资源简介

第10讲 2.5.2圆与圆的位置关系
课程标准 学习目标
①掌握两圆位置关系的判定的代数方法与几何方法。 ②会应用两圆的位置关系求与两圆有关的几何量问题。 通过本节课的学习，会判断两圆的位置关系，会求与两圆位置有关的点的坐标、公共弦长及公共弦所在的直线方程，能求与两圆位置关系相关的综合问题.
知识点01：圆与圆的位置关系
1、圆与圆的位置关系
(1)圆与圆相交，有两个公共点；
(2)圆与圆相切(内切或外切)，有一个公共点；
(3)圆与圆相离(内含或外离)，没有公共点.
图象 位置关系 图象 位置关系
外 离 外 切
相 交 内 切
内 含
2、圆与圆的位置关系的判定
2.1几何法
设的半径为，的半径为，两圆的圆心距为.
①当时，两圆相交；
②当时，两圆外切；
③当时，两圆外离；
④当时，两圆内切；
⑤当时，两圆内含.
2.2代数法
设:
:
联立消去“”得到关于“”的一元二次方程，求出其
①与设设相交
②与设设相切（内切或外切）
③与设设相离（内含或外离）
【即学即练1】（2023春·江西萍乡·高二校联考阶段练习）圆O：与圆C: 的位置关系是（ ）
A．相交 B．相离 C．外切 D．内切
【答案】C
【详解】圆是以为圆心，半径的圆，
圆:改写成标准方程为，则圆是以为圆心，半径的圆，
则，=3，所以两圆外切，
故选：.
知识点02：圆与圆的公共弦
1、圆与圆的公共弦
圆与圆相交得到的两个交点，这两点之间的线段就是两圆的公共弦.
2、公共弦所在直线的方程
设:
:
联立作差得到：即为两圆共线方程
3、公共弦长的求法
代数法：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长．
几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长．
【即学即练2】（2022秋·高二课时练习）已知圆与圆，求两圆的公共弦所在的直线方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】将两个圆的方程相减，得3x－4y＋6＝0.
故选：D.
知识点03：圆与圆的公切线
1、公切线的条数
与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种．
（1）两圆外离时，有2条外公切线和2条内公切线，共4条；
（2）两圆外切时，有2条外公切线和1条内公切线，共3条；
（3）两圆相交时，只有2条外公切线；
（4）两圆内切时，只有1条外公切线；
（5）两圆内含时，无公切线．
2、公切线的方程
核心技巧：利用圆心到切线的距离求解
【即学即练3】（2022秋·贵州遵义·高二习水县第五中学校联考期末）圆与圆的公切线的条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【详解】圆的圆心坐标为，半径为5；
圆的圆心坐标为，半径为3，
所以两圆的圆心距为，
因为，所以两圆相交，
所以两圆的公切线有2条.
故选：B.
知识点04：圆系方程
以为圆心的同心圆圆系方程：；
与圆同心圆的圆系方程为；
过直线与圆交点的圆系方程为
过两圆，圆：交点的圆系方程为
（，此时圆系不含圆：）特别地，当时，上述方程为一次方程.
两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程.
【即学即练4】（2022秋·高二单元测试）求过两圆和圆的交点，且圆心在直线上的圆的方程.
【答案】
【详解】设圆的方程为，
则，
即，所以圆心坐标为，
把圆心坐标代入得，解得，
所以所求圆的方程为．
题型01 判断圆与圆的位置关系
【典例1】（2023春·江西萍乡·高二校联考阶段练习）圆O：与圆C: 的位置关系是（ ）
A．相交 B．相离 C．外切 D．内切
【典例2】（2023春·安徽·高二池州市第一中学校联考阶段练习）圆与圆的位置关系是（ ）
A．外离 B．外切 C．相交 D．内切
【典例3】（多选）（2023春·甘肃兰州·高二兰大附中校考阶段练习）已知圆和圆，则下列结论正确的是（ ）
A．圆与圆外切
B．直线与圆相切
C．直线被圆所截得的弦长为2
D．若分别为圆和圆上一点，则的最大值为10
【变式1】（2023春·江苏扬州·高二统考开学考试）圆与圆的位置关系为（ ）．
A．相交 B．内切 C．外切 D．外离
【变式2】（2023·全国·高三专题练习）已知圆：，圆：，则与的位置关系是（ ）
A．外切 B．内切 C．相交 D．外离
题型02求两圆交点坐标
【典例1】（2022·高二课前预习）圆 与圆 的交点坐标为（ ）
A． 和 B．和
C．和 D．和
【典例2】（2022秋·贵州遵义·高二遵义一中校考阶段练习）圆：和圆：交于，两点，则线段的垂直平分线的方程是______.
【变式1】（2023秋·青海西宁·高二校考期末）圆与的交点坐标为______.
【变式2】（2022·高二课时练习）圆与圆的交点坐标为___________.
