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2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）
第19讲 三角恒等变换（精讲）
①公式的直接应用与变形
②辅助角公式的应用
③三角函数式的化简
④给值求值问题
⑤给值求角问题
一、两角和与差的正弦、余弦和正切公式
1、两角和与差的正弦：
:
:
2、两角和与差的余弦：
:
:
3、两角和与差的正切：
:.
:.
二、二倍角的正弦、余弦、正切公式
1、二倍角公式：
（1）二倍角的正弦（）：．
（2）二倍角的余弦（）：．
（3）二倍角的正切（）：．
2、二倍角公式的变形及应用
（1）倍角公式的逆用：
；；．
：；；．
（2）降幂（扩角）公式：；；
；．
三、积化和差与和差化积（不要求记忆）
1、积化和差
2、和差化积
四、辅助角公式
1、辅助角公式：（其中）
实质上是将同角的正弦值和余弦值与常数积的和变形为一个三角函数，当式子化简为同角不同名三角函数相加减时，通常利用辅助角公式化为正弦型．
2、辅助角公式的推导
=
由于上式中和的平方和为1，
故令，
则==
其中角终边所在的象限由的符号确定，角的值由确定，或由和共同确定．
1、公式的变形：．
2、常见辅助角结论
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
3、“给角求值”、“给值求值”问题一般策略
（1）关键是把“所求角”用“已知角”表示．
①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；
②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系．
（2）常见的配角技巧：
①；；
②；
③；
④；
⑤．
4、三角函数给值求角问题一般策略
实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角．
遵照以下原则：
（1）已知正切函数值，选正切函数；
（2）已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；
若角的范围是，选余弦较好；若角的范围是，选正弦较好．
【题型一 各公式的直接应用与变形】
应用公式化简求值的策略
(1)首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．
例如两角差的余弦公式可简化为“同名相乘，符号相反”．
(2)注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．
(3)注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．
【典例1】（23-24高一下·广东佛山·期中）利用和（差）角公式计算下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3)
一、单选题
1．（24-25高一下·全国·随堂练习）已知，则等于（ ）
A． B． C． D．7
2．（23-24高一下·陕西渭南·期末）（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高一下·江苏南京·期中）（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高一下·全国·课堂例题）化简等于（ ）
A． B． C．3 D．1
二、解答题
5．（23-24高一·上海·课堂例题）利用二倍角公式，求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3)．
6．（24-25高一下·全国·课堂例题）求下列各式的值：
(1)；
(2)．
【题型二 辅助角公式的应用】
【典例1】（23-24高一·上海·课堂例题）把下列各式化成的形式：
(1)；
(2)．
一、单选题
1．（23-24高一下·北京东城·期中）函数的最小值（ ）
A．2 B． C． D．
2．（23-24高一下·广东茂名·期中）函数的最小值和周期分别是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·全国·模拟预测）函数的最小正周期是（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高一下·全国·随堂练习）化为形式，其中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2024·陕西铜川·三模）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【题型三 三角函数式的化简】
1．三角函数式的化简要遵循“三看”原则
2．三角函数式化简的方法
(1)弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．
(2)在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次．
8．（2024·陕西·模拟预测）已知，若，则（ ）
A． B． C． D．
【题型四 给值求值问题】
给值求值问题的解题策略
已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值的解题关键：把“所求角”用“已知角”表示.
（1）当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式或者和或差的二倍形式；
（2）当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和、差或倍数关系，然后应用诱导公式、和差公式、倍角公式求解.
【典例1】（23-24高一下·四川泸州·期中）已知．
(1)求的值；
(2)求的值．
一、单选题
1．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知，则（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高三上·贵州黔东南·开学考试）已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高一下·四川达州·期中）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·山东淄博·二模）设，若，，则（　　）
A． B． C． D．
5．（2024·福建泉州·模拟预测）已知，均为锐角，，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·辽宁丹东·二模）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【题型五 给值求角问题】
给值求角问题的解题策略
给值求角：实质上可转化为“给值求值”，即通过求角的某一个三角函数值来求角．在选取函数时，遵循以下原则：
①已知正切函数值，选正切函数．
②已知正、余弦函数值，若角的范围是，选正、余弦函数皆可，若角的范围是(0，π)，选余弦函数，若角的范围是，选正弦函数．
一、单选题
1．（23-24高二下·浙江·期末）已知为钝角，且，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高一下·江苏盐城·期中）已知，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·江西九江·二模）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高一下·内蒙古鄂尔多斯·开学考试）已知角，，，则（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24高一下·四川成都·阶段练习）若，，且，，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知，，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
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2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）
第19讲 三角恒等变换（精讲）
①公式的直接应用与变形
②辅助角公式的应用
③三角函数式的化简
④给值求值问题
⑤给值求角问题
一、两角和与差的正弦、余弦和正切公式
1、两角和与差的正弦：
:
:
2、两角和与差的余弦：
:
:
3、两角和与差的正切：
:.
:.
