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，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆．如动点与两定点，的距离之比为时的阿波罗尼斯圆为．下面，我们来研究与此相关的一个问题：已知圆上的动点和定点，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9．（2023·江苏·高二假期作业）以为顶点的三角形，下列结论正确的有（ ）
A．
B．
C．以点为直角顶点的直角三角形
D．以点为直角顶点的直角三角形
10．（2023春·海南省直辖县级单位·高二嘉积中学校考期中）已知圆：与圆：外切，则的值可以为（ ）
A． B． C． D．
11．（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）已知直线与圆，则（ ）
A．直线与圆一定相交 B．直线过定点
C．圆心到直线距离的最大值是 D．使得圆心到直线的距离为2的直线有2条
12．（2023春·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）已知分别为圆与圆上的两个动点，为直线上的一点，则（ ）
A．的最小值为
B．的最小值为
C．的最大值为
D．的最小值为
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.）
13．（2023春·重庆沙坪坝·高一重庆南开中学校考期末）若两条平行直线：与：间的距离为2，则______.
14．（2023秋·高一单元测试）已知圆与圆内切，则的最小值为_______
15．（2023春·上海浦东新·高二上海市实验学校校考期中）已知，是曲线上的动点，为直线上的一个动点，则的最小值为______.
16．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨三中校考期末）对非原点O的点M，若点在射线上，且，则称为M的“r-圆称点”，图形G上的所有点的“r-圆称点”组成的图形称为G的“r-圆称形”．的“3-圆称点”为______，圆（不包含原点）的“3-圆称形”的方程为______．
四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.）
17．（2023春·江苏扬州·高二统考开学考试）已知直线，求：
(1)过点且与直线l平行的直线的方程；
(2)过点且与直线l垂直的直线的方程．
18．（2023春·上海宝山·高二统考期末）已知直线，.
(1)若，求实数的值；
(2)若直线在两个坐标轴上的截距相等，求实数的值.
19．（2023春·重庆沙坪坝·高一重庆一中校考期末）在平面直角坐标系中，圆过点，，且圆心在上．
(1)求圆的方程；
(2)若已知点，过点作圆的切线，求切线的方程．
20．（2023秋·重庆长寿·高二统考期末）已知圆经过点，，且________.从下列3个条件中选取一个，补充在上面的横线处，并解答.①过直线与直线的交点；②圆恒被直线平分；③与轴相切.
(1)求圆的方程；
(2)求过点的圆的切线方程.
21．（2023秋·高一单元测试）已知直线：与圆O：相交于不重合的A，B两点，O是坐标原点，且A，B，O三点构成三角形．

(1)求的取值范围；
(2)的面积为，求的最大值，并求取得最大值时的值．
22．（2023春·上海嘉定·高二上海市嘉定区第一中学校考期中）已知过点的直线与圆相交于、两点，是弦的中点，且直线与直线相交于点．
(1)当直线与直线垂直时，求证：直线经过圆心；
(2)当弦长时，求直线的方程；
(3)设，试问是否为定值，若为定值，请求出的值；若不为定值，请说明理由．
第二章 直线和圆的方程 章节验收测评卷(综合卷）
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（2023春·重庆沙坪坝·高一重庆南开中学校考期末）直线的倾斜角是（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
【答案】A
【详解】因为的斜率，
所以其倾斜角为30°.
故选：A.
2．（2023春·江西赣州·高二校联考阶段练习）已知命题：直线与平行，命题，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】直线与平行，则 ，解得或，所以命题等价于或，命题．
则由命题不能得到命题，但由命题可得到命题，则是的充分不必要条件．
故选：A．
3．（2023春·河南开封·高二统考期末）已知圆与圆关于直线对称，则圆的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】由题意可得，圆的圆心坐标为，半径为，设圆心关于直线的对称点为，则，解得，
所以圆的标准方程为.
故选：A
4．（2023秋·浙江嘉兴·高二统考期末）已知圆：与圆：有公共点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题知：，，，，
.
因为和有公共点，所以，
解得.
故选：C
5．（2023秋·广东深圳·高二统考期末）已知、，若直线经过点，且与线段有交点，则的斜率的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】过点作，垂足为点，如图所示：
设直线交线段于点，设直线的斜率为，且，，
当点在从点运动到点（不包括点）时，直线的倾斜角逐渐增大，
此时；
当点在从点运动到点时，直线的倾斜角逐渐增大，此时.
