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2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）
第17练 任意角、弧度制及三角函数的概念（精练）
1.了解任意角、弧度制的概念.
2.能进行弧度与角度的互化.
3.理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义.
一、填空题
1．（2023·北京·高考真题）已知命题若为第一象限角，且，则．能说明p为假命题的一组的值为 ， ．
二、单选题
2．（2022·全国·高考真题）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在上，．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：．当时，（ ）
A． B． C． D．
【A级 基础巩固练】
一、单选题
1．（23-24高三下·甘肃·阶段练习）集合中的最大负角为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）若是第一象限角，则下列各角为第四象限角的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·福建福州·模拟预测）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴非负半轴重合，为其终边上一点，则（ ）
A． B．4 C． D．1
4．（23-24高一上·浙江杭州·期末）二十四节气是中国古代订立的一种用来指导农事的补充历法，是中华民族劳动人民智慧的结晶．从立春起的二十四节气依次是立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒．二十四节气的对应图如图所示，从2022年4月20日谷雨节气到2022年12月7日大雪节气圆上一点转过的弧所对圆心角的弧度数为（　　）

A． B． C． D．
5．（22-23高一上·黑龙江齐齐哈尔·期末）“且”是“为第三象限角”的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（23-24高三上·河南·期中）已知一个圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若该圆锥底面圆的半径为1，则该圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
7．（23-24高三上·江西赣州·期中）已知为第一象限角，且，则为（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
8．（23-24高三下·山东青岛·开学考试）中国传统折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形环（扇形环是一个圆环被扇形截得的一部分）制作而成.若一把折扇完全打开时，其扇形环扇面尺寸（单位：cm）如图所示，则该扇面的面积为（ ）
A． B． C． D．
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
三、填空题
17．（23-24高一下·江西抚州·期中）已知扇形的弧长为，面积为，则扇形所在圆的半径为 ．
18．（23-24高三上·上海·期中）母线长为、底面半径为的圆锥的侧面展开图的圆心角的弧度数为 ．
19．（2024·全国·模拟预测）已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴．若是角终边上一点，且，则 ．
20．（2024高三·全国·专题练习）已知角的终边在直线上，则的值为 ．
【B级 能力提升练】
一、单选题
1．（2024高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，角的终边经过点，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高三上·安徽合肥·阶段练习）已知扇形的圆心角弧度为2，所对弦长为6，则该扇形的面积为（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高一下·江西南昌·阶段练习）若是第一象限角，则下列结论一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·河北沧州·一模）已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，且终边上一点的坐标为，则（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习）质点P和Q在以坐标原点O为圆心，半径为1的上逆时针作匀速圆周运动，同时出发.P的角速度大小为，起点为与x轴正半轴的交点；Q的角速度大小为，起点为射线与的交点.则当点与重合时，点的坐标不可能是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023·山西·模拟预测）在平直的铁轨上停着一辆高铁列车，列车与铁轨上表面接触的车轮半径为，且某个车轮上的点刚好与铁轨的上表面接触，若该列车行驶了距离，则此时到铁轨上表面的距离为（ ）
A． B． C． D．
7．（23-24高三上·海南·期末）如图所示，用若干个正方形拼成一个大矩形，然后在每个正方形中以边长为半径绘制圆弧，这些圆弧连起来得到一段螺旋形的曲线，我们称之为“斐波那契螺旋线”．若图中最大的矩形面积为104，则这段斐波那契螺旋线的长度为（ ）

A． B． C． D．
二、多选题
8．（23-24高三下·山东济宁·开学考试）在平面直角坐标系中，若角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．2
三、填空题
9．（2024高三·全国·专题练习）如图，在中，，以O为圆心，OB为半径作圆弧交OP于点A.若圆弧AB等分的面积，且，则 .
10．（2024·全国·模拟预测）在平面直角坐标系中，若角的顶点为原点，始边为轴非负半轴，终边经过点，则 .
11．（23-24高三上·重庆·阶段练习）已知角均在第一象限，终边上有一点，且，则 .
12．（2024·湖南岳阳·三模）已知角的终边关于直线对称，且，则的一组取值可以是 ， ．
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2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）
第17练 任意角、弧度制及三角函数的概念（精练）
1.了解任意角、弧度制的概念.
2.能进行弧度与角度的互化.
3.理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义.