题型03由圆的位置关系确定参数
【典例1】（2023秋·浙江嘉兴·高二统考期末）已知圆：与圆：有公共点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2023秋·陕西西安·高二长安一中校考期末）已知两圆和恰有三条公切线，若，，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【典例3】（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考三模）若圆和有且仅有一条公切线，则______；此公切线的方程为______
【变式1】（2023秋·高二课时练习）若两圆和圆相交，则的取值范围是（ ）
A． B．或
C． D．或
【变式2】（2023秋·高一单元测试）已知圆与圆内切，则的最小值为_______
题型04由圆与圆的位置关系确定圆的方程
【典例1】（2023·河南商丘·商丘市实验中学校联考模拟预测）已知圆，圆过点且与圆相切于点，则圆的方程为__________.
【典例2】（2023·河南焦作·统考模拟预测）已知圆，的圆心都在坐标原点，半径分别为与．若圆的圆心在轴正半轴上，且与圆，均内切，则圆C的标准方程为_________．
【典例3】（2023春·江西宜春·高二统考阶段练习）已知圆
(1)若直线过定点，且与圆相切，求直线的方程；
(2)若圆的半径为3，圆心在直线上，且与圆外切，求圆的方程．
【变式1】（2023·全国·高三专题练习）经过点以及圆与交点的圆的方程为______．
【变式2】（2023·高二课时练习）已知圆和圆，求过两圆交点，且面积最小的圆的方程．
题型05相交圆的公共弦方程
【典例1】（2023·河南·统考二模）若圆与圆的公共弦的长为1，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】（2023春·安徽池州·高三池州市第一中学校考阶段练习）已知，直线为上的动点，过点作的切线，切点为，当最小时，直线的方程为__________.
【变式1】（2023春·全国·高二卫辉一中校联考阶段练习）已知圆：过圆：的圆心，则两圆相交弦的方程为______.
【变式2】（2023·天津和平·耀华中学校考二模）圆与圆的公共弦所在的直线方程为______．
题型06两圆的公共弦长
【典例1】（2023·天津滨海新·统考三模）已知圆：与圆：，若两圆相交于，两点，则______
【典例2】（2023秋·湖南张家界·高二统考期末）已知两圆，．
(1)取何值时两圆外切？
(2)当时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．
【变式1】（2023春·福建厦门·高二厦门一中校考阶段练习）已知圆与圆有两个公共点、，且，则实数（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023·浙江·高三专题练习）已知圆与交于两点.若存在，使得，则的取值范围为___________.
题型07圆的公切线条数
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）圆：与圆：公切线的条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【典例2】（2023·山西·校联考模拟预测）已知圆：的圆心到直线的距离为，则圆与圆：的公切线共有（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
【典例3】（2023秋·河北保定·高二统考期末）若圆与圆恰有两条公共的切线，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【典例4】（2023春·四川眉山·高二四川省眉山第一中学校考开学考试）已知圆：与：恰好有4条公切线，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】（2023·全国·高三专题练习）若圆与圆有且仅有3条公切线，则=（ ）
A．14 B．28 C．9 D．
【变式2】（2023秋·上海杨浦·高二复旦附中校考期末）两个圆：与：恰有三条公切线，则的最大值为（ ）
A． B． C．6 D．－6
【变式3】（2023·全国·模拟预测）已知圆，圆，则同时与圆和圆相切的直线有（ ）
A．4条 B．3条 C．2条 D．0条
【变式4】（2023春·青海西宁·高二校考开学考试）圆与圆的公切线条数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
题型08圆的公切线方程
【典例1】（多选）（2023·高二课时练习）已知圆，圆，则下列是，两圆公切线的直线方程为（ ）
A．y＝0 B．3x－4y＝0 C． D．
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知圆与圆恰有两条公切线，则满足题意的一个的取值为____；此时公切线的方程为__________.
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）写出与圆和圆都相切的一条直线的方程___________.
【变式1】（2023秋·山东聊城·高二统考期末）已知圆：与圆：相内切，则与的公切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（2023·湖北黄冈·浠水县第一中学校考模拟预测）写出与圆和圆都相切的一条直线的方程___________.
题型09圆的公切线长
【典例1】（2022秋·广东云浮·高二校考期中）已知圆的方程为，圆的方程为.
(1)判断圆与圆是否相交，若相交，求过两交点的直线方程及两交点间的距离；若不相交，请说明理由.
(2)求两圆的公切线长.
【变式1】（2022·高二课时练习）求圆与圆的内公切线所在直线方程及内公切线的长．
A夯实基础 B能力提升 C综合素养
B．的最大值为
C．两个圆心所在的直线斜率为
D．两个圆公共弦所在直线的方程为
10．（2023春·甘肃兰州·高二兰大附中校考阶段练习）已知圆和圆，则下列结论正确的是（ ）
A．圆与圆外切
B．直线与圆相切
C．直线被圆所截得的弦长为2
D．若分别为圆和圆上一点，则的最大值为10
三、填空题
11．（2023秋·高一单元测试）已知圆与圆内切，则的最小值为_______
12．（2023·天津·高三专题练习）已知圆与圆外切，此时直线被圆所截的弦长为__________．
四、解答题
13．（2023秋·高二课时练习）如图，已知点A、B的坐标分别是，点C为线段AB上任一点，P、Q分别以AC和BC为直径的两圆的外公切线的切点，求线段PQ的中点的轨迹方程.

