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第01讲 2.1.1倾斜角与斜率
课程标准 学习目标
①理解直线的倾斜角与斜率的概念。 ②掌握直线的倾斜角的范围与斜率存在的意义.。 ③了解直线的方向向量与直线、直线的斜率的关系。 ④会用两点坐标求直线的斜率。 ⑤在平面直角坐标系中探索确定直线位置的几何要素。 通过本节课的学习，理解直线的倾斜角与斜率的概念，了解直线的方向向量与直线的斜率的关系，会求直线的斜率与倾斜角，掌握确定直线的条件及直线倾斜角与斜率的取值范围.
知识点01：直线倾斜角的定义
以轴为基准，轴正向与直线向上的方向之间所成的角叫做直线的倾斜角.
（1）当直线与轴平行或者重合时，我们规定它的倾斜角为；所以倾斜角的取值范围为：；
特别地，当直线与轴垂直时，直线的倾斜角为.
（2）所有直线都有唯一确定的倾斜角，倾斜角表示的是直线的倾斜程度.
知识点02：直线的斜率
我们把一条直线的倾斜角（） 的正切值叫做这条直线的斜率.
斜率通常用字母表示，即
（1）倾斜角不是的直线都有斜率，倾斜角不同，直线的斜率也不同；
（2）倾斜角时，直线的斜率不存在。
【即学即练1】（2023秋·湖南娄底·高二统考期末）已知直线的倾斜角是，则此直线的斜率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为直线的倾斜角是，
所以此直线的斜率是.
故选:C.
知识点03：斜率与倾斜角的联系
倾斜角 （范围）
斜率 （范围） 不存在
【即学即练2】（2023秋·天津南开·高二天津市第九中学校考期末）图中的直线的斜率分别为，则有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】由图象可得，，
故选：C
知识点04：直线斜率的坐标公式
如果直线经过两点，（），那么可得到如下斜率公式：
（1）当 时，直线与轴垂直，直线的倾斜角，斜率不存在；
（2）斜率公式与两点坐标的顺序无关，横纵坐标的次序可以同时调换；
（3）当 时，斜率，直线的倾斜角，直线与轴重合或者平行。
【即学即练3】（2023·江苏·高二假期作业）经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率．
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)存在，1
(2)存在，
(3)不存在
【详解】（1）由题意，存在，直线AB的斜率．
（2）由题意得，存在，直线CD的斜率．
（3）∵，
∴直线的斜率不存在．
题型01求直线的倾斜角
【典例1】（2023春·江苏泰州·高二靖江高级中学校考阶段练习）已知直线经过，两点，则直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2023秋·浙江温州·高二统考期末）已知是直线的一个方向向量，则该直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2023秋·福建福州·高二统考期末）若直线的方向向量是，则直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023春·上海闵行·高二上海市七宝中学校考开学考试）若直线与直线平行，直线的斜率为，则直线的倾斜角为__________.
题型02直线斜率的定义
【典例1】（2023秋·天津滨海新·高二校考期末）已知直线的倾斜角是，则该直线的斜率是（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2023秋·四川遂宁·高二校考期末）若直线的倾斜角为120°，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2023秋·贵州黔西·高二统考期末）已知直线的倾斜角为，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
题型03斜率与倾斜角变化关系
【典例1】（2023秋·高二课时练习）若如图中的直线的斜率为，则（ ）

A． B． C． D．
【典例2】（2023秋·上海嘉定·高二上海市育才中学校考期末）下列说法正确的是（ ）
A．直线的倾斜角越大，它的斜率越大； B．两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也相等；
C．任何一条直线都有唯一的斜率； D．任何一条直线都有唯一的倾斜角．
【变式1】（2023秋·江西吉安·高二江西省吉水中学校考期末）已知直线经过第二、四象限，则直线的倾斜角的取值范围是（ ）.
