）以所在直线为轴，所在直线为轴，为单位长度建立平面直角坐标系，求圆弧所在的圆的标准方程；
（2）为保证安全，要求隧道顶部与行驶车辆顶部（设为平顶）在竖直方向上的高度之差至少为，问车辆通过隧道的限制高度是多少？
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）由题意，有，，.
所求圆的圆心在轴上，设圆的方程为（，），
，都在圆上，
，解得.
圆的标准方程是.
（2）设限高为，作，交圆弧于点，
则.
将点的横坐标代入圆的方程，得，
得或（舍去）.
.
故车辆通过隧道的限制高度为.
【变式1】（2023秋·高一单元测试）如图是一座类似于上海卢浦大桥的圆拱桥示意图，该圆弧拱跨度为，圆拱的最高点离水面的高度为，桥面离水面的高度为.

(1)建立适当的平面直角坐标系，求圆拱所在圆的方程；
(2)求桥面在圆拱内部分的长度.（结果精确到）
【答案】(1)建系见解析，圆拱方程为，.
(2)桥面在圆拱内部分的长度约为367.4m
【详解】（1）设圆拱所在圆的圆心为，以为原点，方向为轴正方向，
中垂线向上为轴正方向，建立如图所示的平面直角坐标系.

设与轴交于点，与轴交于点，连接
设圆的半径为，
则，，，
在直角中，，
所以，解得，
所以，
所以圆拱方程为，.
（2）由题意得，，
令，得，
所以，
所以，所以.
所以桥面在圆拱内部分的长度约为367.4m
【变式2】（2023春·上海浦东新·高二上海市实验学校校考期中）如图，在宽为14的路边安装路灯，灯柱高为8，灯杆是半径为的圆的一段劣弧．路灯采用锥形灯罩，灯罩顶到路面的距离为10，到灯柱所在直线的距离为2．设为圆心与连线与路面的交点．
（1）当为何值时，点恰好在路面中线上？
（2）记圆心在路面上的射影为，且H在线段上，求的最大值．
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）以O为原点，以所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示：
则，
∴直线的方程为．
设，则，两式相减得：，
又，解得，
∴．
∴当时，点Q恰好在路面中线上．
（2）由（1）知，
当时，灯罩轴线所在直线方程为，此时
当时，灯罩轴线所在方程为：，
令可得，即，
∵H在线段上，∴，解得．
∴，
当且仅当即时取等号．
∴的最大值为．
A夯实基础 B能力提升 C综合素养
A夯实基础
1．（2023·江苏·高二假期作业）将圆平分的直线是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】要使直线平分圆，只要直线经过圆的圆心即可，
由，得，
所以圆心坐标为，
对于A，因为，所以直线不过圆心，所以A错误，
对于B，因为，所以直线不过圆心，所以B错误，
对于C，因为，所以直线过圆心，所以C正确，
对于D，因为，所以直线不过圆心，所以D错误，
故选：C
2．（2023秋·高二课时练习）若圆关于直线l的对称图形为圆，则直线l的方程为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】的圆心为，半径为；
的圆心为，半径为.
由题意知，直线l是线段的垂直平分线.
线段的中点为，斜率为，所以直线l的斜率为，
所以直线l的方程为，即.
故选：B.
3．（2023春·山东临沂·高二统考期末）已知圆，则圆心及半径分别为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】圆，
即，
所以圆心为，半径为.
故选：A
4．（2023·高三课时练习）关于x、y的方程表示一个圆的充要条件是（ ）.
A．，且
B．，且
C．，且，
D．，且，
【答案】D
【详解】关于x、y的方程表示一个圆的充要条件是
，即，且，.
故选：D
5．（2023·北京海淀·中关村中学校考三模）在平面直角坐标系中，已知是圆上的动点．若，，，则的最大值为（　　）
A．16 B．12 C．8 D．6
【答案】B
【详解】因为，，
所以.
故选：B
6．（2023春·甘肃张掖·高三高台县第一中学校考阶段练习）已知A，B为圆上的两个动点，P为弦的中点，若，则点P的轨迹方程为（）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】圆即,半径
因为,所以
又是的中点,所以
所以点的轨迹方程为
故选：B
7．（2023秋·高一单元测试）已知点P为直线上的一点，M，N分别为圆：与圆：上的点，则的最小值为（ ）
A．5 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【详解】解：圆：与圆：的圆心分别为：，
由题意得的最小值为的最小值，
设关于直线的对称点为，
则，解得，则，
如图所示：

