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5.1常量与变量五大题型（一课一讲）
【浙教版】
题型一：判别常量跟变量
【经典例题1】在圆周长计算公式中，对半径不同的圆，变量有（ ）
A．2，r B．C，r C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了函数的定义，根据函数的意义可知：变量是改变的量，常量是不变的量，据此即可确定变量与常量．
【详解】解：∵在圆的周长公式中，C与r是改变的，π是不变的；
∴变量是C，r，常量是2π．
故选：B．
【变式训练1-1】在圆的周长中，常量与变量分别是（ ）
A．2是常量，C，π，r是变量 B．2，π是常量，C，r是变量
C．C，2是常量，r是变量 D．2是常量，C，r是变量
【答案】B
【分析】本题考查了常量与变量的知识，属于基础题，变量是指在一个变化的过程中随时可以发生变化的量．
根据在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量，即可答题．
【详解】解：∵在圆的周长公式中，C与r是改变的，是不变的；
∴变量是C，r，常量是2，π．
故选：B．
【变式训练1-2】一根蜡烛原长12厘米，点燃分钟后，剩余蜡烛的长为厘米，则在这个变化过程中，下列判断正确的是（ ）
A．是常量 B．12是变量 C．是变量 D．是常量
【答案】C
【分析】此题考查的是常量与变量，根据常量与变量的定义：在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量解答即可．
【详解】解：一根蜡烛原长12厘米，点燃t分钟后，剩余蜡烛的长为n厘米，则在这个变化过程中，12是常量，t，n是变量，故选项C符合题意．
故选：C．
【变式训练1-3】已知高铁的速度是300千米/时，则高铁行驶的路程S（千米）和时间t（时）之间的关系是．在此变化过程中，变量是（ ）
A．速度、时间 B．路程、时间
C．速度、路程 D．速度、路程、时间
【答案】B
【分析】本题考查了函数关系式，常量与变量，弄清变量概念是解题的关键．根据变量的定义判断即可．
【详解】解：已知高铁的速度是300千米/时，则高铁行驶的路程S（千米）和时间t（时）之间的关系是．
在此变化过程中，变量是路程、时间，
故答案为：B．
【变式训练1-4】已知一个长方形的面积为，它的长为，宽为，下列说法正确的是（ ）
A．常量为，，变量为 B．常量为，，变量为
C．常量为，，变量为 D．常量为，变量为，
【答案】D
【分析】本题考查了常量与变量，解题的关键是根据变量和常量的定义来解答．根据变量和常量的定义解答即可．
【详解】解：由题意得：，
长方形的面积为，始终不变为常量，长为，宽为的数值发生变化为变量，
故选：D．
【变式训练1-5】在行进路程、速度和时间的相关计算中，若保持行驶的路程不变，则下列说法正确的是 （ ）
A．变量是速度 B．变量是时间
C．速度和时间都是变量 D．速度、时间t、路程都是常量
【答案】C
【分析】本题主要考查了常量与变量的概念，关键是掌握在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量．
【详解】解：∵路程速度时间，
∴若保持行驶的路程不变，那么行驶的时间会说着速度的变化而变化，
∴速度和时间都是变量，路程是常量，
故选：C．
题型二：用表格表示变量之间的关系
【经典例题2】弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂的物体的质量间有下面的关系：
0 1 2 3 4 5
10 10.5 11 11.5 12 12.5
下列说法不正确的是（ ）
A．与都是变量，且是自变量，是因变量
B．所挂物体质量为时，弹簧长度为
C．弹簧不挂重物时的长度为
D．物体质量每增加，弹簧长度增加
【答案】C
【分析】本题考查的是函数的表示方法，理解一次函数的表示方法是解题的关键．根据给出的表格中的数据进行分析，可以确定自变量和因变量以及弹簧伸长的长度，得到答案．
【详解】解：A．与都是变量，且是自变量，是因变量，本选项正确，不符合题意；
B．所挂物体质量为时，弹簧长度为，本选项正确，不符合题意；
C．弹簧不挂重物时的长度为，本选项错误，符合题意；