二、二倍角的正弦、余弦、正切公式
1、二倍角公式：
（1）二倍角的正弦（）：．
（2）二倍角的余弦（）：．
（3）二倍角的正切（）：．
2、二倍角公式的变形及应用
（1）倍角公式的逆用：
；；．
：；；．
（2）降幂（扩角）公式：；；
；．
三、积化和差与和差化积（不要求记忆）
1、积化和差
2、和差化积
四、辅助角公式
1、辅助角公式：（其中）
实质上是将同角的正弦值和余弦值与常数积的和变形为一个三角函数，当式子化简为同角不同名三角函数相加减时，通常利用辅助角公式化为正弦型．
2、辅助角公式的推导
=
由于上式中和的平方和为1，
故令，
则==
其中角终边所在的象限由的符号确定，角的值由确定，或由和共同确定．
1、公式的变形：．
2、常见辅助角结论
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
3、“给角求值”、“给值求值”问题一般策略
（1）关键是把“所求角”用“已知角”表示．
①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；
②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系．
（2）常见的配角技巧：
①；；
②；
③；
④；
⑤．
4、三角函数给值求角问题一般策略
实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角．
遵照以下原则：
（1）已知正切函数值，选正切函数；
（2）已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；
若角的范围是，选余弦较好；若角的范围是，选正弦较好．
【题型一 各公式的直接应用与变形】
应用公式化简求值的策略
(1)首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．
例如两角差的余弦公式可简化为“同名相乘，符号相反”．
(2)注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．
(3)注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．
【典例1】（23-24高一下·广东佛山·期中）利用和（差）角公式计算下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3)
【答案】(1)
(2)0
(3)
【分析】（1）根据正弦两角差公式运算求解；
（2）根据余弦两角和公式运算求解；
（3）根据正切两角和公式运算求解.
【详解】（1）由题意可得：.
（2）由题意可得：.
（3）由题意可得：.
一、单选题
1．（24-25高一下·全国·随堂练习）已知，则等于（ ）
A． B． C． D．7
【答案】B
【分析】利用两角差的正切展开式计算可得答案.
【详解】因为，
所以.
故选：B
2．（23-24高一下·陕西渭南·期末）（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用诱导公式与两角差的余弦公式即可求解.
【详解】
故选：C.
3．（23-24高一下·江苏南京·期中）（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据诱导公式把题目中的角转化为锐角，最后逆用两角和的正弦公式进行求解即可.
【详解】
故选：A
4．（24-25高一下·全国·课堂例题）化简等于（ ）
A． B． C．3 D．1
【答案】B
【分析】转化为两角差的正切公式，即可求解.
【详解】原式．
故选：B
二、解答题
5．（23-24高一·上海·课堂例题）利用二倍角公式，求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）（2）（3）直接利用三角函数的二倍角公式求出结果．
【详解】（1）；
（2）；
（3）．
6．（24-25高一下·全国·课堂例题）求下列各式的值：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】根据两角差的余弦公式结合诱导公式化简最后根据特殊角求值.
【详解】（1）原式;
（2）原式.
【题型二 辅助角公式的应用】
【典例1】（23-24高一·上海·课堂例题）把下列各式化成的形式：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)其中
【分析】（1）利用辅助角公式：，易将其化为正弦型函数的形式；
（2）利用辅助角公式：进行求解．
【详解】（1）
；
（2）
（其中，）
一、单选题
1．（23-24高一下·北京东城·期中）函数的最小值（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】利用辅助角公式将已知函数化成一角一函数状态即可求其最小值.
【详解】因为，
所以当，，即，时，函数有最小值
故选：B.
2．（23-24高一下·广东茂名·期中）函数的最小值和周期分别是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先利用辅助角公式，化简函数，再求函数的最值和周期.
【详解】，
，
所以函数的最小值为，周期为.
故选：B
3．（2024·全国·模拟预测）函数的最小正周期是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用三角恒等变换得到，利用求出最小正周期.
【详解】由余弦和角公式、倍角公式、降幂公式可得
，
所以的最小正周期为．
故选：C
4．（24-25高一下·全国·随堂练习）化为形式，其中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据条件，通过变形得到，再令，利用正弦的和角公式，即可求出结果.
【详解】因为，
令，
则，其中，
故选：A.
5．（2024·陕西铜川·三模）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据和差角公式化简可得，即可根据二倍角公式求解.
【详解】，
.
故选：A.
【题型三 三角函数式的化简】
1．三角函数式的化简要遵循“三看”原则
2．三角函数式化简的方法
(1)弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．
(2)在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次．
【典例1】（24-25高一下·全国·课堂例题）化简与证明：
(1)化简：；
(2)证明：．
【答案】(1)1
(2)证明见解析
【分析】（1）利用诱导公式、二倍角公式即可化简求得.
（2）由正、余弦的二倍角公式化简即可求证.
