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圆周角定理及推论 专项练习
一．选择题（共14小题）
1．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径，若∠BEC＝20°，则∠ADC的度数为（　　）
A．100° B．110° C．120° D．130°
2．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，点D是⊙O上一点，连接BD，CD．若∠D＝28°，则∠OAB的度数为（　　）
A．28° B．34° C．56° D．62°
3．如图，CD是⊙O的直径，点A，B在⊙O上．若，∠AOC＝36°，则∠D＝（　　）
A．9° B．18° C．36° D．45°
4．如图，AB是⊙O的直径，若∠CDB＝60°，则∠ABC的度数等于（　　）
A．30° B．45° C．60° D．90°
5．如图，AC为⊙O的直径，点B，D在⊙O上，∠ABD＝60°，CD＝2，则AD的长为（　　）
A．2 B．2 C．2 D．4
6．如图，AD是半圆O的直径，点B、C在半圆上，且，点P在上，若∠PCB＝130°，则∠PBA等于（　　）
A．105° B．100° C．90° D．70°
7．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，BA平分∠CBD，若∠AOD＝50°，则∠A的度数为（　　）
A．65° B．55° C．50° D．75°
8．如图，分别延长圆内接四边形ABCD的两组对边，延长线相交于点E，F．若∠E＝54°41'，∠F＝43°19'，则∠A的度数为（　　）
A．42° B．41°20' C．41° D．40°20'
9．如图，已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，E为AD延长线上一点，∠AOC＝128°，则∠CDE等于（　　）
A．64° B．60° C．54° D．52°
10．如图，AD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB，连接CD，交OB于点E，∠BOC＝42°，则∠OED的度数是（　　）
A．61° B．63° C．65° D．67°
11．如图，四边形ABCD内接于⊙O．过点B作BE∥AD，交CD于点E．若∠BEC＝50°，则∠ABC的度数是（　　）
A．50° B．100° C．130° D．150°
12．如图，AB，AC为⊙O的两条弦，连接OB，OC，若∠A＝45°，则∠BOC的度数为（　　）
A．60° B．75° C．90° D．135°
13．如图，AB是⊙O的直径，∠E＝35°，则∠BOD＝（　　）
A．80° B．100° C．120° D．110°
14．如图，点A，B，C在⊙O上，AC⊥OB，垂足为D，若∠A＝35°，则∠C的度数是（　　）
A．20° B．25° C．30° D．35°
二．填空题（共10小题）
15．如图，在⊙O中，直径AB⊥CD于点E，CD＝6，BE＝1，则弦AC的长为 　 　．
16．如图，⊙O的直径AB平分弦CD（不是直径）．若∠D＝35°，则∠C＝　 　°．
17．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形OABC是菱形，则∠D＝　 　°．
18．如图，AB是圆的直径，∠1、∠2、∠3、∠4的顶点均在AB上方的圆弧上，∠1、∠4的一边分别经过点A、B，则∠1+∠2+∠3+∠4＝　 　°．
19．如图，AB为⊙O的直径，，∠A＝53°，则∠B的度数是 　 　．
20．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠A＝50°，则∠C的度数是 　 　．
21．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，连接AD、BC、BD．若∠BCD＝20°，则∠ABD＝　 　°．
22．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形．若四边形ABCO为菱形，则∠ADC的大小为 　 　．
23．如图，BC是⊙O的弦，连接OB，OC，∠A是所对的圆周角，则∠A与∠OBC的和的度数是 　 　．
24．如图，AB是⊙O的直径，位于AB两侧的点C，D均在⊙O上，∠BOC＝30°，则∠ADC＝　 　度．
三．解答题（共21小题）
25．如图，在圆内接四边形ABCD中，AD＜AC，∠ADC＜∠BAD，延长AD至点E，使AE＝AC，延长BA至点F，连结EF，使∠AFE＝∠ADC．
（1）若∠AFE＝60°，CD为直径，求∠ABD的度数．
（2）求证：①EF∥BC；
②EF＝BD．
26．如图，AB是⊙O的直径，BC，BD是⊙O的两条弦，点C与点D在AB的两侧，E是OB上一点（OE＞BE），连接OC，CE，且∠BOC＝2∠BCE．
（1）如图1，若BE＝1，CE，求⊙O的半径；
（2）如图2，若BD＝2OE，求证：BD∥OC．（请用两种证法解答）
27．如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，BD平分∠ABC，∠BAC＝∠ADB．
（1）求证DB平分∠ADC，并求∠BAD的大小；
（2）过点C作CF∥AD交AB的延长线于点F，若AC＝AD，BF＝2，求此圆半径的长．
28．如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠ACB＝2∠BAC．
（1）求证：∠AOB＝2∠BOC；
（2）若AB＝4，，求⊙O的半径．
29．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，D是上一点，P是AB延长线上一点，连接AD，DC，CP．
（1）求证：∠ADC﹣∠BAC＝90°；（请用两种证法解答）
（2）若∠ACP＝∠ADC，⊙O的半径为3，CP＝4，求AP的长．
30．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，∠ADB＝∠CDB．
（1）试判断△ABC的形状，并给出证明；
（2）若AB，AD＝1，求CD的长度．
31．如图，以AB为直径的⊙O经过△ABC的顶点C，AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC，AE的延长线交⊙O于点D，连接BD．
（1）判断△BDE的形状，并证明你的结论；
（2）若AB＝10，BE＝2，求BC的长．
32．如图，AB为⊙O的直径，点 C、D在⊙O上，AC与OD交于点E，AE＝EC，OE＝ED．连接BC、CD．求证：
（1）△AOE≌△CDE；
（2）四边形OBCD是菱形．
33．如图，圆O中两条互相垂直的弦AB，CD交于点E．
（1）M是CD的中点，OM＝3，CD＝12，求圆O的半径长；
（2）点F在CD上，且CE＝EF，求证：AF⊥BD．
34．如图，在△ABC中，AC＝BC，D是AB上一点，⊙O经过点A、C、D，交BC于点E，过点D作DF∥BC，交⊙O于点F．
求证：（1）四边形DBCF是平行四边形；
（2）AF＝EF．