一、填空题
1．（2023·北京·高考真题）已知命题若为第一象限角，且，则．能说明p为假命题的一组的值为 ， ．
【答案】
【分析】根据正切函数单调性以及任意角的定义分析求解.
【详解】因为在上单调递增，若，则，
取，
则，即，
令，则，
因为，则，
即，则.
不妨取，即满足题意.故答案为：.
二、单选题
2．（2022·全国·高考真题）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在上，．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：．当时，（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接，分别求出，再根据题中公式即可得出答案.
【详解】解：如图，连接，
因为是的中点，
所以，
又，所以三点共线，
即，
又，
所以，
则，故，
所以.
故选：B.
【A级 基础巩固练】
一、单选题
1．（23-24高三下·甘肃·阶段练习）集合中的最大负角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用任意角的定义与集合所表示的角即可得解.
【详解】因为，
所以集合中的最大负角为.
故选：C.
2．（23-24高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）若是第一象限角，则下列各角为第四象限角的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意，根据角的定义和象限角的概念可判断各个选项.
【详解】因为是第一象限角，所以是第四象限角，
则是第一象限角，故A错误；是第二象限角，故B错误；
是第四象限角，故C正确；是第一象限角，故D错误.
故选：C.
3．（2023·福建福州·模拟预测）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴非负半轴重合，为其终边上一点，则（ ）
A． B．4 C． D．1
【答案】D
【分析】根据已知条件，结合任意角的三角函数的定义，即可求解．
【详解】始边与轴非负半轴重合，，为其终边上一点，
则，且，解得．
故选：D．
4．（23-24高一上·浙江杭州·期末）二十四节气是中国古代订立的一种用来指导农事的补充历法，是中华民族劳动人民智慧的结晶．从立春起的二十四节气依次是立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒．二十四节气的对应图如图所示，从2022年4月20日谷雨节气到2022年12月7日大雪节气圆上一点转过的弧所对圆心角的弧度数为（　　）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，利用弧度制的定义计算出每个节气所表示的弧度数，即可求解.
【详解】由题意，二十四节气将一个圆24等分，所以每相邻的两个节气对应的弧度数为，
则从谷雨到大雪，二十四节气圆盘需要逆时针旋转15个节气，
所以转过的弧所对的圆心角的弧度数为.
故选：C.
5．（22-23高一上·黑龙江齐齐哈尔·期末）“且”是“为第三象限角”的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据三角函数符号判断即可.
【详解】充分性：由可知，
由可知或，
综上，，即为第三象限角.
必要性：若为第三象限角，则且.
所以“且”是“为第三象限角”的充要条件.
故选：A
6．（23-24高三上·河南·期中）已知一个圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若该圆锥底面圆的半径为1，则该圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据弧长计算公式，求圆锥的母线长与高，即可求得圆锥的体积.
【详解】设圆锥的母线长为，即扇形的半径.
扇形的圆心角为，即，
由底面圆的半径为，
则底面圆周长，解得，
设圆锥的高为，则，
则圆锥的体积.
故选：C.

7．（23-24高三上·江西赣州·期中）已知为第一象限角，且，则为（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】D
【分析】由已知，利用差角正弦公式可得，进而有，结合为第一象限角列不等式求范围即可.
【详解】由题设，则，
所以，而为第一象限角，
所以，则,
所以，即为第四象限角.
故选：D
8．（23-24高三下·山东青岛·开学考试）中国传统折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形环（扇形环是一个圆环被扇形截得的一部分）制作而成.若一把折扇完全打开时，其扇形环扇面尺寸（单位：cm）如图所示，则该扇面的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先根据弧长公式的变形，计算福字下面小扇形的半径，再根据扇形面积公式，即可求解.
【详解】设福字下面的小扇形所在圆的半径为，
则，解得：，
所以扇形环的面积为.
故选：A
9．（2024·甘肃·一模）已知点为角终边上一点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据三角函数的定义求出，再由二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，最后代入计算可得.
【详解】因为点为角终边上一点，所以，
所以.
故选：C
10．（23-24高一上·广东广州·期末）在平面直角坐标系中，角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用诱导公式得到，求出点在第三象限，得到AB错误；并结合诱导公式和二倍角公式得到，由余弦函数单调性得到.
【详解】因为，
，
故点在第三象限，
故，，AB错误；
，
因为在上单调递减，
所以，故，，
所以，C错误，D正确.