D．物体质量每增加，弹簧长度增加，本选项正确，不符合题意．
故选：C．
【变式训练2-1】弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y（）与所挂的物体的重量x（）间有下面的关系：
x 0 1 2 3 4 5
y 10 11 12
下列说法不正确的是（ ）
A．x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量
B．弹簧不挂重物时的长度为
C．物体质量每增加，弹簧长度y增加
D．所挂物体质量为时，弹簧长度为
【答案】B
【分析】此题主要考查函数的表示方法，解题的关键是根据表格的关系写出函数的关系式，根据表格可得到函数的关系式，再根据关系式即可判断．
【详解】解：由表格知弹簧不挂重物时的长度为，物体质量每增加，弹簧长度y增加，
故弹簧的长度y（）与所挂的物体的质量x（）之间函数关系式为，
∴A，C正确；B错误；
所挂物体质量为时，弹簧长度，故D正确，
故选：B．
【变式训练2-2】弹簧原长（不挂重物），弹簧总长与重物质量的关系如表所示：
重物质量
弹簧总长 16 17 18 19 20
当重物质量为（在弹性限度内）时，弹簧的总长．（　　）
A．25 B． C．30 D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了用关系式表示变量之间的关系，根据“重物质量每增加，弹簧伸长”写出关于的关系式，将代入该关系式求出对应的值即可．
【详解】解：由表格可知，重物质量每增加，弹簧伸长，当重物质量为时，弹簧总长度为，
∵当重物质量为0时，弹簧的原长度为，
∴弹簧总长与重物质量的关系式为，
当时，．
故选：C．
【变式训练2-3】学校新买一台智能饮水机，某天中午小俊通过观察，记录了饮水机工作时间与水温的关系表格如下：
水温（） ．．．．．．
时间（时：分） ．．．．．．
请你帮小俊计算水烧开的时间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了用表格表示变量间关系，正确找出变量间的变化规律是解题的关键，先根据表格找出水温与时间的变化规律，根据规律求解即可．
【详解】解：由变量关系表格可得，时间每经过分钟，升高水温比前一个分钟升高的水温少，
∵从到时，水温升高了，
∴时，水温为，到时，水温升高了，
∴时，水温为，此时水烧开，
故选∶．
【变式训练2-4】某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据如下：
温度（℃） 0 10 20 30
声速（） 318 324 330 336 342 348
下列说法错误的是（ ）
A．在这个变化中，自变量是温度，因变量是声速
B．温度越低，声速越慢
C．当温度每升高时，声速增加
D．当空气温度为时，声音可以传播
【答案】D
【分析】本题考查用表格表示变量之间的关系，从表格中获取信息，逐一进行分析即可．
【详解】解：A．∵在这个变化中，自变量是温度，因变量是声速，∴说法正确，不符合题意；
B．∵根据表中数据，可得温度越低，声速越慢，∴说法正确，不符合题意；
C．∵，，，，，
∴当温度每升高，声速增加，∴说法正确，不符合题意；
D．∵，
∴当空气温度为时，声音可以传播，∴说法错误，符合题意．
故选：D．
【变式训练2-5】科学家一直以来都在不断探索地球奥秘的路途中，经过大量的模拟实验，发现地表以下岩层的温度与所处深度的关系如表所示．
所处深度 1 2 3 4 5 6 7
岩层的温度 55 90 125 160 195 230 265
(1)表中，自变量为______，因变量为______；
(2)请求出地表以下岩层的温度与所处深度的关系式；
(3)当岩层的温度为时，求所处深度．
【答案】(1)所处深度；岩层的温度
(2)
(3)
【分析】本题考查函数的表示方法、常量与变量、函数关系式，
（1）根据自变量与因变量的定义作答即可；
（2）根据“地表以下岩层的温度深度为处岩层的温度所处深度增加，岩层的温度升高量”计算即可；
（3）将代入（2）中求得的关系式，求出对应的值即可．
【详解】（1）解：表中，自变量为所处深度，因变量为岩层的温度．
故答案为：所处深度，岩层的温度．
（2）由表格可知，所处深度增加，岩层的温度升高，
则，
与的关系式为．
（3）当时，得，
解得，
