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5.3一次函数七大题型（一课一讲）
【浙教版】
题型一：正比例函数的定义
【经典例题1】下列函数中，是正比例函数的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查正比例函数的判断．根据正比例函数的定义：形如，这样的函数叫做正比例函数，进行判断即可．
【详解】解：A、不是正比例函数，本选项不符合题意；
B、是正比例函数，本选项符合题意；
C、不是正比例函数，本选项不符合题意；
D、不是正比例函数，本选项不符合题意；
故选：B．
【变式训练1-1】如果是关于的正比例函数，则的值为（ ）
A． B．2 C．0 D．1
【答案】C
【分析】本题考查了正比例函数的定义．熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键．
由是关于的正比例函数，可知中，求解作答即可．
【详解】解：∵是关于的正比例函数，
∴中，
解得，，
故选：C．
【变式训练1-2】若是正比例函数，则m的值为 ．
【答案】
【分析】此题考查了正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数定义是解题的关键．
根据正比例函数的定义得到且，即可得到答案．
【详解】解：∵正比例函数为，
，且，
解得：，
故答案为：．
【变式训练1-3】已知函数，当a 时，它是正比例函数．
【答案】
【分析】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数的定义条件是：、为常数，，自变量次数为1，的一次函数是正比例函数．根据正比例函数的定义，可得答案．
【详解】解：已知函数，当且时，它是正比例函数，
解得：．
故答案为：．
【变式训练1-4】定义为一次函数的特征数，若特征数为的一次函数为正比例函数，则为 ．
【答案】
【分析】本题考查了新定义、正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键．
根据特征数的定义及正比例函数的定义，可得，，解方程即可求解．
【详解】解：根据题意，特征数为的一次函数表达式为：，
∵为正比例函数，
∴，，
解得：，
故答案为：．
题型二：识别一次函数
【经典例题2】下列函数中，是的一次函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义是解题的关键．根据一次函数的定义：，进行判断即可．
【详解】解：A、，未知数最高次不是1次，不符合题意一次函数的解析式形式，故不符合题意；
B、没有未知数，不符合题意一次函数的解析式形式，故不符合题意；
C、不符合题意一次函数的解析式形式，一次函数解析式右边应为整式，故不符合题意；
D、是一次函数，故符合题意．
故选：D．
【变式训练2-1】在下列函数解析式中，①；②；③；④；⑤，一定是一次函数的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】本题主要考查了一次函数的的定义，一次函数中自变量的系数不能为0，且自变量次数为1，据此对各个函数分析，得出正确答案．
【详解】解：①，时不是一次函数；
②，不具备一次函数的特征，不是一次函数；；
③是一次函数；
④，是一次函数；
⑤是一次函数，
所以是一次函数的有3个．
故选：B．
【变式训练2-2】有下列函数关系式：①；②；③；④，其中一次函数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题考查一次函数的定义，在某一个变化过程中，设有两个变量x和y，如果满足这样的关系：(k为一次项系数且，b为任意常数)，那么我们就说y是x的一次函数，其中x是自变量，y是因变量 (又称函数）．
【详解】解：①是一次函数，②是一次函数，③的自变量的次数为2，不是一次函数，④的在分母上，不是一次函数，
所以一次函数有个，
故选B．
【变式训练2-3】有下列函数：①；②；③ ；④．其中是一次函数的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】A
【分析】本题考查了一次函数，根据一次函数的定义：一般的，形如（，为常数）的函数叫一次函数，据此即可判断求解，掌握一次函数的定义是解题的关键．
【详解】解：根据一次函数的定义可得①②是一次函数，③④不是一次函数，
∴一次函数有个，
故选：．