35．如图，四边形ABCD内接于圆，∠ABC＝60°，对角线BD平分∠ADC．
（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）过点B作BE∥CD交DA的延长线于点E，若AD＝2，DC＝3，求△BDE的面积．
36．如图，在⊙O中，B是⊙O上的一点，∠ABC＝120°，弦AC＝2，弦BM平分∠ABC交AC于点D，连接MA，MC．
（1）求⊙O半径的长；
（2）求证：AB+BC＝BM．
37．如图，已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED，若ED＝EC．
（1）求证：AB＝AC；
（2）若AB＝4，BC＝2，求CD的长．
38．已知AB是半径为1的圆O直径，C是圆上一点，D是BC延长线上一点，过点D的直线交AC于E点，且△AEF为等边三角形
（1）求证：△DFB是等腰三角形；
（2）若DAAF，求证：CF⊥AB．
39．如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°．
（1）判断△ABC的形状：　 　；
（2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）当点P位于的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积．
40．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC＝BC＝DC．
（1）若∠CBD＝39°，求∠BAD的度数；
（2）求证：∠1＝∠2．
41．如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F．
（1）若∠E＝∠F时，求证：∠ADC＝∠ABC；
（2）若∠E＝∠F＝42°时，求∠A的度数；
（3）若∠E＝α，∠F＝β，且α≠β．请你用含有α、β的代数式表示∠A的大小．
42．如图，以△ABC的一边AB为直径的半圆与其它两边AC，BC的交点分别为D、E，且．
（1）试判断△ABC的形状，并说明理由．
（2）已知半圆的半径为5，BC＝12，求sin∠ABD的值．
43．已知⊙O的直径为10，点A，点B，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．
（Ⅰ）如图①，若BC为⊙O的直径，AB＝6，求AC，BD，CD的长；
（Ⅱ）如图②，若∠CAB＝60°，求BD的长．
44．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC＝CB，延长DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC，CE．
（1）求证：∠B＝∠D；
（2）若AB＝4，BC﹣AC＝2，求CE的长．
45．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，OD⊥AC，垂足为E，连接BD
（1）求证：BD平分∠ABC；
（2）当∠ODB＝30°时，求证：BC＝OD．中小学教育资源及组卷应用平台
圆周角定理及推论 专项练习
一．选择题（共14小题）
1．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径，若∠BEC＝20°，则∠ADC的度数为（　　）
A．100° B．110° C．120° D．130°
【思路点拔】连接AC，由AB是⊙O的直径得到∠ACB＝90°，根据圆周角定理得到∠CAB＝∠BEC＝20°，得到∠ABC＝90°﹣∠BAC＝70°，再由圆内接四边形对角互补得到答案．
【解答】解：如图，连接AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠BEC＝20°，
∴∠CAB＝∠BEC＝20°，
∴∠ABC＝90°﹣∠BAC＝70°，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝110°，
故选：B．
2．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，点D是⊙O上一点，连接BD，CD．若∠D＝28°，则∠OAB的度数为（　　）
A．28° B．34° C．56° D．62°
【思路点拔】根据∠D的度数，结合圆周角定理求出∠BOC的度数，再根据垂径定理得出∠AOB的度数，最后利用等边对等角即可解决问题．
【解答】解：∵∠D＝28°，
∴∠BOC＝2∠D＝56°．
∵OC⊥AB，
∴点C为的中点，
∴，
∴∠AOC＝∠BOC＝56°，
∴∠AOB＝2×56°＝112°．
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA．
故选：B．
3．如图，CD是⊙O的直径，点A，B在⊙O上．若，∠AOC＝36°，则∠D＝（　　）
A．9° B．18° C．36° D．45°
【思路点拔】先连接AD，根据在同圆和等圆中，等弧所对的圆周角相等证明∠ADC＝∠BDC，最后根据圆周角定理进行解答即可．
【解答】解：连接AD，
∵，
∴∠ADC＝∠BDC，
故选：B．
4．如图，AB是⊙O的直径，若∠CDB＝60°，则∠ABC的度数等于（　　）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【思路点拔】根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB＝90°，再根据同弧所对的圆周角相等可得∠A＝∠CDB＝60°，然后利用直角三角形的两个锐角互余进行计算，即可解答．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠CDB＝60°，
∴∠A＝∠CDB＝60°，
∴∠ABC＝90°﹣∠A＝30°，
故选：A．
5．如图，AC为⊙O的直径，点B，D在⊙O上，∠ABD＝60°，CD＝2，则AD的长为（　　）
A．2 B．2 C．2 D．4
【思路点拔】先利用圆周角定理可得：∠ADC＝90°，∠C＝∠ABD＝60°，由直角三角形的性质可得∠CAD＝30°，再由30°的直角三角形的性质和勾股定理可解答．
【解答】解：∵AC为⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
∵∠C＝∠ABD＝60°，
∴∠CAD＝30°，
∵CD＝2，
∴AC＝2CD＝4，
∴AD2．
故选：C．
6．如图，AD是半圆O的直径，点B、C在半圆上，且，点P在上，若∠PCB＝130°，则∠PBA等于（　　）
A．105° B．100° C．90° D．70°
【思路点拔】连接OB、OC、OP．根据圆心角、弧、弦的关系证明△AOB、△BOC均是等边三角形，根据等腰三角形的性质求出∠COP，再由圆周角定理求出∠PBC，根据“∠PBA＝∠ABC﹣∠PBC”求出∠PBA即可．
【解答】解：连接OB、OC、OP．
∵AD是半圆O的直径，
∴∠AOD＝180°，
∵，
∴∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝60°，
∵OA＝OB＝OC，
∴△AOB、△BOC均是等边三角形，