故选：D
11．（2024·河南·一模）以坐标原点为顶点，x轴非负半轴为始边的角，其终边落在直线上，则有（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用角的终边落在直线上易于求得角或，分别求出角的正弦、余弦值，即可对选项一一判断.
【详解】因角的终边落在直线上，故或.
对于A，当，时，，故A项错误；
对于B，当时，，故B项错误；
对于C，当，时，，当时，，故C项正确；
对于D项，当，时，，则；
当时，，，则.故D项错误.
故选：C.
12．（2024·河北衡水·模拟预测）“角的终边在同一条直线上”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】借助的值，直接分别判断充分性和必要性.
【详解】由角的终边在同一条直线上，得，
即，所以.
反之，由，得，
当为偶数时，角的终边在同一条射线上；
当为奇数时，角的终边在同一条直线上.
综上，“角的终边在同一条直线上”是“”的充要条件.
故选 ：C.
13．（23-24高一下·辽宁葫芦岛·开学考试）已知，且，则为（ ）
A．第一或二象限角 B．第二或三象限角 C．第一或三象限角 D．第二或四象限角
【答案】C
【分析】根据给定条件，结合同角公式，由正余弦值的符号判断角所在象限即可推理得解.
【详解】由，得，则且，又，
因此且，是第二象限角，即，
则，当为偶数时，是第一象限角，当为奇数时，是第三象限角，
所以是第一或三象限角.
故选：C
二、多选题
14．（23-24高一下·贵州遵义·阶段练习）若角的终边在第三象限，则的值可能为（ ）
A．0 B．2 C．4 D．
【答案】BC
【分析】由角在第三象限，确定所在象限并确定函数值的符号即可得解.
【详解】由角的终边在第三象限，得，则，
因此是第二象限角或第四象限角，
当是第二象限角时，，
当是第四象限角时，.
故选：BC
15．（23-24高三上·河南·阶段练习）已知角终边上一点，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．若，则 D．属于第二象限角
【答案】BCD
【分析】根据任意角得终边上一点可以求得对应的三角函数，再结合恒等变换公式，逐项分析判断即可得解.
【详解】由题易知，所以，A错误；
因为，
所以，B正确；
因为，所以，
所以，解得，C正确；
因为属于第一象限角，所以，
所以，且，
即属于第二象限角，D正确.
故选：BCD.
16．（23-24高一下·广西·开学考试）已知角的终边经过点，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】ABD
【分析】
利用三角函数定义逐项求解判断.
【详解】由，得，解得（负值舍去），则正确.
由，得，则B，D正确.
由，得，解得，则错误.
故选：ABD
三、填空题
17．（23-24高一下·江西抚州·期中）已知扇形的弧长为，面积为，则扇形所在圆的半径为 ．
【答案】3
【分析】根据给定条件，利用扇形面积公式求解即得.
【详解】令扇形所在圆的半径为，依题意，，所以.
故答案为：3
18．（23-24高三上·上海·期中）母线长为、底面半径为的圆锥的侧面展开图的圆心角的弧度数为 ．
【答案】/
【分析】设圆锥的侧面展开图的圆心角的弧度数为，根据底面周长等于侧面展开图的弧长计算可得.
【详解】设圆锥的侧面展开图的圆心角的弧度数为，
又母线，底面半径
则，即，解得.
故答案为：
19．（2024·全国·模拟预测）已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴．若是角终边上一点，且，则 ．
【答案】
【分析】根据三角函数定义式列方程，解方程即可.
【详解】由题设知，
即，且，
即，且，
解得，
故答案为：.
20．（2024高三·全国·专题练习）已知角的终边在直线上，则的值为 ．
【答案】
【分析】先分两种情况角的终边在第二象限或第四象限取点再结合余弦函数定义求值即可.
【详解】∵角的终边在直线上，∴角的终边在第二象限或第四象限．
当角的终边在第二象限时，在角的终边上取一点，
则点P到原点的距离，∴．
当角的终边在第四象限时，在角的终边上取一点，
则点到原点的距离，∴．
综上，或．
故答案为：.
【B级 能力提升练】
一、单选题
1．（2024高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，角的终边经过点，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据三角函数终边定义及诱导公式即可求解.
【详解】由题意知角的终边经过点，所以，
所以．故B正确.
故选：B.