【变式训练2-4】在下列函数解析式中，①；②；③；④；⑤，一定是一次函数的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】根据一次函数的定义，对各个函数进行分析，即可求解，
本题主要考查了一次函数的定义，解题的关键是：熟练掌握一次函数的定义．
【详解】解：①当时，不是一次函数，
②，不是一次函数，
③，是一次函数，
④，是一次函数，
⑤，是一次函数，
综上所述，③④⑤是一次函数，共3个，
故选：B．
【变式训练2-5】函数：①；②；③；④；⑤．是一次函数的有 ．
【答案】②④
【分析】本题考查一次函数的定义，判定一个函数是否是一次函数，从三个方面出发：①含有一个未知数；②未知数的最高次数是1次；③是一个整式，对题中所给的五个逐项验证即可得到答案，熟记一次函数定义是解决问题的关键．
【详解】解：①，当时，不满足一次函数定义，不符合题意；
②，满足一次函数定义，符合题意；
③，是分式，不满足一次函数定义，不符合题意；
④，满足一次函数定义，符合题意；
⑤，是二次函数，不满足一次函数定义，不符合题意；
综上所述，②④是一次函数，
故答案为：②④．
题型三：根据一次函数的定义求参数
【经典例题3】已知函数．若这个函数是关于的一次函数，则 ．
【答案】0
【分析】本题主要考查了一次函数的定义，掌握一次函数的一次项系数不能为0成为解题的关键．
由于函数是一次函数，则二次项系数为0且一次项系数不为0，据此列不等式组求解即可．
【详解】解：∵函数是关于的一次函数，
∴，解得：．
故答案为：0
【变式训练3-1】已知函数，当k 时，它是一次函数，当 时，它是正比例函数．
【答案】
【分析】本题主要考查了一次函数和正比例函数的定义，对于函数（k、b）是常数，当时，该函数为一次函数，当且时，该函数是正比例函数，据此求解即可．
【详解】解： ∵是一次函数，
∴，
∴；
∵是正比例函数，
∴，
∴，
故答案为：；．
【变式训练3-2】已知函数．
(1)当，为何值时，此函数是一次函数？
(2)当，为何值时，此函数是正比例函数？
【答案】(1)当，为任意实数时，这个函数是一次函数
(2)当，时，这个函数是正比例函数
【分析】此题主要考查了一次函数以及正比例函数的定义，正确把握次数与系数的关系是解题关键．
（1）直接利用一次函数的定义分析得出答案；
（2）直接利用正比例函数的定义分析得出答案．
【详解】（1）解：根据一次函数的定义，得：，
解得，
又即，
当，为任意实数时，这个函数是一次函数；
（2）解：根据正比例函数的定义，得：，，
解得，，
又即，
当，时，这个函数是正比例函数．
【变式训练3-3】已知函数为一次函数，求的值．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数的定义，形如的函数叫做一次函数．根据一次函数的定义求解即可．
【详解】解 ：函数是一次函数，
，
解得：．
【变式训练3-4】已知．
(1)当m，n取何值时，y是x的一次函数？
(2)当m，n取何值时，y是x的正比例函数？
【答案】(1)，n为任意实数
(2)，
【分析】本题考查了一次函数和正比例函数的定义，形如的是一次函数，形如的是正比例函数．
（1）根据一次函数的定义即可解答；
（2）根据正比例函数的定义即可解答．
【详解】（1）解：∵是一次函数，
∴，
解得：，
∴，n为任意实数；
（2）解：∵是正比例函数，
∴，
解得：．
题型四：求一次函数自变量或函数值
【经典例题4】已知与成正比例，且当时，．
(1)求y与的函数解析式；
(2)如果x的取值范围是，求y的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了求正比例函数解析式，求一次函数值的取值范围：
（1）设 ，然后利用待定系数法求解即可；
（2）根据一次函数的性质得到y随x增大而减小，再分别求出当时，当时的函数值即可得到答案．
【详解】（1）解：设 ，
∵当时，，
∴，
∴，
∴，即；
（2）解：∵在中，，
∴y随x增大而减小，
当时，，
当时，，
∴当时，．
【变式训练4-1】已知：y与成正比例，且时，．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)点在这个函数的图像上，求m的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了正比例函数解析式，求自变量的值等知识．熟练掌握正比例函数解析式，求自变量的值是解题的关键．
（1）设y与x之间的函数关系式为，将，代入得，，可求，进而可得y与x之间的函数关系式；