当岩层的温度为时，所处深度是．
题型三：用关系表示变量之间的关系
【经典例题3】一个蓄水池已有的水，现以每分钟的速度向池中注水，蓄水池中的水量（）与注水时间（分）之间的关系式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了函数关系式，利用蓄水量等于原蓄水量加注水量得出函数关系式即可，理解题意、明白等量关系是解题的关键．
【详解】解：∵一个蓄水池已有的水，现以每分钟的速度向池中注水，
∴蓄水池中的水量（）与注水时间（分）之间的关系式为，
故选：D．
【变式训练3-1】个球队参加篮球比赛，每两队之间进行一场比赛，则比赛的场次数与球队数之间的函数关系式是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了列函数关系式，n个球队中，每个球队都要与个球队赛一场，一共比赛场，而比赛的两支球队的场数只算作一次，则一共比赛场，据此可得答案．
【详解】解：∵个球队参加篮球比赛，每两队之间进行一场比赛，
∴一共要进行场比赛，
∴，
故答案为：．
【变式训练3-2】汽车由地驶往相距的地，它的平均速度是，则汽车距地路程与行驶时间的关系式为 ．
【答案】
【分析】本题考查了用关系式表示变量间的关系．根据汽车距地路程是总路程与已驶路程的差，求解即可．
【详解】解：由题意知，，
故答案为：．
【变式训练3-3】如图，一轮船从离A港16千米的P地出发向B港匀速行驶，42分钟后离A港37千米（未到达B港）．设x小时后，轮船离A港千米（未到达B港），则y与x之间的关系式为 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出函数关系式，根据题意，求出轮船的速度是解决本题的关键．根据轮船的速度为千米/时，轮船离A港距离为：行驶距离即可得出．
【详解】解：∵轮船的速度：千米/时，
∴y与x之间的关系式为：．
故答案为：．
【变式训练3-4】一支长的蜡烛点燃后每小时燃烧掉，用表示燃烧后蜡烛的长度，表示燃烧的时间，那么y与之间的关系式是 ．
【答案】
【分析】本题考查了变量间的关系，理解题意，找到题中的等量关系是解题的关键．根据题意，经过时间，燃烧掉的长度为，剩下的蜡烛长度等于原始长度减去燃烧掉的蜡烛长度即得解．
【详解】解：根据题意得，经过，燃烧掉的长度为，蜡烛原始长度为，
经过，燃烧后蜡烛的长度．
故答案为：．
【变式训练3-5】长方形的周长为，一边长由小到大变化，则长方形的面积与这个边长的关系式为 ．
【答案】
【分析】根据长方形周长公式可知另一边长为，最后利用长方形的面积公式即可解答．本题考查了利用关系式表示变量之间的关系式，理清题目中的数量关系是解题的关键．
【详解】解：∵长方形的周长为，一边长由小到大变化，
∴另一边长为：，
∴长方形的面积y与这个边长x的关系式为，
故答案为：．
题型四：用图像表示变量之间的关系
【经典例题4】如图①，在长方形中，动点从点出发，沿的方向运动至点处停止，设点运动的路程为，三角形的面积为，如果关于的图象如图②所示，则长方形的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了用图象法表示两个变量的关系，根据图象结合图形得出，，即可得出长方形的面积，采用数形结合的思想是解此题的关键．
【详解】解：由图形可得，当点在上时，的面积逐渐增大，当点在上时，的面积不变，结合图象可得，，
∴长方形的面积是，
故选：C．
【变式训练4-1】4个高度相同的容器，以相同的流速向这四个容器中注水，能正确反映容器中水的高度变化的是（ ）．
A．B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了折线统计图，根据容器的形状，判断出水面升高的高度随时间变化的规律，逐项进行判断即可．
【详解】解：AC．因为水流速度相同，A选项中容器的底面积较小，C选项中容器的底面积较大，所以向A容器中注水时，高度随时间变化的较快，向A容器中注水时，高度随时间变化的较慢，故AC错误；
B．因为容器越向上横截面积越小，所以高度随时间变化的越来越快，故B错误；
D．因为容器越向上横截面积越大，所以高度随时间变化的越来越慢，故D正确．
故选：D．
【变式训练4-2】如图是长方体水槽轴截面示意图，其底部放有一个实心铜球（铜的密度大于水），现向水槽中匀速注水，下列四个图象中能大致反映水槽中水的深度与注水时间关系的是（ ）