2．（23-24高三上·安徽合肥·阶段练习）已知扇形的圆心角弧度为2，所对弦长为6，则该扇形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由扇形的弧长和面积公式求解即可.
【详解】因为扇形的圆心角弧度为2，所对弦长为，为圆心，如下图，
取的中点，连接，则，则，
则扇形的半径，所以扇形的弧长，
.

故选：D.
3．（23-24高一下·江西南昌·阶段练习）若是第一象限角，则下列结论一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据的范围求得是第一 三象限角，分类讨论，根据三角函数符号即可判断.
【详解】因为在第一象限，所以，，
所以，，所以是第一 三象限角，
当是第一象限角时，，，，；
当是第三象限角时，，，，；
综上，一定成立.
故选：C
4．（2024·河北沧州·一模）已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，且终边上一点的坐标为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据三角函数的定义求出，，再由二倍角公式及两角和的正弦公式求出，，，最后由诱导公式计算可得.
【详解】因为角终边上一点的坐标为，
所以，，
所以，
，
所以
，
所以
.
故选：B
5．（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习）质点P和Q在以坐标原点O为圆心，半径为1的上逆时针作匀速圆周运动，同时出发.P的角速度大小为，起点为与x轴正半轴的交点；Q的角速度大小为，起点为射线与的交点.则当点与重合时，点的坐标不可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】设两质点重合时，所用时间为，则重合点坐标为，通过题意得到，结合周期性逐一代入判断即可.
【详解】设两质点重合时，所用时间为，则重合点坐标为，
由题意可知，两质点起始点相差角度为，
则，解得，
若，则，则重合点坐标为，
若，则，则重合点坐标为，即，
若，则，则重合点坐标为，即，
根据周期性可知，其余重合点与上述点重合.
故选：D
6．（2023·山西·模拟预测）在平直的铁轨上停着一辆高铁列车，列车与铁轨上表面接触的车轮半径为，且某个车轮上的点刚好与铁轨的上表面接触，若该列车行驶了距离，则此时到铁轨上表面的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】针对实际问题建模转化为圆的弧长与圆心角、半径之间的关系，就圆心角的范围进行分类,借助于直角三角形计算即得.
【详解】当列车行驶的距离为时，则车轮转过的角度所对应的扇形弧长为，
车轮转过的角度为点的初始位置为，设车轮的中心为，当
时，作，垂足为，如图，
则到铁轨表面的距离为；
当时，，作，垂足为，如图，
则，
到铁轨表面的距离为；
当在其它范围均可得到，点到铁轨上表面的距离为.
二、多选题
8．（23-24高三下·山东济宁·开学考试）在平面直角坐标系中，若角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．2
【答案】BD
【分析】由三角函数定义以及诱导公式即可得解.
【详解】由题意，所以或，
所以.
故选：BD.
三、填空题
9．（2024高三·全国·专题练习）如图，在中，，以O为圆心，OB为半径作圆弧交OP于点A.若圆弧AB等分的面积，且，则 .
【答案】/
【分析】利用扇形半径表示直角三角形和扇形的面积，利用面积间的关系，列式求解.
【详解】设扇形的半径为r，则扇形的面积为，
在中，
则的面积为，
由题意得
所以，所以.
故答案为：
10．（2024·全国·模拟预测）在平面直角坐标系中，若角的顶点为原点，始边为轴非负半轴，终边经过点，则 .
【答案】
【分析】先利用三角函数的定义得到，再利用倍角公式和诱导公式进行转化求得.
【详解】由三角函数的定义，得，所以
.
故答案为：
11．（23-24高三上·重庆·阶段练习）已知角均在第一象限，终边上有一点，且，则 .
【答案】
【分析】根据终边上点的坐标可得，然后再利用余弦两角和公式，从而求解.
【详解】根据终边上点的坐标可得，得：
化简得：
所以：.
故答案为：.
12．（2024·湖南岳阳·三模）已知角的终边关于直线对称，且，则的一组取值可以是 ， ．
【答案】 （答案不唯一，符合，或，，即可）
【分析】由条件角的终边关于直线对称可得，由可得，解方程求即可.
【详解】因为角的终边关于直线对称，
所以，，
又，
所以或，，
所以，或，，，
取可得或
所以的一组取值可以是，
故答案为：，，（答案不唯一，符合，或，，即可）
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