（2）将代入得，，计算求解，然后作答即可．
【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为，
将，代入得，，
解得，，
∴，
∴y与x之间的函数关系式为；
（2）解：将代入得，，
解得，．
【变式训练4-2】已知与成正比例，且当时，．
(1)求关于的函数解析式；
(2)若点关于轴的对称点恰好落在该函数的图象上，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，关于y轴对称点的坐标特征等知识，解题的关键是：
（1）设，把，代入求解即可；
（2）利用轴对称性求出对称点的坐标，然后代入求解即可．
【详解】（1）解：设，
把，代入，得，
解得，
∴
（2）解：点关于轴的对称点为，
∵在的图象上，
∴．
【变式训练4-3】已知与成正比例函数关系，且时，．
(1)写出与之间的函数解析式；
(2)求当时，的值．
【答案】(1)
(2)12
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、函数值．
（1）根据y与成正比例关系设出函数的解析式，再把当时，代入函数解析式即可求出k的值，进而求出y与x之间的函数解析式．
（2）根据（1）中所求函数解析式，将代入其中，求得y值；
【详解】（1）解：依题意得：设．
将代入得：，
解得：．
故y与x之间的函数关系式为：．
（2）解：由（1）知，，
则当时，，
即．
【变式训练4-4】已知与成正比例，当时，．
(1)求出y与x的函数关系式；
(2)设点在这个函数的图象上，求a的值．
(3)试判断点是否在此函数图像上，说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)点不在此函数的图象上，理由见解析
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上的点的坐标特征、解一元一次方程，熟练掌握相关知识的运用是解答的关键．
（1）设，将x、y值代入求出k值即可求解；
（2）将点代入（1）中函数关系式中求解即可；
（3）将代入（1）中函数关系式中求解判断即可．
【详解】（1）根据题意，设，
∵当时，，
∴，
解得：，
∴，即，
∴y与x的函数关系式为；
（2）将点代入得：，
解得：；
（3）当时，，
则点不在此函数的图象上．
【变式训练4-5】已知与成正比例，且时．
(1)求与之间的函数关系式；
(2)当时，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是灵活运用待定系数法建立函数解析式．
（1）已知与成正比例，可设，把，代入求出k的值，从而可得函数解析式；
（2）在解析式中，令求出x即可．
【详解】（1）解：因为与成正比例，
所以可设，
将代入，得，
解得：，
所以与之间的函数关系式为：，即；
（2）解：将代入得：，
解得：．
题型五：列一次函数解析式并求值
【经典例题5】已知函数，
(1)当是何值时函数是一次函数．
(2)当函数是一次函数时，写出此函数解析式．并计算当时的函数值．
(3)点在此一次函数图象上，则的值为多少．
【答案】(1)
(2)，当时，
(3)
【分析】（1）根据一次函数的定义进行求解即可；
（2）根据（1）所求代入m得值求出对应的函数关系式，再把代入对应的函数关系式求出此时y的值即可；
（3）代入，求出此时x的值即可得到答案．
【详解】（1）解：∵函数是一次函数，
∴，
∴，
∴当时，函数是一次函数；
（2）解：由（1）得，
∴当时，；
（3）解：在中，当时，，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了一次函数的定义，求一次函数的函数值和自变量的值，一般地，形如（其中k、b都是常数，且）的函数叫做一次函数．
【变式训练5-1】某商超采购员李伯伯到临沂皇山蔬菜水果批发市场批发甲、乙两种蔬菜，已知甲、乙两种蔬菜的批发价和零售价如下表所示：
品名 甲蔬菜 乙蔬菜
批发价/（元/kg）
零售价/（元/kg）
(1)若他批发甲、乙两种蔬菜共花90元．求批发甲乙两种蔬菜各多少千克？（列方程或方程组求解）
(2)若他批发甲、乙两种蔬菜共花m元，设批发甲种蔬菜，求m与n的函数关系式；
(3)在（2）的条件下，全部卖完蔬菜后要保证利润不低于元，至少批发甲种蔬菜多少千克？
【答案】(1)批发甲蔬菜，乙蔬菜；
(2)；
(3)至少批发甲种蔬菜．