14．（2023秋·河北保定·高二统考期末）已知圆与圆
(1)求证：圆与圆相交；
(2)求两圆公共弦所在直线的方程；
(3)求经过两圆交点，且圆心在直线上的圆的方程．
B能力提升
1．（2023·黑龙江大庆·大庆实验中学校考模拟预测）已知圆和两点，，若圆C上至少存在一点P，使得，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·浙江嘉兴·校考模拟预测）已知动直线与圆交于，两点，且．若与圆相交所得的弦长为，则的最大值与最小值之差为（ ）
A． B．1 C． D．2
3．（2023·北京通州·统考模拟预测）在平面直角坐标系内，点O是坐标原点，动点B，C满足，，A为线段中点，P为圆任意一点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·全国·高三专题练习）已知平面内的动点，直线：，当变化时点始终不在直线上，点为：上的动点，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
C综合素养
1．（2023春·上海黄浦·高二上海市敬业中学校考期中）已知直线，圆.
(1)证明：直线与圆相交；
(2)设直线与的两个交点分别为、，弦的中点为，求点的轨迹方程；
(3)在（2）的条件下，设圆在点处的切线为，在点处的切线为，与的交点为.证明：Q，A，B，C四点共圆，并探究当变化时，点是否恒在一条定直线上 若是，请求出这条直线的方程；若不是，说明理由.
2．（2023春·上海黄浦·高二格致中学校考阶段练习）已知圆和圆
(1)若圆与圆相交于两点，求的取值范围，并求直线的方程（用含有的方程表示）
(2)若直线与圆交于两点，且，求实数的值
3．（2023·上海·高二专题练习）已知圆C：（x+1）2+y2＝a（a＞0），定点A（m，0），B（0，n），其中m，n为正实数．
(1)当a＝m＝n＝3时，判断直线AB与圆C的位置关系；
(2)当a＝4时，若对于圆C上任意一点P均有PA＝λPO成立（O为坐标原点），求实数m，λ的值；
(3)当m＝2，n＝4时，对于线段AB上的任意一点P，若在圆C上都存在不同的两点M，N，使得点M是线段PN的中点，求实数a的取值范围．
第10讲 2.5.2圆与圆的位置关系
课程标准 学习目标
①掌握两圆位置关系的判定的代数方法与几何方法。 ②会应用两圆的位置关系求与两圆有关的几何量问题。 通过本节课的学习，会判断两圆的位置关系，会求与两圆位置有关的点的坐标、公共弦长及公共弦所在的直线方程，能求与两圆位置关系相关的综合问题.
知识点01：圆与圆的位置关系
1、圆与圆的位置关系
(1)圆与圆相交，有两个公共点；
(2)圆与圆相切(内切或外切)，有一个公共点；
(3)圆与圆相离(内含或外离)，没有公共点.
图象 位置关系 图象 位置关系
外 离 外 切
相 交 内 切
内 含
2、圆与圆的位置关系的判定
2.1几何法
设的半径为，的半径为，两圆的圆心距为.
①当时，两圆相交；
②当时，两圆外切；
③当时，两圆外离；
④当时，两圆内切；
⑤当时，两圆内含.
2.2代数法
设:
:
联立消去“”得到关于“”的一元二次方程，求出其
①与设设相交
②与设设相切（内切或外切）
③与设设相离（内含或外离）
【即学即练1】（2023春·江西萍乡·高二校联考阶段练习）圆O：与圆C: 的位置关系是（ ）
A．相交 B．相离 C．外切 D．内切
【答案】C
【详解】圆是以为圆心，半径的圆，
圆:改写成标准方程为，则圆是以为圆心，半径的圆，
则，=3，所以两圆外切，
故选：.
知识点02：圆与圆的公共弦
1、圆与圆的公共弦
圆与圆相交得到的两个交点，这两点之间的线段就是两圆的公共弦.
2、公共弦所在直线的方程
设:
:
联立作差得到：即为两圆共线方程
3、公共弦长的求法
代数法：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长．
几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长．
【即学即练2】（2022秋·高二课时练习）已知圆与圆，求两圆的公共弦所在的直线方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】将两个圆的方程相减，得3x－4y＋6＝0.
故选：D.
知识点03：圆与圆的公切线
1、公切线的条数
与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种．
（1）两圆外离时，有2条外公切线和2条内公切线，共4条；
（2）两圆外切时，有2条外公切线和1条内公切线，共3条；
（3）两圆相交时，只有2条外公切线；
（4）两圆内切时，只有1条外公切线；
（5）两圆内含时，无公切线．
2、公切线的方程
核心技巧：利用圆心到切线的距离求解
【即学即练3】（2022秋·贵州遵义·高二习水县第五中学校联考期末）圆与圆的公切线的条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【详解】圆的圆心坐标为，半径为5；
圆的圆心坐标为，半径为3，
所以两圆的圆心距为，
因为，所以两圆相交，
所以两圆的公切线有2条.
故选：B.
知识点04：圆系方程
以为圆心的同心圆圆系方程：；
与圆同心圆的圆系方程为；
过直线与圆交点的圆系方程为
过两圆，圆：交点的圆系方程为
（，此时圆系不含圆：）特别地，当时，上述方程为一次方程.
两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程.
【即学即练4】（2022秋·高二单元测试）求过两圆和圆的交点，且圆心在直线上的圆的方程.
