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平面向量中的最值问题 专题练
2025年高考数学一轮复习备考
一、单选题
1．平行四边形中，，，以C为圆心作与直线BD相切的圆，P为圆C上且落在四边形内部任意一点，，若，则角的范围为（ ）
A． B． C． D．
2．点是边长为1的正六边形边上的动点，则的最大值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
3．如图，圆和圆外切于点，，分别为圆和圆上的动点，已知圆和圆的半径都为1，且，则的最大值为（ ）
A．2 B．4 C． D．
4．已知向量满足，，则的范围是（ ）
A． B． C． D．
5．在△ABC中，BC＝2，，D为BC中点，在△ABC所在平面内有一动点P满足，则的最大值为（　　）
A． B． C． D．
6．已知是平面向量，且是单位向量，若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是（ ）
A． B． C．2 D．
7．在中，是边的中点，是线段的中点．若，的面积为，则取最小值时，则（ ）
A．2 B． C．6 D．4
8．已知是半径为5的圆上的两条动弦，，则最大值是（ ）

A．7 B．12 C．14 D．16
二、多选题
9．已知向量，，为平面向量，，，，，则（ ）
A． B．的最大值为
C． D．若，则的最小值为
10．已知点，，，，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若， D．的最大值为
11．“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，如图，已知圆的半径2，点是圆内的定点，且，弦均过点，则下列说法正确的是（ ）
A．为定值
B．的取值范围是
C．当时，为定值
D．的最大值为16
12．在中，，点是等边（点与在的两侧）边上的一动点，若，则有（ ）
A．当时，点必在线段的中点处 B．的最大值是
C．的最小值是 D．的范围是
三、填空题
13．如图所示，是的中点，是平行四边形内（含边界）的一点，且，则当时，的范围是 .
14．已知圆，点，M、N为圆O上两个不同的点，且若，则的最小值为 .
15．在中，，点Q满足，则的最大值为 .
16．在中，，，点D为的中点，点E为的中点，若，则的最大值为 .
17．已知向量、满足：，.设与的夹角为，则的最大值为 .
18．如图所示，在边长为3的等边三角形中，，且点P在以的中点O为圆心、为半径的半圆上，若，则下列说法正确的是 ．
① ②的最大值为
③最大值为9 ④

四、解答题
19．等边外接圆圆心为，半径为上有点．
(1)若为弧中点，求；
(2)求最大值．
参考答案：
1．B
由，当在直线上时，，
当圆与的切点在延长线上时，圆落在四边形内部部分与直线没有公共点，此时，
当恰好切于点时，则，又，，
所以，则，
所以，则，故.
2．C
分别取，中点Q，R，连接，，
则由题，，即，
所以，
作图如下，由图可知当P运动到D或E时PQ最大，
所以
，
所以的最大值为3.
3．D
，
所以，
所以，即，
解得.
.
4．B
，
由于：，
，
当且仅当时等号成立.
所以，
所以，
所以.
5．D
由，得，即，
所以．
因为，，所以点A在以BC为弦的优弧上运动（不含端点）．
设所在圆的圆心为M，连接MB、MC、MD，
则MD⊥BC，，可得，，．
以B为原点，BC所在直线为x轴，建立如图所示平面直角坐标系，
可得，圆M的方程为，
设，则，结合，
可得，
因为A点在圆M：上运动，
所以，可得当时，，达到最大值．
综上所述，当时，有最大值．
6．B
由，
设，以为原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的坐标系，
由，得点在以为圆心，以1为半径的圆上，
又非零向量与的夹角为，设的起点为原点，则的终点在不含端点的两条射线上，设，

则的最小值为
，
表示点到和的距离之和的最小值的倍，
则最小值为，
7．D
在中，由，的面积为，得，则，
由是边的中点，是线段的中点，得，
，
则
，
当且仅当，即时取等号，
在中，由余弦定理得：，
所以.
8．C

