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三角函数专题训练-2025年高三数学上学期一轮复习
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 道里区校级期中）某圆拱桥的拱高为5m，现有宽10m，水面以上的高度为3米的一艘船恰能从桥下通过，则该拱桥的水面跨度（单位：m）在下列哪个区间内（　　）
A．（12，13） B．（13，14） C．（14，15） D．（15，16）
2．（2024秋 玉山县校级月考）已知，则sin2α＝（　　）
A． B． C． D．
3．（2024秋 石家庄月考）已知sin（α+β）＝2cos（α﹣β），，则tanα tanβ＝（　　）
A．3 B．﹣3 C． D．
4．（2023秋 金坛区校级期末）已知，则＝（　　）
A． B．3 C． D．﹣3
5．（2024秋 和平区校级月考）设函数f（x）＝3sin（ωx+φ）+1（ω＞0，）的最小正周期为π，其图象关于直线对称，则下列说法正确是（　　）
A．f（x）的图象过点
B．f（x）在上单调递减
C．f（x）的一个对称中心是
D．将f（x）的图象向左平移个单位长度得到函数y＝3sin2x+1的图象
6．（2024秋 龙凤区校级月考）函数在区间上恰有2个极值点，则ω的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
7．（2024秋 定州市校级月考）已知函数的部分图象如图所示，将函数f（x）的图象先向右平移个单位长度，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数g（x）的图象，若关于x的方程g（x）﹣m＝0在上有两个不等实根，则实数m的取值范围为（　　）
A．（﹣2，2] B． C． D．
8．（2024 天府新区校级模拟）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ），（ω＞0），在区间上单调递增，直线和为函数f（x）的两条对称轴，则＝（　　）
A． B． C． D．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2024 东阳市模拟）已知函数的部分图象如图所示，则（　　）
A．
B．ω＝2
C．为偶函数
D．f（x）在区间的最小值为
（多选）10．（2024 花溪区校级模拟）已知f（x）＝sin+cos2﹣，ω＞0，下列结论正确的是（　　）
A．若f（x）的最小正周期为π，则ω＝2
B．若f（x）的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于y轴对称，则ωmin＝1
C．若f（x）在[0，2π）上恰有4个极值点，则ω的取值范围为
D．存在ω，使得f（x）在上单调递减
（多选）11．（2024 安顺二模）已知函数，，则（　　）
A．
B．
C．f（x）在上单调递减
D．f（x）的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于y轴对称
三．填空题（共3小题）
12．（2024 东城区一模）已知角α，β的终边关于直线y＝x对称，且sin（α﹣β）＝，则α，β的一组取值可以是α＝　 　，β＝　 　．
13．（2024 衡阳县校级模拟）已知，则＝　 　．
14．（2024 抚顺模拟）已知x1，x2是函数的两个零点，且，若将函数f（x）的图象向左平移个单位后得到的图象关于y轴对称，且函数f（x）在内恰有2个最值点，则实数θ的取值范围为 　 　．
四．解答题（共5小题）
15．（2023 海淀区校级三模）已知函数f（x）＝
（I）如果f（α）＝，试求sin2α的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．
16．（2023 威海二模）已知偶函数的部分图象如图所示，A，B，C为该函数图象与x轴的交点，且D为图象的一个最高点．
（1）证明：2ADsin∠ADB＝CDsin∠BDC；
（2）若，CD＝2，，求f（x）的解析式．
17．（2023 济宁二模）已知函数．
（1）求函数f（x）在上的单调递增区间；
（2）将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后得到函数g（x）的图象，若函数g（x）的图象关于点成中心对称，在上的值域为，求α的取值范围．
18．（2023 辽宁二模）已知函数的图象如图所示．将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后得函数g（x）的图象．
（1）求g（x）的解析式；
（2）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，C＝2A，a＝3，求△ABC的面积．
19．（2023 徐汇区校级三模）如图，某市准备在道路EF的一侧修建一条运动比赛道，赛道的前一部分为曲线段FBC．该曲线段是函数y＝Asin（ωx+）（A＞0，ω＞0），x∈[﹣4，0]时的图象，且图象的最高点为B（﹣1，2），赛道的中间部分为长千米的直线跑道CD，且CD∥EF；赛道的后一部分是以O为圆心的一段圆弧．