【答案】
【详解】设圆的方程为，
则，
即，所以圆心坐标为，
把圆心坐标代入得，解得，
所以所求圆的方程为．
题型01 判断圆与圆的位置关系
【典例1】（2023春·江西萍乡·高二校联考阶段练习）圆O：与圆C: 的位置关系是（ ）
A．相交 B．相离 C．外切 D．内切
【答案】C
【详解】圆是以为圆心，半径的圆，
圆:改写成标准方程为，则圆是以为圆心，半径的圆，
则，=3，所以两圆外切，
故选：.
【典例2】（2023春·安徽·高二池州市第一中学校联考阶段练习）圆与圆的位置关系是（ ）
A．外离 B．外切 C．相交 D．内切
【答案】C
【详解】两圆化为标准形式，可得与圆，
可知半径，，于是，
而，故两圆相交，
故选：.
【典例3】（多选）（2023春·甘肃兰州·高二兰大附中校考阶段练习）已知圆和圆，则下列结论正确的是（ ）
A．圆与圆外切
B．直线与圆相切
C．直线被圆所截得的弦长为2
D．若分别为圆和圆上一点，则的最大值为10
【答案】ACD
【详解】圆化为，圆心坐标为，半径为2，
圆化为，圆心坐标为，半径为3.
因为两个圆的圆心距为，等于两个圆半径的和，所以两个圆外切，正确.
圆的圆心到直线的距离为，所以直线与圆不相切，错误.
圆的圆心到直线的距离为，直线被圆所截得的弦长为，C正确.
若分别为圆和圆上一点，则的最大值为，正确.
故选：ACD
【变式1】（2023春·江苏扬州·高二统考开学考试）圆与圆的位置关系为（ ）．
A．相交 B．内切 C．外切 D．外离
【答案】B
【详解】由题意可得，
故两圆的圆心分别为：，设两圆半径分别为，则，
易知，故两圆内切.
故选：B
【变式2】（2023·全国·高三专题练习）已知圆：，圆：，则与的位置关系是（ ）
A．外切 B．内切 C．相交 D．外离
【答案】C
【详解】圆的圆心为，
圆的圆心为，
所以
所以圆与的位置关系是相交.
故选: C.
题型02求两圆交点坐标
【典例1】（2022·高二课前预习）圆 与圆 的交点坐标为（ ）
A． 和 B．和
C．和 D．和
【答案】C
【详解】由,可得，即，
代入，解得或，
故得或,
所以两圆的交点坐标为和,
故选:C
【典例2】（2022秋·贵州遵义·高二遵义一中校考阶段练习）圆：和圆：交于，两点，则线段的垂直平分线的方程是______.
【答案】
【详解】圆方程为，圆方程为，
则圆心分别为，，两圆相交于两点，则线段AB的垂直平分线即为直线，
，则直线的方程为，即，
故答案为：
【变式1】（2023秋·青海西宁·高二校考期末）圆与的交点坐标为______.
【答案】和
【详解】联立，两式相减得，将其代入中得或，进而得或，
所以交点坐标为
故答案为：和
【变式2】（2022·高二课时练习）圆与圆的交点坐标为___________.
【答案】
【详解】联立两个圆的方程：，方程带入，先得到
，在联立，得到，解得或，对应的值为或，于是得到两圆交点：.
故答案为：.
题型03由圆的位置关系确定参数
【典例1】（2023秋·浙江嘉兴·高二统考期末）已知圆：与圆：有公共点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题知：，，，，
.
因为和有公共点，所以，
解得.
故选：C
【典例2】（2023秋·陕西西安·高二长安一中校考期末）已知两圆和恰有三条公切线，若，，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】，即，圆心，；
，即，圆心，半径；
两圆恰有三条公切线，即两圆外切，故，
即，
.
当且仅当，即，时等号成立.
故选：A
【典例3】（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考三模）若圆和有且仅有一条公切线，则______；此公切线的方程为______
【答案】 1
【详解】如图，

由题意得与相内切，又，
所以，
所以，解得，
所以，．
联立，解得
所以切点的坐标为，
故所求公切线的方程为，即．
故答案为：1；
【变式1】（2023秋·高二课时练习）若两圆和圆相交，则的取值范围是（ ）
A． B．或
C． D．或
【答案】B
【详解】圆与圆相交，
两圆的圆心距大于两圆的半径之差的绝对值且小于半径之和，
即，所以.
解得或.
故选：B
【变式2】（2023秋·高一单元测试）已知圆与圆内切，则的最小值为_______
【答案】2
【详解】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，
两圆的圆心距，
两圆内切，，可得，
所以．当且仅当时，取得最小值，的最小值为2．
故答案为：2．
题型04由圆与圆的位置关系确定圆的方程
【典例1】（2023·河南商丘·商丘市实验中学校联考模拟预测）已知圆，圆过点且与圆相切于点，则圆的方程为__________.
【答案】
【详解】如图所示：
过点和的直线方程为，以点和点为端点的线段的垂直平分线为.
由得，则圆的半径，
所以圆的方程为.