A．B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查函数的图象，根据题意可分两段进行分析：当水的深度未超过球顶时；当水的深度超过球顶时．分别分析出水槽中装水部分的宽度变化情况，进而判断出水的深度变化快慢，以此得出答案．
【详解】解：当水的深度未超过球顶时，
水槽中能装水的部分的宽度由下到上由宽逐渐变窄，再变宽，
所以在匀速注水过程中，水的深度变化先从上升较慢变为较快，再变为较慢；
当水的深度超过球顶时，
水槽中能装水的部分宽度不再变化，
所以在匀速注水过程中，水的深度的上升速度不会发生变化．
综上，水的深度先上升较慢，再变快，然后变慢，最后匀速上升．
故选：D．
【变式训练4-3】如图，汽车匀速通过隧道时，汽车在隧道内的长度y与汽车进入隧道的时间x之间的关系用图象描述大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查函数图象的判定，理解题意是关键；
分析题意可知，当汽车进入隧道时y逐渐变大，汽车完全进入后一段时间内y不变，当汽车出来时y逐渐变小；再结合横、纵轴的意义分析、判断各个选项，即可完成解答．
【详解】解：根据题意可知汽车进入隧道的时间x与汽车在隧道内的长度y之间的关系具体可描述为：当汽车进入时y逐渐变大，汽车完全进入后一段时间内y不变，当汽车出来时y逐渐变小，
因此汽车从进入隧道至离开隧道的时间x与汽车在隧道内的长度y之间的函数关系用图象描述大致是：
故选：A．
【变式训练4-4】一艘轮船在同一航线上往返于甲、乙两地．已知轮船在静水中的速度为，水流速度为．轮船先从甲地顺水航行到乙地，在乙地停留一段时间后，又从乙地逆水航行返回到甲地．设轮船从甲地出发后所用时间为，航行的路程为，则与的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由航行，休息，航行可得此函数图象将分三个阶段，逐段进行分析即可得答案．
本题考查了实际问题的函数图象，解决本题的关键是抓住相同路程用时不同得到相应的函数图象．
【详解】解：第一个阶段，逆水航行，用时较多；
第二个阶段，在乙地停留一段时间，随着时间的增长，路程不再变化，函数图象将与x轴平行；
第三个阶段，顺水航行，所走的路程继续增加，相对于第一个阶段，用时较少，
故选：C．
【变式训练4-5】某牛奶销售公司招聘送奶员，下面的海报显示这家公司的日薪计算方式：
一天内送出的前240瓶牛奶，每瓶牛奶0.5元，此后，每多送一瓶每瓶多0.4元．
下列正确表示这家公司的日薪与送奶数量关系的图是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查等量关系的知识，由题意可知，日薪与送奶数量是存在两种关系，当送奶数量小于或等于240瓶是日新与送奶量一致且呈现递增的关系，当送奶数量大于240瓶是日新增长速度大于240瓶前，解题的关键是根据题意，判断出日薪与送奶数量的关系式即可．
【详解】解：由题意可知，日日薪与送奶数量是存在两种关系，当送奶数量小于或等于240瓶是日新与送奶量一致且呈现递增的关系，当送奶数量大于240瓶是日新增长速度大于240瓶前，
∴选项A符合题意，
故选：A．
题型五：常量和变量的综合应用
【经典例题5】如图所示，在一个半径为的圆面上，从中心挖去一个小圆面，当挖去一个小圆的半径由小变大时，剩下的一个圆环面积也随之发生变化．
(1)在这个变化过程中，因变量是 ．
(2)写出剩下的圆环面积与小圆的半径的关系式： ．
(3)当挖去圆的半径为时，剩下的圆环面积为多少？结果保留
【答案】(1)剩下的圆环面积
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了用关系式表示变量之间的关系，因变量的定义：
（1）根据圆环的面积随着挖去小圆的半径增大而减小，可得因变量是剩下的圆环面积；
（2）用大圆面积减去挖去的小圆面积即可得到答案；
（3）把代入（2）中所求关系式中求出y的值即可得到答案．
【详解】（1）解：∵圆环的面积随着挖去小圆的半径增大而减小，
∴因变量是剩下的圆环面积；
故答案为：剩下的圆环面积；
（2）解：由题意得，，
故答案为：；
（3）把代入中得：，
∴剩下的圆环面积为．