当三点共线时，取得最小值，
最小值为，
所以的最小值为，
故选：B
8．（2023·四川·校联考模拟预测）已知点，，，若点是的外接圆上一点，则点到直线：的距离的最大值为（ ）
A． B． C． D．14
【答案】C
【详解】解：设所求圆的方程为，
因为的三个顶点分别为，，，
则，
解得，
所以外接圆的一般方程为，
其圆心为，半径为5，
因为直线，即，
所以点到直线的距离为，
所以直线与的外接圆相离，
所以点到直线的距离的最大值为.
故选：.
二、多选题
9．（2023秋·广东揭阳·高二统考期末）已知方程表示一个圆，则实数可能的取值为（ ）
A． B．0 C． D．
【答案】BC
【详解】因为方程表示一个圆，所以，化简得，解得.
故选：BC.
三、填空题
10．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）已知抛物线的顶点为，与坐标轴交于三点，则过四点中的三点的一个圆的标准方程为__________.
【答案】（答案不唯一）
【详解】令，则，
解得，不妨设；
令0，得，则；抛物线的顶点的坐标为.
设所求圆的方程为.
当圆过三点时，,
所以圆的方程为.
当圆过三点时，,
所以圆的方程为.
当圆过三点时，,
所以圆的程为.
当圆过三点时，,
当圆过三点方程为.
故答案为：（答案不唯一）
11．（2023·全国·高三专题练习）直角坐标平面中，若定点A（1，2）与动点P（x，y）满足，则点P的轨迹方程是___________.
【答案】
【详解】设点，
∵，
∴
∵，
∴，
∴，
即.
因此点P的轨迹方程是.
故答案为：
四、解答题
12．（2023春·湖北荆州·高二沙市中学校考阶段练习）在平面直角坐标系中，四点在同一个圆E上．
(1)求实数a的值；
(2)若点在圆E上，求的取值范围．
【答案】(1)或5；
(2)[，]．
【详解】（1）设过A、B、C的圆的方程为
将点A、B、C的坐标分别代入圆的方程，
得，
解得：
得圆的方程为
将点D的坐标代入上述所得圆的方程，
得解得a＝1或5；
（2）点在圆E：上，
其几何意义为圆E上的点到距离的平方减1．
如图：
∴的最小值为＝；
的最大值为．
∴的取值范围是[，]．
13．（2023秋·河北沧州·高二统考期末）已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高线为．
(1)求点坐标；
(2)求的外接圆方程．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设，则的中点在直线上，∴．点在直线上，故，．∴点的坐标为．
（2）由题得直线OB的斜率为，方程为，联立，则，设圆的方程为，代入三点得
，解得，，，故的外接圆方程为．
B能力提升
1．（2023秋·高一单元测试）希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：“平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆”．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知动点在圆上，若点，点，则的最小值为 __．
【答案】
【详解】设，不妨取，使得，所以，
整理得：.
此方程与为同一方程，所以，解得：，即.
所以（当且仅当P、B、C三点共线时等号成立）
此时.
所以的最小值为.
故答案为：.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知关于x，y的二元二次方程，当t为________时，方程表示的圆的半径最大．
【答案】
【详解】
即，
，解得，
设圆的半径为r，则，
所以当时，，所以．
故答案为：．
3．（2023·江苏·高二假期作业）已知圆及点．
（1）若在圆上，求线段的长及直线的斜率；
（2）若M为圆C上的任一点，求的最大值和最小值．
【答案】（1），；（2），.
【详解】（1）因为点在圆上，所以，所以，

故选：B.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知圆，点P是直线上的一动点，过点P作圆M的切线PA，PB，切点为A，B．
（1）当切线PA的长度为时，求点P的坐标；
（2）若的外接圆为圆N，试问：当P运动时，圆N是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）求线段AB长度的最小值．
【答案】（1）或；（2）圆过定点，；（3）当时，AB有最小值．
【详解】（1）由题可知，圆M的半径，设，
因为PA是圆M的一条切线，所以，
所以，
解得或，
所以点P的坐标为或．
（2）设，因为，
所以经过A、P、M三点的圆N以MP为直径，
其方程为，
即，
由，
解得或，
所以圆过定点，．
（3）因为圆N方程为，
即①
又圆②
①-②得圆M方程与圆N相交弦AB所在直线方程为
．
点到直线AB的距离，
所以相交弦长
，
所以当时，AB有最小值．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知圆，点是直线上的动点，过点作圆的切线，，切点分别为，.
（1）当时，求点的坐标；
（2）设的外接圆为圆，当点在直线上运动时，圆是否过定点（异于原点）？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由.
【答案】（1）或；（2）是过定点，.
【详解】（1）设，∵，∴，，
∵，∴，
∴解得或
∴或；
（2）设，则，
∴的外接圆方程为，
∵，∴，
∴，令
则或（舍去），∴圆过定点.
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