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第04讲 直线的两点式方程
课程标准 学习目标
①理解与掌握两点确定一条直线的公 理。 ②掌握两点式方程的公式及其条件，并能应用公式求直线的方。 ③理解与掌握直线的截距式方程的公式 及其条件，并能应用公式求直线的方程。 通过本节课的学习，理解与掌握直线确定的几何意义，利用好确定直线的两个几何要素，会求直线方程，并能解决与之有关的问题.
知识点01：直线的两点式方程
已知条件（使用前提） 直线上的两点，（，）（已知两点）
图示
点斜式方程形式
适用条件 斜率存在且不为0； 当直线没有斜率()或斜率为时，不能用两点式求出它的方程
1.当过两点,的直线斜率不存在()或斜率为0()时,不能用两点式方程表示.
2.在记忆和使用两点式方程时,必须注意坐标的对应关系,即,是同一个点的坐标,是另一个点的坐标.
【即学即练1】（2023秋·高二课时练习）直线l过点，则直线l的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为，则线l的方程为，整理得，
所以直线l的方程为.
故选：D.
知识点02：直线的截距式方程
已知条件（使用前提） 直线在轴上的截距为，在轴上的截距为
图示
点斜式方程形式
适用条件 ，
直线的截距式方程是直线的两点式方程的特殊情况,由直线的截距式方程可以直接读出直线在轴和轴上的截距,所以截距式在解决直线与坐标轴围成的三角形的面积和周长问题时非常方便.
【即学即练2】（2023·江苏·高二假期作业）过两点的直线方程是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】根据直线的截距式可知直线方程为：
故选：C
知识点03：中点坐标公式
若点的坐标分别为，且线段的中点的坐标为，则．此公式为线段的中点坐标公式．
【即学即练3】（2023·全国·高二专题练习）的三个顶点是，，，求：
边BC上的中线所在直线的方程；
【答案】（1）
【详解】（1）BC的中点坐标为
则边BC上的中线所在直线的方程为；
题型01 直线的两点式和截距式方程辨析
【典例1】（多选）（2023秋·广东广州·高一广州市第十七中学校考期中）下列说法正确的是（ ）
A．点斜式可以表示任何直线
B．过、两点的直线方程为
C．直线与直线相互垂直．
D．直线在轴上的截距为
【典例2】（多选）（2023·全国·高二专题练习）下列说法正确的是（ ）
A．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是
B．若三条直线不能构成三角形，则实数的取值集合为
C．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为或
D．过两点的直线方程为
【变式1】（多选）（2023·全国·高二专题练习）下列说法正确的是（ ）
A．不能表示过点且斜率为的直线方程
B．在轴，轴上的截距分别为，的直线方程为
C．直线与轴的交点到原点的距离为
D．过两点，的直线方程为
【变式2】（多选）（2023·江苏·高二假期作业）下列说法错误的是（ ）
A．过定点的直线都可用方程表示
B．过定点的直线都可用方程表示
C．过任意两个点，的直线都可用方程
表示
D．不过原点的直线都可用方程表示
题型02 直线的两点式方程（已知两点求直线，建议转化为点斜式求解）
【典例1】（2023秋·浙江温州·高二统考期末）过两点，的直线在轴上的截距为（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）过两点和的直线在轴上的截距为（ ）
A． B． C． D．
【典例3】（2023·江苏·高二假期作业）已知，，，在中，
(1)求边所在的直线方程；
(2)求边上的中线所在直线的方程．
【变式1】（2023·全国·高三专题练习）已知直线过点，，则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023·高三课时练习）经过点和点的直线方程是______.
【变式3】（2023·江苏·高二假期作业）已知点)，，则过点且过线段的中点的直线方程为______
题型03直线的截距式方程
【典例1】（2023秋·高二课时练习）过点且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是（ ）
A． B． C． D．或
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）过点(2，1)且在轴上截距与在轴上截距之和为6的直线方程为______________.