∴∠ABO＝∠CBO＝∠BCO＝60°，
∴∠ABC＝∠ABO+∠CBO＝120°，
∵OC＝OP，
∴△COP是等腰三角形，
∵∠PCB＝130°，
∴∠OPC＝∠OCP＝∠PCB﹣∠BCO＝130°﹣60°＝70°，
∴∠COP＝180°﹣∠OPC﹣∠OCP＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
∴∠PBC∠COP40°＝20°，
∴∠PBA＝∠ABC﹣∠PBC＝120°﹣20°＝100°．
故选：B．
7．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，BA平分∠CBD，若∠AOD＝50°，则∠A的度数为（　　）
A．65° B．55° C．50° D．75°
【思路点拔】先利用圆周角定理可得：∠ABD＝25°，然后利用平角定义得∠ABC＝25°，根据圆周角定理得∠C＝90°，再根据三角形内角和定理进行计算即可解答．
【解答】解：∵∠AOD＝50°，
∴∠ABD∠AOD＝25°，
∵BA平分∠CBD，
∴∠ABC＝∠ABD＝25°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠C＝90°，
∴∠A＝180°﹣90°﹣25°＝65°．
故选：A．
8．如图，分别延长圆内接四边形ABCD的两组对边，延长线相交于点E，F．若∠E＝54°41'，∠F＝43°19'，则∠A的度数为（　　）
A．42° B．41°20' C．41° D．40°20'
【思路点拔】根据圆内接四边形对角互补得出∠A+∠BCD＝180°，再根据三角形外角的性质得出∠CDF＝∠A+∠E，∠BCD＝∠F+∠CDF，由此得到2∠A+∠F+∠E＝180°，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠A+∠BCD＝180°，
∵∠CDF是△ADE的外角，
∴∠CDF＝∠A+∠E，
∵∠BCD是△CDF的外角，
∴∠BCD＝∠F+∠CDF，
∴∠BCD＝∠F+∠A+∠E，
∵∠A+∠F+∠A+∠E＝180°，
∴2∠A+∠F+∠E＝180°，
∵∠E＝54°41'，∠F＝43°19'，
∴2∠A+54°41'+43°19'＝180°，
∴∠A＝41°，
故选：C．
9．如图，已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，E为AD延长线上一点，∠AOC＝128°，则∠CDE等于（　　）
A．64° B．60° C．54° D．52°
【思路点拔】根据圆周角定理先求出∠ABC＝64°，再根据圆内接四边形的性质求出∠ADC的度数，最后根据邻补角的定义即可求出答案．
【解答】解：∵∠AOC＝128°，
∴∠ABC＝64°，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ADC＝180°﹣64°＝116°，
∴∠CDE＝180°﹣∠ADC＝64°．
故答案为：A．
10．如图，AD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB，连接CD，交OB于点E，∠BOC＝42°，则∠OED的度数是（　　）
A．61° B．63° C．65° D．67°
【思路点拔】根据垂径定理得，所以∠AOC＝∠BOC＝42°，根据圆周角定理得∠D∠AOC＝21°，再根据OC＝OD，∠C＝∠D＝21°，最后根据三角形的外角的性质即可得出答案．
【解答】解：∵半径OC⊥AB，
∴，
∴∠AOC＝∠BOC＝42°，
∴∠D∠AOC＝21°，
∵OC＝OD，
∴∠C＝∠D＝21°，
∴∠OED＝∠C+∠BOC＝21°+42°＝63°．
故选：B．
11．如图，四边形ABCD内接于⊙O．过点B作BE∥AD，交CD于点E．若∠BEC＝50°，则∠ABC的度数是（　　）
A．50° B．100° C．130° D．150°
【思路点拔】根据BE∥AD，得出∠ADC＝∠BEC＝50°，再根据圆内接四边形的性质即可得出答案．
【解答】解：∵BE∥AD，
∴∠ADC＝∠BEC＝50°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ABC＝180°﹣∠ADC＝130°．
故选：C．
12．如图，AB，AC为⊙O的两条弦，连接OB，OC，若∠A＝45°，则∠BOC的度数为（　　）
A．60° B．75° C．90° D．135°
【思路点拔】根据圆周角定理即可解决问题．
【解答】解：∵，
∴∠A．
又∵∠A＝45°，
∴∠BOC＝2×45°＝90°．
故选：C．
13．如图，AB是⊙O的直径，∠E＝35°，则∠BOD＝（　　）
A．80° B．100° C．120° D．110°
【思路点拔】由圆周角定理得到∠AOD＝2∠E＝70°，由邻补角的性质求出∠BOD＝180°﹣70°＝110°．
【解答】解：∵∠E＝35°，
∴∠AOD＝2∠E＝70°，
∴∠BOD＝180°﹣70°＝110°．
故选：D．
14．如图，点A，B，C在⊙O上，AC⊥OB，垂足为D，若∠A＝35°，则∠C的度数是（　　）
A．20° B．25° C．30° D．35°
【思路点拔】先根据圆周角定理求出∠O的度数，再由AC⊥OB得出∠CDO＝90°，进而可得出结论．
【解答】解：∵∠A＝35°，
∴∠O＝2∠A＝70°，
∵AC⊥OB，
∴∠CDO＝90°，
∴∠C＝90°﹣∠O＝90°﹣70°＝20°．
故选：A．
二．填空题（共10小题）
15．如图，在⊙O中，直径AB⊥CD于点E，CD＝6，BE＝1，则弦AC的长为 　　．
【思路点拔】由垂径定理得，设⊙O的半径为r，则O E＝O B﹣E B＝r﹣1，在Rt△OED中，由勾股定理得出方程，求出r＝5，即可得出AE＝9，在Rt△AEC中，由勾股定理即可求解．
【解答】解：∵A B⊥C D，C D＝6，
∴，
设⊙O的半径为r，则O E＝O B﹣E B＝r﹣1，
在Rt△OED中，由勾股定理得：OE2+DE2＝OD2，即（r﹣1）2+32＝r2，
解得：r＝5，
∴OA＝5，OE＝4，
∴AE＝OA+OE＝9，
在Rt△AEC中，由勾股定理得：，
故答案为：．
16．如图，⊙O的直径AB平分弦CD（不是直径）．若∠D＝35°，则∠C＝　55　°．
【思路点拔】设AB与CD相交于点E，根据垂直定义可得∠DEB＝90°，然后利用直角三角形的两个锐角可得互余∠B＝55°，从而利用同弧所对的圆周角相等可得∠C＝∠B＝55°，即可解答．
【解答】解：设AB与CD相交于点E，
∵⊙O的直径AB平分弦CD（不是直径），
∴AB⊥CD，
∴∠DEB＝90°，
∵∠D＝35°，
∴∠B＝90°﹣∠D＝55°，
∴∠C＝∠B＝55°，
故选：55．
17．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形OABC是菱形，则∠D＝　60　°．
【思路点拔】根据圆内接四边形的性质得到∠B+∠D＝180°，根据菱形的性质得到∠B＝∠AOC，根据圆周角定理得到∠D∠AOC，计算即可．
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠B+∠D＝180°，
∵四边形OABC是菱形，
∴∠B＝∠AOC，
