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苏科版2024～2025初二数学10月月考数学卷
一．选择题（共8小题）
1．下面四幅作品分别代表“立春”、芒种”、“白露”、“大雪”四个节气，其中是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【思路点拔】根据轴对称图形的概念判断即可．
【解答】解：A、不是轴对称图形
B、不是轴对称图形
C、不是轴对称图形
D、是轴对称图形；
故选：D．
2．下列条件中，不能判断△ABC为直角三角形的是（　　）
A．AB＝15，BC＝8，AC＝17 B．AB：BC：AC＝2：3：4
C．∠A﹣∠B＝∠C D．∠A：∠B：∠C＝1：2：3
【思路点拔】根据勾股定理的逆定理、三角形的内角和为180度进行判定即可．
【解答】解：A、152+82＝172，符合勾股定理的逆定理，故成立，不符合题意；
B、因为AB：BC：AC＝2：3：4，所以设AB＝2x，BC＝3x，AC＝4x，则（2x）2+（3x）2≠（4x）2，故不为直角三角形，符合题意；
C、因为∠A﹣∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，则∠A＝90°，故为直角三角形，不符合题意；
D、因为∠A：∠B：∠C＝1：2：3，所以设∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝3x，故x+2x+3x＝180°，解得x＝30°，2x＝30°×2＝60°，3x＝30°×3＝90°，故此三角形是直角三角形，不符合题意．
故选：B．
3．到△ABC的三条边距离相等的点是△ABC的（　　）
A．三条中线交点
B．三条角平分线交点
C．三条高的交点
D．三条边的垂直平分线交点
【思路点拔】由于角平分线上的点到角的两边的距离相等，而已知一点到△ABC的三条边距离相等，那么这样的点在这个三角形的三条角平分线上，由此即可作出选择．
【解答】解：∵到△ABC的三条边距离相等，
∴这点在这个三角形三条角平分线上，
即这点是三条角平分线的交点．
故选：B．
4．一张正方形纸片按图1、图2箭头方向依次对折后，再沿图3虚线裁剪得到图4，把图4展开铺平的图案应是（　　）
A． B．
C． D．
【思路点拔】严格按照图中的顺序亲自动手操作一下即可．
【解答】解：严格按照图中的顺序向右对折，向上对折，从下面中间剪去一个半圆，展开得到的图形是．
故选：D．
5．如图，一轮船以12海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以5海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后两船相距（　　）
A．13海里 B．16海里 C．20海里 D．26海里
【思路点拔】根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角．然后根据路程＝速度×时间，得两条船分别走了24，18．再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离．
【解答】解：∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向，
∴∠BAC＝90°，
两小时后，两艘船分别行驶了12×2＝24（海里），5×2＝10（海里），
根据勾股定理得：26（海里）．
答：离开港口2小时后两船相距26海里，
故选：D．
6．如图，在等腰△ABC中，AC＝BC，点D是线段AC上一点，过点D作DE∥AB交BC于点E，且BE＝DE，∠A＝2∠C，则∠BDC＝（　　）
A．120° B．100° C．108° D．110°
【思路点拔】根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠C＝36°，∠A＝72°，根据平行线的性质得出∠EDC＝∠A＝72°，继而得到∠BED＝∠EDC+∠C＝108°，再根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠EDB＝36°即可．
【解答】解：∵在等腰△ABC中，AC＝BC，∠A＝2∠C，