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）求过点，且在轴上的截距是轴上的截距的2倍的直线的方程．
【变式1】（2023秋·辽宁沈阳·高二东北育才双语学校校考期末）过点在两坐标轴上的截距相等的直线方程是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【变式3】（2023·上海·高二专题练习）求过点，并且在两轴上的截距相等的直线方程_______．
【变式3】（2023·江苏·高二假期作业）根据下列条件写出直线方程，并化为一般式：
在轴上的截距分别为，.
题型04直线与坐标轴围成图形面积（定值）问题
【典例1】（2023秋·广东广州·高一广州市第十七中学校考期中）过点作直线，与两坐标轴相交所得三角形面积为1，则直线有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【典例2】（2023·全国·高二专题练习）若直线与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，且此三角形的面积为18，则直线的方程为________.
【典例3】（2023·高三课时练习）已知点关于轴的对称点为，关于原点的对称点为.
(1)求中过，边上中点的直线方程；
(2)求的面积.
【典例4】（2023秋·安徽合肥·高二校考期末）如图所示，已知是以为底边的等腰三角形，点，，点在直线：上．
（1）求边上的高所在直线的方程；
（2）设直线与轴交于点，求的面积．
【变式1】（2023·高二课时练习）若直线过点且与两坐标轴所围成的三角形的面积为，则这样的直线有______条.
【变式2】（2023·全国·高二专题练习）已知直线的斜率为－1，且它与两坐标轴围成的三角形的面积为，求直线的方程．
【变式3】（2023春·高二单元测试）直线过点，且与两轴围成的三角形面积为4，求直线的方程.
【变式4】（2023春·上海浦东新·高二上海市实验学校校考期中）设直线的方程为.
（1）若在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程；
（2）若与两坐标轴围成的三角形的面积为1，求的值.
题型05直线与坐标轴围成图形面积（最值）问题
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系内，经过点的直线分别与轴、轴的正半轴交于，两点，则面积最小值为______．
【典例2】（2023·全国·高二专题练习）已知直线的方程为：．
(1)求证：不论为何值，直线必过定点；
(2)过点引直线，使它与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积最小，求的方程．
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）已知直线过点，且分别与轴的正半轴、轴的正半轴交于两点，为原点，当面积最小时，求直线的方程．
【典例4】（2023·高二课时练习）已知一条动直线，
(1)求证：直线l恒过定点，并求出定点的坐标；
(2)若直线与、轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，是否存在直线同时满足下列条件：①的周长为；②的面积为.若存在，求出方程；若不存在，请说明理由.
【变式1】（2023·全国·高二专题练习）已知直线：
（1）若直线的斜率是2，求的值；
（2）当直线与两坐标轴的正半轴围成三角形的面积最大时，求此直线的方程．
【变式1】（2023·江苏·高二假期作业）已知直线经过点，求这条直线的方程．
A夯实基础 B能力提升
A夯实基础
一、单选题
1．（2023秋·安徽阜阳·高二安徽省颍上第一中学校考期末）过点和点的直线在上的截距为（ ）
A．1 B．2 C． D．
2．（2023·高二课时练习）已知直线在两坐标轴上的截距相等，则实数（ ）
A．1 B． C．或1 D．2或1
3．（2022·高二课时练习）在x轴，y轴上的截距分别是－3，4的直线方程是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2022·全国·高二专题练习）已知直线l经过、两点，点在直线l上，则m的值为（ ）
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
5．（2022·全国·高二专题练习）经过两点、的直线方程都可以表示为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022秋·高二校考课时练习）已知的三个顶点分别为，M为AB的中点，则中线CM所在直线的方程为( )
A． B．
C． D．
7．（2022·全国·高二专题练习）经过点A（3，4）且在两坐标轴上的截距绝对值相等的直线方程为（ ）
A．或 B．或或
C．或 D．或或
二、多选题
8．（2023秋·江西吉安·高二江西省安福中学校考期末）过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
9．（2023春·海南·高二统考学业考试）若直线经过点，且与坐标轴围成的三角形面积为2，则的方程可能是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
10．（2023秋·高二课时练习）已知直线经过点，且它在x轴上的截距为1，则直线的方程为__________．
11．（2023秋·湖北孝感·高二统考期末）已知直线l的斜率为，且和坐标轴围成的三角形的面积为3，则直线l的方程为___________.