故答案为：
【典例2】（2023·河南焦作·统考模拟预测）已知圆，的圆心都在坐标原点，半径分别为与．若圆的圆心在轴正半轴上，且与圆，均内切，则圆C的标准方程为_________．
【答案】
【详解】解：依题意可知圆心的横坐标为，半径为，
故圆的标准方程为.
故答案为：.
【典例3】（2023春·江西宜春·高二统考阶段练习）已知圆
(1)若直线过定点，且与圆相切，求直线的方程；
(2)若圆的半径为3，圆心在直线上，且与圆外切，求圆的方程．
【答案】(1)或
(2)或
【详解】（1）圆
化为标准方程为，
所以圆C的圆心为，半径为
①若直线的斜率不存在，即直线为，符合题意．
②若直线的斜率存在，设直线的方程为即
由题意知，圆心到已知直线的距离等于半径2，
所以，即，
解得，所以直线方程为
综上，所求直线的方程为或
（2）依题意，设
又已知圆C的圆心为，半径为2，
由两圆外切，可知，
所以，
解得或所以或，
所以所求圆D的方程为或
【变式1】（2023·全国·高三专题练习）经过点以及圆与交点的圆的方程为______．
【答案】
【详解】联立，整理得，
代入，得，解得或，
则圆与交点坐标为，
设经过点以及的圆的方程为,
则，解得，
故经过点以及圆与交点的圆的方程为，
故答案为：
【变式2】（2023·高二课时练习）已知圆和圆，求过两圆交点，且面积最小的圆的方程．
【答案】
【详解】设两圆交点为A、B，则以AB为直径的圆就是所求的圆．
联立，可得直线AB的方程为．
又圆M的圆心，圆N的圆心
所以两圆圆心连线的方程为．
解方程组，可得圆心坐标为．
圆心到直线AB的距离为，圆M的半径为，
弦AB的长为，则所求圆的半径为，
所以所求圆的方程为．
题型05相交圆的公共弦方程
【典例1】（2023·河南·统考二模）若圆与圆的公共弦的长为1，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】将两圆方程相减可得直线的方程为，
即，
因为圆的圆心为，半径为，且公共弦的长为，
则到直线的距离为，
所以，解得，
所以直线的方程为，
故选：D.
【典例2】（2023春·安徽池州·高三池州市第一中学校考阶段练习）已知，直线为上的动点，过点作的切线，切点为，当最小时，直线的方程为__________.
【答案】
【详解】圆的方程可化为，则圆心，半径，
可得点到直线的距离为，
所以直线与圆相离，
依圆的知识可知，四点四点共圆，且，
所以，
原题意等价于取到最小值，
当直线时，，此时最小.
的直线方程为：，
与联立，解得：，即，
则的中点为，
所以以为直径的圆的方程为，即，
两圆的方程相减可得：，
即直线的方程为.
故答案为：.
【变式1】（2023春·全国·高二卫辉一中校联考阶段练习）已知圆：过圆：的圆心，则两圆相交弦的方程为______.
【答案】
【详解】圆：的圆心坐标为，
因为圆过圆的圆心，所以，
所以，所以：，
两圆的方程相减可得相交弦方程为.
故答案为：.
【变式2】（2023·天津和平·耀华中学校考二模）圆与圆的公共弦所在的直线方程为______．
【答案】
【详解】联立，两式相减得.
故答案为：
题型06两圆的公共弦长
【典例1】（2023·天津滨海新·统考三模）已知圆：与圆：，若两圆相交于，两点，则______
【答案】
【详解】圆的方程为，即①，
又圆：②，
②－①可得两圆公共弦所在的直线方程为
圆的圆心到直线的距离，
所以．
故答案为: .
【典例2】（2023秋·湖南张家界·高二统考期末）已知两圆，．
(1)取何值时两圆外切？
(2)当时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．
【答案】(1)
(2)两圆的公共弦所在直线的方程为，两圆的公共弦的长为
【详解】（1）因为圆的标准方程为，
所以两圆的圆心分别为，，半径分别为，.
当两圆外切时，圆心距为半径之和，则，结合，
解得；
（2）当时，圆的一般方程为
两圆一般方程相减得：，
所以两圆的公共弦所在直线的方程为
圆圆心到的距离为
故两圆的公共弦的长为．
【变式1】（2023春·福建厦门·高二厦门一中校考阶段练习）已知圆与圆有两个公共点、，且，则实数（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】对于圆，有，可得，
圆的标准方程为，圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为，且，
因为两圆有两个公共点、，则，
即，
将两圆方程作差可得，
因为，则直线过圆心，所以，，解得，
满足.
因此，.
故选：C.
【变式2】（2023·浙江·高三专题练习）已知圆与交于两点.若存在，使得，则的取值范围为___________.
【答案】
【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径
若两圆相交，则，所以，即，
又两圆相交弦所在直线方程为：即
所以圆心到直线的距离，圆心到直线的距离，
则弦长，所以，则，所以，
若存在，使得，则，即，所以的取值范围为.
故答案为：.
题型07圆的公切线条数
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）圆：与圆：公切线的条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【详解】根据题意，圆：，即，
其圆心为，半径；
圆：，即，
其圆心为，半径，
两圆的圆心距，所以两圆相外切，
其公切线条数有3条．
故选：C．
【典例2】（2023·山西·校联考模拟预测）已知圆：的圆心到直线的距离为，则圆与圆：的公切线共有（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
【答案】B
【详解】圆：的圆心为，半径为a，
所以圆心到直线的距离为，解得或．
因为，所以.