∴∠ABC＝∠A＝2∠C，
∴180°＝∠ABC+∠A+∠C＝2∠C+2∠C+∠C，
∴∠C＝36°，
∴∠A＝2∠C＝2×36°＝72°，
∵DE∥AB，
∴∠EDC＝∠A＝72°，
∴∠BED＝∠EDC+∠C＝72°+36°＝108°，
∵BE＝DE，
∴，
∴∠BDC＝∠EDB+∠EDC＝36°+72°＝108°．
故选：C．
7．如图，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则线段B′F的长为（　　）
A． B． C． D．
【思路点拔】依据勾股定理以及面积法即可得到CE的长，再根据△CEF是等腰直角三角形，即可得到EF的长；利用勾股定理求得BE的长，即可得到BF的长，进而得出B'F的长．
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴由勾股定理可得BA＝10，
∵将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处，
∴∠AEC＝∠CED＝90°，∠ACE＝∠DCE，
∴CE⊥AB，
∵S△ABCAB×ECAC×BC，
∴EC4.8，
在Rt△BCE中，BE6.4，
∵将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处，
∴BF＝B'F，∠BCF＝∠B'CF，
∵∠BCF+∠B'CF+∠ACE+∠DCE＝∠ACB＝90°，
∴∠ECF＝45°，
又∵CE⊥AB，
∴∠EFC＝∠ECF＝45°，
∴CE＝EF＝4.8，
∵BF＝BE﹣EF＝6.4﹣4.8＝1.6，
∴B'F＝1.6，
故选：B．
8．如图，等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D．点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC，下面的结论：①∠APO+∠DCO＝30°；②∠APO＝∠DCO；③△OPC是等边三角形；④AB＝AO+AP；其中正确的是（　　）
A．①③④ B．①③ C．②④ D．①②③④
【思路点拔】①利用等边对等角，即可证得：∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，则∠APO+∠DCO＝∠ABO+∠DBO＝∠ABD，据此即可求解；
②因为点O是线段AD上一点，所以BO不一定是∠ABD的角平分线，可作判断；
③证明∠POC＝60°且OP＝OC，即可证得△OPC是等边三角形；
④首先证明△OPA≌△CPE，则AO＝CE，AB＝AC＝AE+CE＝AO+AP．
【解答】解：①如图1，连接OB，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，∠BAD∠BAC120°＝60°，
∴OB＝OC，∠ABC＝90°﹣∠BAD＝30°
∵OP＝OC，
∴OB＝OC＝OP，
∴∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，
∴∠APO+∠DCO＝∠ABO+∠DBO＝∠ABD＝30°；
故①正确；
②由①知：∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，
∵点O是线段AD上一点，
∴∠ABO与∠DBO不一定相等，则∠APO与∠DCO不一定相等，
故②不正确；
③∵∠APC+∠DCP+∠PBC＝180°，
∴∠APC+∠DCP＝150°，
∵∠APO+∠DCO＝30°，
∴∠OPC+∠OCP＝120°，
∴∠POC＝180°﹣（∠OPC+∠OCP）＝60°，
∵OP＝OC，
∴△OPC是等边三角形；
故③正确；
④如图2，在AC上截取AE＝PA，连接PE，
∵∠PAE＝180°﹣∠BAC＝60°，
∴△APE是等边三角形，
∴∠PEA＝∠APE＝60°，PE＝PA，
∴∠APO+∠OPE＝60°，
∵∠OPE+∠CPE＝∠CPO＝60°，
∴∠APO＝∠CPE，
∵OP＝CP，
在△OPA和△CPE中，
，
∴△OPA≌△CPE（SAS），
∴AO＝CE，
∴AB＝AC＝AE+CE＝AO+AP；
故④正确；
本题正确的结论有：①③④
故选：A．