四、解答题
12．（2023·全国·高二专题练习）已知△ABC的三个顶点分别为A（﹣3，0），B（2，1），C（﹣2，3），试求：
（1）边AC所在直线的方程；
（2）BC边上的中线AD所在直线的方程；
（3）BC边上的高AE所在直线的方程.
13．（2023秋·高二课时练习）已知直线l的倾斜角为锐角，并且与坐标轴围成的三角形的面积为6，周长为12，求直线l的方程．
B能力提升
1．（2023·上海·高二专题练习）过点作直线分别交x轴，y轴正半轴于A，B两点，O为坐标原点.
(1)当△AOB面积最小时，求直线的方程；
(2)当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线的方程.
2．（2023·江苏·高二假期作业）直线l过点P(，2)且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点.
(1)当△AOB的周长为12时，求直线l的方程；
(2)当△AOB的面积为6时，求直线l的方程.
第04讲 直线的两点式方程
课程标准 学习目标
①理解与掌握两点确定一条直线的公 理。 ②掌握两点式方程的公式及其条件，并能应用公式求直线的方。 ③理解与掌握直线的截距式方程的公式 及其条件，并能应用公式求直线的方程。 通过本节课的学习，理解与掌握直线确定的几何意义，利用好确定直线的两个几何要素，会求直线方程，并能解决与之有关的问题.
知识点01：直线的两点式方程
已知条件（使用前提） 直线上的两点，（，）（已知两点）
图示
点斜式方程形式
适用条件 斜率存在且不为0； 当直线没有斜率()或斜率为时，不能用两点式求出它的方程
1.当过两点,的直线斜率不存在()或斜率为0()时,不能用两点式方程表示.
2.在记忆和使用两点式方程时,必须注意坐标的对应关系,即,是同一个点的坐标,是另一个点的坐标.
【即学即练1】（2023秋·高二课时练习）直线l过点，则直线l的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为，则线l的方程为，整理得，
所以直线l的方程为.
故选：D.
知识点02：直线的截距式方程
已知条件（使用前提） 直线在轴上的截距为，在轴上的截距为
图示
点斜式方程形式
适用条件 ，
直线的截距式方程是直线的两点式方程的特殊情况,由直线的截距式方程可以直接读出直线在轴和轴上的截距,所以截距式在解决直线与坐标轴围成的三角形的面积和周长问题时非常方便.
【即学即练2】（2023·江苏·高二假期作业）过两点的直线方程是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】根据直线的截距式可知直线方程为：
故选：C
知识点03：中点坐标公式
若点的坐标分别为，且线段的中点的坐标为，则．此公式为线段的中点坐标公式．
【即学即练3】（2023·全国·高二专题练习）的三个顶点是，，，求：
边BC上的中线所在直线的方程；
【答案】（1）
【详解】（1）BC的中点坐标为
则边BC上的中线所在直线的方程为；
题型01 直线的两点式和截距式方程辨析
【典例1】（多选）（2023秋·广东广州·高一广州市第十七中学校考期中）下列说法正确的是（ ）
A．点斜式可以表示任何直线
B．过、两点的直线方程为
C．直线与直线相互垂直．
D．直线在轴上的截距为
【答案】CD
【详解】对于A选项，点斜式不表示与轴垂直的直线，A错；
对于B选项，过、两点且斜率不为零的直线方程为，B错；
对于C选项，直线的斜率为，直线的斜率为，
所以，，故直线与直线相互垂直，C对；
对于D选项，直线在轴上的截距为，D对.
故选：CD.