A． B． C． D．
【变式2】（2023·江苏·高二假期作业）（多选）如图，在平面直角坐标系中有三条直线，，，其对应的斜率分别为，，，则下列选项中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
题型04已知两点求斜率
【典例1】（2023·江苏·高二假期作业）分别判断经过下列两点的直线的斜率是否存在，如果存在，求出斜率后再求出倾斜角；如果不存在，求出倾斜角．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【变式1】（2023·江苏·高二假期作业）若经过点和的直线的倾斜角是钝角，则实数的取值范围是________．
【变式2】（2023·江苏·高二假期作业）已知．
(1)求直线和的斜率；
(2)若点在线段（包括端点）上移动时，求直线的斜率的变化范围．

题型05已知斜率求参数
【典例1】（2023春·湖北荆州·高二统考阶段练习）若直线经过两点，，且其倾斜角为135°，则的值为（ ）
A．0 B． C． D．
【典例2】（2023春·山东滨州·高一校考阶段练习）过点，的直线的斜率为1，那么的值为（ ）
A．1或4 B．4 C．1或3 D．1
【变式1】（2023春·河南安阳·高二安阳一中校联考开学考试）已知点，直线的倾斜角为，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023秋·高二课时练习）过，两点的直线的倾斜角为，求的值．
题型06利用直线斜率处理共线问题
【典例1】（2023秋·甘肃兰州·高二兰州西北中学校考期末）三点，，在同一条直线上，则值为（ ）
A．2 B． C．或 D．2或
【典例2】（2023春·上海松江·高二上海市松江二中校考期中）已知点，，，若线段，，不能构成三角形，则的值是________.
【变式1】（2023秋·山西临汾·高二统考期末）若三点在同一直线上，则实数等于（ ）
A． B． C．6 D．12
【变式2】（2023·全国·高二专题练习）已知三点，，在同一条直线上，则实数的值为（ ）
A．0 B．5 C．0或5 D．0或-5
题型07求斜率或倾斜角的取值范围
【典例1】（2023春·上海浦东新·高二上海市实验学校校考期中）已知两点，，直线过点，若直线与线段相交，则直线的斜率取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】（2023秋·高二课时练习）直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围是__________．
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）直线过点，且与以、为端点的线段相交，则直线的斜率的取值范围是__________．
【典例4】（2023秋·湖北武汉·高二统考期末）经过点作直线，且直线与连接点，的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是__________．
【变式1】（2023春·四川宜宾·高二宜宾市叙州区第一中学校校考开学考试）已知,,直线过定点,且与线段相交,则直线的斜率的取值范围是( )
A． B． C． D．或
【变式2】（2023秋·江西抚州·高二统考期末）已知坐标平面内三点，为的边上一动点，则直线斜率的变化范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3】（2023·全国·高三专题练习）已知直线的方程为，，则直线的倾斜角范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式4】（2023春·浙江温州·高二校考阶段练习）已知直线斜率为，且，那么倾斜角的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
题型08斜率公式的几何意义的应用
【典例1】（2023·全国·高二专题练习）若实数、满足，，则代数式的取值范围为______
【典例2】（2023·湖南衡阳·校考模拟预测）点在函数的图象上，当，则的取值范围为______.