二．填空题（共8小题）
9．已知等腰三角形的底角是80°，则该等腰三角形的顶角的度数是 　20°　．
【思路点拔】由三角形内角和为180°以及等腰三角形两底角相等即可求解．
【解答】解：∵等腰三角形两底角相等，
∴顶角度数为180°﹣80°×2＝20°．
故答案为：20°．
10．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为斜边AB的中点，AC＝6cm，BC＝8cm，则CD的长为 　5　cm．
【思路点拔】利用勾股定理列式求出AB，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．
【解答】解：有勾股定理得，AB10cm，
∵∠ACB＝90°，D为斜边AB的中点，
∴CDAB10＝5cm．
故答案为：5．
11．如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝24，DE＝4，AB＝7，则AC长是 　5　．
【思路点拔】作DF⊥AC于F，如图，根据角平分线定理得到DE＝DF＝4，再利用三角形面积公式和S△ADB+S△ADC＝S△ABC得到4×74×AC＝24，然后解一次方程即可．
【解答】解：作DF⊥AC于F，如图，
∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF＝4，
∵S△ADB+S△ADC＝S△ABC，
∴4×74×AC＝24，
∴AC＝5．
故答案为：5．
12．如图，△ABC为等边三角形．若以BC为直角边向外作等腰Rt△BCD，∠BCD＝90°，则∠BAD＝　45　°．
【思路点拔】根据等边三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，AB＝BC＝AC，进而可得AC＝BC＝CD，∠ACD＝∠ACB+∠BCD＝150°，问题随之解得．
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，AB＝BC＝AC，
∵等腰Rt△BCD，∠BCD＝90°，
∴BC＝CD，
∴AC＝BC＝CD，∠ACD＝∠ACB+∠BCD＝150°，
∴，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝45°，
故答案为：45．
13．如图所示的网格是正方形网格，△ABC和△CDE的顶点都是网格线交点，那么∠BAC+∠CDE＝　45　°．
【思路点拔】连接AD，构建等腰直角三角形，利用勾股定理和逆定理得：∠ADC＝90°，∠DAC＝∠ACD＝45°，最后根据平行线的性质可得结论．
【解答】解：连接AD，
由勾股定理得：AD2＝12+32＝10，CD2＝12+32＝10，AC2＝22+42＝20，
∴AD＝CD，AD2+CD2＝AC2，
∴∠ADC＝90°，
∴∠DAC＝∠ACD＝45°，
∵AB∥DE，
∴∠BAD+∠ADE＝180°，
∴∠BAC+∠CDE＝180°﹣90°﹣45°＝45°，
故答案为：45°．
14．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a+b）2＝21，小正方形的面积为5，则大正方形的面积为 　13　．
【思路点拔】由题意可知，中间小正方形的边长为a﹣b，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出大正方形的面积为a2+b2．
【解答】解：由题意可知，中间小正方形的边长为a﹣b，
∴（a﹣b）2＝5，即a2+b2﹣2ab＝5①，
∵（a+b）2＝21，
∴a2+b2﹣2ab＝21②，
①+②得2（a2+b2）＝26，
∴大正方形的面积a2+b2＝13，
故答案为：13．
15．如图，在△ABC中，∠A＝32°，分别以点A、C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧分别相交于点M、N，直线MN与AC相交于点E，过点C作CD⊥AB，垂足为点D，CD与BE相交于点F，若BD＝CE，则∠BFC的度数为 　106°　．
【思路点拔】连接DE，如图，利用基本作图得到E点为AC的中点，则根据斜边上的中线性质得到DE＝CE＝AE，则∠EDA＝∠A＝32°，再证明BD＝ED得到∠DBE＝∠DEB，然后根据三角形外角性质计算出∠DBE＝16°，接着计算出