【典例2】（多选）（2023·全国·高二专题练习）下列说法正确的是（ ）
A．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是
B．若三条直线不能构成三角形，则实数的取值集合为
C．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为或
D．过两点的直线方程为
【答案】AD
【详解】A选项：直线与轴和轴的交点分别为和，三角形面积为，A选项正确；
B选项：三条直线不能构成三角形，可得或或直线过点，解得或或，B选项错误；
C选项：当直线经过坐标原点时，，当直线不经过坐标原点时，设直线方程为，代入点，即，解得，故直线为，C选项错误；
D选项：由两点式方程可直接判断D选项正确；
故选：AD.
【变式1】（多选）（2023·全国·高二专题练习）下列说法正确的是（ ）
A．不能表示过点且斜率为的直线方程
B．在轴，轴上的截距分别为，的直线方程为
C．直线与轴的交点到原点的距离为
D．过两点，的直线方程为
【答案】AD
【详解】＝k表示过点M（x1，y1）且斜率为k的直线去掉点，A正确；
在x轴，y轴上的截距分别为a，b，只有时，直线方程为，B错误；
直线y＝kx+b与y轴的交点坐标是，交点到原点的距离为，C错误；
过两点A（x1，y1）B（x2，y2）的直线
当时，直线方程为，变形为，
当时，直线方程为，也适合方程，
所以D正确．
故选：AD．
【变式2】（多选）（2023·江苏·高二假期作业）下列说法错误的是（ ）
A．过定点的直线都可用方程表示
B．过定点的直线都可用方程表示
C．过任意两个点，的直线都可用方程
表示
D．不过原点的直线都可用方程表示
【答案】ABD
【详解】因为直线与轴垂直时不能用点斜式与斜截式表示，所以选项AB不正确；
因为直线与坐标轴垂直时不能与截距式表示，所以选项D不正确；
C选项，过任意两个点，的直线，斜率存在时，方程为，可化为；斜率不存在时，，直线方程为也满足，故C正确；
故选：ABD.
题型02 直线的两点式方程（已知两点求直线，建议转化为点斜式求解）
【典例1】（2023秋·浙江温州·高二统考期末）过两点，的直线在轴上的截距为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】过两点，的直线的为，
令，解得：，
故选：A.
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）过两点和的直线在轴上的截距为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题可知直线方程为：，即，
令x=0，则，故直线在y轴上的截距为.
故选：C.
【典例3】（2023·江苏·高二假期作业）已知，，，在中，
(1)求边所在的直线方程；
(2)求边上的中线所在直线的方程．
【答案】(1)2x＋5y＋10＝0
(2)10x＋11y＋8＝0
【详解】（1）BC边过两点B(5，－4)，C(0，－2)，
由两点式，得＝，即2x＋5y＋10＝0，
故BC边所在的直线方程为2x＋5y＋10＝0．
（2）设BC的中点为M(a，b)，
则a＝＝，b＝＝－3，所以，
又BC边的中线过点A(－3，2)，
所以＝，即10x＋11y＋8＝0，
所以BC边上的中线所在直线的方程为10x＋11y＋8＝0．
【变式1】（2023·全国·高三专题练习）已知直线过点，，则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由直线的两点式方程可得，
直线l的方程为，即．
故选：C．
【变式2】（2023·高三课时练习）经过点和点的直线方程是______.
【答案】
【详解】经过点和点的直线方程是：，
整理得.
故答案为：
【变式3】（2023·江苏·高二假期作业）已知点)，，则过点且过线段的中点的直线方程为______
【答案】
【详解】A、B中点坐标为，与点C横纵坐标均不相同，代入两点式得：，
化简得：.
题型03直线的截距式方程
【典例1】（2023秋·高二课时练习）过点且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】D
【详解】设直线在x，y轴上的截距分别为，则，
若，即直线过原点，设直线为，
代入，即，解得，
故直线方程为；
若，设直线为，
代入，即，解得，
故直线方程为，即；
综上所述：直线方程为或.
故选：D.
