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第03讲 2.2.1直线的点斜式方程和斜截式方程
课程标准 学习目标
①掌握确定直线的几何要素。 ②掌握直线 的点斜式与斜截式方程的确定。 ③解决与直线的点斜式、斜截式有关的 问题.。 通过本节课的学习，要求按题给的条件利用点斜式、斜截式方程的要求求解直线的方程，并能解决与之有关的直线方程的问题.
知识点01：直线的点斜式方程
已知条件（使用前提） 直线过点和斜率（已知一点+斜率）
图示
点斜式方程形式
适用条件 斜率存在（注直线若斜率不存在不可使用该形式直线方程）
1.点斜式方程中的点只要是这条直线上的点,哪一个都可以.
2.当直线与轴平行或重合时,方程可简写为.特别地,轴的方程是;当直线与轴平行或重合时,不能应用点斜式方程.此时可将方程写成.特别地,轴的方程是.
【即学即练1】（2023·高二课时练习）已知直线l经过点，，求直线l的方程，并求直线l在y轴上的截距.
【答案】，.
【详解】依题意，直线的斜率，
直线的方程为，即，当时，，
所以直线的方程为，直线l在y轴上的截距为.
知识点02：直线的斜截式方程
已知条件（使用前提） 直线的斜率为且在轴上的纵截距为（已知斜率+纵截距）
图示
点斜式方程形式
适用条件 斜率存在（注直线若斜率不存在不可使用该形式直线方程）
1.直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况.
2.截距是一个实数,它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标,可以为正数、负数和0.当直线过原点时,它在轴上的截距和在轴上的截距都为0.
3.由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和在轴上的截距,如直线的斜率,在轴上的截距为.
【即学即练2】（2023秋·高二课时练习）倾斜角为，且过点的直线斜截式方程为__________．
【答案】
【详解】因为直线的倾斜角为，则直线的斜率，
所以直线的方程，即.
故答案为：.
题型01直线的点斜式方程
【典例1】（2023秋·高二课时练习）点在直线上的射影为，则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2023秋·高二课时练习）过点且与过点和的直线平行的直线方程为__________．
【典例3】（2023春·新疆塔城·高二统考开学考试）已知的顶点分别为，求：
(1)直线的方程
(2)边上的高所在直线的方程
【变式1】（2023春·江西九江·高二德安县第一中学校考期中）过两点的直线方程为( )
A． B．
C． D．
【变式2】（2023春·广西南宁·高二校联考开学考试）直线过点且与直线垂直，则的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3】（多选）（2023·江苏·高二假期作业）过点，且斜率的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
题型02直线的斜截式方程
【典例1】（2023·高二课时练习）已知直线与两坐标轴围成的三角形面积为6，则值是（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知直线的倾斜角为，且在轴上的截距为，则直线的方程为（　　）
A． B．
C． D．
【典例3】（2023秋·河南周口·高二周口恒大中学校考期末）已知直线与直线互相垂直，直线与直线在轴上的截距相等，则直线的方程为_________.
【变式1】（2023·全国·高三专题练习）直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023·全国·高三专题练习）若直线不经过第二象限，则实数的取值范围为______．
题型03直线的图象
【典例1】（2023秋·甘肃兰州·高二校考期末）直线经过第一、二、四象限，则、、应满足（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2023·高二课时练习）已知，，则下列直线的方程不可能是的是（ ）
A． B．
C． D．
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）若直线的方程中，，，则此直线必不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【变式1】（2023·全国·高二专题练习）方程表示的直线可能是
A． B． C．D．
【变式2】（2023秋·广东惠州·高二统考期末）已知直线的方程是，的方程是（，），则下列各图形中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
题型04直线的位置关系的应用
【典例1】（2023春·上海宝山·高二统考期末）直线过点，且与向量垂直，则直线的方程为______.
【典例2】（2023春·甘肃兰州·高二校考开学考试）菱形的顶点，的坐标分别为，，边所在直线过点．求：
(1)边所在直线的方程；
(2)对角线所在直线的方程．
【典例3】（2023秋·新疆昌吉·高三校考学业考试）已知四边形为平行四边形，，，.