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用、列函数关系式等知识点，弄清量之间的关系成为解题的关键．
（1）设批发甲蔬菜，乙蔬菜，然后根据等量关系“批发甲、乙两种蔬菜共花90元”列一元一次方程求解即可；
（2）设批发甲种蔬菜，乙蔬菜，然后根据销售金额等于单价乘数量列出关系式即可；
（3）设批发甲种蔬菜，乙蔬菜，然后根据“全部卖完蔬菜后要保证利润不低于元”列不等式求解即可．
【详解】（1）解：设批发甲蔬菜，乙蔬菜，
由题意得：， 解得：，
乙蔬菜为：．
答：故批发甲蔬菜，乙蔬菜．
（2）解：设批发甲种蔬菜，乙蔬菜，
由题意得：．
答：m与n的函数关系为：．
（3）解:设批发甲种蔬菜，乙蔬菜，
由题意得， 解得．
答：至少批发甲种蔬菜．
【变式训练5-2】书法是文字美的艺术表现形式，中国书法历史悠久，书体沿革流变，书法艺术异采迷人，是中国汉字特有的一种传统艺术．某校举办以“发扬艺术之光，传承书法风采”为主题的书法比赛活动，校团委计划购买某种标价为120元/套的书法套具，文具店老板给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10套，单价为120元/套；如果一次性购买超过10套，那么每增加1套，购买的所有书法套具的单价每套降低5元，但单价不得低于60元/套．设校团委一次性购买书法套具x套，购买的实际单价为y元/套．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)当时，求校团委购买这些书法套具的实际付款总额．
【答案】(1)
(2)1400元
【分析】本题考查一次函数的实际应用，正确的列出函数关系式是解题的关键：
（1）根据优惠方案，列出函数关系式即可；
（2）把代入（1）中的解析式进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意，得：；
（2）当时，，
故校团委购买这些书法套具的实际付款总额为元．
【变式训练5-3】在某次抗震救灾中，郑州市组织20辆汽车装运食品，药品，生活用品三种救灾物资共100吨到灾民安置点．按计划20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种救灾物资，且必须装满．请根据下表信息，回答问题：
物资种类 食品 药品 生活用品
每辆汽车运载量（吨） 6 5 4
每吨所需运费（元） 120 160 100
(1)设装运食品的车辆数为x，装运药品的车辆数为y，求y与x之间的函数表达式；
(2)若装运食品的车辆数不少于5，装运药品的车辆数不少于4，那么车辆的安排有几种方案？
【答案】(1)
(2)安排方案有4种，见解析
【分析】（1）先表示出装运生活用品的车辆数为，再结合表格中的数据解答即可；
（2）先根据题意得出关于x的不等式组，求出解集后结合x为整数即可得到答案．
【详解】（1）解：根据题意，装运食品的车辆数为x，装运药品的车辆数为y，那么装运生活用品的车辆数为，
则有，
整理得，，
∴y与x之间的函数表达式为；
（2）由（1）知，装运食品，药品，生活用品三种物资的车辆数分别为x，，x，
由题意，得，
解这个不等式组，得，
因为x为整数，所以x的值为5，6，7，8．
所以安排方案有4种：方案一：装运食品5辆、药品10辆，生活用品5辆；方案二：装运食品6辆、药品8辆，生活用品6辆；方案三：装运食品7辆、药品6辆，生活用品7辆；方案四：装运食品8辆、药品4辆，生活用品8辆．
【点睛】本题考查了列出实际问题中的函数关系式和一元一次不等式组的应用，正确理解题意、列出函数关系式和不等式组是解题的关键．
【变式训练5-4】下面是八年级上册《4.2一次函数与正比例函数》的问题解决：某电信公司手机的类收费标准如下：不管通话时间多长，每部手机每月必须缴月租费12元，另外，通话费按0.2元计．类收费标准如下：没有月租费，但通话费按0.25元计．
(1)根据函数的概念，我们首先将问题中的两个变量分别设为通话时间和手机话费，请写出，两种计费方式分别对应的函数表达式．
(2)月通话时间为多长时，两种套餐收费一样？
(3)若每月平均通话时长为300分钟，选择哪类收费方式较少？请说明理由．
【答案】(1)类：，类：
(2)
(3)类，理由见解析
【分析】（1）直接根据题意列代数式即可；
（2）将两解析式联立求解即可；
（3）分别将代入解析式求出y的值比较即可．
【详解】（1）由题意可知，类：，类：
（2）因为，解得
所以当通话时间等于时，两类收费方式所缴话费相等；
（3）当时，，
因为，所以应该选择类缴费方式．