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）过点(2，1)且在轴上截距与在轴上截距之和为6的直线方程为______________.
【答案】x＋y－3＝0或x＋2y－4＝0
【详解】由题意可直线的斜率存在且不为0，设直线方程为，
则有，解得a＝b＝3，或a＝4，b＝2.
直线方程为x＋y－3＝0或x＋2y－4＝0.
故答案为：x＋y－3＝0或x＋2y－4＝0
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）求过点，且在轴上的截距是轴上的截距的2倍的直线的方程．
【答案】或．
【详解】①当直线在两坐标轴上的截距均为0时，因为直线过点，
所以直线的方程为；
②当直线在两坐标轴上的截距均不为0时，设直线在轴上的截距为，
则在轴上的截距为，则直线的方程为，
又直线过点，
∴，
解得，
∴直线的方程为．
综上;直线的方程为或．
【变式1】（2023秋·辽宁沈阳·高二东北育才双语学校校考期末）过点在两坐标轴上的截距相等的直线方程是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
【详解】当截距时，设直线方程为，
将，代入得，∴方程为
当截距时，过原点和点的直线方程为
又且在两坐标轴上的截距相等，
∴过点A且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为和
故选：D.
【变式3】（2023·上海·高二专题练习）求过点，并且在两轴上的截距相等的直线方程_______．
【答案】或
【详解】当直线经过原点时，直线的方程为，化为，
当直线不经过原点时，设直线的截距式为，
把点代入可得：，解得，
所以直线的方程为：，
综上所述，所求直线方程为或.
故答案为：或.
【变式3】（2023·江苏·高二假期作业）根据下列条件写出直线方程，并化为一般式：
在轴上的截距分别为，.
【答案】.
【详解】由直线的截距式方程可知，所求直线方程，化为一般式方程为.
题型04直线与坐标轴围成图形面积（定值）问题
【典例1】（2023秋·广东广州·高一广州市第十七中学校考期中）过点作直线，与两坐标轴相交所得三角形面积为1，则直线有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】B
【详解】由题意可知，直线的斜率存在，则设直线的方程为，
令，解得；令，解得.
，
化为，即①，②，
由于方程①，方程②无解，可得两个方程共有2个不同的解.
因此直线共有2条.
故选：B.
【典例2】（2023·全国·高二专题练习）若直线与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，且此三角形的面积为18，则直线的方程为________.
【答案】或
【详解】解：因为直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，
所以直线l在两坐标轴上的截距的绝对值相等且不为0.
设直线方程为，则.
因为，即，所以，
所以时，，当时，，
所以直线方程为或.
故答案为: 或.
【典例3】（2023·高三课时练习）已知点关于轴的对称点为，关于原点的对称点为.
(1)求中过，边上中点的直线方程；
(2)求的面积.
【答案】(1)x﹣5y﹣5＝0
(2)10
【详解】（1）∵点A（5，1）关于x轴的对称点为B（x1，y1），∴B（5，﹣1），
又∵点A（5，1）关于原点的对称点为C（x2，y2），∴C（﹣5，﹣1），
∴AB的中点坐标是（5，0），BC的中点坐标是（0，﹣1）．
过（5，0），（0，﹣1）的直线方程是，
整理得x﹣5y﹣5＝0．
（2）由题意知|AB|＝|﹣1﹣1|＝2，|BC|＝|﹣5﹣5|＝10，AB⊥BC，
∴△ABC的面积．
【典例4】（2023秋·安徽合肥·高二校考期末）如图所示，已知是以为底边的等腰三角形，点，，点在直线：上．
（1）求边上的高所在直线的方程；
（2）设直线与轴交于点，求的面积．
【答案】（1）；（2）1．
【详解】（1）因为是以AB为底边的等腰三角形，
所以E为AB的中点，所以，
因为，所以
所以直线CE：，即
所以AB边上的高CE所在直线的方程为；
（2），解得，所以，
所以直线AC：，即，
又因为，所以点D到直线AC的距离，
又，所以.