(1)求点的坐标；
(2)若点满足，求直线的方程.
【变式1】（2023·新疆喀什·校考模拟预测）已知，则线段的垂直平分线的一般方程为______.
【变式2】（2023·高二课时练习）已知直线经过点，斜率为，求直线的点法向式、点斜式和一般式方程．
A夯实基础 B能力提升
A夯实基础
一、单选题
1．（2023春·安徽池州·高二池州市第一中学校联考阶段练习）过点且倾斜角为150°的直线l的方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023春·贵州·高二遵义一中校联考阶段练习）经过点，且倾斜角为的直线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023秋·河南商丘·高二商丘市第一高级中学校考期末）经过点且斜率为的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023春·甘肃兰州·高二兰州五十九中校考开学考试）若直线经过第一、二、三象限，则有（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023·全国·高二专题练习）直线经过第二、三、四象限，则斜率和在轴上的截距满足的条件为（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
6．（2023·吉林·统考模拟预测）中，，，，则边上的高所在的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023春·广东东莞·高二校考开学考试）与向量平行，且经过点的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2022·全国·高二假期作业）下列四个结论：
①方程与方程可表示同一条直线；
②直线l过点，倾斜角为,则其方程为；
③直线l过点，斜率为0,则其方程为；
④所有直线都有点斜式和斜截式方程.
其中正确结论的个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多选题
9．（2023·江苏·高二假期作业）(多选)下列四个选项中正确的是（ ）
A．方程与方程y－2＝k(x＋1)可表示同一直线
B．直线l过点P(x1，y1)，倾斜角为90°，则其方程是x＝x1
C．直线l过点P(x1，y1)，斜率为0，则其方程是y＝y1
D．所有的直线都有点斜式和斜截式方程
10．（2022秋·高二课时练习）一次函数，则下列结论正确的有（ ）
A．当时，函数图像经过一、二、三象限
B．当时，函数图像经过一、三、四象限
C．时，函数图像必经过一、三象限
D．时，函数在实数上恒为增函数
三、填空题
11．（2022秋·高二校考课时练习）有一个装有进出水管的容器，每单位时间进出的水量是一定的，设从某时刻开始10分钟内只进水，不出水，在随后的30分钟内既进水又出水，得到时间x(分)与水量y(升)之间的关系如图所示，则y与x的函数关系式为_______

12．（2022秋·新疆阿克苏·高二校考阶段练习）过点，且斜率为的直线的斜截式方程为________．
2．（2022秋·广东广州·高二华南师大附中校考阶段练习）直线，均过点P（1，2），直线过点A（-1，3），且.
(1)求直线，的方程
(2)若与x轴的交点Q，点M（a，b）在线段PQ上运动，求的取值范围
第03讲 2.2.1直线的点斜式方程和斜截式方程
课程标准 学习目标
①掌握确定直线的几何要素。 ②掌握直线 的点斜式与斜截式方程的确定。 ③解决与直线的点斜式、斜截式有关的 问题.。 通过本节课的学习，要求按题给的条件利用点斜式、斜截式方程的要求求解直线的方程，并能解决与之有关的直线方程的问题.
知识点01：直线的点斜式方程
已知条件（使用前提） 直线过点和斜率（已知一点+斜率）
图示
点斜式方程形式
适用条件 斜率存在（注直线若斜率不存在不可使用该形式直线方程）
1.点斜式方程中的点只要是这条直线上的点,哪一个都可以.
2.当直线与轴平行或重合时,方程可简写为.特别地,轴的方程是;当直线与轴平行或重合时,不能应用点斜式方程.此时可将方程写成.特别地,轴的方程是.
【即学即练1】（2023·高二课时练习）已知直线l经过点，，求直线l的方程，并求直线l在y轴上的截距.
【答案】，.
【详解】依题意，直线的斜率，
直线的方程为，即，当时，，
所以直线的方程为，直线l在y轴上的截距为.
