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第18讲 同角三角函数的基本关系及诱导公式（精讲）
①“知一求二”问题
②利用“弦切互化”求齐次式值
③sin α±cos α与sin αcos α关系的应用
④诱导公式化简与求值
⑤诱导公式的应用
一、同角三角函数基本关系
(1)平方关系：．
(2)商数关系：；
二、三角函数诱导公式
公式 一 二 三 四 五 六
角
正弦
余弦
正切
口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限
诱导公式口诀：奇变偶不变，符号看象限
(奇偶指的是中整数是奇数还是偶数，看象限时把看作锐角)
1．利用可以实现角的正弦、余弦的互化，利用可以实现角的弦切互化．
2．
【题型一 “知一求二”问题】
对sin α，cos α，tan α的知一求二问题
1.利用sin2α＋cos2α＝1可实现α的正弦、余弦的互化，利用＝tan α可以实现角α的弦切互化．
2.由一个角的任意一个三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值，因为利用”平方关系”公式，需求平方根，会出现两解，需根据角所在的象限判断符号，当角所在的象限不明确时，要进行分类讨论.
【典例1】(2024·全国·高三专题练习)已知，且，则( )
A． B． C． D．
一、单选题
1．（2024·陕西榆林·模拟预测）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
2．(2024·全国·高三专题练习)已知，，则( )
A． B． C． D．
3．（2024·河南信阳·一模）若，则（ ）
A． B． C． D．
【题型二 利用“弦切互化”求齐次式值】
若已知正切值，求一个关于正弦和余弦的齐次分式的值，则可以通过分子、分母同时除以一个余弦的齐次幂将其转化为一个关于正切的分式，代入正切值就可以求出这个分式的值，对于分母为1的二次式，可用sin2α＋cos2α做分母求解．
【典例1】（23-24高一·上海·课堂例题）（1）已知，且是第四象限的角．求及；
（2）已知，求及．
一、填空题
1．（2024·陕西渭南·模拟预测）已知，则
2．（23-24高三上·浙江温州·期末）若，则 ．
3．（23-24高一下·广东韶关·阶段练习）若，则 ．
4．（23-24高三上·西藏林芝·期末）若，且，则 ．
5．（23-24高三上·河北保定·期末）若，则 .
【题型三 sinα±cosα与sinαcosα关系的应用】
对于sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α这三个式子，知一可求二，若令sin α＋cos α＝t(t∈[－，])，则sin αcos α＝，sin α－cos α＝±(注意根据α的范围选取正、负号)，体现了方程思想的应用．
【典例1】（23-24高一下·辽宁盘锦·阶段练习）已知
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值．
一、单选题
1．(2024·河北沧州·一模)已知，则( )
A． B． C． D．
2．（2024·广西·二模）已知，则 .
3．(2024·广东深圳·模拟预测)已知，那么( )
A． B． C． D．
二、填空题
4．（23-24高三上·广东广州·期中）若，，则 ．
5．（2024·全国·模拟预测）已知，且，则 ．
【题型四 诱导公式化简与求值】
1．利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤
2．（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）已知.
(1)化简；
(2)若，求的值；
(3)若，求的值.
3．（23-24高一下·辽宁沈阳·阶段练习）已知函数
(1)化简；
(2)若，求 的值；
(3)若，求的值.