【变式1】（2023·高二课时练习）若直线过点且与两坐标轴所围成的三角形的面积为，则这样的直线有______条.
【答案】
【详解】解：依题意直线在坐标轴上的截距均不为，设直线的截距式为，
∵直线经过点，且与两坐标轴所围成的三角形的面积为，
∴，解得，或，或，
所以直线的条数为条．
故答案为：
【变式2】（2023·全国·高二专题练习）已知直线的斜率为－1，且它与两坐标轴围成的三角形的面积为，求直线的方程．
【答案】y＝－x＋1或y＝－x－1．
【详解】解：设直线l的方程为y＝－x＋b，则它与两个坐标轴的交点为A(b，0)和B(0，b)，所以围成的两个直角边长都为|b|，
故其面积为，
由，解得b＝±1，
故所求直线的方程为y＝－x＋1或y＝－x－1．
【变式3】（2023春·高二单元测试）直线过点，且与两轴围成的三角形面积为4，求直线的方程.
【答案】或
【详解】解：由题意知，直线的斜率存在且不为0.设直线.
设此直线与轴、轴的交点分别为，则点的坐标分别为
因此面积为，
即.
若，得，无解；
若，得.
解方程，得或.
所以，直线，即；
或直线，即.
【变式4】（2023春·上海浦东新·高二上海市实验学校校考期中）设直线的方程为.
（1）若在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程；
（2）若与两坐标轴围成的三角形的面积为1，求的值.
【答案】（1）或（2）
【详解】（1）由题意知，
当直线过原点时，该直线在两条坐标轴上的截距都为0，
此时，直线的方程为；
当直线不过原点时，由截距相等，得，则，
直线的方程为，
综上所述，所求直线的方程为或.
（2）由题意知，直线在轴，轴上的截距分别为、，
，
解得.
题型05直线与坐标轴围成图形面积（最值）问题
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系内，经过点的直线分别与轴、轴的正半轴交于，两点，则面积最小值为______．
【答案】12
【详解】设直线的方程，由过点可得，则有；；；
解得：，当且仅当：时，，时取等号；
所以
故答案为：12
【典例2】（2023·全国·高二专题练习）已知直线的方程为：．
(1)求证：不论为何值，直线必过定点；
(2)过点引直线，使它与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积最小，求的方程．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：原方程整理得：．
由，可得，
不论为何值，直线必过定点
（2）解：设直线的方程为．
令令．
．
当且仅当，即时，三角形面积最小．
则的方程为．
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）已知直线过点，且分别与轴的正半轴、轴的正半轴交于两点，为原点，当面积最小时，求直线的方程．
【答案】x＋2y－4＝0
【详解】方法一：由题意可得直线的斜率存在，设直线的方程为，
则，
所以
，
当且仅当，即时，取等号，
故直线的方程为，
即.
方法二：设直线：，
因为直线l过点，
所以，
则，所以，当且仅当时取等号，
所以的最小值为，
此时，故直线的方程为，
即.
【典例4】（2023·高二课时练习）已知一条动直线，
(1)求证：直线l恒过定点，并求出定点的坐标；
(2)若直线与、轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，是否存在直线同时满足下列条件：①的周长为；②的面积为.若存在，求出方程；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析，定点；
(2)存在，且直线方程为.
【详解】（1）证明：将直线方程变形为，
由，可得，
因此，直线恒过定点.
（2）解：设点A的坐标为，若，则，
则、，直线的斜率为，
故直线的方程为，即，
此时直线与轴的交点为，则，，，
此时的周长为.
所以，存在直线满足题意.
【变式1】（2023·全国·高二专题练习）已知直线：
（1）若直线的斜率是2，求的值；
（2）当直线与两坐标轴的正半轴围成三角形的面积最大时，求此直线的方程．
【答案】（1）m＝－4；（2）x＋y－2＝0.
【详解】解：(1)直线l过点(m，0)，(0，4－m)，
则，解得m＝－4.