∴∠AOC+∠D＝180°，
由圆周角定理得：∠D∠AOC，
∴∠D＝60°，
故答案为：60．
18．如图，AB是圆的直径，∠1、∠2、∠3、∠4的顶点均在AB上方的圆弧上，∠1、∠4的一边分别经过点A、B，则∠1+∠2+∠3+∠4＝　90　°．
【思路点拔】根据半圆的度数为 180°，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可得出结果．
【解答】∵AB是圆的直径，
∴AB所对的弧是半圆，所对圆心角的度数为180°，
∵∠1、∠2、∠3、∠4所对的弧的和为半圆，
∴，
故答案为：90．
19．如图，AB为⊙O的直径，，∠A＝53°，则∠B的度数是 　37°　．
【思路点拔】连接BC，根据直径所对的圆周角是直角得∠ACB＝90°，进而可求出∠ABC＝37°，然后再根据在同圆中，等弧所对的圆周角相等可得出∠ABC的度数．
【解答】解：连接BC，如图所示：
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
在Rt△ABC中，∠A＝53°，
∴∠ABC＝90°﹣∠A＝37°，
∵，
∴∠ABD＝∠ABC＝37°，
故答案为：37°．
20．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠A＝50°，则∠C的度数是 　130°　．
【思路点拔】根据圆内接四边形的对角互补计算即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠C＝180°，
∵∠A＝50°，
∴∠C＝130°，
故答案为：130°．
21．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，连接AD、BC、BD．若∠BCD＝20°，则∠ABD＝　70　°．
【思路点拔】先利用圆周角定理得出∠BAD的度数，再根据AB为圆的直径，得出∠ADB的度数，据此可求出∠ABD的度数．
【解答】解：∵，
∴∠BAD＝∠BCD＝20°．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ABD＝90°﹣20°＝70°．
故答案为：70°．
22．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形．若四边形ABCO为菱形，则∠ADC的大小为 　60°　．
【思路点拔】根据圆内接四边形的性质得到∠B+∠D＝180°，根据圆周角定理得到∠D∠AOC，根据菱形的性质得到∠B＝∠AOC，计算即可．
【解答】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠B+∠D＝180°，
由圆周角定理得：∠D∠AOC，
∵四边形ABCO为菱形，
∴∠B＝∠AOC，
∴∠AOC∠AOC＝180°，
解得：∠AOC＝120°，
∴∠ADC＝60°，
故答案为：60°．
23．如图，BC是⊙O的弦，连接OB，OC，∠A是所对的圆周角，则∠A与∠OBC的和的度数是 　90°　．
【思路点拔】根据同弧所对圆周角与圆心角的关系，再结合三角形的内角和定理即可解决问题．
【解答】解：∵∠A是所对的圆周角，
∴∠A．
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB．
又∵∠O+∠OBC+∠OCB＝180°，
∴∠O+2∠OBC＝180°，
∴，
即∠A+∠OBC＝90°．
故答案为：90°．
24．如图，AB是⊙O的直径，位于AB两侧的点C，D均在⊙O上，∠BOC＝30°，则∠ADC＝　75　度．
【思路点拔】根据邻补角定义求出∠AOC＝150°，再根据圆周角定理求解即可．
【解答】解：∵∠BOC＝30°，∠AOC+∠BOC＝180°，
∴∠AOC＝150°，
∴∠ADC∠AOC＝75°，
故答案为：75．
三．解答题（共21小题）
25．如图，在圆内接四边形ABCD中，AD＜AC，∠ADC＜∠BAD，延长AD至点E，使AE＝AC，延长BA至点F，连结EF，使∠AFE＝∠ADC．
（1）若∠AFE＝60°，CD为直径，求∠ABD的度数．
（2）求证：①EF∥BC；
②EF＝BD．
【思路点拔】（1）根据圆周角定理进行计算即可；
（2）①利用圆内接四边形的外角等于它的内对角以及平行线的判定方法即可得出结论；
②根据全等三角形的性质，圆周角定理进行解答即可．
【解答】（1）解：∵CD为直径，
∴∠CAD＝90°，
∵∠AFE＝∠ADC＝60°，
∴∠ACD＝90°﹣60°＝30°，
∴∠ABD＝∠ACD＝30°；
（2）证明：①如图，延长AB，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠CBM＝∠ADC，
又∵∠AFE＝∠ADC，
∴∠AFE＝∠CBM，
∴EF∥BC；
②过点D作DG∥BC交⊙O于点G，连接AG，CG，
∵DG∥BC，
∴，
∴BD＝CG，
∵四边形ACGD是圆内接四边形，
∴∠GDE＝∠ACG，
∵EF∥DG，
∴∠DEF＝∠GDE，
∴∠DEF＝∠ACG，
∵∠AFE＝∠ADC，∠ADC＝∠AGC，
∴∠AFE＝∠AGC，
∵AE＝AC，
∴△AEF≌△ACG（AAS），
∴EF＝CG，
∴EF＝BD．
26．如图，AB是⊙O的直径，BC，BD是⊙O的两条弦，点C与点D在AB的两侧，E是OB上一点（OE＞BE），连接OC，CE，且∠BOC＝2∠BCE．
（1）如图1，若BE＝1，CE，求⊙O的半径；
（2）如图2，若BD＝2OE，求证：BD∥OC．（请用两种证法解答）
【思路点拔】（1）如图1中，过点O作OH⊥BC于点H．首先证明∠CEB＝90°，由勾股定理求出BC，再根据cos∠OBH，构建关系式求出OB即可；
（2）证法一：如图2中，过点O作OK⊥BD于点K，则BK＝DK，利用全等三角形的性质证明∠COE＝∠OBD；
证法二：如图2中，过点O作OK⊥BD于点K，则BK＝DK，证明cos∠COE＝cos∠OBK，推出∠COE＝∠OBK，可得结论．
【解答】（1）解：如图1中，过点O作OH⊥BC于点H．
∵OC＝OB，OH⊥BC，
∴∠COH＝∠BOH，CH＝BH，
∵∠BOC＝2∠BCE，
∴∠BOH＝∠BCE，
∵∠BOH+∠OBH＝90°，
∴∠BCE+∠OBH＝90°，
∴∠CEB＝90°，
∴BC，
∴CH＝BH，
∵cos∠OBH，
∴，
∴OB＝3，
∴⊙O的半径为3．
（2）证法一：如图2中，过点O作OK⊥BD于点K，则BK＝DK，
∵BD＝2OE，
∴OE＝BK，
∵∠CEO＝∠OKB＝90°，OC＝OB，
∴Rt△OEC≌Rt△BKO（HL），
∴∠COE＝∠OBK，
∴OC∥BD；
证法二：如图2中，过点O作OK⊥BD于点K，则BK＝DK，
∵BD＝2OE，
∴OE＝BK，
∵cos∠COE，cos∠OBK，OC＝OB，
∴cos∠COE＝cos∠OBK，
∴∠COE＝∠OBK，
∴OC∥BD；
27．如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，BD平分∠ABC，∠BAC＝∠ADB．
（1）求证DB平分∠ADC，并求∠BAD的大小；
（2）过点C作CF∥AD交AB的延长线于点F，若AC＝AD，BF＝2，求此圆半径的长．