【点睛】本题考查了列一次函数解析式并求值，正确列出两解析式是解题的关键．
【变式训练5-5】“绿叶”家政服务公司选派16名清洁工去打扫新装修的“海天”宾馆的房间，房间有大、小两种规格，每名清洁工一天能打扫4个大房间或5个小房间．设派x人去清扫大房间，其余人清扫小房间，清扫一个大房间工钱为80元，清扫一个小房间工钱为60元．
(1)写出家政服务公司每天的收入y（元）与x（人）之间的函数关系式：
(2)应该怎样安排这16名清洁工清扫？才能一天为“绿叶”家政服务公司创收5000元．
【答案】(1)
(2)应该安排这10名清洁工清扫大房间，6名清扫小房间
【分析】（1）设派x人去清扫大房间，则人清扫小房间，根据题意列出y（元）与x（人）之间的函数关系式即可；
（2）把，代入求解即可．
【详解】（1）有x人清扫大房间，则有人清扫小房间
∴
（2）解得：，
答：应该安排这10名清洁工清扫大房间，6名清扫小房间．
【点睛】本题考查了列一次函数解析式，已知函数值求自变量x的值，属于基础题，第（1）问要写出自变量的取值范围是易错点．
题型六：一次函数过定点问题
【经典例题6】已知直线的解析式为，则直线过定点（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】当时，得到，即可得到打答案，此题考查一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】解：当时，，
∴直线过定点，
故选：B
【变式训练6-1】无论取何值，直线（为常数，）恒过一定点，则该定点的坐标为 ．
【答案】
【详解】解法一：，令，则，此时直线（为常数，所过的定点坐标为．
【变式训练6-2】对于任意实数m，一次函数的图像必过定点 ．
【答案】
【分析】本题考查了函数恒过定点的应用问题，是基础题．把函数化为，令m的系数等于0，即可求得对应的值．
【详解】解：∵一次函数，
∴可化为
令，则，
故，
∴函数的图象必过定点．
故答案为：．
【变式训练6-3】对任意实数m，直线经过一个定点，这个定点 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，将解析式变形为，结合题意得出，计算即可得解．
【详解】解：∵，
∴，
∵对任意实数m，直线经过一个定点，
∴，
∴，此时，
∴定点为，
故答案为：．
【变式训练6-4】无论取任何实数，一次函数必过一定点，此定点坐标为 ．
【答案】
【分析】解析式变形为，令，求出x，y的值即可
【详解】解：由一次函数变形为，
令，
解得，
故一次函数必过一定点．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了恒过定点的直线．本题主要是利用了过两条直线的交点的直线系方程求得定点，也可以利用的两个不同值来确定交点坐标．
【变式训练6-5】一次函数的图象经过定点，则点的坐标是 ．
【答案】
【分析】将变形为，可知无论m取何值，当时，，由此可解．
【详解】解：，
当时，，
因此该函数的图象一定经过点，
即点的坐标是．
故答案为：．
【点睛】本题考查一次函数过定点问题，解题的关键是将变形为．
题型七：已知一次函数求取值范围
【经典例题7】如图，在一次函数的图像上存在点，使得点关于直线的对称点在的边上，其中，，，则的取值范围是 ．（注：直线是指过且垂直于轴的直线）
【答案】
【分析】本题考查一次函数图像上的点，不等式的应用，设点，根据点和点关于直线对称得点，再根据点在的边上得，由得，由得，由此可得的取值范围，理解一次函数图像上的点满足一次函数的表达式，熟练掌握解不等式是解决问题的关键．
【详解】解：点在一次函数的图像上，
设点的坐标为，
点和点关于直线对称，
点和点的纵坐标相同，可设点的坐标为，
，即，
点的坐标为，
，，，点在的边上，
，
由，得；由，得；
，
故答案为．
【变式训练7-1】若，满足，且为常数），则称点为“和谐点”．一次函数存在“和谐点”，则b的取值范围 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数的性质，因式分解的应用；根据新定义得出，进而得出，根据，即可求解．
【详解】解：∵一次函数存在“和谐点”
∴，
∴，
∴
即
∵，即
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
故答案为：．
【变式训练7-2】定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点，如果点满足：，那么称点M是点A，B的“双减点”．