(2)由m＞0，4－m＞0，得0＜m＜4，
则.
当m＝2时，S有最大值，
故直线l的方程为x＋y－2＝0.
【变式2】（2023·全国·高三专题练习）已知直线方程为．
(1)若直线的倾斜角为，求的值；
(2)若直线分别与轴、轴的负半轴交于、两点，为坐标原点，求面积的最小值及此时直线的方程．
【答案】(1)；
(2)面积的最小值为，此时直线的方程为.
【详解】（1）解：由题意可得.
（2）解：在直线的方程中，令可得，即点，
令可得，即点，
由已知可得，解得，
所以，
，
当且仅当时，等号成立，此时直线的方程为，即.
【变式3】（2023·高二课时练习）已知直线过点．
(1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程；
(2)若与轴正半轴的交点为，与轴正半轴的交点为，求（为坐标原点）面积的最小值．
【答案】(1)或
(2)12
【详解】（1）当直线经过原点时，直线的斜率为，所以直线的方程为，即；
当直线不过原点时，设直线的方程为，代入点可得，
所以所求直线方程为，即．
综上可得，所求直线方程为：或．
（2）依题意，设点，（，），直线的方程为，
又点在直线上，于是有，
利用基本不等式，即，当且仅当，时等号成立，
，即的面积的最小值为12．
题型06重点方法（分类讨论）
【典例1】（多选）（2023秋·安徽阜阳·高二统考期末）已知直线：在轴和轴上的截距相等，则的值可能是（ ）
A．1 B．
C．2 D．
【答案】AD
【详解】当时，直线为不符合题意，所以，
若直线过原点，则，解得；
若直线不过原点，令可得；令可得；
所以在轴上的截距为，在轴上的截距为，
所以，可得，
综上所述：的值可能是1或.
故选：AD.
【典例2】（2022秋·广东深圳·高二校考期中）已知的顶点，，．
(1)求边上的中线所在直线的方程；
(2)求经过点，且在轴上的截距和轴上的截距相等的直线的方程．
【答案】(1)
(2)或．
【详解】（1）线段的中点为，
则中线所在直线方程为：，即.
（2）设两坐标轴上的截距为，
若，则直线经过原点，斜率，
直线方程为，即；
若，则设直线方程为，即，
把点代入得，即，直线方程为；
综上，所求直线方程为或．
【变式1】（2023·江苏·高二假期作业）已知直线经过点，求这条直线的方程．
【答案】当时，直线方程为；当时，直线方程为．
【详解】由直线经过点，可知该直线的斜率不可能为零，但有可能不存在．
①当直线斜率不存在，即时，直线方程为；
②当直线斜率存在，即时，利用两点式，可得直线方程为，即．
综上所述，当时，直线方程为；当时，直线方程为．
A夯实基础 B能力提升
A夯实基础
一、单选题
1．（2023秋·安徽阜阳·高二安徽省颍上第一中学校考期末）过点和点的直线在上的截距为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】A
【详解】过点和点的直线方程为即，
故直线在上的截距为1，
故选：A
2．（2023·高二课时练习）已知直线在两坐标轴上的截距相等，则实数（ ）
A．1 B． C．或1 D．2或1
【答案】D
【详解】当时，直线，此时不符合题意，应舍去；
当时，直线，在轴与轴上的截距均为0，符合题意；
当且，由直线可得：横截距为，纵截距为.
由，解得：.
故的值是2或1.
故选：D
3．（2022·高二课时练习）在x轴，y轴上的截距分别是－3，4的直线方程是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】由截距式方程可得，所求直线方程为．
故选：A．
4．（2022·全国·高二专题练习）已知直线l经过、两点，点在直线l上，则m的值为（ ）
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
【答案】C
【详解】由题意知不与轴平行，故由直线的两点式方程可得，解得：，
故选：C
5．（2022·全国·高二专题练习）经过两点、的直线方程都可以表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】当经过、的直线不与轴平行时，所有直线均可以用，
由于可能相等，所以只有选项C满足包括与轴平行的直线.