∠BFC．
【解答】解：连接DE，如图，
由作法得MN垂直平分AC，
∴E点为AC的中点，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°，
∴DE＝CE＝AE，
∴∠EDA＝∠A＝32°，
∵BD＝CE，
∴BD＝ED，
∴∠DBE＝∠DEB，
∵∠EDA＝∠DBE+∠DEB，
∴∠DBE∠ADE＝16°，
∴∠BFC＝∠DBF+∠BDF＝16°+90°＝106°．
故答案为：106°．
16．如图，长方形ABCD中，∠DAB＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AD＝BC＝8，AB＝CD＝17．点E为射线DC上的一个动点，△ADE与△AD′E关于直线AE对称，当△AD′B为直角三角形时，DE的长为　2或32　．
【思路点拔】分两种情况：点E在DC线段上，点E为DC延长线上的一点，进一步分析探讨得出答案即可．
【解答】解：如图1，
∵折叠，
∴△AD′E≌△ADE，
∴∠AD′E＝∠D＝90°，
∵∠AD′B＝90°，
∴B、D′、E三点共线，
又∵△ABD′∽△BEC，AD′＝BC，
∴△ABD′≌△BEC，
∴BE＝AB＝17，
∵BD′15，
∴DE＝D′E＝17﹣15＝2；
如图2，
∵∠ABD″+∠CBE＝∠ABD″+∠BAD″＝90°，
∴∠CBE＝∠BAD″，
在△ABD″和△BEC中，
，
∴△ABD″≌△BEC，
∴BE＝AB＝17，
∴DE＝D″E＝17+15＝32．
综上所知，DE＝2或32．
故答案为：2或32．
三．解答题（共10小题）
17．如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：（用直尺画图）
（1）画出格点△ABC（顶点均在格点上）关于直线DE对称的△A1B1C1；
（2）在DE上画出点P，使△PBC的周长最小．
（3）在DE上找一点M，使|MC﹣MB|值最大．
（4）△ABC的面积是 　　．
【思路点拔】（1）根据轴对称的性质作图即可．
（2）连接B1C，交直线DE于点P，连接BP，此时PB+PC最小，即可得△PBC的周长最小．
（3）延长CB，交直线DE于点M，此时|MC﹣MB|值最大．
（4）利用割补法求三角形的面积即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）如图，点P即为所求．
（3）如图，点M即为所求．
（4）△ABC的面积为3×3．
故答案为：．
18．已知：如图，AB＝AC，∠ABD＝∠ACD，求证：BD＝CD．
【思路点拔】欲证BD＝DC，需先构造一个以BD、CD为两腰的等腰三角形．为此需添加辅助线BC，需证∠3＝∠4，因为已知AB＝AC，则∠1＝∠2，又知∠ABD＝∠ACD，则∠ABD﹣∠1＝∠ACD﹣∠2，即∠3＝∠4．
【解答】证明：连接BC．
∵AB＝AC（已知），
∴∠1＝∠2（等边对等角）．
又∠ABD＝∠ACD（已知），
∴∠ABD﹣∠1＝∠ACD﹣∠2（等式运算性质）．
即∠3＝∠4．
∴BD＝DC（等角对等边）．
19．已知：如图，长方形ABCD中，AB＝6，AD＝8，沿直线AE把△ADE折叠，点O恰好落在AC上一点F处．
（1）求AC的长度．
（2）求DE的长度．
【思路点拔】（1）在Rt△ABC中依据勾股定理求得AC＝10；
（2）由翻折的性质可知AF＝AD＝8、DE＝EF，从而求得FC＝2，最后在Rt△EFC中利用勾股定理求解即可．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中由勾股定理得：AC10；
（2）由翻折的性质可知AF＝AD＝8、DE＝EF．
∵FC＝AC﹣AF，
∴FC＝2．
设DE＝EF＝x，则EC＝6﹣x．
在Rt△EFC中，由勾股定理可知：EF2+FC2＝EC2，即x2+4＝（6﹣x）2．
解得：x．
∴DE．
20．如图为一个广告牌支架的示意图，其中AB＝13m，AD＝12m，BD＝5m，AC＝15m，求图中△ABC的周长和面积．
【思路点拔】直接利用勾股定理逆定理得出AD⊥BC，再利用勾股定理得出DC的长，进而得出答案．
【解答】解：在△ABD中，