【变式1】（2023·全国·高三专题练习）点在函数的图象上，当时，的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
A夯实基础 B能力提升 C综合素养
A夯实基础
一、单选题
1．（2023·江苏·高二假期作业）若直线经过点，则直线的倾斜角为（　　）
A．0° B．30°
C．60° D．90°
2．（2023秋·高二课时练习）对于下列命题：①若是直线l的倾斜角，则；②若直线倾斜角为，则它斜率；③任一直线都有倾斜角，但不一定有斜率；④任一直线都有斜率，但不一定有倾斜角．其中正确命题的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2023秋·江苏南京·高二南京大学附属中学校考期末）若直线经过，两点，则直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·全国·高三专题练习）斜拉桥是桥梁建筑的一种形式，在桥梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向与中央索塔一致．如图是阆中市盘龙山嘉陵江大桥，共有10对永久拉索，在索塔两侧对称排列．已知拉索上端相邻两个针的间距（，2，…，9）均为，拉索下端相邻两个针的间距（，2，…，9）均为．最短拉索的针，，满足，，则最长拉索所在直线的斜率约为（ ）（结果保留两位有效数字）
A． B． C． D．
5．（2023·江苏·高二假期作业）已知一直线经过两，，且倾斜角为，则的值为（　　）
A．－6 B．－4
C．0 D．6
6．（2023春·上海浦东新·高二上海师大附中校考阶段练习）已知直线的倾斜角为，斜率为，那么“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（2023秋·四川宜宾·高二四川省宜宾市南溪第一中学校校考期末）设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围为 （ ）
A． B．
C． D．
8．（2023·全国·高三专题练习）1949年公布的《国旗制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点．有人发现，第三颗小星的姿态与大星相近．为便于研究，如图，以大星的中心点为原点，建立直角坐标系，OO1，OO2，OO3，OO4分别是大星中心点与四颗小星中心点的连接线，α≈16°，则第三颗小星的一条边AB所在直线的倾斜角约为（ ）
A．0° B．1° C．2° D．3°
二、多选题
9．（2023秋·湖北黄石·高二校联考期末）在下列四个命题中，错误的有（ ）
A．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率
B．直线的倾斜角的取值范围是
C．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为
D．若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为
10．（2022春·湖南衡阳·高二衡阳市一中校考阶段练习）已知经过点和的直线的倾斜角，则实数的可能取值有（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
三、填空题
11．（2023·江苏·高二假期作业）已知直线的倾斜角，直线与的交点为，直线和向上的方向所成的角为，如图，则直线的倾斜角为________．

12．（2023·全国·高三专题练习）过原点的直线l与曲线交于不同的两点A，B，过A，B作x轴的垂线，与曲线交于C，D两点，则直线CD的斜率为__________．
四、解答题
13．（2023·全国·高二专题练习）求经过下列两点的直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角.
（1）A(0，-1)，B(2，0)；
（2）P(5，-4)，Q(2，3)；
（3）M(3，-4)，N(3，-2).
14．（2023·江苏·高二假期作业）已知两点，过点的直线与线段有公共点．
(1)求直线的斜率的取值范围；
(2)求直线的倾斜角的取值范围．
B能力提升
1．（2023·江苏·高二假期作业）坐标平面内有相异两点，，经过两点的直线的的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022秋·广东深圳·高二深圳中学校考期中）已知点，，若点在线段AB上，则的取值范围（ ）
(3)若是线段上一动点，求的取值范围.
第01讲 2.1.1倾斜角与斜率
课程标准 学习目标
①理解直线的倾斜角与斜率的概念。 ②掌握直线的倾斜角的范围与斜率存在的意义.。 ③了解直线的方向向量与直线、直线的斜率的关系。 ④会用两点坐标求直线的斜率。 ⑤在平面直角坐标系中探索确定直线位置的几何要素。 通过本节课的学习，理解直线的倾斜角与斜率的概念，了解直线的方向向量与直线的斜率的关系，会求直线的斜率与倾斜角，掌握确定直线的条件及直线倾斜角与斜率的取值范围.
知识点01：直线倾斜角的定义
以轴为基准，轴正向与直线向上的方向之间所成的角叫做直线的倾斜角.
（1）当直线与轴平行或者重合时，我们规定它的倾斜角为；所以倾斜角的取值范围为：；
特别地，当直线与轴垂直时，直线的倾斜角为.
（2）所有直线都有唯一确定的倾斜角，倾斜角表示的是直线的倾斜程度.
知识点02：直线的斜率
我们把一条直线的倾斜角（） 的正切值叫做这条直线的斜率.