知识点02：直线的斜截式方程
已知条件（使用前提） 直线的斜率为且在轴上的纵截距为（已知斜率+纵截距）
图示
点斜式方程形式
适用条件 斜率存在（注直线若斜率不存在不可使用该形式直线方程）
1.直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况.
2.截距是一个实数,它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标,可以为正数、负数和0.当直线过原点时,它在轴上的截距和在轴上的截距都为0.
3.由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和在轴上的截距,如直线的斜率,在轴上的截距为.
【即学即练2】（2023秋·高二课时练习）倾斜角为，且过点的直线斜截式方程为__________．
【答案】
【详解】因为直线的倾斜角为，则直线的斜率，
所以直线的方程，即.
故答案为：.
题型01直线的点斜式方程
【典例1】（2023秋·高二课时练习）点在直线上的射影为，则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意，，，
由点斜式直线方程得直线l的方程为：，即；
故选：C.
【典例2】（2023秋·高二课时练习）过点且与过点和的直线平行的直线方程为__________．
【答案】
【详解】，
由点斜式得，即.
故答案为：.
【典例3】（2023春·新疆塔城·高二统考开学考试）已知的顶点分别为，求：
(1)直线的方程
(2)边上的高所在直线的方程
【答案】(1)
(2)
【详解】（1），，
由点斜式方程可得，
化为一般式可得
（2）由（1）可知，
故AB边上的高线所在直线的斜率为，
又AB边上的高线所在直线过点，
所以方程为，
化为一般式可得.

【变式1】（2023春·江西九江·高二德安县第一中学校考期中）过两点的直线方程为( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】由两点，可得过两点的直线的斜率为，
又由直线的点斜式方程，可得，即.
故选：B.
【变式2】（2023春·广西南宁·高二校联考开学考试）直线过点且与直线垂直，则的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】直线的斜率为，则直线的斜率为，
因此，直线的方程为，即.
故选：C.
【变式3】（多选）（2023·江苏·高二假期作业）过点，且斜率的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【详解】根据直线方程的点斜式可得，，即.
故选：CD.
题型02直线的斜截式方程
【典例1】（2023·高二课时练习）已知直线与两坐标轴围成的三角形面积为6，则值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】对于直线，能与两坐标轴围成三角形，则，
令，得，所以直线与轴交点坐标为，
令，得，所以直线与轴交点坐标为，
所以直线与两坐标轴围成的三角形面积为，
解得.
故选：D
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知直线的倾斜角为，且在轴上的截距为，则直线的方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率，
又直线在轴上的截距为，所以直线的方程为；
故选：C
【典例3】（2023秋·河南周口·高二周口恒大中学校考期末）已知直线与直线互相垂直，直线与直线在轴上的截距相等，则直线的方程为_________.
【答案】
【详解】因为直线l与直线垂直，所以直线l的斜率.
又因为直线在y轴上的截距为6，所以直线l在y轴上的截距为6，
所以直线l的方程为.
故答案为：
【变式1】（2023·全国·高三专题练习）直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：设直线的倾斜角为，
因为直线的斜率为，
所以，又，
所以，
故选：A
【变式2】（2023·全国·高三专题练习）若直线不经过第二象限，则实数的取值范围为______．
【答案】
【详解】由直线不过第二象限需满足，
解得，
所以实数的取值范围为.
故答案为：
题型03直线的图象
【典例1】（2023秋·甘肃兰州·高二校考期末）直线经过第一、二、四象限，则、、应满足（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题意可知直线的斜率存在，方程可变形为，
∵直线经过第一、二、四象限，
∴，
∴且．
故选：A.
【典例2】（2023·高二课时练习）已知，，则下列直线的方程不可能是的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】，
直线的方程在轴上的截距不小于2，且当时，轴上的截距为2，
故D正确，当时，, 故B不正确，当时，或，由图象知AC正确.
故选：B
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）若直线的方程中，，，则此直线必不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【详解】由，，，
知直线斜率，在轴上截距为，
所以此直线必不经过第三象限.
故选：C
【变式1】（2023·全国·高二专题练习）方程表示的直线可能是
A． B． C．D．
【答案】C
【详解】由题意，排除.