【变式训练5-1】星期天，小新和爸爸妈妈一起去电影院看一场电影．在去的路上，小新画出了汽车的速度随时间变化的情况如图：
(1)汽车行驶了多长时间？它的最大速度是多少？
(2)汽车在哪个范围内保持匀速？速度是多少？
(3)出发后分钟到分钟这段时间可能出现什么情况？
【答案】(1)分钟，千米/时
(2)时，时
(3)加油或是乘客下车（答案不唯一）
【分析】本题主要考查根据图象获取信息，
（1）根据图象的横轴、纵轴表示的信息即可求解；
（2）根据图形中随着时间变化，速度不变的情况即可求解；
（3）根据实际情况进行分析，答案不唯一．
【详解】（1）解：汽车行驶的时间为：（分钟），它的最大速度为：千米/时；
（2）解：汽车在分钟，分钟时保持匀速，速度分别是千米/时，千米/时；
（3）解：分钟到分钟，汽车的速度为千米/时，有可能是加油，或是有乘客下车（答案不唯一）．
【变式训练5-2】甲乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，轿车比货车晚出发1.5小时，如图，线段表示货车离甲地的距离s（千米）与时间t（小时）之间的关系：折线表示轿车离甲地的距离s（千米）与时间t（时）之间的关系，请根据图象解答下列问题：
(1)点B所对应的数为_________．
(2)货车的速度为_________千米/小时；轿车在段的速度为________千米/小时；轿车在段的速度为__________千米/小时．
(3)求轿车到达乙地时，货车与甲地的距离．
(4)货车和轿车谁先到达乙地？提前几小时到达？
【答案】(1)1.5
(2)60，80，110
(3)270
(4)轿车先达到乙地，提前0.5小时到达
【分析】本题考查用图象表示变量之间的关系，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
（1）点所对应的数为轿车出发的时间，根据题意求出轿车出发的时间即可；
（2）根据图象结合速度路程时间，即可求得对应的速度；
（3）根据图象求得货车行驶时间，再结合速度即可求解；
（4）根据图象求得货车到达乙地时间即可求解．
【详解】（1）解：∵轿车比货车晚出发1.5小时，货车是第0小时出发，
∴轿车第1.5小时出发，
∴点所对应的数是1.5；
故答案为：1.5；
（2）解：根据图象可知，货车速度是千米/小时，
轿车在段的速度为千米/小时，
轿车在段的速度为千米/小时，
故答案为：60，80，110；
（3）根据图象可知，轿车到达乙地时，
货车行驶时间为，
此时，货车与甲地的距离为千米；
（4）根据图象可知，轿车先到达乙地，
货车达到时间为小时，
可知，轿车比货车提前小时，
即：轿车先达到乙地，提前0.5小时到达．
【变式训练5-3】如图所示，分别表示了香蕉、苹果的总价与数量之间的关系，看图回答问题．
(1)香蕉的总价和数量成______比例关系；（填“正”或“反”）
(2)从图象上看，单价更贵一些的水果是______；
(3)买x千克苹果要用______元，y元可以买_____千克香蕉．
【答案】(1)正
(2)香蕉
(3)4x，
【分析】此题考查了正比例和反比例的判断，并从图中获取数据，进行计算．
（1）正比例：如果两种相关联的量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量．它们的关系叫做正比例关系；反比例：如果两个变量的乘积为常数时的比例关系，一方发生变化，其另一方随之起相反的变化，就是反比例．
（2）从图中获得数据，香蕉的单价高于苹果的单价．
（3）单价数量总价，总价单价数量，代入即可．
【详解】（1）从图中可以看出，香蕉的总价和购买的数量成正比例；
（2）从图象上看，单价更贵一些的水果是香蕉；
（3）从图象上看，买1千克苹果要用4元，买1千克香蕉要用8元，
买x千克苹果要用元，y元可以买千克香蕉；
故答案为：，．
【变式训练5-4】某“优质花海专用花籽”的价格为60元，如果一次性购买以上的花籽，超过的部分的花籽的价格打8折．
(1)根据题意，填写下表：
购买花籽的重量/kg 3 4 5 6 …
付款金额/元 180 300
(2)设购买花籽的重量为，付款金额为y元，求y关于x的函数解析式；
(3)若花海园丁李伯伯一次购买该花籽花费了540元，求他购买花籽的重量．
【答案】(1)240，348；
(2)当时，，当时，；
(3)