∵AB＝13m，AD＝12m，BD＝5m，
∴AB2＝AD2+BD2，
∴AD⊥BC，
在Rt△ADC中，
∵AD＝12m，AC＝15m，
∴DC9（m），
∴△ABC的周长为：AB+AC+BC＝13+15+5+9＝42m，
△ABC的面积为：BC×AD14×12＝84m2．
21．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线DE交AC于点E，CE的垂直平分线正好经过点B，与AC相交于点F，求∠A的度数．
【思路点拔】先利用垂直平分线的性质和平角的意义得出∠C＝2∠A，再利用等腰三角形ABC的内角和定理建立方程即可得出结论．
【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
∵DE⊥AB，
∴∠BED＝∠AED＝90°﹣∠A，
∵BF是CE的垂直平分线，
∴BC＝BE，
∴∠BEF＝∠C，
∵∠AED+∠BED+∠BEF＝180°，
∴2（90°﹣∠A）+∠C＝180°，
∴∠C＝2∠A，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∵∠A+∠C+∠ABC＝180°，
∴∠A+∠C+∠C＝∠A+2∠C＝180°，
∴∠A+2×2∠A＝180°，
∴∠A＝36°，
22．如图，锐角三角形ABC的两条高BE、CD相交于点O，且OB＝OC
（1）求证：AB＝AC；
（2）求证：点O在∠BAC的平分线上．
【思路点拔】（1）先根据条件可以得出∠AEC＝∠ADB＝∠BEC＝∠CDB＝90°就可以得出△BCD≌△CBE，则∠DBC＝∠ECB，故AB＝AC．
（2）由（1）中全等三角形的性质得到：BD＝CE，就可以得出OE＝OD，再证明△ODA≌△OEA就可以得出∠DAO＝∠EAO而得出结论．
【解答】证明：如图，连接AO．
（1）∵CE⊥AB，BD⊥AC，
∴∠AEC＝∠ADB＝∠BEC＝∠CDB＝90°．
∵OB＝OC，
∴∠DBC＝∠ECB．
在△BCD和△CBE中，
，
∴△BCD≌△CBE（AAS），
∴∠DBC＝∠ECB，
故AB＝AC．
（2）∵由（1）知，△BCD≌△CBE，
∴BD＝CE．
∵OB＝OC，
∴BD﹣OB＝EC﹣OC
∴OD＝OE．
在Rt△ODA和Rt△OEA中，
，
∴Rt△ADO≌Rt△AEO（HL），
∴∠DAO＝∠EAO，
∴OA平分∠BAC．
23．如图，Rt△ABC中，∠BCA＝90°，在BC的延长线上取一点D，使得，点E是AB的中点，连接DE，M为DE的中点，连接CM、AD．
（1）试判断CM与DE的位置关系，并说明理由；
（2）若∠AED＝105°，请求出∠BAC的度数．
【思路点拔】（1）根据直角三角形的性质推出CD＝CE，根据等腰三角形的性质即可得结果；
（2）根据直角三角形的性质推出，根据等腰三角形的性质推出∠B＝∠BCE，∠CDE＝∠CED，根据三角形外角性质求出∠B＝2∠CDE，∠AED＝3∠CDE，求出∠CDE、∠B，
【解答】解：（1）CM⊥DE
理由如下：连接CE
∵∠BCA＝90°，点E是AB的中点，
∴
∵，
∴CD＝CE，
∵M为DE的中点，
∴CM⊥DE．
（2）∵∠BCA＝90°，点E是AB的中点，
∴CE＝BE
∴∠B＝∠BCE．
由（1）知：CE＝CD，
∴∠CDE＝∠CED．
设∠CDE＝∠CED＝x°，
则∠B＝∠BCE＝∠CDE+∠CED＝2x°．
∵∠AED＝∠B+∠CDE＝105°，
∴2x+x＝105．
解得：x＝35．
∴∠B＝2x°＝70°．
∴∠BAC＝180°﹣90°﹣70°＝20°．
24．如图，在△ABC中，D为BC的中点，DE⊥BC交∠BAC的平分线于点E，EF⊥AB交AB于点F，EG⊥AC交AC的延长线于点G．
（1）BF与CG的大小关系如何？证明你的结论；
（2）若AB＝10，AC＝6，求AF的长．
【思路点拔】（1）连接EB、EC，由“HL”可证Rt△BFE≌Rt△CGE，可得BF＝CG．
（2）由Rt△AEF≌Rt△AEG得AF＝AG，再由Rt△BFE≌Rt△CGE得BF＝CG，易知AB+AC＝2AF由此即可解决问题．
【解答】解：（1）BF＝CG．理由如下：
如图，连接BE、EC，
∵ED⊥BC，D为BC中点，
∴BE＝EC，
∵EF⊥AB EG⊥AG，且AE平分∠FAG，