当时，，此时直线与轴的交点在轴的负半轴上，排除.
当时，，此时直线与轴的交点在轴的正半轴上，排除，选.
故选：.
【变式2】（2023秋·广东惠州·高二统考期末）已知直线的方程是，的方程是（，），则下列各图形中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：，直线与直线的斜率均存在
直线的斜截式方程为；直线的斜截式方程为
对于A选项，根据直线的图象可知，且，因此直线的斜率应小于0，直线的纵截距应小于0，故A图象不符合；
对于B选项，根据直线的图象可知，且，因此直线的斜率应大于0，在轴上的截距应小于0，故B图象不符合；
对于C选项，根据直线的图象可知，且，因此直线的斜率应大于0，在轴上的截距应大于0，故C图象不符合；
对于D选项，根据直线的图象可知，且，因此直线的斜率应大于0，在轴上的截距应大于0，故D图象符合．
故选：D．
题型04直线的位置关系的应用
【典例1】（2023春·上海宝山·高二统考期末）直线过点，且与向量垂直，则直线的方程为______.
【答案】
【详解】因为直线过点，且与向量垂直，
所以直线的斜率，所以直线的方程为，
即.
故答案为：
【典例2】（2023春·甘肃兰州·高二校考开学考试）菱形的顶点，的坐标分别为，，边所在直线过点．求：
(1)边所在直线的方程；
(2)对角线所在直线的方程．
【答案】(1)2x－y＋15＝0
(2)5x－6y＋1＝0
【详解】（1），∵AD∥BC，∴．
∴AD边所在直线的方程为，即2x－y＋15＝0．
（2）∵．
又∵菱形的对角线互相垂直，∴BD⊥AC，∴．
又∵AC的中点，也是BD的中点，
∴对角线BD所在直线的方程为，即5x－6y＋1＝0．
【典例3】（2023秋·新疆昌吉·高三校考学业考试）已知四边形为平行四边形，，，.
(1)求点的坐标；
(2)若点满足，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设点C的坐标为，则，
∵ABCD为平行四边形，则，
∴，解得，
故点C的坐标为.
（2）由题意可得，
∵，则,即，
∴直线PC的方程为，即.
【变式1】（2023·新疆喀什·校考模拟预测）已知，则线段的垂直平分线的一般方程为______.
【答案】
【详解】因为，所以直线AB的斜率为，
所以AB的垂直平分线的斜率为，AB的中点坐标为，
故线段AB的垂直平分线的方程为：，化为一般式为：.
故答案为：.
【变式2】（2023·高二课时练习）已知直线经过点，斜率为，求直线的点法向式、点斜式和一般式方程．
【答案】点法向式；点斜式；一般式.
【详解】因为直线的斜率为，于是得直线的一个方向向量为，设直线的一个法向量为，
则有，令，得，
所以直线的点法向式方程是，点斜式方程为，一般式方程为.
A夯实基础 B能力提升
A夯实基础
一、单选题
1．（2023春·安徽池州·高二池州市第一中学校联考阶段练习）过点且倾斜角为150°的直线l的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】依题意，直线l的斜率，
故直线l的方程为，
即，
故选：B.
2．（2023春·贵州·高二遵义一中校联考阶段练习）经过点，且倾斜角为的直线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】因为倾斜角为，所以斜率为，由点斜式可得直线的方程为：，化简得.
故选：C
3．（2023秋·河南商丘·高二商丘市第一高级中学校考期末）经过点且斜率为的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由点斜式得，即.
故选：A
4．（2023春·甘肃兰州·高二兰州五十九中校考开学考试）若直线经过第一、二、三象限，则有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】因为直线经过第一、二、三象限，
所以直线的斜率，在y轴上的截距.
故选：A
5．（2023·全国·高二专题练习）直线经过第二、三、四象限，则斜率和在轴上的截距满足的条件为（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】B
【详解】在平面直角坐标系中作出图象，如图所示：

由图可知：，.
故选：B.
6．（2023·吉林·统考模拟预测）中，，，，则边上的高所在的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】设边上的高所在的直线为，
由已知可得，，所以直线l的斜率.