【分析】本题考查了用关系式表示变量之间的关系，求自变量的值等知识，解题的关键是：
（1）利用单价×数量=总价计算即可；
（2）利用单价×数量=总价，可得相应的函数解析式；
（3）由于李伯伯一次购买该种子花费了540元元，所以一次性购买种子超过，再将代入（1）中所求的函数解析式，求出x即可得出答案．
【详解】（1）解：，，
故答案为：240，348；
（2）解：由题意，得当时，，
当时，；
（3）解：∵
∴一次性购买花籽超过，
∴令，
解得，
答：他购买花籽的重量是．
【变式训练5-5】中国联通在某地的资费标准为包月86 元时，超出部分国内拨打0.25元．由于业务多，小明的爸爸打电话已超出了包月费．下表是超出部分国内拨打的收费标准：
时间 1 2 3 4 5
电话费/ 元 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25
(1)这个表反映了哪两个变量之间的关系 哪个是自变量 哪个是因变量
(2)如果用x表示超出时间，y表示超出部分的电话费，那么y与x之间的关系式是什么
(3)如果打电话超出，需付多少电话费
(4)某月打电话的费用超出部分是54元，那么小明的爸爸打电话超出几分钟
【答案】(1)这个表反映了超出部分国内拨打时间与电话费之间的关系．打电话超出时间是自变量，电话费是因变量
(2)
(3)92.25（元）的电话费
(4)
【分析】本题主要考查用关系式表示变量间的关系，正确列关系式是解题的关键．
（1）根据图表可以知道：超出的电话费随超出的时间的变化而变化，因而打电话超出时间是自变量、超出的电话费是因变量；
（2）费用单价时间，即可写出关系式；
（3）把代入关系式，然后加上包月费用即可求得答案；
（4）令，求出x即可解题．
【详解】（1）这个表反映了超出部分国内拨打时间与电话费之间的关系．打电话超出时间是自变量，电话费是因变量；
（2）由题意,可得 ；
（3）当时，，
即如果打电话超出，需付（元）的电话费．
（4）当时， ．
答：小明的爸爸打电话超出．
【变式训练5-6】如图，反映了小明从家到超市的时间与距离之间关系的一幅图．
(1)图中反映了哪两个变量之间的关系？超市离家多远？
(2)小明到达超市用了多少时间？小明仅往返（不考虑中间的等待时间）花了多少时间？
(3)小明离家出发后20分钟到30分钟内可以在做什么？
(4)小明从家到超市时的平均速度是多少？返回时的平均速度是多少？
【答案】(1)距离与时间，超市离家900米
(2)20分钟，35分钟
(3)在超市购物或休息
(4)45米/分钟，60米/分钟
【分析】本题考查利用图象表示变量之间的关系，正确理解图象横纵坐标表示的意义是解决问题的关键．
（1）根据纵轴和横轴，知图中反映了小明从家到超市的距离与时间之间的关系，显然超市离家900米；
（2）小明到达超市用了20分钟，小明从超市回到家花了15分钟；
（3）这一段时间内表明离家的距离没有变化，因此可能是在超市购物，也可能是在休息（只要合理即可）；
（4）根据速度路程时间进行计算．
【详解】（1）解：由图可知，图中反映了小明从家到超市的距离与时间之间的关系；超市离家900米；
（2）小明到达超市用了20分钟；返回用了分钟，往返共用了分钟；
（3）小明离家出发后20分钟到30分钟可以在超市购物或休息；
（4）小明到超市的平均速度是米/分钟；
返回的平均速度是米/分钟．
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5.1常量与变量五大题型（一课一讲）
【浙教版】
题型一：判别常量跟变量
【经典例题1】在圆周长计算公式中，对半径不同的圆，变量有（ ）
A．2，r B．C，r C． D．
【变式训练1-1】在圆的周长中，常量与变量分别是（ ）
A．2是常量，C，π，r是变量 B．2，π是常量，C，r是变量
C．C，2是常量，r是变量 D．2是常量，C，r是变量
【变式训练1-2】一根蜡烛原长12厘米，点燃分钟后，剩余蜡烛的长为厘米，则在这个变化过程中，下列判断正确的是（ ）
A．是常量 B．12是变量 C．是变量 D．是常量
【变式训练1-3】已知高铁的速度是300千米/时，则高铁行驶的路程S（千米）和时间t（时）之间的关系是．在此变化过程中，变量是（ ）
A．速度、时间 B．路程、时间
C．速度、路程 D．速度、路程、时间
【变式训练1-4】已知一个长方形的面积为，它的长为，宽为，下列说法正确的是（ ）