【详解】（1）原式．
（2）证明 ： 左边
＝右边，
所以原等式成立．
一、单选题
1．（22-23高三上·贵州黔东南·开学考试）等于（ ）
A． B．2 C． D．1
【答案】A
【分析】利用二倍角公式结合诱导公式计算即可
【详解】原式．
故选：A
2．（23-24高一下·江苏扬州·期中）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用二倍角余弦公式和差角余弦公式可得，求解即可.
【详解】由题
，
所以.
故选：A
3．（2023·全国·模拟预测）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】结合同角三角函数的基本关系式、降次公式求得正确答案.
【详解】依题意，，
所以，
，解得，负根舍去.
故选：B
4．（23-24高三上·江苏南京·阶段练习）已知，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，结合和角的正切公式求出，再利用二倍角的正余弦公式，结合齐次式法计算即得.
【详解】由，得，解得，
所以.
故选：B
5．（23-24高一下·江苏苏州·期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】用二倍角公式、商数关系结合已知求得，再由两角和的正切公式即可求解.
【详解】因为，
所以且，
即，且，解得或（舍去），
所以.
故选：B.
6．（2024·江苏·三模）若，则（ ）
A． B． C． D．3
【答案】B
【分析】根据余弦正弦的二倍角公式、同角的三角函数关系式化简等式，最后利用正切的二倍角公式进行求解即可.
【详解】，
故选：B
7．（23-24高三下·浙江金华·阶段练习）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由已知结合两角差的余弦公式可先求出，然后结合二倍角公式及和差化积公式进行化简即可求解．
【详解】由得，
又，所以，
所以
．
故选：C．
8．（2024·陕西·模拟预测）已知，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用正切二倍角公式和和角公式得到，化简得到，齐次化代入求值.
【详解】，即，
所以，
因为，所以，
所以
故，解得或（舍去），
故选：C
【题型四 给值求值问题】
给值求值问题的解题策略
已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值的解题关键：把“所求角”用“已知角”表示.
（1）当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式或者和或差的二倍形式；
（2）当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和、差或倍数关系，然后应用诱导公式、和差公式、倍角公式求解.
【典例1】（23-24高一下·四川泸州·期中）已知．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用同角公式及差角的余弦公式计算即得.
（2）由（1）结合同角公式，利用差角的余弦公式计算即得.
【详解】（1）由，得，又，
则，，
所以
.
（2）由（1）知，而，则，
因此，
又，所以.
一、单选题
1．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】令，故，可得，进而可求值.
【详解】令，则，故，
．
故选：A.
2．（24-25高三上·贵州黔东南·开学考试）已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用二倍角公式结合角的余弦值确定角的范围计算即可.
【详解】因为，，所以，
则，
则.
故选：A
3．（23-24高一下·四川达州·期中）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】确定角度范围得到，变换，展开计算得到答案.
【详解】因为，则，
可得，
所以
.
故选：A.
4．（2024·山东淄博·二模）设，若，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先对变形，进而表示出，再代值计算即得.
【详解】由，得，
则，即，
因此，
而，所以.
故选：A
5．（2024·福建泉州·模拟预测）已知，均为锐角，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用和对和进行转化即可求解.
【详解】由题意，
又，
故，
即
又均为锐角，所以，
故，
故选：D.
6．（2024·辽宁丹东·二模）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】解法1：令，，利用两角和与差的正弦公式化简即可求得，再利用二倍角公式即可求解；解法2：利用两角和的正弦公式将展开，可得，再利用辅助角公式求得，最后利用二倍角公式即可求解.
【详解】解法1：由，得，
得，
得，所以，
所以．
解法2：将
展开得，
整理得，
即，
所以．
故选：A
【题型五 给值求角问题】
给值求角问题的解题策略
给值求角：实质上可转化为“给值求值”，即通过求角的某一个三角函数值来求角．在选取函数时，遵循以下原则：
①已知正切函数值，选正切函数．
②已知正、余弦函数值，若角的范围是，选正、余弦函数皆可，若角的范围是(0，π)，选余弦函数，若角的范围是，选正弦函数．
一、单选题
1．（23-24高二下·浙江·期末）已知为钝角，且，，则（ ）
【答案】A
【分析】利用两角差的余弦公式及同角三角函数的基本关系得到方程组，即可求出、，再求出即可.
【详解】因为，，
所以，
解得，
所以，
又，所以，所以.
故选：A
4．（23-24高一下·内蒙古鄂尔多斯·开学考试）已知角，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据平方关系和商数关系求出，再根据求出，注意求得的范围，再根据结合两角和的正切公式即可得解.
【详解】角，由得，
则，又因为在上单调递增，则，
而，
同理有，
所以，
且，得.
故选：A.
5．（23-24高一下·四川成都·阶段练习）若，，且，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先求出、，再由利用两角和的余弦公式计算可得.
【详解】因为，所以，又，所以，则，
所以，
又，所以，又，
所以，
于是
，
又，则.
故选：B.
6．（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知，，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用同角三角函数关系可得，利用两角和与差的正弦公式化简，可得，根据角的范围，即可得到答案.
【详解】因为，所以，
因为，所以，，所以．
由，得，
即，
所以，所以．
又，所以．故选：D
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