∴FE＝EG，
在Rt△BFE和Rt△CGE中，
，
∴Rt△BFE≌Rt△CGE（HL），
∴BF＝CG．
（2）在Rt△AEF和Rt△AEG中，
，
∴Rt△AEF≌Rt△AEG（HL），
∴AF＝AG，
∵Rt△BFE≌Rt△CGE（HL），
∴BF＝CG，
∴AB+AC＝AF+BF+AG﹣CG＝2AF，
∴2AF＝16，
∴AF＝8．
25．如图1，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，CA＝CB，CE＝CD，△ABC的顶点A在△ECD的斜边DE上，连接BD．
（1）求证：△AEC≌△BDC；
（2）求证：AE2+AD2＝2AC2；
（3）如图2，过点C作CO垂直AB于O点并延长交DE于点F，请直接写出线段AE、AF、DF间的数量关系（不用证明）　AE2+DF2＝AF2　．
【思路点拔】（1）连接BD，根据SAS可证明△AEC≌△BDC；
（2）由全等三角形的性质得到BD＝AE，△ADB是直角三角形；由勾股定理可知AD2+BD2＝AB2，AC2+BC2＝AB2；最后根据AC＝BC即可得出结论；
（3）连接BD，BF，由（1）可知AE＝DB，∠FDB＝90°；再通过三线合一判定CF是AB的垂直平分线，得到AF＝BF，最后由Rt△BDF勾股定理即可得到答案．
【解答】（1）证明：连接BD，
∵∠ACD＝∠ACB＝90°，
∴∠ACE＝∠BCD．
在△AEC和△BDC中，
，
∴△AEC≌△BDC（SAS）；
（2）∵△AEC≌△BDC，
∴AE＝BD，∠CDB＝∠E＝45°，
又∵∠CDE＝45°，
∴∠ADB＝∠CDE+∠CDB＝90°．
在Rt△ADB中，由勾股定理可知AD2+BD2＝AB2，
同理，在Rt△ACB中，AC2+BC2＝AB2，
又∵AC＝BC，BD＝AE，
∴AE2+AD2＝2AC2．
（3）解：线段AE，AF，DF关系为：AE2+DF2＝AF2．
理由如下：连接BD，BF，
由（2）可知AE＝DB，∠FDB＝90°．
∵CF⊥AB，AC＝BC，
∴AO＝BO，
∴CF为AB的垂直平分线，
∴AF＝BF．
在Rt△BDF中，DB2+DF2＝BF2，
∴AE2+DF2＝AF2．
故答案为：AE2+DF2＝AF2．
26．已知：把Rt△ABC和Rt△DEF按如图1摆放（点C与点E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上，∠ACB＝∠EDF＝90°，∠DEF＝45°，AC＝8cm，BC＝6cm，EF＝9cm，如图2，△DEF从图1的位置出发，以1cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点B出发，以2cm/s的速度沿BA向点A匀速移动．当△DEF的顶点D移动到AC边上时，△DEF停止移动，点P也随之停止移动．DE与AC相交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（s）（0＜t＜4.5）．解答下列问题：
（1）用含t的代数式表示线段AP＝ 　（10﹣2t）cm　；
（2）当t为何值时，点E在∠A的平分线上？
（3）当t为何值时，点A在线段PQ的垂直平分线上？
（4）连接PE，当t＝1（s）时，求四边形APEC的面积．
【思路点拔】（1）利用勾股定理求出AB，根据AP＝AB﹣BP计算即可．
（2）如图1中，作AT平分∠BAC，作TH⊥AB于H．设TC＝TH＝x，证明Rt△ATH≌Rt△ATC（HL），推出AH＝AC＝8，在Rt△BTH中，则有（6﹣x）2＝22+x2，求出x即可解决问题．
（3）根据线段垂直平分线的性质得到AP＝AQ，根据等腰三角形的性质得到CE＝CQ，根据勾股定理求出AB，列式计算即可．
（4）法一：作PM⊥BE交BE于M，根据S四边形APEC＝S△ABC﹣S△BPE计算算即可．
法二：利用面积法求解即可．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，
∴AB10（cm），
由题意PA＝AB﹣BP＝（10﹣2t）cm，
故答案为（10﹣2t）cm．
（2）如图1中，作AT平分∠BAC，作TH⊥AB于H．
∵TC⊥AC，TH⊥AB，TA平分∠ABC，
∴TC＝TH，∠AHT＝∠ACT＝90°，设TC＝TH＝x，