所以圆：的圆心为，半径为．
圆：的标准方程为，
圆心坐标为，半径，
圆心距，所以两圆相内切．
所以两圆的公切线只有1条.
故选：B．
【典例3】（2023秋·河北保定·高二统考期末）若圆与圆恰有两条公共的切线，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由，
所以，半径，
由，所以，半径为，
因为圆与圆恰有两条公共的切线，所以这两个圆相交，
于是有，而，
所以m的取值范围为，
故选：A
【典例4】（2023春·四川眉山·高二四川省眉山第一中学校考开学考试）已知圆：与：恰好有4条公切线，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】因为圆：与：恰好有4条公切线，所以圆与外离，所以，解得或，即实数的取值范围是.
故选：D.
【变式1】（2023·全国·高三专题练习）若圆与圆有且仅有3条公切线，则=（ ）
A．14 B．28 C．9 D．
【答案】A
【详解】圆的圆心，半径，
圆的圆心，半径，
因为圆与圆有且仅有3条公切线，
所以两圆外切，
则，
即，解得.
故选：A.
【变式2】（2023秋·上海杨浦·高二复旦附中校考期末）两个圆：与：恰有三条公切线，则的最大值为（ ）
A． B． C．6 D．－6
【答案】A
【详解】由已知可得，圆的方程可化为，圆心为，半径；
圆的方程可化为，圆心为，半径.
因为圆与圆恰有三条公切线，所以两圆外切.
所以有，即，所以.
又，当且仅当时，等号成立，
所以.
故选：A.
【变式3】（2023·全国·模拟预测）已知圆，圆，则同时与圆和圆相切的直线有（ ）
A．4条 B．3条 C．2条 D．0条
【答案】B
【详解】由圆，则圆心，半径；
由圆，整理可得，则圆心，半径；
由，则两圆外切，同时与两圆相切的直线有3条.
故选：B.
【变式4】（2023春·青海西宁·高二校考开学考试）圆与圆的公切线条数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【详解】由圆方程，可得圆心，半径；
由圆方程，可得圆心，半径.
所以，，且，
所以两圆相交，公切线条数为2.
故选：C.
题型08圆的公切线方程
【典例1】（多选）（2023·高二课时练习）已知圆，圆，则下列是，两圆公切线的直线方程为（ ）
A．y＝0 B．3x－4y＝0 C． D．
【答案】ACD
【详解】圆M的圆心为M（2，1），半径．圆N的圆心为N（－2，－1），半径．圆心距，两圆相离，故有四条公切线．又两圆关于原点O对称，则有两条切线过原点O，设切线方程为y＝kx，则圆心到直线的距离，解得k＝0或，对应方程分别为y＝0，4x－3y＝0．另两条切线与直线MN平行，而，设切线方程为，则，解得，切线方程为，．
故选：ACD．
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知圆与圆恰有两条公切线，则满足题意的一个的取值为____；此时公切线的方程为__________.
【答案】 5（答案不唯一） 和（答案与前空的答案有关联）
【详解】圆的圆心为，半径为5.
因为圆与圆恰有两条公切线，所以圆与圆相交.即.
又，所以，
所以可取(答案不唯一.满即可).
此时.
因为的圆心为，半径为5，的圆心为，半径为5，
所以可设公切线的方程为，且与两圆圆心所在的直线平行，解得，
又因为是公切线，所以圆心到直线距离等于半径，即，解得.
所以当时，公切线的方程为和.
故答案为: 5；和.
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）写出与圆和圆都相切的一条直线的方程___________.
【答案】或或（三条中任写一条即可）
【详解】圆的圆心为，半径为；
圆的圆心为，半径为；
与的距离为，所以两圆外切.
过与的直线方程为.
由图可知，直线是两圆的公切线，
由解得，设，
设两圆的一条公切线方程为，
到直线的距离为，
即，解得，
所以两圆的一条公切线方程为，即.
由两式相减并化简得，
所以两圆的公切线方程为或或.
故答案为：或或（三条中任写一条即可）
【变式1】（2023秋·山东聊城·高二统考期末）已知圆：与圆：相内切，则与的公切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】圆：的圆心，圆：可化为
，，则其圆心为，半径为，
因为圆与圆相内切，所以，即，故.
由，可得，
即与的公切线方程为.
故选：D
【变式2】（2023·湖北黄冈·浠水县第一中学校考模拟预测）写出与圆和圆都相切的一条直线的方程___________.
【答案】（答案不唯一，或均可以）
【详解】圆的圆心为，半径为1；圆的圆心为，半径为4，圆心距为，所以两圆外切，
如图，有三条切线，易得切线的方程为；
因为，且，所以，设，即，则到的距离，解得（舍去）或，所以；
可知和关于对称，联立，解得在上，
在上取点，设其关于的对称点为，则，
解得，则，
所以直线，即，
综上，切线方程为或或.
故答案为：（答案不唯一，或均可以）
题型09圆的公切线长
【典例1】（2022秋·广东云浮·高二校考期中）已知圆的方程为，圆的方程为.
