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名校联盟★《新高考研究卷》2024年9月卷
《浙江省新高考研究卷》（全国I卷）数学（三）
第I卷（选择题共58分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1. 已知集合，，则的元素个数为（）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 无数
2. 已知z为复数，则是的（）条件
A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分又不必要
3. 函数的最小正周期为（）
A. B. C. D.
4. 若，，，则（）
A. B. C. D.
5. 已知向量，满足，，则与的夹角为（）
A. B. C. D.
6. 数列满足，则下列，的值能使数列为周期数列的是（）
A. ， B. ， C. ， D. ，
7. 将100名学生随机分为10个小组，每组10名学生，则学生甲乙在同一组的概率为（）
A. B. C. D.
8设，，，则（）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 关于函数，下列说法正确的有（）
A. 函数可能没有零点 B. 函数可能有一个零点
C. 函数一定是中心对称图形 D. 函数可能是轴对称图形
10. 已知点M是抛物线与圆的交点，点F为抛物线C的焦点，则下列结论正确的有（）
A. 的最小值为2
B. 圆E与抛物线C至少有两条公切线
C. 若圆E与抛物线C的准线相切，则轴
D. 若圆E与抛物线C的准线交于P，Q两点，且，则
11. 设点P为正方体的上底面上一点，下列说法正确的有（）
A. 存在点P，使得与平面所成角
B. 存在点P，使得点A，分别到平面的距离之和等于
C. 存在点P，使得点A，分别到平面的距离之和等于
D. 存在点P，使得与平面所成角为
第II卷（非选择题共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若函数在处取得最大值，则__________.
13. 已知：当无穷大时，的值为，记为.运用上述结论，可得______.
14. 表示不超过x的最大整数，设，，则__________；__________（用M，N表示）.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在一次联考中，经统计发现，甲乙两个学校考生人数都为1000人，数学均分都为94，标准差都为12，并且根据统计密度曲线发现，甲学校的数学分数服从正态分布，乙学校的数学分数不服从正态分布.
（1）甲学校为关注基础薄弱学生的教学，准备从70分及以下的学生中抽取10人进行访问，学生小A考分为68分，求他被抽到的概率大约为多少；
（2）根据统计发现学校乙得分不低于130分的学生有25人，得分不高于58分的有1人，试说明乙学校教学的特点；
参考数据：若，则，，.
16. 设，分别为双曲线的左、右焦点，过的直线交双曲线于A，B两点，且.
（1）求的长（用a，b表示）；
（2）若双曲线的离心率，求证：.
17. 设函数.
（1）求函数在处的切线方程；
（2）若恒成立，求证：m的最大值与最小值之差大于.
18. 在四棱锥中，，，底面，点O在上，且.
（1）求证：；
（2）若，，点在上，平面，求值；
（3）若，二面角正切值为，求二面角的余弦值.
19. 在数列中，，，对满足的任意正整数m，n，p，q，都有成立.
（1）若数列是等比数列，求a，b满足的条件；
（2）若，，设.
①求数列的通项公式；
②求证：.名校联盟★《新高考研究卷》2024年9月卷
《浙江省新高考研究卷》（全国I卷）数学（三）
第I卷（选择题共58分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1.
【答案】C
2.
【答案】C
3.
【答案】B
4.
【答案】D
5.
【答案】A
6.
【答案】B
7.
【答案】B
8.
【答案】D
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.
【答案】BC
10.
【答案】ACD
11.
【答案】ABC
第II卷（非选择题共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.
【答案】
13.
【答案】.
14.
【答案】 ①. ②.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.
【答案】（1）
（2）乙校教学高分人数更多，130分以上学生更多，低分人数更少.
【解析】
【分析】（1）由正太分布确定70分及以下的学生人数，再由古典概率模型即可求解；
（2）由正太分布确定甲校130以上及58分以下人数，对比乙校数据即可判断.