综上所述，直线的斜率的取值范围是.
故选：D.
6．（2023秋·高一单元测试）已知实数满足，则的最大值是（ ）
A． B．4 C． D．7
【答案】C
【详解】法一：令，则，
代入原式化简得，
因为存在实数，则，即，
化简得，解得，
故 的最大值是，
法二：，整理得，
令，，其中，
则，
，所以，则，即时，取得最大值，
法三：由可得，
设，则圆心到直线的距离，
解得
故选：C.
7．（2023·全国·模拟预测）设，均为正实数，若直线被圆截得的弦长为2，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】圆的圆心为，半径为，
由题意可知，圆心到直线的距离为
，两边平方并整理，得，
由基本不等式可知，，即，
解得或，当且仅当时，取等号，
于是有或,
的取值范围是.
故选：C.
8．（2023秋·湖南张家界·高二统考期末）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻且系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点与两定点，的距离之比为，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆．如动点与两定点，的距离之比为时的阿波罗尼斯圆为．下面，我们来研究与此相关的一个问题：已知圆上的动点和定点，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】如图，点M在圆上，取点，连接，有，
当点不共线时，，又，因此∽，
则有，当点共线时，有，则，
因此，当且仅当点M是线段BN与圆O的交点时取等号，
所以的最小值为.
故选：C
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9．（2023·江苏·高二假期作业）以为顶点的三角形，下列结论正确的有（ ）
A．
B．
C．以点为直角顶点的直角三角形
D．以点为直角顶点的直角三角形
【答案】AC
【详解】对于A，因为，所以，所以A正确，
对于B，因为，所以，所以B错误，
对于C，因为，，所以，
所以，所以以点为直角顶点的直角三角形，所以C正确，
对于D，因为，，所以，所以D错误，
故选：AC
10．（2023春·海南省直辖县级单位·高二嘉积中学校考期中）已知圆：与圆：外切，则的值可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【详解】圆：的圆心，半径，
圆：的圆心，半径，
因为圆：与圆：外切，
所以，即，解得或.
故选：AC.
11．（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）已知直线与圆，则（ ）
A．直线与圆一定相交 B．直线过定点
C．圆心到直线距离的最大值是 D．使得圆心到直线的距离为2的直线有2条
【答案】AB
【详解】可化为，
对于B，令，解得，则直线过定点，B正确；
可化为，所以圆心的坐标为，半径为3.
对于A，，则点在圆内，从而直线与圆一定相交，故A正确；
对于C，设圆心到直线的距离为，则，则C错误；
对于D，因为圆心到直线的距离为2，所以，解得，
所以使得圆心到直线的距离为2的直线有且仅有1条，则D错误．
故选：AB
12．（2023春·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）已知分别为圆与圆上的两个动点，为直线上的一点，则（ ）
A．的最小值为
B．的最小值为
C．的最大值为
D．的最小值为
【答案】AC
【详解】圆的标准方程为，所以其圆心为，半径为，
圆的标准方程为，所以其圆心为，半径为，
设点关于直线对称的点为，则解得即.
如图，
连接交直线于点，连接，此时三点共线，最小，则最小，所以3，故A正确、B错误；
因为，所以当取到最大值且点共线时，取到最大值．由图可知，，所以的最大值为，故C正确；时，不能共线，最小值不存在，D错误.
故选：AC
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.）
13．（2023春·重庆沙坪坝·高一重庆南开中学校考期末）若两条平行直线：与：间的距离为2，则______.
【答案】或
【详解】由题意可得：，解得或.
故答案为：或.
14．（2023秋·高一单元测试）已知圆与圆内切，则的最小值为_______
【答案】2
【详解】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，
两圆的圆心距，
两圆内切，，可得，
所以．当且仅当时，取得最小值，的最小值为2．
故答案为：2．
15．（2023春·上海浦东新·高二上海市实验学校校考期中）已知，是曲线上的动点，为直线上的一个动点，则的最小值为______.
【答案】
【详解】
如图，曲线是以为圆心，以为半径的圆，
则根据圆的性质可知，的最小值为，
设关于直线的对称点为，
则可得，解得，即，
连接，分别交直线与圆于，
则，
当且仅当三点共线时取等号，此时取得最小值，
所以的最小值为.