（i）若点，的“双减点”M的坐标是，则点B的坐标是 ；
（ii）若点，的“双减点”是点F，当点F在直线的上方时，则m的取值范围是 ．
【答案】
【分析】（1）根据点是点、的“双减点”的定义可求点坐标；
（2）点，的“双减点”是点，可表示出点的坐标，根据点在直线下方可得出关于的不等式，解不等式即可．
【详解】解：（1）点， “双减点” M的坐标是，
，，
，，
点M坐标，
故答案为：；
（2）点，的“双减点”是点，
，，即，，
点在直线上方，
，
解得，
故答案为：．
【点睛】此题考查了一次函数的图象和性质，一次函数图象上点的坐标特征，能够利用新定义表示出点的坐标是解题的关键．
【变式训练7-3】定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点，，如果点满足：，，那么称点式点，的“双减点”．
（1）若点，的“双减点”的坐标是，则点的坐标是 ．
（2）若点，的“双减点”是点，当点在直线的下方时，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】（1）根据点是点、的“双减点”的定义可求点坐标；
（2）点，的“双减点”是点，可表示出点的坐标，根据点在直线下方可得出关于的不等式，解不等式即可．
【详解】解：（1）点，的“双减点”的坐标是，
∴，，
∴，，
∴点坐标，
故答案为：；
（2）∵点，的“双减点”是点，
∴，，
即，，
∵点在直线下方，
∴，
解得，
故答案为：．
【点睛】此题考查了一次函数的图象和性质，一次函数图象上点的坐标特征，能够利用新定义表示出点的坐标是解题的关键．
【变式训练7-4】在平面直角坐标系中点，．若，a为常数，且，则称点B为点A的“a级上升点”．
如点为点的“级上升点”．
(1)点C为点的“1级上升点”，则点C的坐标为________；
(2)若点的“2级上升点”为点Q，且点Q恰好在y关于x的一次函数的图象上，求t的值；
(3)若直线上恰有一点的“级上升点”在y关于x的函数的图象上，求n的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用新定义计算解题；
（2）根据新定义可以得到点Q的坐标为，代入一次函数解析式即可求值；
（3）设直线上的点坐标为且，根据新定义得到“级上升点”坐标为，分两种情况分别解题即可．
【详解】（1）由定义可知点C的坐标为，即，
故答案为：．
（2）解：∵点的“2级上升点”为点Q，
∴点Q的坐标为，
又∵点Q在函数图象上，
∴，
解得：；
（3）解：设直线上的点坐标为且，
则这点的“级上升点”坐标为，
即，
当时，则
整理得：，
则，解得无解；
当时，则，
解得：，
即，解得，
综上所述：．
【点睛】本题考查新定义下的实数运算，解题的关键在于读懂新定义，利用新定义给出的公式解决问题．
【变式训练7-5】定义：对于给定的两个函数，当时，它们对应函数值相等；当时，它们对应的函数值互为相反数．我们称这样的两个函数互为相关函数．
例如：一次函数，它的相关函数为
（1）已知点在一次函数的相关函数的图象上，则的值为______；
（2）已知一次函数．
①这个函数的相关函数为______；
②若点在这个函数的相关函数的图象上，求的值；
③当时，这个函数的相关函数的取值范围是，直接写出的取值范围．
【答案】（1）；（2）①；②或2；③．
【分析】（1）将该点的横坐标代入一次函数y= x+2的相关函数即可求值；
（2）①根据题意列出函数式即可，
②根据题意把点N的坐标代入函数式求解即可，
③分别讨论n和n+1与0的关系代入不同函数式求解即可；
【详解】由题意知：一次函数，它的相关函数为，
把x=-1代入 y= x+2 的相关函数得：y=-3，
故答案为：；
（2）①；
②的相关函数是，
当时，，解得；
当时，，解得；
∴或2；
③当n≥0时，x=n代入函数则：y=2n-1，
x=n+1代入函数则：y=2（n+1）-1=2n+1，
∵2n-1<2n+1，
∴-2n+1=-1，2n+1=3，
∴n=1，
则
当n+1<0时，x=n代入函数则：y=-2n+1，
x=n+1代入函数则：y=-2（n+1）+1=-2n-1，
∵-2n+1>-2n-1，
∴-2n+1=3，
则n=-1（舍去）；
当n+1≥0，n<0，即-1≤n<0时，
x=n代入函数则：y=-2n+1，
x=n+1代入函数则：y=2（n+1）-1=2n+1，
∵-2n+1>2n+1,
∴-2n+1=3，2n+1=-1，
∴n=-1，
则
综上所述：．