斜率通常用字母表示，即
（1）倾斜角不是的直线都有斜率，倾斜角不同，直线的斜率也不同；
（2）倾斜角时，直线的斜率不存在。
【即学即练1】（2023秋·湖南娄底·高二统考期末）已知直线的倾斜角是，则此直线的斜率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为直线的倾斜角是，
所以此直线的斜率是.
故选:C.
知识点03：斜率与倾斜角的联系
倾斜角 （范围）
斜率 （范围） 不存在
【即学即练2】（2023秋·天津南开·高二天津市第九中学校考期末）图中的直线的斜率分别为，则有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】由图象可得，，
故选：C
知识点04：直线斜率的坐标公式
如果直线经过两点，（），那么可得到如下斜率公式：
（1）当 时，直线与轴垂直，直线的倾斜角，斜率不存在；
（2）斜率公式与两点坐标的顺序无关，横纵坐标的次序可以同时调换；
（3）当 时，斜率，直线的倾斜角，直线与轴重合或者平行。
【即学即练3】（2023·江苏·高二假期作业）经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率．
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)存在，1
(2)存在，
(3)不存在
【详解】（1）由题意，存在，直线AB的斜率．
（2）由题意得，存在，直线CD的斜率．
（3）∵，
∴直线的斜率不存在．
题型01求直线的倾斜角
【典例1】（2023春·江苏泰州·高二靖江高级中学校考阶段练习）已知直线经过，两点，则直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设直线的倾斜角为，，
则，.
故选：D.
【典例2】（2023秋·浙江温州·高二统考期末）已知是直线的一个方向向量，则该直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为是直线的一个方向向量，故直线的斜率为，
设直线的倾斜角为，则 ，
所以 ，
故选：D
【变式1】（2023秋·福建福州·高二统考期末）若直线的方向向量是，则直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由直线l的方向向量是得直线的斜率为，
设直线的倾斜角是，
故选：B.
【变式2】（2023春·上海闵行·高二上海市七宝中学校考开学考试）若直线与直线平行，直线的斜率为，则直线的倾斜角为__________.
【答案】/
【详解】直线的斜率为
所以直线的倾斜角为，
直线与直线平行
所以直线的倾斜角为.
故答案为：
题型02直线斜率的定义
【典例1】（2023秋·天津滨海新·高二校考期末）已知直线的倾斜角是，则该直线的斜率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题意知：直线的斜率.
故选：A.
【典例2】（2023秋·四川遂宁·高二校考期末）若直线的倾斜角为120°，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】k=tan120°=.
故选：B．
【变式1】（2023秋·贵州黔西·高二统考期末）已知直线的倾斜角为，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题意可得直线l的斜率.
故选：D
题型03斜率与倾斜角变化关系
【典例1】（2023秋·高二课时练习）若如图中的直线的斜率为，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设直线的倾斜角分别为，显然，且，
所以，
又在上单调递增，故，
所以.
故选：C
【典例2】（2023秋·上海嘉定·高二上海市育才中学校考期末）下列说法正确的是（ ）
A．直线的倾斜角越大，它的斜率越大； B．两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也相等；
C．任何一条直线都有唯一的斜率； D．任何一条直线都有唯一的倾斜角．
【答案】D
【详解】对于:直线的倾斜角,,所以错误；
对于:两直线的倾斜角相等为,斜率不存在,所以错误；
对于:当直线的倾斜角为时直线斜率不存在，所以错误；
对于:任何一条直线都有唯一的倾斜角．所以正确.
故选：.
【变式1】（2023秋·江西吉安·高二江西省吉水中学校考期末）已知直线经过第二、四象限，则直线的倾斜角的取值范围是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】直线倾斜角的取值范围是，
又直线经过第二、四象限，
∴直线的倾斜角的取值范围是，
故选：D.