【思路点拔】（1）由圆周角定理得到∠BAC＝∠CDB，而∠BAC＝∠ADB，因此∠ADB＝∠CDB，得到BD平分∠ADC，由圆内接四边形的性质得到∠ABD+∠ADB＝90°，即可求出∠BAD＝90°；
（2）由垂径定理推出△ACD是等边三角形，得到∠ADC＝60°由BD⊥AC，得到∠BDC∠ADC＝30°，由平行线的性质求出∠F＝90°，由圆内接四边形的性质求出∠FBC＝∠ADC＝60°，得到BC＝2BF＝4，由直角三角形的性质得到BCBD，因为BD是圆的直径，即可得到圆半径的长是4．
【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠ADB，∠BAC＝∠CDB，
∴∠ADB＝∠CDB，
∴BD平分∠ADC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠ABD+∠CBD+∠ADB+∠CDB＝180°，
∴2（∠ABD+∠ADB）＝180°，
∴∠ABD+∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝180°﹣90°＝90°；
（2）解：∵∠BAE+∠DAE＝90°，∠BAE＝∠ADE，
∴∠ADE+∠DAE＝90°，
∴∠AED＝90°，
∵∠BAD＝90°，
∴BD是圆的直径，
∴BD垂直平分AC，
∴AD＝CD，
∵AC＝AD，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠ADC＝60°
∵BD⊥AC，
∴∠BDC∠ADC＝30°，
∵CF∥AD，
∴∠F+∠BAD＝180°，
∴∠F＝90°，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ADC+∠ABC＝180°，
∵∠FBC+∠ABC＝180°，
∴∠FBC＝∠ADC＝60°，
∴BC＝2BF＝4，
∵∠BCD＝90°，∠BDC＝30°，
∴BCBD，
∵BD是圆的直径，
∴圆的半径长是4．
28．如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠ACB＝2∠BAC．
（1）求证：∠AOB＝2∠BOC；
（2）若AB＝4，，求⊙O的半径．
【思路点拔】（1）利用圆周角定理可得，，结合∠ACB＝2∠BAC可证明结论；
（2）过点O作半径OD⊥AB于点E，可得AE＝BE，根据圆周角、弦、弧的关系可证得BD＝BC，即可求得BE＝2，，利用勾股定理可求解DE＝1，再利用勾股定理可求解圆的半径．
【解答】（1）证明：∵，，∠ACB＝2∠BAC，
∴∠AOB＝2∠BOC；
（2）解：过点O作半径OD⊥AB于点E，连接DB，
∴AE＝BE，
∵∠AOB＝2∠BOC，∠DOB∠AOB，
∴∠DOB＝∠BOC．
∴BD＝BC．
∵AB＝4，，
∴BE＝2，，
在 Rt△BDE 中，∠DEB＝90°，
∴，
在Rt△BOE中，∠OEB＝90°，
OB2＝（OB﹣1）2+22，
解得，
即⊙O的半径是 ．
29．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，D是上一点，P是AB延长线上一点，连接AD，DC，CP．
（1）求证：∠ADC﹣∠BAC＝90°；（请用两种证法解答）
（2）若∠ACP＝∠ADC，⊙O的半径为3，CP＝4，求AP的长．
【思路点拔】（1）方法一：连接BD，利用圆周角定理及角的和差即可证得结论；
方法二：连接BC，利用圆周角定理求得∠ACB＝90°，再利用圆内接四边形的性质及三角形的外角性质即可证得结论；
（2）根据方法二中的图形易证得△PBC∽△PCA，结合已知条件，根据相似三角形的对应边成比例求得PB的长，继而求得AP的长．
【解答】（1）证明：方法一：如图，连接BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ADC﹣∠BDC＝∠ADB，∠BDC＝∠BAC，
∴∠ADC﹣∠BAC＝90°；
方法二：如图，连接BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠PBC＝∠BAC+∠ACB，
∴∠PBC﹣∠BAC＝90°，
∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠ADC+∠ABC＝180°，
∵∠PBC+∠ABC＝180°，
∴∠ADC＝∠PBC，
∴∠ADC﹣∠BAC＝90°；
（2）解：由图可得∠ADC＝∠PBC，
∵ACP＝∠ADC，
∴∠PBC＝∠ACP，即∠PBC＝∠PCA，
∵∠BPC＝∠CPA，
∴△PBC∽△PCA，
∴，
∴PC2＝PA PB，
∵⊙O的半径为3，
∴AB＝6，
∴PA＝PB+6，
∵CP＝4，
∴42＝（PB+6） PB，
解得：PB＝2或PB＝﹣8（舍去），
则AP＝2+6＝8．
30．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，∠ADB＝∠CDB．
（1）试判断△ABC的形状，并给出证明；
（2）若AB，AD＝1，求CD的长度．
【思路点拔】（1）根据圆周角定理，等腰直角三角形的判定定理解答即可；
（2）根据勾股定理解答即可．
【解答】解：（1）△ABC是等腰直角三角形，证明过程如下：
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ADC＝∠ABC＝90°，
∵∠ADB＝∠CDB，
∴，
∴AB＝BC，
又∵∠ABC＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形．
（2）在Rt△ABC中，AB＝BC，
∴AC＝2，
在Rt△ADC中，AD＝1，AC＝2，
∴CD．
即CD的长为：．
31．如图，以AB为直径的⊙O经过△ABC的顶点C，AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC，AE的延长线交⊙O于点D，连接BD．
（1）判断△BDE的形状，并证明你的结论；
（2）若AB＝10，BE＝2，求BC的长．
【思路点拔】（1）由角平分线的定义可知，∠BAE＝∠CAD＝∠CBD，∠ABE＝∠EBC，所以∠BED＝∠DBE，所以BD＝ED，因为AB为直径，所以∠ADB＝90°，所以△BDE是等腰直角三角形．
（2）连接OC、CD、OD，OD交BC于点F．因为∠DBC＝∠CAD＝∠BAD＝∠BCD．所以BD＝DC．因为OB＝OC．所以OD垂直平分BC．由△BDE是等腰直角三角形，BE＝2，可得BD＝2．因为OB＝OD＝5．设OF＝t，则DF＝5﹣t．在Rt△BOF和Rt△BDF中，52﹣t2＝（2）2﹣（5﹣t）2，解出t的值即可．
【解答】（1）解：△BDE为等腰直角三角形．
证明：∵AE 平分∠BAC，BE 平分∠ABC，
∴∠BAE＝∠CAD＝∠CBD，∠ABE＝∠EBC．
∵∠BED＝∠BAE+∠ABE，∠DBE＝∠DBC+∠CBE，
∴∠BED＝∠DBE．
∴BD＝ED．
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∴△BDE是等腰直角三角形．
另解：计算∠AEB＝135°也可以得证．
（2）解：连接OC、CD、OD，OD交BC于点F.