【点睛】此题考查一次函数相关知识，利用相反数引入相关函数的定义，对题意理解是关键．
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5.3一次函数七大题型（一课一讲）
【浙教版】
题型一：正比例函数的定义
【经典例题1】下列函数中，是正比例函数的为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-1】如果是关于的正比例函数，则的值为（ ）
A． B．2 C．0 D．1
【变式训练1-2】若是正比例函数，则m的值为 ．
【变式训练1-3】已知函数，当a 时，它是正比例函数．
【变式训练1-4】定义为一次函数的特征数，若特征数为的一次函数为正比例函数，则为 ．
题型二：识别一次函数
【经典例题2】下列函数中，是的一次函数的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-1】在下列函数解析式中，①；②；③；④；⑤，一定是一次函数的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【变式训练2-2】有下列函数关系式：①；②；③；④，其中一次函数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式训练2-3】有下列函数：①；②；③ ；④．其中是一次函数的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【变式训练2-4】在下列函数解析式中，①；②；③；④；⑤，一定是一次函数的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【变式训练2-5】函数：①；②；③；④；⑤．是一次函数的有 ．
题型三：根据一次函数的定义求参数
【经典例题3】已知函数．若这个函数是关于的一次函数，则 ．
【变式训练3-1】已知函数，当k 时，它是一次函数，当 时，它是正比例函数．
【变式训练3-2】已知函数．
(1)当，为何值时，此函数是一次函数？
(2)当，为何值时，此函数是正比例函数？
【变式训练3-3】已知函数为一次函数，求的值．
【变式训练3-4】已知．
(1)当m，n取何值时，y是x的一次函数？
(2)当m，n取何值时，y是x的正比例函数？
题型四：求一次函数自变量或函数值
【经典例题4】已知与成正比例，且当时，．
(1)求y与的函数解析式；
(2)如果x的取值范围是，求y的取值范围．
【变式训练4-1】已知：y与成正比例，且时，．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)点在这个函数的图像上，求m的值．
【变式训练4-2】已知与成正比例，且当时，．
(1)求关于的函数解析式；
(2)若点关于轴的对称点恰好落在该函数的图象上，求的值．
【变式训练4-3】已知与成正比例函数关系，且时，．
(1)写出与之间的函数解析式；
(2)求当时，的值．
【变式训练4-4】已知与成正比例，当时，．
(1)求出y与x的函数关系式；
(2)设点在这个函数的图象上，求a的值．
(3)试判断点是否在此函数图像上，说明理由．
【变式训练4-5】已知与成正比例，且时．
(1)求与之间的函数关系式；
(2)当时，求的值．
题型五：列一次函数解析式并求值
【经典例题5】已知函数，
(1)当是何值时函数是一次函数．
(2)当函数是一次函数时，写出此函数解析式．并计算当时的函数值．
(3)点在此一次函数图象上，则的值为多少．
【变式训练5-1】某商超采购员李伯伯到临沂皇山蔬菜水果批发市场批发甲、乙两种蔬菜，已知甲、乙两种蔬菜的批发价和零售价如下表所示：
品名 甲蔬菜 乙蔬菜
批发价/（元/kg）
零售价/（元/kg）
(1)若他批发甲、乙两种蔬菜共花90元．求批发甲乙两种蔬菜各多少千克？（列方程或方程组求解）
(2)若他批发甲、乙两种蔬菜共花m元，设批发甲种蔬菜，求m与n的函数关系式；
(3)在（2）的条件下，全部卖完蔬菜后要保证利润不低于元，至少批发甲种蔬菜多少千克？
【变式训练5-2】书法是文字美的艺术表现形式，中国书法历史悠久，书体沿革流变，书法艺术异采迷人，是中国汉字特有的一种传统艺术．某校举办以“发扬艺术之光，传承书法风采”为主题的书法比赛活动，校团委计划购买某种标价为120元/套的书法套具，文具店老板给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10套，单价为120元/套；如果一次性购买超过10套，那么每增加1套，购买的所有书法套具的单价每套降低5元，但单价不得低于60元/套．设校团委一次性购买书法套具x套，购买的实际单价为y元/套．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)当时，求校团委购买这些书法套具的实际付款总额．