【变式2】（2023·江苏·高二假期作业）（多选）如图，在平面直角坐标系中有三条直线，，，其对应的斜率分别为，，，则下列选项中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【详解】由题图可知，，，，且，可知A，B，C错误.
故选：ABC．
题型04已知两点求斜率
【典例1】（2023·江苏·高二假期作业）分别判断经过下列两点的直线的斜率是否存在，如果存在，求出斜率后再求出倾斜角；如果不存在，求出倾斜角．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)存在，斜率为，倾斜角为；
(2)存在，斜率为，倾斜角为；
(3)存在，斜率为，倾斜角为；
(4)不存在.
【详解】（1）解：因为，
所以经过的直线斜率存在，
所以斜率为，
设倾斜角为，则，故，即倾斜角为
（2）解：因为，
所以经过的直线斜率存在，
所以斜率为，
设倾斜角为，则，故，即倾斜角为.
（3）解：因为，
所以经过的直线斜率存在，
所以斜率为，
设倾斜角为，则，故，即倾斜角为.
（4）解：因为，
所以经过的直线斜率不存在，
【变式1】（2023·江苏·高二假期作业）若经过点和的直线的倾斜角是钝角，则实数的取值范围是________．
【答案】，
【详解】因为直线的倾斜角是钝角，
所以斜率，解得．
所以的取值范围是，．
故答案为：，．
【变式2】（2023·江苏·高二假期作业）已知．
(1)求直线和的斜率；
(2)若点在线段（包括端点）上移动时，求直线的斜率的变化范围．
【答案】(1)直线AB的斜率为，直线AC的斜率为
(2)
【详解】（1）由斜率公式可得直线AB的斜率，
直线AC的斜率，
故直线AB的斜率为，直线AC的斜率为.
（2）如图所示，当D由B运动到C时，直线AD的倾斜角增大且为锐角，
直线AD的斜率由增大到，
所以直线AD的斜率的变化范围是．

题型05已知斜率求参数
【典例1】（2023春·湖北荆州·高二统考阶段练习）若直线经过两点，，且其倾斜角为135°，则的值为（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】D
【详解】经过两点，的直线的斜率为，
又直线的倾斜角为135°，∴，解得．
故选：D
【典例2】（2023春·山东滨州·高一校考阶段练习）过点，的直线的斜率为1，那么的值为（ ）
A．1或4 B．4 C．1或3 D．1
【答案】D
【详解】解：因为直线过点P(2，m)，Q(m，4)，且斜率为1，
所以 ，解得，
故选：D
【变式1】（2023春·河南安阳·高二安阳一中校联考开学考试）已知点，直线的倾斜角为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为直线的倾斜角为，，
可得直线的斜率为，
可得.
故选：C
【变式2】（2023秋·高二课时练习）过，两点的直线的倾斜角为，求的值．
【答案】.
【详解】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率，
又，整理得，
解得或，
当时，，不符合，
当时，，符合，
综上：.
题型06利用直线斜率处理共线问题
【典例1】（2023秋·甘肃兰州·高二兰州西北中学校考期末）三点，，在同一条直线上，则值为（ ）
A．2 B． C．或 D．2或
【答案】D
【详解】由题意可得，
因为A，B，C三点共线，
所以，即，
解得或．
所以的值为2或．
故选：D．
【典例2】（2023春·上海松江·高二上海市松江二中校考期中）已知点，，，若线段，，不能构成三角形，则的值是________.
【答案】
【详解】因为线段，，不能构成三角形，所以三点共线，
显然直线的斜率存在，故，即，解得，
故答案为：4
【变式1】（2023秋·山西临汾·高二统考期末）若三点在同一直线上，则实数等于（ ）
A． B． C．6 D．12
【答案】C
【详解】因为，又，
所以，即.
故选：C.