又过，所以的方程为，
整理可得，.
故选：A.
7．（2023春·广东东莞·高二校考开学考试）与向量平行，且经过点的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】依题意可知，所求直线的斜率为，
所以所求直线方程为，即.
故选：A
8．（2022·全国·高二假期作业）下列四个结论：
①方程与方程可表示同一条直线；
②直线l过点，倾斜角为,则其方程为；
③直线l过点，斜率为0,则其方程为；
④所有直线都有点斜式和斜截式方程.
其中正确结论的个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【详解】方程k＝，表示不过的直线，故与方程y－2＝k(x＋1)表示不同直线．
直线l过点P(x1，y1)，倾斜角为，则其斜率不存在，是垂直于x轴的直线．
显然正确的．④所有直线都有点斜式和斜截式方程，是不对的，比如斜率不存在的直线就没有点斜式方程．故①④不正确，②③正确．
故答案选B．
二、多选题
9．（2023·江苏·高二假期作业）(多选)下列四个选项中正确的是（ ）
A．方程与方程y－2＝k(x＋1)可表示同一直线
B．直线l过点P(x1，y1)，倾斜角为90°，则其方程是x＝x1
C．直线l过点P(x1，y1)，斜率为0，则其方程是y＝y1
D．所有的直线都有点斜式和斜截式方程
【答案】BC
【详解】对于A，方程表示直线上去掉点所形成的两条射线，与方程表示的图形不相同，A故错误；
对于B，直线过点，倾斜角为，该直线的斜率不存在，垂直于轴，其方程为，故B正确；
对于C，直线过点，斜率为，则其方程为，即，故C正确；
对于D，若直线垂直于轴，则直线的斜率不存在，该直线没有点斜式和斜截式方程，故D错误.
故选：BC.
10．（2022秋·高二课时练习）一次函数，则下列结论正确的有（ ）
A．当时，函数图像经过一、二、三象限
B．当时，函数图像经过一、三、四象限
C．时，函数图像必经过一、三象限
D．时，函数在实数上恒为增函数
【答案】ABCD
【详解】在一次函数中，若，则图像经过一、二、三象限；
若，则图像经过一、三、四象限；
若，函数图像必经过一、三象限，且函数在实数上恒为增函数；
故选:ABCD.
三、填空题
11．（2022秋·高二校考课时练习）有一个装有进出水管的容器，每单位时间进出的水量是一定的，设从某时刻开始10分钟内只进水，不出水，在随后的30分钟内既进水又出水，得到时间x(分)与水量y(升)之间的关系如图所示，则y与x的函数关系式为_______

【答案】
【详解】当时,直线段过点,
,∴此时方程为.
当时,直线段过点,,
∴此时方程为.即.
故答案为：
12．（2022秋·新疆阿克苏·高二校考阶段练习）过点，且斜率为的直线的斜截式方程为________．
【答案】
【详解】直线的点斜式方程为：，整理可得其斜截式方程为.
故答案为：.
四、解答题
13．（2022秋·四川广安·高二广安二中校考阶段练习）求下列直线方程：
(1)求过点，斜率是3的直线方程.
(2)求经过点，且在轴上截距为2的直线方程.
【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）因为直线过点，且斜率是3，
当且仅当，时取等号，此时的方程为，即；
（2）因为直线与轴、轴的正半轴分别交于点A、点，
所以直线的斜率存在，
可设直线的方程为，
所以，，所以，，
所以，
当且仅当时取等号，此时，
此时直线的方程为，的最小值为4.
2．（2022秋·广东广州·高二华南师大附中校考阶段练习）直线，均过点P（1，2），直线过点A（-1，3），且.
(1)求直线，的方程
(2)若与x轴的交点Q，点M（a，b）在线段PQ上运动，求的取值范围
【答案】(1)，
(2)
【详解】（1）过点，方程为，整理得，
所以，由于，所以，
所以直线的方程为.
（2）由令，解得，所以，
表示与连线的斜率，，
所以的取值范围是.
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