如图，连接，作，，
易知是的中点，是的中点，由勾股定理得，，
故，
故，当反向时等号成立，故C正确.
9．BCD
对A，设，根据有，
即，为圆心为，半径为的圆，又的几何意义为原点到圆上的距离，则，故A错误；
对B，
，则转化为求圆上的点到的距离最大值，
为，故B正确；
对C，，因为，故，故C正确；
对D，因为，故，
又因为，故，
，
故当时，取最小值取最小值，故D正确.
10．ACD
由题意可知，，
对于A，当时，，所以,
即，故，故A正确；
对于B，因为，
所以存在实数，使得，即，
解得，故或，故B错误；
对于C，因为，
所以，解得，故C正确；
对于D，因为，
所以
，其中，
所以当时，，故D正确.
11．ACD
对于A，如图，过作直径，
由题意，
所以
为定值，故A正确；
对于B，若为中点，连接，则
，
由题意，则，故B错误；
对于C，若，故，
则，
又，则，同理可得，故，
故C正确；
对于D，因为，则当弦均与重合时，
此时有最大值，为16，故D正确.
12．BCD
如图，过中点作的平行线与的三边有两个交点，所以时，点有两种情况，故A错；
在三角形中由余弦定理得,
解得，则，，
，
以为原点，为轴，过点垂直向上的方向为轴建系，
，，，，，，，，，
当点在上时，，
当点在上时，设，，
，
则，，，
所以当时，最大为，
当点在上时，设，，
，
则，，，
当时，最大为，
综上可得，当点在点处时最大为，故B正确；
根据数量积的几何意义可得，当点在点处时最小，
此时，故C正确；
取中点，则，
因为，所以，故D正确.
13．
如图，过作，交于，作，交的延长线于，
则：，
又因为，，则点为中点，
又是的中点，所以，则点在上，
由图形看出，当与重合时：，此时取最小值，
当与重合时：，此时取最大值，
所以的范围是
故答案为：
14．/
解法1：如图，因为，所以，故四边形为矩形，
设的中点为S，连接，则，
所以，
又为直角三角形，所以，故①，
设，则由①可得，
整理得：，
从而点S的轨迹为以为圆心，为半径的圆，
显然点P在该圆内部，所以，
因为，所以 ；
解法2：如图，因为,所以，
故四边形为矩形，由矩形性质，，
所以，从而，
故Q点的轨迹是以O为圆心，为半径的圆，
显然点P在该圆内，所以.
故答案为： .
15．
设中点为M，则，则，
，
又
，
由余弦定理可得：
，
有，
即，
即，当且仅当时，等号成立，
则，
即.
故答案为：.
16．
在中，，，点为的中点，点为的中点，
设，则，
设，
由余弦定理可得，
因为，可得，即，当且仅当时取等号，
又因为，则，
则
，
即的最大值为．
故答案为：．
17．/
设，则，设向量、的夹角为，
若，则，可得，
由题意可得，解得，
所以，，，
所以，，
当时，即当时，取得最小值，此时取得最大值，
且.
故答案为：.
18．①③
对于①，因为，且点P在以的中点O为圆心，为半径的半圆上，
所以，则，
对于④，，
则，
对于③，如图，以点O为原点建立平面直角坐标系，
则，
因为点P在以的中点O为圆心，为半径的半圆上，
所以点P的轨迹方程为，且在x轴的下半部分，

设，
则，
所以，
因为，所以，
所以当时，取得最大值9，故③正确；
对于②，因为，所以，
即，
所以，
所以，
因为，所以当时，取得最大值，故②错误．
故答案为：①③
19．(1)；
(2)．
（1）设是的中点，则，且三点共线，
若为弧中点，则四点共线，
由于，
所以三角形和三角形是等边三角形，所以，
所以四边形是菱形，，
所以，
所以.
（2）因为，
所以，，
，
所以当同向时，取得最大值为.
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