【变式2】（2023·全国·高二专题练习）已知三点，，在同一条直线上，则实数的值为（ ）
A．0 B．5 C．0或5 D．0或-5
【答案】C
【详解】因为三点，，在同一条直线上，且直线斜率存在，
所以，
解得或
故选：C
题型07求斜率或倾斜角的取值范围
【典例1】（2023春·上海浦东新·高二上海市实验学校校考期中）已知两点，，直线过点，若直线与线段相交，则直线的斜率取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】如图所示：

若直线与线段相交，
则或 ，
因为，，
所以直线的斜率取值范围是.
故选：A.
【典例2】（2023秋·高二课时练习）直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围是__________．
【答案】
【详解】如图：

当直线l的斜率，
直线l的倾斜角的取值范围为：.
故答案为：.
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）直线过点，且与以、为端点的线段相交，则直线的斜率的取值范围是__________．
【答案】
【详解】如下图所示：设过点且与轴垂直的直线交线段于点，设直线的斜率为，
且，，
当点从点移动到点（不包括点）的过程中，直线的倾斜角为锐角，
此时，；
当点从点（不包括点）移动到点的过程中，直线的倾斜角为钝角，
此时，.
综上所述，直线的斜率的取值范围是.
故答案为：.
【典例4】（2023秋·湖北武汉·高二统考期末）经过点作直线，且直线与连接点，的线段总有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是__________．
【答案】
【详解】解：如图，
，，，
，，
则使直线与线段有公共点的直线的斜率 的范围为，，
又直线倾斜角的范围是：，且
直线l的倾斜角的范围为．
故答案为：．
【变式1】（2023春·四川宜宾·高二宜宾市叙州区第一中学校校考开学考试）已知,,直线过定点,且与线段相交,则直线的斜率的取值范围是( )
A． B． C． D．或
【答案】D
【详解】画出图像,如图:
结合图像可知,要保证线段与直线相交
需满足斜率的取值范围: 或
故选:D.
【变式2】（2023秋·江西抚州·高二统考期末）已知坐标平面内三点，为的边上一动点，则直线斜率的变化范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】如图所示，
，
因为为的边上一动点，
所以直线斜率的变化范围是.
故选：D.
【变式3】（2023·全国·高三专题练习）已知直线的方程为，，则直线的倾斜角范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】，则，
设直线的倾斜角为，故，
所以当时，直线的倾斜角；
当时，直线的倾斜角；
综上所述：直线的倾斜角
故选：B
【变式4】（2023春·浙江温州·高二校考阶段练习）已知直线斜率为，且，那么倾斜角的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：直线l的斜率为k，且，
∴，.
∴.
故选：B.
题型08斜率公式的几何意义的应用
【典例1】（2023·全国·高二专题练习）若实数、满足，，则代数式的取值范围为______
【答案】
【详解】
如图，，，，
则，.
因为，可表示点与线段上任意一点连线的斜率，
由图象可知，，
所以有.
故答案为：.
【典例2】（2023·湖南衡阳·校考模拟预测）点在函数的图象上，当，则的取值范围为______.
【答案】
【详解】由表示与点所成直线的斜率，
又由是在部分图象上的动点，
如图所示：可得，则，
所以，即的取值范围为.
故答案为：.

【变式1】（2023·全国·高三专题练习）点在函数的图象上，当时，的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】因为点在函数的图象上，
所以时， ；当时，；
故设
而可看作函数的图象上的点与点 （-1，-2）连线的斜率，
故时，,
而 ,所以
故选：B.
A夯实基础 B能力提升 C综合素养
A夯实基础
一、单选题
1．（2023·江苏·高二假期作业）若直线经过点，则直线的倾斜角为（　　）
A．0° B．30°
C．60° D．90°
【答案】A
【详解】因为两点的纵坐标相等，
所以直线平行于轴，
所以直线的倾斜角为0°．
故选：A
2．（2023秋·高二课时练习）对于下列命题：①若是直线l的倾斜角，则；②若直线倾斜角为，则它斜率；③任一直线都有倾斜角，但不一定有斜率；④任一直线都有斜率，但不一定有倾斜角．其中正确命题的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【详解】对于①：若是直线的倾斜角，则；满足直线倾斜角的定义，则①正确；
对于②：直线倾斜角为且，它的斜率；倾斜角为时没有斜率，所以②错误；
对于③和④：可知直线都有倾斜角，但不一定有斜率；因为倾斜角为时没有斜率，所以③正确；④错误；
其中正确说法的个数为2.