∵∠DBC＝∠CAD＝∠BAD＝∠BCD．
∴BD＝DC．
∵OB＝OC．
∴OD垂直平分BC．
∵△BDE是等腰直角三角形，BE＝2，
∴BD＝2．
∵AB＝10，
∴OB＝OD＝5．
设OF＝t，则DF＝5﹣t．
在Rt△BOF和Rt△BDF中，52﹣t2＝（2）2﹣（5﹣t）2，
解得t＝3，
∴BF＝4．
∴BC＝8．
另解：分别延长AC，BD相交于点G．则△ABG为等腰三角形，先计算AG＝10，BG＝4，AD＝4，再根据面积相等求得BC．
32．如图，AB为⊙O的直径，点 C、D在⊙O上，AC与OD交于点E，AE＝EC，OE＝ED．连接BC、CD．求证：
（1）△AOE≌△CDE；
（2）四边形OBCD是菱形．
【思路点拔】（1）利用“SAS”可证明△AOE≌△CDE；
（2）利用△AOE≌△CDE得到OA＝CD，∠AOE＝∠D，则可证明OB∥CD，于是可判断四边形OBCD为平行四边形，然后根据OB＝OD得到四边形OBCD是菱形．
【解答】证明：（1）在△AOE和△CDE中，
，
∴△AOE≌△CDE（SAS）；
（2）∵△AOE≌△CDE，
∴OA＝CD，∠AOE＝∠D，
∴OB∥CD，
∵OA＝OB，
∴OB＝CD，
∴四边形OBCD为平行四边形，
∵OB＝OD，
∴四边形OBCD是菱形．
33．如图，圆O中两条互相垂直的弦AB，CD交于点E．
（1）M是CD的中点，OM＝3，CD＝12，求圆O的半径长；
（2）点F在CD上，且CE＝EF，求证：AF⊥BD．
【思路点拔】（1）连接OD，由垂径定理推论可得∠OMD＝90°，在Rt△OMD中用勾股定理即可得半径；
（2）连接AC，延长AF交BD于G，由已知可证△ACF是等腰三角形，∠FAE＝∠CAE，又弧BC＝弧BC，有∠CAE＝∠CDB，故∠FAE＝∠CDB，即可由∠CDB+∠B＝90°，得∠AGB＝90°，从而得证AF⊥BD．
【解答】解：（1）连接OD，如图：
∵M是CD的中点，CD＝12，
∴DMCD＝6，OM⊥CD，∠OMD＝90°，
Rt△OMD中，OD，且OM＝3，
∴OD3，即圆O的半径长为3；
（2）连接AC，延长AF交BD于G，如图：
∵AB⊥CD，CE＝EF，
∴AB是CF的垂直平分线，
∴AF＝AC，即△ACF是等腰三角形，
∵CE＝EF，
∴∠FAE＝∠CAE，
∵，
∴∠CAE＝∠CDB，
∴∠FAE＝∠CDB，
Rt△BDE中，∠CDB+∠B＝90°，
∴∠FAE+∠B＝90°，
∴∠AGB＝90°，
∴AG⊥BD，即AF⊥BD．
34．如图，在△ABC中，AC＝BC，D是AB上一点，⊙O经过点A、C、D，交BC于点E，过点D作DF∥BC，交⊙O于点F．
求证：（1）四边形DBCF是平行四边形；
（2）AF＝EF．
【思路点拔】（1）根据等腰三角形的性质得出∠BAC＝∠B，根据平行线的性质得出∠ADF＝∠B，求出∠ADF＝∠CFD，根据平行线的判定得出BD∥CF，根据平行四边形的判定得出即可；
（2）求出∠AEF＝∠B，根据圆内接四边形的性质得出∠ECF+∠EAF＝180°，根据平行线的性质得出∠ECF+∠B＝180°，求出∠AEF＝∠EAF，根据等腰三角形的判定得出即可．
【解答】证明：（1）∵AC＝BC，
∴∠BAC＝∠B，
∵DF∥BC，
∴∠ADF＝∠B，
∵∠BAC＝∠CFD，
∴∠ADF＝∠CFD，
∴BD∥CF，
∵DF∥BC，
∴四边形DBCF是平行四边形；
（2）连接AE，
∵∠ADF＝∠B，∠ADF＝∠AEF，
∴∠AEF＝∠B，
∵四边形AECF是⊙O的内接四边形，
∴∠ECF+∠EAF＝180°，
∵BD∥CF，
∴∠ECF+∠B＝180°，
∴∠EAF＝∠B，
∴∠AEF＝∠EAF，
∴AF＝EF．
35．如图，四边形ABCD内接于圆，∠ABC＝60°，对角线BD平分∠ADC．
（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）过点B作BE∥CD交DA的延长线于点E，若AD＝2，DC＝3，求△BDE的面积．
【思路点拔】（1）根据三个内角相等的三角形是等边三角形即可判断；
（2）过点A作AE⊥CD，垂足为点E，过点B作BF⊥AC，垂足为点F．根据S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD，分别求出△ABC，△ACD的面积，即可求得四边形ABCD的面积，然后通过证得△EAB≌△DCB（AAS），即可求得△BDE的面积＝四边形ABCD的面积．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD内接于圆．
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠ADC＝120°，
∵DB平分∠ADC，
∴∠ADB＝∠CDB＝60°，
∴∠ACB＝∠ADB＝60°，∠BAC＝∠CDB＝60°，
∴∠ABC＝∠BCA＝∠BAC，
∴△ABC是等边三角形．
（2）过点A作AM⊥CD，垂足为点M，过点B作BN⊥AC，垂足为点N．
∴∠AMD＝90°，
∵∠ADC＝120°，
∴∠ADM＝60°，
∴∠DAM＝30°，
∴DMAD＝1，AM，
∵CD＝3，
∴CM＝CD+DM＝1+3＝4，
∴S△ACDCD AM，
Rt△AMC中，∠AMD＝90°，
∴AC，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，
∴BNBC，
∴S△ABC，
∴四边形ABCD的面积，
∵BE∥CD，
∴∠E+∠ADC＝180°，
∵∠ADC＝120°，
∴∠E＝60°，
∴∠E＝∠BDC，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠EAB＝∠BCD，
在△EAB和△DCB中，
，
∴△EAB≌△DCB（AAS），
∴△BDE的面积＝四边形ABCD的面积．
方法二
（2）∵BE∥CD，
∴∠EBD＝∠BDC，
∵∠ADB＝∠CDB＝60°，
∴∠EBD＝∠EDB＝60°，
∴△BDE是等边三角形，
又∵△ABC为等边三角形，
∴∠EBD＝∠ABC＝60°，
∴∠ABE＝∠CBD，
在△ABE和△CBD中，
，
∴△ABE≌△CBD（SAS），
∴AE＝CD＝3，
∴DE＝AE+AD＝5，
∴△BDE的面积
36．如图，在⊙O中，B是⊙O上的一点，∠ABC＝120°，弦AC＝2，弦BM平分∠ABC交AC于点D，连接MA，MC．
（1）求⊙O半径的长；
（2）求证：AB+BC＝BM．
【思路点拔】（1）连接OA、OC，过O作OH⊥AC于点H，由圆内接四边形的性质求得∠AMC，再求得∠AOC，最后解直角三角形得OA便可；
（2）在BM上截取BE＝BC，连接CE，证明BC＝BE，再证明△ACB≌△MCE，得AB＝ME，进而得结论．
【解答】解：（1）连接OA、OC，过O作OH⊥AC于点H，如图1，
∵∠ABC＝120°，
∴∠AMC＝180°﹣∠ABC＝60°，
∴∠AOC＝2∠AMC＝120°，
∴∠AOH∠AOC＝60°，
∵AHAC，
∴OA，