故答案为:
16．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨三中校考期末）对非原点O的点M，若点在射线上，且，则称为M的“r-圆称点”，图形G上的所有点的“r-圆称点”组成的图形称为G的“r-圆称形”．的“3-圆称点”为______，圆（不包含原点）的“3-圆称形”的方程为______．
【答案】
【详解】由题意得：，又，所以，
又点在射线上，即在轴正半轴上，
故的“3-圆称点”为；
设圆（不包含原点）的一点，，
设其“r-圆称点”为，则，
即，
又点在射线上，不妨设，，
所以，整理得：，
综上，，即，
故圆（不包含原点）的“3-圆称形”的方程为.
故答案为：，.
四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.）
17．（2023春·江苏扬州·高二统考开学考试）已知直线，求：
(1)过点且与直线l平行的直线的方程；
(2)过点且与直线l垂直的直线的方程．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为直线的斜率为，
所以与直线l平行的直线的斜率为，
又所求直线过，
所以所求直线方程为，即．
（2）因为直线的斜率为，
所以与直线l垂直的直线的斜率为，
又所求直线过，
所以所求直线方程为，即．
18．（2023春·上海宝山·高二统考期末）已知直线，.
(1)若，求实数的值；
(2)若直线在两个坐标轴上的截距相等，求实数的值.
【答案】(1)
(2)或
【详解】（1）直线，．
则，解得或，
当时，，，则直线，重合，不符合题意；
当时，，，则直线，不重合，符合题意，
故.
（2）当，即时，，直线在两坐标轴上的截距为，
满足直线在两个坐标轴上的截距相等；
当且时，
则直线在轴上的截距为，在轴上的截距为，
由题意可知，，解得，
当时直线，显然不符合题意，
综上所述，或．
19．（2023春·重庆沙坪坝·高一重庆一中校考期末）在平面直角坐标系中，圆过点，，且圆心在上．
(1)求圆的方程；
(2)若已知点，过点作圆的切线，求切线的方程．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为圆过，则的中垂线过圆心，
设的中点为，则，
因为，所以的中垂线方程为，即，
又圆心在，
联立，解得，
因此圆心，半径，
所以圆的方程为.
.
（2）因为，所以在圆外，
过作圆的切线，
若切线斜率不存在时，则切线方程为，满足与圆相切，
若切线斜率存在时，设切线方程，即，
则，解得，
所以切线方程为，即.
综上：切线方程为或.
20．（2023秋·重庆长寿·高二统考期末）已知圆经过点，，且________.从下列3个条件中选取一个，补充在上面的横线处，并解答.①过直线与直线的交点；②圆恒被直线平分；③与轴相切.
(1)求圆的方程；
(2)求过点的圆的切线方程.
【答案】(1)选择见解析，
(2)或
【详解】（1）选择①：联立，解得，所以，
O是坐标原点，且A，B，O三点构成三角形．

(1)求的取值范围；
(2)的面积为，求的最大值，并求取得最大值时的值．
【答案】(1)
(2)的最大值为2，取得最大值时
【详解】（1）解法一：
由题意知：圆心到直线的距离 ，
因为直线与圆O相交于不重合的A，B两点，且A，B，O三点构成三角形，
所以，得，解得且，
所以的取值范围为.
解法二：
联立，化简得：
，得，
因为A，B，O三点构成三角形，所以
所以的取值范围为.
（2）直线：，即，
点O到直线距离：，
所以
所以，（且）
设，则，
所以
所以当，即，即时，
所以的最大值为2，取得最大值时.
22．（2023春·上海嘉定·高二上海市嘉定区第一中学校考期中）已知过点的直线与圆相交于、两点，是弦的中点，且直线与直线相交于点．
(1)当直线与直线垂直时，求证：直线经过圆心；
(2)当弦长时，求直线的方程；
(3)设，试问是否为定值，若为定值，请求出的值；若不为定值，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)或
(3)为定值，且
【详解】（1）解：直线与直线垂直，且，.
故直线方程为，即.
圆心为，且，故当直线与直线垂直时，直线经过圆心.
（2）解：①当直线与轴垂直时，则直线的方程为，圆心到直线的距离为，
且，合乎题意；
②当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，即，
，是中点，圆圆心为，半径为，
，则由，得，
此时，直线的方程为，即.
综上所述，直线的方程为或.
（3）解：，.
①当与轴垂直时，直线的方程为，联立可得，
即点，则，
又，.
②当的斜率存在时，设直线的方程为，其中，
则由可得，即点，则.
.
综上所述，与直线的斜率无关，且.
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