A．常量为，，变量为 B．常量为，，变量为
C．常量为，，变量为 D．常量为，变量为，
【变式训练1-5】在行进路程、速度和时间的相关计算中，若保持行驶的路程不变，则下列说法正确的是 （ ）
A．变量是速度 B．变量是时间
C．速度和时间都是变量 D．速度、时间t、路程都是常量
题型二：用表格表示变量之间的关系
【经典例题2】弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂的物体的质量间有下面的关系：
0 1 2 3 4 5
10 10.5 11 11.5 12 12.5
下列说法不正确的是（ ）
A．与都是变量，且是自变量，是因变量
B．所挂物体质量为时，弹簧长度为
C．弹簧不挂重物时的长度为
D．物体质量每增加，弹簧长度增加
【变式训练2-1】弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y（）与所挂的物体的重量x（）间有下面的关系：
x 0 1 2 3 4 5
y 10 11 12
下列说法不正确的是（ ）
A．x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量
B．弹簧不挂重物时的长度为
C．物体质量每增加，弹簧长度y增加
D．所挂物体质量为时，弹簧长度为
【变式训练2-2】弹簧原长（不挂重物），弹簧总长与重物质量的关系如表所示：
重物质量
弹簧总长 16 17 18 19 20
当重物质量为（在弹性限度内）时，弹簧的总长．（　　）
A．25 B． C．30 D．
【变式训练2-3】学校新买一台智能饮水机，某天中午小俊通过观察，记录了饮水机工作时间与水温的关系表格如下：
水温（） ．．．．．．
时间（时：分） ．．．．．．
请你帮小俊计算水烧开的时间为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-4】某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据如下：
温度（℃） 0 10 20 30
声速（） 318 324 330 336 342 348
下列说法错误的是（ ）
A．在这个变化中，自变量是温度，因变量是声速
B．温度越低，声速越慢
C．当温度每升高时，声速增加
D．当空气温度为时，声音可以传播
【变式训练2-5】科学家一直以来都在不断探索地球奥秘的路途中，经过大量的模拟实验，发现地表以下岩层的温度与所处深度的关系如表所示．
所处深度 1 2 3 4 5 6 7
岩层的温度 55 90 125 160 195 230 265
(1)表中，自变量为______，因变量为______；
(2)请求出地表以下岩层的温度与所处深度的关系式；
(3)当岩层的温度为时，求所处深度．
题型三：用关系表示变量之间的关系
【经典例题3】一个蓄水池已有的水，现以每分钟的速度向池中注水，蓄水池中的水量（）与注水时间（分）之间的关系式为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-1】个球队参加篮球比赛，每两队之间进行一场比赛，则比赛的场次数与球队数之间的函数关系式是 ．
【变式训练3-2】汽车由地驶往相距的地，它的平均速度是，则汽车距地路程与行驶时间的关系式为 ．
【变式训练3-3】如图，一轮船从离A港16千米的P地出发向B港匀速行驶，42分钟后离A港37千米（未到达B港）．设x小时后，轮船离A港千米（未到达B港），则y与x之间的关系式为 ．
【变式训练3-4】一支长的蜡烛点燃后每小时燃烧掉，用表示燃烧后蜡烛的长度，表示燃烧的时间，那么y与之间的关系式是 ．
【变式训练3-5】长方形的周长为，一边长由小到大变化，则长方形的面积与这个边长的关系式为 ．
题型四：用图像表示变量之间的关系
【经典例题4】如图①，在长方形中，动点从点出发，沿的方向运动至点处停止，设点运动的路程为，三角形的面积为，如果关于的图象如图②所示，则长方形的面积是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-1】4个高度相同的容器，以相同的流速向这四个容器中注水，能正确反映容器中水的高度变化的是（ ）．
A．B． C． D．