∵AT＝AT，
∴Rt△ATH≌Rt△ATC（HL），
∴AH＝AC＝8，
∴BH＝AB﹣AH＝10﹣8＝2，
在Rt△BTH中，则有（6﹣x）2＝22+x2，
解得x，
∴当t为时，点E在∠A的平分线上．
（3）∵点A在线段PQ的垂直平分线上，
∴AP＝AQ，
∵∠DEF＝45°，∠ACB＝90°，∠DEF+∠ACB+∠EQC＝180°，
∴∠EQC＝45°，
∴∠DEF＝∠EQC，
∴CE＝CQ，
由题意知：CE＝t，BP＝2t，
∴CQ＝t，
∴AQ＝8﹣t，
在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB＝10cm，
则AP＝10﹣2t，
∴10﹣2t＝8﹣t，
解得：t＝2，
答：当t＝2s时，点A在线段PQ的垂直平分线上；
（2）法一：如图2中，过P作PM⊥BE，交BE于M，
∴∠BMP＝90°，
在Rt△ABC和Rt△BPM中，sinB，
∴，
解得，PM，
∵BC＝6cm，CE＝t，
∴BE＝6﹣1＝5，
∴S四边形APEC＝S△ABC﹣S△BPE
BC×ACBE×PM
6×85
＝20（cm2）
法二：由题意，BP＝2．BE＝5，AC＝8，BC＝6，
∵S△BPC S△ABC S△ABCS△ABC，
S△BPE S△BPC S△BPC S△ABC，
∴S四边形PECA＝S△ABC﹣S△PBE S△ABC6×8＝20（cm2）中小学教育资源及组卷应用平台
苏科版2024～2025初二数学10月月考数学卷
一．选择题（共8小题）
1．下面四幅作品分别代表“立春”、芒种”、“白露”、“大雪”四个节气，其中是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．下列条件中，不能判断△ABC为直角三角形的是（　　）
A．AB＝15，BC＝8，AC＝17 B．AB：BC：AC＝2：3：4
C．∠A﹣∠B＝∠C D．∠A：∠B：∠C＝1：2：3
3．到△ABC的三条边距离相等的点是△ABC的（　　）
A．三条中线交点
B．三条角平分线交点
C．三条高的交点
D．三条边的垂直平分线交点
4．一张正方形纸片按图1、图2箭头方向依次对折后，再沿图3虚线裁剪得到图4，把图4展开铺平的图案应是（　　）
A． B．
C． D．
5．如图，一轮船以12海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以5海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后两船相距（　　）
A．13海里 B．16海里 C．20海里 D．26海里
6．如图，在等腰△ABC中，AC＝BC，点D是线段AC上一点，过点D作DE∥AB交BC于点E，且BE＝DE，∠A＝2∠C，则∠BDC＝（　　）
A．120° B．100° C．108° D．110°
7．如图，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则线段B′F的长为（　　）
A． B． C． D．
8．如图，等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D．点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC，下面的结论：①∠APO+∠DCO＝30°；②∠APO＝∠DCO；③△OPC是等边三角形；④AB＝AO+AP；其中正确的是（　　）
A．①③④ B．①③ C．②④ D．①②③④
二．填空题（共8小题）
9．已知等腰三角形的底角是80°，则该等腰三角形的顶角的度数是 　 　．
10．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为斜边AB的中点，AC＝6cm，BC＝8cm，则CD的长为 　 　cm．
11．如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝24，DE＝4，AB＝7，则AC长是 　 　．
12．如图，△ABC为等边三角形．若以BC为直角边向外作等腰Rt△BCD，∠BCD＝90°，则∠BAD＝　 　°．
13．如图所示的网格是正方形网格，△ABC和△CDE的顶点都是网格线交点，那么∠BAC+∠CDE＝　 　°．