【题型五 诱导公式的应用】
求解诱导公式与同角关系综合问题的基本思路和化简要求
基本思路 ①分析结构特点，选择恰当公式； ②利用公式化成单角三角函数； ③整理得最简形式
化简要求 ①化简过程是恒等变换； ②结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值
【典例1】（单选题）（23-24高一下·山东潍坊·期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．
一、单选题
1．（2024·河北沧州·一模）已知，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·福建厦门·三模）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·山东泰安·模拟预测）已知且，则（ ）
A． B． C． D．3
4．（2024·陕西安康·模拟预测）已知，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·福建南平·二模）已知，则（ ）
A． B． C． D．
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第18讲 同角三角函数的基本关系及诱导公式（精讲）
①“知一求二”问题
②利用“弦切互化”求齐次式值
③sin α±cos α与sin αcos α关系的应用
④诱导公式化简与求值
⑤诱导公式的应用
一、同角三角函数基本关系
(1)平方关系：．
(2)商数关系：；
二、三角函数诱导公式
公式 一 二 三 四 五 六
角
正弦
余弦
正切
口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限
诱导公式口诀：奇变偶不变，符号看象限
(奇偶指的是中整数是奇数还是偶数，看象限时把看作锐角)
1．利用可以实现角的正弦、余弦的互化，利用可以实现角的弦切互化．
2．
【题型一 “知一求二”问题】
对sin α，cos α，tan α的知一求二问题
1.利用sin2α＋cos2α＝1可实现α的正弦、余弦的互化，利用＝tan α可以实现角α的弦切互化．
2.由一个角的任意一个三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值，因为利用”平方关系”公式，需求平方根，会出现两解，需根据角所在的象限判断符号，当角所在的象限不明确时，要进行分类讨论.
【典例1】(2024·全国·高三专题练习)已知，且，则( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据同角关系，结合角的范围即可求解.
【详解】由可知为第三象限的角，故,
由，又，解得 ，
故选：C
一、单选题
1．（2024·陕西榆林·模拟预测）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据诱导公式和同角三角函数关系式平方关系计算得到答案；
【详解】由诱导公式得，又由，可得．
故选：A.
2．(2024·全国·高三专题练习)已知，，则( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据同角三角函数基本关系式，即可求解.
【详解】因为，，则.
故选：D
3．（2024·河南信阳·一模）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，由二倍角公式化简可得，再由同角的平方关系可得的值，代入计算，即可得到结果.
【详解】，得，
则，，
故.
故选：D．
【题型二 利用“弦切互化”求齐次式值】
若已知正切值，求一个关于正弦和余弦的齐次分式的值，则可以通过分子、分母同时除以一个余弦的齐次幂将其转化为一个关于正切的分式，代入正切值就可以求出这个分式的值，对于分母为1的二次式，可用sin2α＋cos2α做分母求解．
【典例1】（23-24高一·上海·课堂例题）（1）已知，且是第四象限的角．求及；
（2）已知，求及．
【答案】答案见解析
【分析】（1）先根据象限角判断，然后根据同角三角函数的关系求解；
（2）先根据判断角所在象限，然后根据同角三角函数的关系求解
【详解】（1）是第四象限的角，则，于是，则；
（2），则是第二或四象限的角，
当是第二象限角时，，由，解得；
当是第四象限角时，，由，解得；
一、填空题
1．（2024·陕西渭南·模拟预测）已知，则
【答案】/0.8
【分析】弦化切代值求解即可.
【详解】由所以
故答案为：.
2．（23-24高三上·浙江温州·期末）若，则 ．
【答案】
【分析】利用差角的正弦公式，结合齐次式法计算即得.
【详解】当时，.
故答案为：
3．（23-24高一下·广东韶关·阶段练习）若，则 ．
【答案】/
【分析】将分子1换成，转化为齐次式（分子、分母同除以）求解即可.
【详解】因为，
所以.
故答案为：.
4．（23-24高三上·西藏林芝·期末）若，且，则 ．
【答案】
【分析】结合三角函数的平方关系及二倍角公式化简原式为齐次式即可求解.
【详解】因为，，
所以.
故答案为：.
5．（23-24高三上·河北保定·期末）若，则 .
【答案】/
【分析】根据条件，利用“齐次式”即可解决问题.
【详解】因为，
又.
故答案为：.
【题型三 sinα±cosα与sinαcosα关系的应用】
对于sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α这三个式子，知一可求二，若令sin α＋cos α＝t(t∈[－，])，则sin αcos α＝，sin α－cos α＝±(注意根据α的范围选取正、负号)，体现了方程思想的应用．
【典例1】（23-24高一下·辽宁盘锦·阶段练习）已知
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值．
【答案】(1)16
(2)
(3)
【分析】（1）两边平方，结合平方关系得由此即可进一步求解.
（2）首先得，进一步由即可求解.