故选：B.
3．（2023秋·江苏南京·高二南京大学附属中学校考期末）若直线经过，两点，则直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由直线经过，两点，可得直线的斜率为，
设直线的倾斜角为，则有，
又，所以.
故选：A.
4．（2023·全国·高三专题练习）斜拉桥是桥梁建筑的一种形式，在桥梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向与中央索塔一致．如图是阆中市盘龙山嘉陵江大桥，共有10对永久拉索，在索塔两侧对称排列．已知拉索上端相邻两个针的间距（，2，…，9）均为，拉索下端相邻两个针的间距（，2，…，9）均为．最短拉索的针，，满足，，则最长拉索所在直线的斜率约为（ ）（结果保留两位有效数字）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】依题意，以直线为x轴，直线为y轴建立平面直角坐标系，如图，
显然，，因此点，
直线的斜率为，由对称性得直线的斜率为，
所以最长拉索所在直线的斜率约为.
故选：C
5．（2023·江苏·高二假期作业）已知一直线经过两，，且倾斜角为，则的值为（　　）
A．－6 B．－4
C．0 D．6
【答案】C
【详解】直线经过两，，．
又直线的倾斜角为，斜率一定存在，
则直线的斜率为
，即．
故选：C．
6．（2023春·上海浦东新·高二上海师大附中校考阶段练习）已知直线的倾斜角为，斜率为，那么“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】由直线的斜率可得，解得，
所以“”是“”的充分不必要条件，
故选：A
7．（2023秋·四川宜宾·高二四川省宜宾市南溪第一中学校校考期末）设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围为 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】设直线的倾斜角为，
则有，，
作出()的图象，如图所示：
由此可得.
故选：A.
8．（2023·全国·高三专题练习）1949年公布的《国旗制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点．有人发现，第三颗小星的姿态与大星相近．为便于研究，如图，以大星的中心点为原点，建立直角坐标系，OO1，OO2，OO3，OO4分别是大星中心点与四颗小星中心点的连接线，α≈16°，则第三颗小星的一条边AB所在直线的倾斜角约为（ ）
A．0° B．1° C．2° D．3°
【答案】C
【详解】∵O，O3都为五角星的中心点，
∴OO3平分第三颗小星的一个角，
又五角星的内角为36°知：∠BAO3＝18°，
过O3作x轴的平行线O3E，如下图，则∠OO3E＝α≈16°，
∴直线AB的倾斜角为18°－16°＝2°.
故选：C
二、多选题
9．（2023秋·湖北黄石·高二校联考期末）在下列四个命题中，错误的有（ ）
A．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率
B．直线的倾斜角的取值范围是
C．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为
D．若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为
【答案】ABCD
【详解】对于A：当直线与x轴垂直时，直线的倾斜角为，斜率不存在，所以A错误；
对于B：直线倾斜角的取值范围是，所以B错误；
对于C：一条直线的斜率为，此直线的倾斜角不一定为，
如的斜率为，它的倾斜角为，所以C错误；
对于D：一条直线的倾斜角为时，它的斜率为或不存在，所以D错误.
故选：ABCD
10．（2022春·湖南衡阳·高二衡阳市一中校考阶段练习）已知经过点和的直线的倾斜角，则实数的可能取值有（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
【答案】ABC
【详解】由题可得，
所以，
结合选项可得实数的可能取值有11,12,13，
故选:ABC.