【变式训练4-2】如图是长方体水槽轴截面示意图，其底部放有一个实心铜球（铜的密度大于水），现向水槽中匀速注水，下列四个图象中能大致反映水槽中水的深度与注水时间关系的是（ ）
A．B． C． D．
【变式训练4-3】如图，汽车匀速通过隧道时，汽车在隧道内的长度y与汽车进入隧道的时间x之间的关系用图象描述大致是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练4-4】一艘轮船在同一航线上往返于甲、乙两地．已知轮船在静水中的速度为，水流速度为．轮船先从甲地顺水航行到乙地，在乙地停留一段时间后，又从乙地逆水航行返回到甲地．设轮船从甲地出发后所用时间为，航行的路程为，则与的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练4-5】某牛奶销售公司招聘送奶员，下面的海报显示这家公司的日薪计算方式：
一天内送出的前240瓶牛奶，每瓶牛奶0.5元，此后，每多送一瓶每瓶多0.4元．
下列正确表示这家公司的日薪与送奶数量关系的图是（ ）
A．B．C．D．
题型五：常量和变量的综合应用
【经典例题5】如图所示，在一个半径为的圆面上，从中心挖去一个小圆面，当挖去一个小圆的半径由小变大时，剩下的一个圆环面积也随之发生变化．
(1)在这个变化过程中，因变量是 ．
(2)写出剩下的圆环面积与小圆的半径的关系式： ．
(3)当挖去圆的半径为时，剩下的圆环面积为多少？结果保留
【变式训练5-1】星期天，小新和爸爸妈妈一起去电影院看一场电影．在去的路上，小新画出了汽车的速度随时间变化的情况如图：
(1)汽车行驶了多长时间？它的最大速度是多少？
(2)汽车在哪个范围内保持匀速？速度是多少？
(3)出发后分钟到分钟这段时间可能出现什么情况？
【变式训练5-2】甲乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，轿车比货车晚出发1.5小时，如图，线段表示货车离甲地的距离s（千米）与时间t（小时）之间的关系：折线表示轿车离甲地的距离s（千米）与时间t（时）之间的关系，请根据图象解答下列问题：
(1)点B所对应的数为_________．
(2)货车的速度为_________千米/小时；轿车在段的速度为________千米/小时；轿车在段的速度为__________千米/小时．
(3)求轿车到达乙地时，货车与甲地的距离．
(4)货车和轿车谁先到达乙地？提前几小时到达？
【变式训练5-3】如图所示，分别表示了香蕉、苹果的总价与数量之间的关系，看图回答问题．
(1)香蕉的总价和数量成______比例关系；（填“正”或“反”）
(2)从图象上看，单价更贵一些的水果是______；
(3)买x千克苹果要用______元，y元可以买_____千克香蕉．
【变式训练5-4】某“优质花海专用花籽”的价格为60元，如果一次性购买以上的花籽，超过的部分的花籽的价格打8折．
(1)根据题意，填写下表：
购买花籽的重量/kg 3 4 5 6 …
付款金额/元 180 300
(2)设购买花籽的重量为，付款金额为y元，求y关于x的函数解析式；
(3)若花海园丁李伯伯一次购买该花籽花费了540元，求他购买花籽的重量．
【变式训练5-5】中国联通在某地的资费标准为包月86 元时，超出部分国内拨打0.25元．由于业务多，小明的爸爸打电话已超出了包月费．下表是超出部分国内拨打的收费标准：
时间 1 2 3 4 5
电话费/ 元 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25
(1)这个表反映了哪两个变量之间的关系 哪个是自变量 哪个是因变量
(2)如果用x表示超出时间，y表示超出部分的电话费，那么y与x之间的关系式是什么
(3)如果打电话超出，需付多少电话费
(4)某月打电话的费用超出部分是54元，那么小明的爸爸打电话超出几分钟
【变式训练5-6】如图，反映了小明从家到超市的时间与距离之间关系的一幅图．
(1)图中反映了哪两个变量之间的关系？超市离家多远？
(2)小明到达超市用了多少时间？小明仅往返（不考虑中间的等待时间）花了多少时间？
(3)小明离家出发后20分钟到30分钟内可以在做什么？
(4)小明从家到超市时的平均速度是多少？返回时的平均速度是多少？
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