(1)判断圆与圆是否相交，若相交，求过两交点的直线方程及两交点间的距离；若不相交，请说明理由.
(2)求两圆的公切线长.
【答案】(1)两圆相交，，；
(2).
【详解】（1）圆A：，圆：，
两圆心距，
∵，
∴两圆相交，
将两圆方程左、右两边分别对应相减得：，
此即为过两圆交点的直线方程.
设两交点分别为、，则垂直平分线段，
∵A到的距离，
∴.
（2）设公切线切圆A、圆的切点分别为，，则四边形是直角梯形.
∴，
∴.
【变式1】（2022·高二课时练习）求圆与圆的内公切线所在直线方程及内公切线的长．
【答案】或，8
【详解】，，，．
设内公切线与连心线交于点，则在轴上且．
设，可得，．
设内公切线所在直线方程为，即．
由，得．
所以内公切线所在直线方程为或．
内公切线的长为．
A夯实基础 B能力提升 C综合素养
A夯实基础
一、单选题
1．（2023春·天津北辰·高二天津市第四十七中学校考阶段练习）设圆，圆，则圆，的位置（ ）
A．内切 B．相交 C．外切 D．外离
【答案】D
【详解】圆，化为，圆心为，半径为；
圆，化为，圆心为，半径为；
两圆心距离为：，
，
圆与外离，
故选：D.
2．（2023·山西·校联考模拟预测）已知圆和交于A，B两点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】将和相减得直线，
点到直线的距离，
所以．
故选：B
3．（2023秋·湖南郴州·高二统考期末）与两圆和都相切的直线有（ ）条
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【详解】由题意知，，
所以圆心距,
所以两圆相离，公切线有4条.
故选：D.
4．（2023秋·贵州黔东南·高二凯里一中校考期末）已知圆与圆有两个交点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】由题意知，圆心与圆心，
则圆心距，
因为圆与圆有两个交点，
则圆与圆相交，
则，
解得．
故选：B.
5．（2023秋·高一单元测试）已知点是圆上的一点，过点作圆的切线，则切线长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】切线长，所以当取得最小值时，切线长取得最小值.当 共线且点在之间时，
最小，由于,所以min，
所以.
故选：.

6．（2023春·河南洛阳·高二统考期末）已知点P为直线上的一点，M，N分别为圆：与圆：上的点，则的最小值为（ ）
A．5 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【详解】如图所示，由圆，可得圆心，半径为，
圆，可得圆心，半径为，
可得圆心距，
如图，，
所以，
当共线时，取得最小值，
故的最小值为.

故选：B
7．（2023·全国·高三专题练习）圆：与圆：公切线的条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【详解】根据题意，圆：，即，
其圆心为，半径；
圆：，即，
其圆心为，半径，
两圆的圆心距，所以两圆相外切，
其公切线条数有3条．
故选：C．
8．（2023秋·安徽滁州·高二校联考期末）已知圆：，为直线：上的一点，过点作圆的切线，切点分别为，，当最小时，直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由圆的知识可知，，，，四点共圆，且，
所以，
又，当时，此时取得最小值，
此时直线的方程为，即，
，解得，即.
所以的中点为，
所以以为直径的圆的方程为，
又圆：，即，
两圆的方程相减可得：，即直线的方程为．
故选：D
二、多选题
9．（2023秋·高一单元测试）点在圆：上，点在圆：上，则（ ）
A．的最小值为
B．的最大值为
C．两个圆心所在的直线斜率为
D．两个圆公共弦所在直线的方程为
【答案】AC
【详解】根据题意，圆：，其圆心，半径，
圆：，即，其圆心，半径，
则圆心距，两圆外离，不存在公共弦，故D不正确；
的最小值为，最大值为，
故A正确，B不正确；
对于C，圆心，圆心，
则两个圆心所在直线斜率，故C正确，
故选：AC.
10．（2023春·甘肃兰州·高二兰大附中校考阶段练习）已知圆和圆，则下列结论正确的是（ ）
A．圆与圆外切
B．直线与圆相切
C．直线被圆所截得的弦长为2
D．若分别为圆和圆上一点，则的最大值为10
【答案】ACD
【详解】圆化为，圆心坐标为，半径为2，
圆化为，圆心坐标为，半径为3.
因为两个圆的圆心距为，等于两个圆半径的和，所以两个圆外切，正确.
圆的圆心到直线的距离为，所以直线与圆不相切，错误.
圆的圆心到直线的距离为，直线被圆所截得的弦长为，C正确.
若分别为圆和圆上一点，则的最大值为，正确.
故选：ACD
三、填空题
11．（2023秋·高一单元测试）已知圆与圆内切，则的最小值为_______
【答案】2
【详解】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，
两圆的圆心距，
两圆内切，，可得，
所以．当且仅当时，取得最小值，的最小值为2．
故答案为：2．
12．（2023·天津·高三专题练习）已知圆与圆外切，此时直线被圆所截的弦长为__________．
【答案】
【详解】由题意可得：，
即圆的圆心为，半径为，
即圆心到直线的距离为，
故所截弦长为．
故答案为：
四、解答题
13．（2023秋·高二课时练习）如图，已知点A、B的坐标分别是，点C为线段AB上任一点，P、Q分别以AC和BC为直径的两圆的外公切线的切点，求线段PQ的中点的轨迹方程.