三、填空题
11．（2023·江苏·高二假期作业）已知直线的倾斜角，直线与的交点为，直线和向上的方向所成的角为，如图，则直线的倾斜角为________．

【答案】
【详解】设直线的倾斜角为，因为和向上的方向所成的角为，
所以，，故．
故答案为：.
12．（2023·全国·高三专题练习）过原点的直线l与曲线交于不同的两点A，B，过A，B作x轴的垂线，与曲线交于C，D两点，则直线CD的斜率为__________．
【答案】
【详解】设，，则点的坐标为，点的坐标为，
点，，共线，
，
即，
可得：，即，
又，
，
故答案为：．
四、解答题
13．（2023·全国·高二专题练习）求经过下列两点的直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角.
（1）A(0，-1)，B(2，0)；
（2）P(5，-4)，Q(2，3)；
（3）M(3，-4)，N(3，-2).
【答案】（1）斜率，倾斜角是锐角；（2）斜率；倾斜角是钝角（3）斜率不存在，倾斜角为90°.
【详解】解：（1）kAB=，
因为kAB>0，所以直线AB的倾斜角是锐角.
（2）kPQ=，
因为kPQ<0，
所以直线PQ的倾斜角是钝角.
（3）因为xM=xN=3，
所以直线MN的斜率不存在，
其倾斜角为90°.
14．（2023·江苏·高二假期作业）已知两点，过点的直线与线段有公共点．
(1)求直线的斜率的取值范围；
(2)求直线的倾斜角的取值范围．
【答案】(1)．
(2)．
【详解】（1）因为，，
所以
因为直线与线段有公共点，
所以由图可知直线的斜率满足或，
所以直线的斜率的取值范围是．

（2）由题意可知直线l的倾斜角介于直线与的倾斜角之间，
因为直线的倾斜角是，直线的倾斜角是，
所以的取值范围是．
B能力提升
1．（2023·江苏·高二假期作业）坐标平面内有相异两点，，经过两点的直线的的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】因为点，是相异两点，
，且，
设直线的倾斜角为，则
当，倾斜角的范围为．
当，倾斜角的范围为．
故选：B
2．（2022秋·广东深圳·高二深圳中学校考期中）已知点，，若点在线段AB上，则的取值范围（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】设，则，
因为点在线段上，所以的取值范围是，
故选：A.
3．（2022秋·黑龙江大庆·高二大庆实验中学校考阶段练习）已知点，若点在线段上，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】可看作与的斜率，
则，，
因为点在线段上，
所以的取值范围为，
故选：A
C综合素养
1．（多选）（2022秋·山东青岛·高二青岛二中校考阶段练习）如图所示，下列四条直线，，，，斜率分别是，，，，倾斜角分别是，，，，则下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【详解】直线，，，，斜率分别是，，，，倾斜角分别是，，，，
由倾斜角定义知，，，，故C正确；
由，知，，，，故B正确；
故选：BC
2．（2022·高二课时练习）台球运动中反弹球技法是常见的技巧，其中无旋转反弹球是最简单的技法，主球撞击目标球后，目标球撞击台边之后按照光线反射的方向弹出，想要让目标球沿着理想的方向反弹，就要事先根据需要确认台边的撞击点，同时做到用力适当，方向精确，这样才能通过反弹来将目标球成功击入袋中.如图，现有一目标球从点无旋转射入，经过轴（桌边）上的点反弹后，经过点，则点的坐标为_______.
【答案】
【详解】设，点关于轴对称的点，
则，，
由题意，三点共线，
，即，解得，故点的坐标为.
故答案为：
3．（2022秋·山西太原·高二山西大附中校考阶段练习）已知坐标平面内三点.
(1)求直线的斜率和倾斜角；
(2)若可以构成平行四边形，且点在第一象限，求点的坐标；
(3)若是线段上一动点，求的取值范围.
【答案】(1)斜率为1，倾斜角为；
(2)；
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