故⊙O的半径为2．
（2）证明：在BM上截取BE＝BC，连接CE，如图2，
∵∠ABC＝120°，BM平分∠ABC，
∴∠ABM＝∠CBM＝60°，
∵BE＝BC，
∴△EBC是等边三角形，
∴CE＝CB＝BE，∠BCE＝60°，
∴∠BCD+∠DCE＝60°，
∵∠ACM＝60°，
∴∠ECM+∠DCE＝60°，
∴∠ECM＝∠BCD，
∵∠CAM＝∠CBM＝60°，∠ACM＝∠ABM＝60°，
∴△ACM是等边三角形，
∴AC＝CM，
∴△ACB≌△MCE，
∴AB＝ME，
∵ME+EB＝BM，
∴AB+BC＝BM．
37．如图，已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED，若ED＝EC．
（1）求证：AB＝AC；
（2）若AB＝4，BC＝2，求CD的长．
【思路点拔】（1）由等腰三角形的性质得到∠EDC＝∠C，由圆内接四边形的性质得到∠EDC＝∠B，由此推得∠B＝∠C，由等腰三角形的判定即可证得结论；
（2）连接AE，由AB为直径，可证得AE⊥BC，由（1）知AB＝AC，证明△CDE∽△CBA后即可求得CD的长．
【解答】（1）证明：∵ED＝EC，
∴∠EDC＝∠C，
∵∠EDC＝∠B，（∵∠EDC+∠ADE＝180°，∠B+∠ADE＝180°，∴∠EDC＝∠B）
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC；
（2）方法一：
解：连接AE，
∵AB为直径，
∴AE⊥BC，
由（1）知AB＝AC，
∴BE＝CEBC，
∵△CDE∽△CBA，
∴，
∴CE CB＝CD CA，AC＝AB＝4，
∴ 24CD，
∴CD．
方法二：
解：连接BD，
∵AB为直径，
∴BD⊥AC，
设CD＝a，
由（1）知AC＝AB＝4，
则AD＝4﹣a，
在Rt△ABD中，由勾股定理可得：
BD2＝AB2﹣AD2＝42﹣（4﹣a）2
在Rt△CBD中，由勾股定理可得：
BD2＝BC2﹣CD2＝（2）2﹣a2
∴42﹣（4﹣a）2＝（2）2﹣a2
整理得：a，
即：CD．
38．已知AB是半径为1的圆O直径，C是圆上一点，D是BC延长线上一点，过点D的直线交AC于E点，且△AEF为等边三角形
（1）求证：△DFB是等腰三角形；
（2）若DAAF，求证：CF⊥AB．
【思路点拔】（1）由AB是⊙O直径，得到∠ACB＝90°，由于△AEF为等边三角形，得到∠CAB＝∠EFA＝60°，根据三角形的外角的性质即可得到结论；
（2）过点A作AM⊥DF于点M，设AF＝2a，根据等边三角形的性质得到FM＝EM＝a，AMa，在根据已知条件得到AB＝AF+BF＝8a，根据直角三角形的性质得到AE＝EF＝AF＝CE＝2a，推出∠ECF＝∠EFC，根据三角形的内角和即可得到结论．
【解答】解：（1）∵AB是⊙O直径，
∴∠ACB＝90°，
∵△AEF为等边三角形，
∴∠CAB＝∠EFA＝60°
∴∠B＝30°，
∵∠EFA＝∠B+∠FDB，
∴∠B＝∠FDB＝30°，
∴△DFB是等腰三角形；
（2）过点A作AM⊥DF于点M，设AF＝2a，
∵△AEF是等边三角形，
∴FM＝EM＝a，AMa，
在Rt△DAM中，ADAF＝2a，AM，
∴DM＝5a，
∴DF＝BF＝6a，
∴AB＝AF+BF＝8a，
在Rt△ABC中，∠B＝30°，∠ACB＝90°，∴AC＝4a，
∵AE＝EF＝AF＝2a，
∴CE＝AC﹣AE＝2a，
∴∠ECF＝∠EFC，
∵∠AEF＝∠ECF+∠EFC＝60°，
∴∠CFE＝30°，
∴∠AFC＝∠AFE+∠EFC＝60°+30°＝90°，
∴CF⊥AB．
39．如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°．
（1）判断△ABC的形状：　等边三角形　；
（2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）当点P位于的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积．
【思路点拔】（1）利用圆周角定理可得∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC，而∠APC＝∠CPB＝60°，所以∠BAC＝∠ABC＝60°，从而可判断△ABC的形状；
（2）在PC上截取PD＝AP，则△APD是等边三角形，然后证明△APB≌△ADC，证明BP＝CD，即可证得；
（3）过点P作PE⊥AB，垂足为E，过点C作CF⊥AB，垂足为F，把四边形的面积转化为两个三角形的面积进行计算，当点P为的中点时，PE+CF＝PC从而得出最大面积．
【解答】证明：（1）△ABC是等边三角形．
证明如下：在⊙O中
∵∠BAC与∠CPB是所对的圆周角，∠ABC与∠APC是所对的圆周角，
∴∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC，
又∵∠APC＝∠CPB＝60°，
∴∠ABC＝∠BAC＝60°，
∴△ABC为等边三角形；
（2）在PC上截取PD＝AP，连接AD，如图1，
又∵∠APC＝60°，
∴△APD是等边三角形，
∴AD＝AP＝PD，∠ADP＝60°，即∠ADC＝120°．
又∵∠APB＝∠APC+∠BPC＝120°，
∴∠ADC＝∠APB，
在△APB和△ADC中，
，
∴△APB≌△ADC（AAS），
∴BP＝CD，
又∵PD＝AP，
∴CP＝BP+AP；
（3）当点P为的中点时，四边形APBC的面积最大．
理由如下，如图2，过点P作PE⊥AB，垂足为E．
过点C作CF⊥AB，垂足为F．
∵S△APBAB PE，S△ABCAB CF，
∴S四边形APBCAB （PE+CF），
当点P为的中点时，PE+CF＝PC，PC为⊙O的直径，
∴此时四边形APBC的面积最大．
又∵⊙O的半径为1，
∴其内接正三角形的边长AB，
∴S四边形APBC2．
40．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC＝BC＝DC．
（1）若∠CBD＝39°，求∠BAD的度数；
（2）求证：∠1＝∠2．
【思路点拔】（1）根据等腰三角形的性质由BC＝DC得到∠CBD＝∠CDB＝39°，再根据圆周角定理得∠BAC＝∠CDB＝39°，∠CAD＝∠CBD＝39°，所以∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝78°；
（2）根据等腰三角形的性质由EC＝BC得∠CEB＝∠CBE，再利用三角形外角性质得∠CEB＝∠2+∠BAE，则∠2+∠BAE＝∠1+∠CBD，加上∠BAE＝∠CBD，所以∠1＝∠2．
【解答】（1）解：∵BC＝DC，
∴∠CBD＝∠CDB＝39°，
∵∠BAC＝∠CDB＝39°，∠CAD＝∠CBD＝39°，
∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝39°+39°＝78°；
（2）证明：∵EC＝BC，