【变式训练5-3】在某次抗震救灾中，郑州市组织20辆汽车装运食品，药品，生活用品三种救灾物资共100吨到灾民安置点．按计划20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种救灾物资，且必须装满．请根据下表信息，回答问题：
物资种类 食品 药品 生活用品
每辆汽车运载量（吨） 6 5 4
每吨所需运费（元） 120 160 100
(1)设装运食品的车辆数为x，装运药品的车辆数为y，求y与x之间的函数表达式；
(2)若装运食品的车辆数不少于5，装运药品的车辆数不少于4，那么车辆的安排有几种方案？
【变式训练5-4】下面是八年级上册《4.2一次函数与正比例函数》的问题解决：某电信公司手机的类收费标准如下：不管通话时间多长，每部手机每月必须缴月租费12元，另外，通话费按0.2元计．类收费标准如下：没有月租费，但通话费按0.25元计．
(1)根据函数的概念，我们首先将问题中的两个变量分别设为通话时间和手机话费，请写出，两种计费方式分别对应的函数表达式．
(2)月通话时间为多长时，两种套餐收费一样？
(3)若每月平均通话时长为300分钟，选择哪类收费方式较少？请说明理由．
【变式训练5-5】“绿叶”家政服务公司选派16名清洁工去打扫新装修的“海天”宾馆的房间，房间有大、小两种规格，每名清洁工一天能打扫4个大房间或5个小房间．设派x人去清扫大房间，其余人清扫小房间，清扫一个大房间工钱为80元，清扫一个小房间工钱为60元．
(1)写出家政服务公司每天的收入y（元）与x（人）之间的函数关系式：
(2)应该怎样安排这16名清洁工清扫？才能一天为“绿叶”家政服务公司创收5000元．
题型六：一次函数过定点问题
【经典例题6】已知直线的解析式为，则直线过定点（ ）．
A． B． C． D．
【变式训练6-1】无论取何值，直线（为常数，）恒过一定点，则该定点的坐标为 ．
【变式训练6-2】对于任意实数m，一次函数的图像必过定点 ．
【变式训练6-3】对任意实数m，直线经过一个定点，这个定点 ．
【变式训练6-4】无论取任何实数，一次函数必过一定点，此定点坐标为 ．
【变式训练6-5】一次函数的图象经过定点，则点的坐标是 ．
题型七：已知一次函数求取值范围
【经典例题7】如图，在一次函数的图像上存在点，使得点关于直线的对称点在的边上，其中，，，则的取值范围是 ．（注：直线是指过且垂直于轴的直线）
【变式训练7-1】若，满足，且为常数），则称点为“和谐点”．一次函数存在“和谐点”，则b的取值范围 ．
【变式训练7-2】定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点，如果点满足：，那么称点M是点A，B的“双减点”．
（i）若点，的“双减点”M的坐标是，则点B的坐标是 ；
（ii）若点，的“双减点”是点F，当点F在直线的上方时，则m的取值范围是 ．
【变式训练7-3】定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点，，如果点满足：，，那么称点式点，的“双减点”．
（1）若点，的“双减点”的坐标是，则点的坐标是 ．
（2）若点，的“双减点”是点，当点在直线的下方时，则的取值范围是 ．
【变式训练7-4】在平面直角坐标系中点，．若，a为常数，且，则称点B为点A的“a级上升点”．
如点为点的“级上升点”．
(1)点C为点的“1级上升点”，则点C的坐标为________；
(2)若点的“2级上升点”为点Q，且点Q恰好在y关于x的一次函数的图象上，求t的值；
(3)若直线上恰有一点的“级上升点”在y关于x的函数的图象上，求n的取值范围．
【变式训练7-5】定义：对于给定的两个函数，当时，它们对应函数值相等；当时，它们对应的函数值互为相反数．我们称这样的两个函数互为相关函数．
例如：一次函数，它的相关函数为
（1）已知点在一次函数的相关函数的图象上，则的值为______；
（2）已知一次函数．
①这个函数的相关函数为______；
②若点在这个函数的相关函数的图象上，求的值；
③当时，这个函数的相关函数的取值范围是，直接写出的取值范围．
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