【小问1详解】
由题意可知甲校学生数学得分，
由，
可得，则，
所以分数在70分及以下的学生有，
所以学生小A被抽到概率
【小问2详解】
由，
可得：
所以甲校不低于130分的概率为，
得分不高于58分的概率为，
所以甲校不低于130分有人，得分不高于58分有人，
故乙校教学高分人数更多，130分以上学生更多，低分人数更少.
16.
【答案】（1）
（2）证明过程见解析
【解析】
【分析】（1）两点都在双曲线右支上，设，结合双曲线定义表达出其他边长，利用和余弦定理得到方程，求出，得到；
（2）在中，由正弦定理得到，结合（1）中和，得到，在求出，为锐角，故.
【小问1详解】
，故两点都在双曲线右支上，
设，则，
由双曲线定义知，，
因为，所以，
由余弦定理得，
化简得，所以；
【小问2详解】
在中，由正弦定理得，
所以，
由（1）知，，故，
又，故，
且，所以，
所以为锐角，故.
17.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求导函数，利用导数的几何意义求出切线斜率，然后代入点斜式直线方程化简即可；
（2）令，将恒成立问题转化为恒成立，求导，利用导数研究的单调性，然后求得，进一步构造函数，利用导数研究其单调性，求出的m范围，即可证明.
【小问1详解】
由题意，所以切线斜率，
又，所以函数在处的切线方程为，即；
【小问2详解】
令，则，
所以恒成立等价于恒成立，，
当，则在上单调递增，而，不符合题意.
当，由得，
所以当时，在上单调递增，
当时，在上单调递减，
所以，
令，则，又由得，
当时，在上单调递减，
当时，在上单调递增，
而，，所以，
所以m的最大值与最小值之差大于.
18.
【答案】（1）证明见解析；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）先证明，结合直角三角形性质证明，由此证明，再根据勾股定理证明结论；
（2）连接交于点，根据线面平行性质定理证明，求，根据平行线性质求结论；
（3）建立空间直角坐标系，求平面，平面的法向量，利用向量夹角公式求结论.
【小问1详解】
连接，
因为底面，平面，
所以，即，
又，，所以，
所以，故
又，
所以，，
又，所以，
因为底面，平面，
所以，
又，
所以；
【小问2详解】
连接交于点，连，
因平面，平面平面，平面，
所以，故，
因为，，
所以，故四边形是圆内接四边形，
又，所以，
因，，点为的中点，
所以，，
故，设，
则，，
在中，
由余弦定理可得，
所以，于是；
【小问3详解】
以点为原点，，，为，，轴正方向建立如图所示的坐标系，
则 ,
所以 ,
设为平面的法向量,
所以，
故，令，则，
所以为平面的一个法向量，
过点作于，
因底面，平面，
所以，，平面，
所以平面，平面，
所以，
故二面角的平面角为，
由已知，
所以，于是，，
又，所以，又，
所以，故，
所以点的横坐标为，纵坐标为，
所以点的坐标为，
所以，
设平面的法向量，
所以，
两式相减得，
令，则，
所以为平面的一个法向量，,
所以，
观察可得二面角的平面角为锐角，
所以二面角的余弦值为.
19.
【答案】（1）
（2）①；②证明见解析
【解析】
【分析】（1）由题意推出，即得，从而可解；
（2）①由条件可推出，结合等比数列通项公式，即可求得答案；
②由题意可得，从而，先证明，再讨论n的奇偶性，结合放缩法，即可证明结论.
【小问1详解】
因为数列是等比数列，设其公比为t，且满足，
则，结合，可得，
所以，
故，即a，b满足的条件为；
【小问2详解】
①由，得，
结合，，故，即，
故是以为首项，公比为2的等比数列，
故；
②由①知，故；
先证，即证，
即证，即证，
而恒成立，
故总成立，
当n为奇数时，，
即；
当n为偶数时，，
而，
即；
综合上述可知.
【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于第二问的数列不等式证明时，要结合分类讨论n的奇偶性以及放缩法进行解决.
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