【答案】
【详解】过C作，交于点，则是两圆的内公切线，
因为直线为两圆的外公切线，
由切线长知识可得，，，
所以是线段PQ的中点，
设，则，，，
连接，，，，则
又因为，，，,
所以，，
所以，，
从而可得，所以，
所以，
所以，
因为点是线段上任一点，和为直径，
所以，
所以线段PQ的中点的轨迹方程为.

14．（2023秋·河北保定·高二统考期末）已知圆与圆
(1)求证：圆与圆相交；
(2)求两圆公共弦所在直线的方程；
(3)求经过两圆交点，且圆心在直线上的圆的方程．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【详解】（1）圆，圆心坐标为，半径，
圆化成标准方程为，圆心坐标为，半径，
圆心距，，所以圆与圆相交.
（2）两圆方程相减，得，所以两圆公共弦所在直线的方程为.
（3）设所求圆的方程为，即，圆心坐标为，代入直线可得，解得，所求圆的方程为
B能力提升
1．（2023·黑龙江大庆·大庆实验中学校考模拟预测）已知圆和两点，，若圆C上至少存在一点P，使得，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】圆C：的圆心，半径，
∵圆C上至少存在一点P，使得，
∴圆：与圆O：位置关系为相交，内切或内含，如图所示，
又圆O：的圆心，半径，
则，即，∴．
故选：B．

2．（2023·浙江嘉兴·校考模拟预测）已知动直线与圆交于，两点，且．若与圆相交所得的弦长为，则的最大值与最小值之差为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】D
【详解】由题意可知圆的圆心在圆上，
则当动直线经过圆心，即点或与圆心重合时，如图1，
此时弦长取得最大值，且最大值为；
设线段的中点为，
在中，由，且，则，
则动直线在圆上做切线运动，
所以当动直线与轴垂直，且点的坐标为时，如图2，
此时弦长取得最小值，且最小值为，
所以的最大值与最小值之差为2．
故选：D．
3．（2023·北京通州·统考模拟预测）在平面直角坐标系内，点O是坐标原点，动点B，C满足，，A为线段中点，P为圆任意一点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由，则，
又，且A为线段中点，则，
所以A为圆任意一点，
设圆的圆心为M，则，
又，所以圆O与圆M相离，
所以的几何意义为圆O与圆M这两圆上的点之间的距离，
所以，
，
所以的取值范围为．
故选：A．
4．（2023·全国·高三专题练习）已知平面内的动点，直线：，当变化时点始终不在直线上，点为：上的动点，则的取值范围为（ ）
A． B．
所以点M的轨迹方程为；
（3）依题意有，，
四边形QACB对角互补，所以Q，A，B，C四点共圆， 且QC为圆的直径，
设，则圆心坐标为， 半径为，
则圆的标准方程为 ，
整理得，与圆C的方程联立，
消去二次项得∶，即为直线l的方程，
因为直线过定点，所以，解得：，
所以当m变化时，点Q恒在直线上．
2．（2023春·上海黄浦·高二格致中学校考阶段练习）已知圆和圆
(1)若圆与圆相交于两点，求的取值范围，并求直线的方程（用含有的方程表示）
(2)若直线与圆交于两点，且，求实数的值
【答案】(1)；
(2)
【详解】（1）圆的圆心为，半径为2，圆的圆心为，半径为，
因为圆与圆相交于两点，则，
解得，
与相减得，
直线的方程为；
（2）设，则联立，
得，
则，
则，
，
，
解得，或，
其中不满足，舍去，满足要去，
则实数的值为.
3．（2023·上海·高二专题练习）已知圆C：（x+1）2+y2＝a（a＞0），定点A（m，0），B（0，n），其中m，n为正实数．
(1)当a＝m＝n＝3时，判断直线AB与圆C的位置关系；
(2)当a＝4时，若对于圆C上任意一点P均有PA＝λPO成立（O为坐标原点），求实数m，λ的值；
(3)当m＝2，n＝4时，对于线段AB上的任意一点P，若在圆C上都存在不同的两点M，N，使得点M是线段PN的中点，求实数a的取值范围．
【答案】(1)相离
(2)m＝3，λ＝2
(3)
【详解】（1）当a＝3时，圆心为，半径为，
当m＝n＝3时，直线AB方程为，
∴圆心到直线距离为，
∵，∴直线与圆相离；
（2）设点P（x，y），则，，
∵PA＝λPO，∴，
即，
由得，，∴，
代入得，，
化简得，
∵P为圆C上任意一点，∴，
又m，λ＞0，解得m＝3，λ＝2；
（3）直线AB的方程为，设，N（x，y），
∵点M是线段PN的中点，，
又M，N都在圆C：（x+1）2+y2＝a上，，
即．
∵关于x，y的方程组有解，即以（﹣1，0）为圆心，为半径的圆与以为圆心，为半径的圆有公共点，
∴，
又P为线段AB上的任意一点，∴对所有成立．
而在[0，2]上的值域为，
∴，即．
根据题意可知线段AB与圆C无公共点，∴，则．
故实数a的取值范围为．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