14．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a+b）2＝21，小正方形的面积为5，则大正方形的面积为 　 　．
15．如图，在△ABC中，∠A＝32°，分别以点A、C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧分别相交于点M、N，直线MN与AC相交于点E，过点C作CD⊥AB，垂足为点D，CD与BE相交于点F，若BD＝CE，则∠BFC的度数为 　 　．
16．如图，长方形ABCD中，∠DAB＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AD＝BC＝8，AB＝CD＝17．点E为射线DC上的一个动点，△ADE与△AD′E关于直线AE对称，当△AD′B为直角三角形时，DE的长为　 　．
三．解答题（共10小题）
17．如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：（用直尺画图）
（1）画出格点△ABC（顶点均在格点上）关于直线DE对称的△A1B1C1；
（2）在DE上画出点P，使△PBC的周长最小．
（3）在DE上找一点M，使|MC﹣MB|值最大．
（4）△ABC的面积是 　 　．
18．已知：如图，AB＝AC，∠ABD＝∠ACD，求证：BD＝CD．
19．已知：如图，长方形ABCD中，AB＝6，AD＝8，沿直线AE把△ADE折叠，点O恰好落在AC上一点F处．
（1）求AC的长度．
（2）求DE的长度．
20．如图为一个广告牌支架的示意图，其中AB＝13m，AD＝12m，BD＝5m，AC＝15m，求图中△ABC的周长和面积．
21．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线DE交AC于点E，CE的垂直平分线正好经过点B，与AC相交于点F，求∠A的度数．
22．如图，锐角三角形ABC的两条高BE、CD相交于点O，且OB＝OC
（1）求证：AB＝AC；
（2）求证：点O在∠BAC的平分线上．
23．如图，Rt△ABC中，∠BCA＝90°，在BC的延长线上取一点D，使得，点E是AB的中点，连接DE，M为DE的中点，连接CM、AD．
（1）试判断CM与DE的位置关系，并说明理由；
（2）若∠AED＝105°，请求出∠BAC的度数．
24．如图，在△ABC中，D为BC的中点，DE⊥BC交∠BAC的平分线于点E，EF⊥AB交AB于点F，EG⊥AC交AC的延长线于点G．
（1）BF与CG的大小关系如何？证明你的结论；
（2）若AB＝10，AC＝6，求AF的长．
25．如图1，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，CA＝CB，CE＝CD，△ABC的顶点A在△ECD的斜边DE上，连接BD．
（1）求证：△AEC≌△BDC；
（2）求证：AE2+AD2＝2AC2；
（3）如图2，过点C作CO垂直AB于O点并延长交DE于点F，请直接写出线段AE、AF、DF间的数量关系（不用证明）　 　．
26．已知：把Rt△ABC和Rt△DEF按如图1摆放（点C与点E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上，∠ACB＝∠EDF＝90°，∠DEF＝45°，AC＝8cm，BC＝6cm，EF＝9cm，如图2，△DEF从图1的位置出发，以1cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点B出发，以2cm/s的速度沿BA向点A匀速移动．当△DEF的顶点D移动到AC边上时，△DEF停止移动，点P也随之停止移动．DE与AC相交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（s）（0＜t＜4.5）．解答下列问题：
（1）用含t的代数式表示线段AP＝ 　 　；
（2）当t为何值时，点E在∠A的平分线上？
（3）当t为何值时，点A在线段PQ的垂直平分线上？
（4）连接PE，当t＝1（s）时，求四边形APEC的面积．

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