故选:C
6．（2022秋·高二校考课时练习）已知的三个顶点分别为，M为AB的中点，则中线CM所在直线的方程为( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】点M的坐标为(2,1)，由直线的两点式方程得，即.
故选：D
7．（2022·全国·高二专题练习）经过点A（3，4）且在两坐标轴上的截距绝对值相等的直线方程为（ ）
A．或 B．或或
C．或 D．或或
【答案】B
【详解】①当直线经过原点时，斜率，所以直线方程为：，即；
②当直线在两坐标轴上的截距相等时，设直线方程为，将点代入，的，解得，所以直线方程为：，即；
③当直线在两坐标轴上的截距互为相反数时，设直线方程为，将点代入，的，解得，所以直线方程为：，即；
综上所述，直线方程为：或或.
故选：B.
二、多选题
8．（2023秋·江西吉安·高二江西省安福中学校考期末）过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【详解】当直线过坐标原点时，直线方程为；
当直线不过坐标原点时，设直线方程为，代入点可得，
即.
故选：AC.
9．（2023春·海南·高二统考学业考试）若直线经过点，且与坐标轴围成的三角形面积为2，则的方程可能是（ ）
A． B．
试求：
（1）边AC所在直线的方程；
（2）BC边上的中线AD所在直线的方程；
（3）BC边上的高AE所在直线的方程.
【答案】（1）3x﹣y+9＝0（2）2x﹣3y+6＝0（3）2x﹣y+6＝0
【详解】（1）∵A（﹣3，0），C（﹣2，3），
故边AC所在直线的方程为：，
即3x﹣y+9＝0，
（2）BC边上的中点D（0，2），
故BC边上的中线AD所在直线的方程为，
即2x﹣3y+6＝0，
（3）BC边斜率k，
故BC边上的高AE的斜率k＝2，
故BC边上的高AE所在直线的方程为y＝2（x+3），
即2x﹣y+6＝0.
13．（2023秋·高二课时练习）已知直线l的倾斜角为锐角，并且与坐标轴围成的三角形的面积为6，周长为12，求直线l的方程．
【答案】直线l的方程为或或或．
【详解】设直线l在x，y的截距分别为，
由题意可得，解得或，
又因为直线l的倾斜角为锐角，则直线l的斜率，即，
可得或或或，
所以直线l的方程为或或或
B能力提升
1．（2023·上海·高二专题练习）过点作直线分别交x轴，y轴正半轴于A，B两点，O为坐标原点.
(1)当△AOB面积最小时，求直线的方程；
(2)当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线的方程.
【答案】（1）；（2）
【详解】由题意设，，其中，为正数，可设直线的截距式为，直线过点，，
（1）由基本不等式可得，解得：，当且仅当，即且时，上式取等号，
面积，则当，时，面积最小，此时直线的方程为，即，
（2）由于，当且仅当，即且时取等号，
所以当，时，的值最小，此时直线的方程为，即．
2．（2023·江苏·高二假期作业）直线l过点P(，2)且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点.
(1)当△AOB的周长为12时，求直线l的方程；
(2)当△AOB的面积为6时，求直线l的方程.
【答案】(1) 3x＋4y－12＝0或15x＋8y－36＝0. (2) 3x＋4y－12＝0或3x＋y－6＝0.
【详解】(1)设直线l的方程为＋＝1(a>0，b>0)，
因为直线l过点P(，2)，
所以＋＝1，①
又a＋b＋＝12.②
由①②可得5a2－32a＋48＝0，
解得或
所以直线l的方程为3x＋4y－12＝0或15x＋8y－36＝0.
(2)设直线l的方程为＋＝1(a>0，b>0)，
由题意知，ab＝12，＋＝1，消去b，
得a2－6a＋8＝0，
解得或
所以直线l的方程为3x＋4y－12＝0或3x＋y－6＝0.
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