∴∠CEB＝∠CBE，
而∠CEB＝∠2+∠BAE，∠CBE＝∠1+∠CBD，
∴∠2+∠BAE＝∠1+∠CBD，
∵∠BAE＝∠BDC＝∠CBD，
∴∠1＝∠2．
41．如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F．
（1）若∠E＝∠F时，求证：∠ADC＝∠ABC；
（2）若∠E＝∠F＝42°时，求∠A的度数；
（3）若∠E＝α，∠F＝β，且α≠β．请你用含有α、β的代数式表示∠A的大小．
【思路点拔】（1）根据外角的性质即可得到结论；
（2）根据圆内接四边形的性质和等量代换即可求得结果；
（3）连接EF，如图，根据圆内接四边形的性质得∠ECD＝∠A，再根据三角形外角性质得∠ECD＝∠1+∠2，则∠A＝∠1+∠2，然后根据三角形内角和定理有∠A+∠1+∠2+∠E+∠F＝180°，即2∠A+α+β＝180°，再解方程即可．
【解答】解：（1）∠E＝∠F，
∵∠DCE＝∠BCF，
∠ADC＝∠E+∠DCE，∠ABC＝∠F+∠BCF，
∴∠ADC＝∠ABC；
（2）由（1）知∠ADC＝∠ABC，
∵∠EDC＝∠ABC，
∴∠EDC＝∠ADC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠A＝90°﹣42°＝48°；
（3）连接EF，如图，
∵四边形ABCD为圆的内接四边形，
∴∠ECD＝∠A，
∵∠ECD＝∠1+∠2，
∴∠A＝∠1+∠2，
∵∠A+∠1+∠2+∠AEB+∠AFD＝180°，
∴2∠A+α+β＝180°，
∴∠A＝90°．
42．如图，以△ABC的一边AB为直径的半圆与其它两边AC，BC的交点分别为D、E，且．
（1）试判断△ABC的形状，并说明理由．
（2）已知半圆的半径为5，BC＝12，求sin∠ABD的值．
【思路点拔】（1）连接AE，如图，根据圆周角定理，由得∠DAE＝∠BAE，由AB为直径得∠AEB＝90°，根据等腰三角形的判定方法即可得△ABC为等腰三角形；
（2）由等腰三角形的性质得BE＝CEBC＝6，再在Rt△ABE中利用勾股定理计算出AE＝8，接着由AB为直径得到∠ADB＝90°，则可利用面积法计算出BD，然后在Rt△ABD中利用勾股定理计算出AD，再根据正弦的定义求解．
【解答】解：（1）△ABC为等腰三角形．理由如下：
连接AE，如图，
∵，
∴∠DAE＝∠BAE，即AE平分∠BAC，
∵AB为直径，
∴∠AEB＝90°，
∴AE⊥BC，
∴△ABC为等腰三角形；
（2）∵△ABC为等腰三角形，AE⊥BC，
∴BE＝CEBC12＝6，
在Rt△ABE中，∵AB＝10，BE＝6，
∴AE8，
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AE BCBD AC，
∴BD，
在Rt△ABD中，∵AB＝10，BD，
∴AD，
∴sin∠ABD．
43．已知⊙O的直径为10，点A，点B，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．
（Ⅰ）如图①，若BC为⊙O的直径，AB＝6，求AC，BD，CD的长；
（Ⅱ）如图②，若∠CAB＝60°，求BD的长．
【思路点拔】（Ⅰ）利用圆周角定理可以判定△CAB和△DCB是直角三角形，利用勾股定理可以求得AC的长度；利用圆心角、弧、弦的关系推知△DCB也是等腰三角形，所以利用勾股定理同样得到BD＝CD＝5；
（Ⅱ）如图②，连接OB，OD．由圆周角定理、角平分线的性质以及等边三角形的判定推知△OBD是等边三角形，则BD＝OB＝OD＝5．
【解答】解：（Ⅰ）如图①，∵BC是⊙O的直径，
∴∠CAB＝∠BDC＝90°．
∵在直角△CAB中，BC＝10，AB＝6，
∴由勾股定理得到：AC8．
∵AD平分∠CAB，
∴，
∴CD＝BD．
在直角△BDC中，BC＝10，CD2+BD2＝BC2，
∴易求BD＝CD＝5；
（Ⅱ）如图②，连接OB，OD．
∵AD平分∠CAB，且∠CAB＝60°，
∴∠DAB∠CAB＝30°，
∴∠DOB＝2∠DAB＝60°．
又∵OB＝OD，
∴△OBD是等边三角形，
∴BD＝OB＝OD．
∵⊙O的直径为10，则OB＝5，
∴BD＝5．
44．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC＝CB，延长DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC，CE．
（1）求证：∠B＝∠D；
（2）若AB＝4，BC﹣AC＝2，求CE的长．
【思路点拔】（1）由AB为⊙O的直径，易证得AC⊥BD，又由DC＝CB，根据线段垂直平分线的性质，可证得AD＝AB，即可得：∠B＝∠D；
（2）首先设BC＝x，则AC＝x﹣2，由在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，可得方程：（x﹣2）2+x2＝42，解此方程即可求得CB的长，继而求得CE的长．
【解答】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴AC⊥BC，
又∵DC＝CB，
∴AD＝AB，
∴∠B＝∠D；
（2）解：设BC＝x，则AC＝x﹣2，
在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，
∴（x﹣2）2+x2＝42，
解得：x1＝1，x2＝1（舍去），
∵∠B＝∠E，∠B＝∠D，
∴∠D＝∠E，
∴CD＝CE，
∵CD＝CB，
∴CE＝CB＝1．
45．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，OD⊥AC，垂足为E，连接BD
（1）求证：BD平分∠ABC；
（2）当∠ODB＝30°时，求证：BC＝OD．
【思路点拔】（1）由OD⊥AC OD为半径，根据垂径定理，即可得，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可证得BD平分∠ABC；
（2）首先由OB＝OD，易求得∠AOD的度数，又由OD⊥AC于E，可求得∠A的度数，然后由AB是⊙O的直径，根据圆周角定理，可得∠ACB＝90°，继而可证得BC＝OD．
【解答】证明：（1）∵OD⊥AC OD为半径，
∴，
∴∠CBD＝∠ABD，
∴BD平分∠ABC；
（2）∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠0DB＝30°，
∴∠AOD＝∠OBD+∠ODB＝30°+30°＝60°，
又∵OD⊥AC于E，
∴∠OEA＝90°，
∴∠A＝180°﹣∠OEA﹣∠AOD＝180°﹣90°﹣60°＝30°，
又∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
在Rt△ACB中，BCAB，
∵ODAB，
∴BC＝OD．

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