（3）首先分别求得，然后由商数关系即可求解.
【详解】（1）因为，所以，
所以
所以；
（2）因为，所以，所以，
又因为，
所以；
（3）由，可得．
所以．
一、单选题
1．(2024·河北沧州·一模)已知，则( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据结合诱导公式求解即可.
【详解】.
故选：A.
2．（2024·广西·二模）已知，则 .
【答案】1或
【分析】由已知可得或，从而可求出的值.
【详解】由可得，所以 或，
即 或，
当时，
当 时，，
故答案为：1或.
3．(2024·广东深圳·模拟预测)已知，那么( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据题意，由诱导公式化简，结合同角三角函数的关系代入计算，即可得到结果.
【详解】因为，
所以，
则，
所以.
故选：B
二、填空题
4．（23-24高三上·广东广州·期中）若，，则 ．
【答案】/
【分析】对等式两边同时平方可得，可求得，进而求出，即可求出.
【详解】由题意知，，等式两边同时平方，
得，即，
所以，
又，所以，所以，
由，解得，
所以.
故答案为：.
5．（2024·全国·模拟预测）已知，且，则 ．
【答案】
【分析】根据题意，将原式化简可得，再由同角三角函数的平方关系可得，即可得到结果.
【详解】，所以，，所以，
所以．又，
所以， 所以．
故答案为：.
【题型四 诱导公式化简与求值】
1．利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤
也就是：“负化正，大化小，化到锐角就好了”．
2．明确三角函数式化简的原则和方向
(1)切化弦，统一名．
(2)用诱导公式，统一角．
(3)用因式分解将式子变形，化为最简．
也就是：“统一名，统一角，同角名少为终了”．
【典例1】（23-24高一·上海·课堂例题）化简：．
【答案】
【分析】根据诱导公式直接进行化简即可.
【详解】原式
一、解答题
1．（23-24高三上·河南·阶段练习）已知．
(1)求的值；
(2)已知，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用诱导公式化简，然后代值求解即可；
（2）利用二倍角公式和弦切互化公式求解即可.
【详解】（1）原式
，
（2）由可知即；
.
2．（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）已知.
(1)化简；
(2)若，求的值；
(3)若，求的值.
【答案】(1)
(2)
(3)答案见详解
【分析】（1）运用诱导公式和化简即可；
（2），再运用化弦为切的思想即可求解.
（3）令，则，则有，用诱导公式可得，再用同角关系式联立即可求解.
【详解】（1）
（2）由（1）得，
所以.
（3）由（1）得，令，则，
则，
，又，
得，代入，计算得：，
当为第二象限角时，，即；
当为第四象限角时，，即.
3．（23-24高一下·辽宁沈阳·阶段练习）已知函数
(1)化简；
(2)若，求 的值；
(3)若，求的值.
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)
【分析】（1）由诱导公式化简即可得出答案；
（2）利用同角三角函数的基本关系即可得出答案；
（3）由已知求出，结合的范围，由诱导公式即可求出的值.
【详解】（1）
（2）因为，所以为第三象限角或第四象限角.
当为第三象限角时，；
当为第四象限角村，.
（3）因为，所以.
一、单选题
1．（2024·河北沧州·一模）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据结合诱导公式求解即可.
【详解】.
故选：A.
2．（2024·福建厦门·三模）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由可得，再利用整体思想结合诱导公式与二倍角公式计算即可得.
【详解】由，则，则，
，
则，由，故.
故选：C.
3．（2024·山东泰安·模拟预测）已知且，则（ ）
A． B． C． D．3
【答案】B
【分析】由诱导公式可得，根据平方关系，再根据商数关系得.
【详解】由诱导公式得，
所以，
又因为，
所以，
所以.
故选：B.
4．（2024·陕西安康·模拟预测）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据诱导公式及二倍角的余弦公式求解即可.
【详解】因为，
所以.
故选：D.
5．（2024·福建南平·二模）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由同角三角函数的基本关系求出，再由二倍角的余弦公式和诱导公式化简代入即可得出答案.
【详解】因为，所以，
解得：，
.
故选：A.
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