（1）求ω的值和∠DOE的大小；
（2）若要在圆弧赛道所对应的扇形ODE区域内建一个“矩形草坪”，矩形的一边在道路EF上，一个顶点在半径OD上，另外一个顶点P在圆弧上，求“矩形草坪”面积的最大值，并求此时P点的位置．
三角函数专题训练-2025年高三数学上学期一轮复习
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 道里区校级期中）某圆拱桥的拱高为5m，现有宽10m，水面以上的高度为3米的一艘船恰能从桥下通过，则该拱桥的水面跨度（单位：m）在下列哪个区间内（　　）
A．（12，13） B．（13，14） C．（14，15） D．（15，16）
【解答】解：由题意，建立平面直角坐标系如图所示，
则G（0，5），C（﹣5，0），D（5，0），E（﹣5，3），F（5，3），
其中H为圆拱桥的圆心．设拱桥所在的圆的方程为x2+（y﹣a）2＝r2，
则，解得，
则圆形拱桥的水面跨度为．
故选：B．
2．（2024秋 玉山县校级月考）已知，则sin2α＝（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：因为，
所以．
故选：C．
3．（2024秋 石家庄月考）已知sin（α+β）＝2cos（α﹣β），，则tanα tanβ＝（　　）
A．3 B．﹣3 C． D．
【解答】解：∵sin（α+β）＝2cos（α﹣β），
∴sinαcosβ+cosαsinβ＝2（cosαcosβ+sinαsinβ），
∴tanα+tanβ＝2（1+tanαtanβ），又，
∴，
解得tanα tanβ＝．
故选：D．
4．（2023秋 金坛区校级期末）已知，则＝（　　）
A． B．3 C． D．﹣3
【解答】解：由可得，sinα＝﹣2cosα，
所以，，
所以，＝．
故选：D．
5．（2024秋 和平区校级月考）设函数f（x）＝3sin（ωx+φ）+1（ω＞0，）的最小正周期为π，其图象关于直线对称，则下列说法正确是（　　）
A．f（x）的图象过点
B．f（x）在上单调递减
C．f（x）的一个对称中心是
D．将f（x）的图象向左平移个单位长度得到函数y＝3sin2x+1的图象
【解答】解：函数的最小正周期为π，
故ω＝2，
其图象关于直线对称，
所以φ＝（k∈Z），
由于，
故φ＝﹣，
所以f（x）＝3sin（2x﹣）+1．
对于A：当x＝0时，f（0）＝3sin（﹣）+1＝﹣+1＝﹣，故A错误；
对于B：由于，
所以，故B错误，
对于C：当x＝时，f（）＝3sinπ+1＝1，故C错误；
对于D：将f（x）的图象向左平移＝个单位长度得到函数y＝3sin2x+1的图象，故D正确．
故选：D．
6．（2024秋 龙凤区校级月考）函数在区间上恰有2个极值点，则ω的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：因为，
所以，
因为函数在区间上恰有2个极值点，
结合余弦函数的性质可得，，（k∈Z），解得，
故选：D．
7．（2024秋 定州市校级月考）已知函数的部分图象如图所示，将函数f（x）的图象先向右平移个单位长度，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数g（x）的图象，若关于x的方程g（x）﹣m＝0在上有两个不等实根，则实数m的取值范围为（　　）
A．（﹣2，2] B． C． D．
【解答】解：由函数图象可知，A＝2，，
所以，
又，
所以，解得，
由，可得，
所以，
将f（x）的图象向右平移个单位长度，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到的图象，
令，由，可得，
函数y＝2sint在上单调递减，在上单调递增，且，
因为关于x的方程g（x）﹣m＝0在上有两个不等实根，
即y＝m与y＝g（x）的图像在上有两个交点，
即y＝m与y＝2sint在上有两个交点，
所以实数m的取值范围为．
故选：B．
8．（2024 天府新区校级模拟）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ），（ω＞0），在区间上单调递增，直线和为函数f（x）的两条对称轴，则＝（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：∵函数f（x）＝sin（ωx+φ），（ω＞0），在区间上单调递增，
ωx+φ∈（+φ，+φ），
直线和为函数f（x）的两条对称轴，
∴+φ＝2kπ﹣，+φ＝2kπ+，k∈Z，且＝﹣．
解得ω＝2且φ＝﹣．
可得f（x）＝sin（2x﹣），
则＝sin（﹣）＝sin＝．
故选：D．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2024 东阳市模拟）已知函数的部分图象如图所示，则（　　）
A．
B．ω＝2
C．为偶函数
D．f（x）在区间的最小值为
【解答】解：由题意得f（x）＝sin（2ωx+φ），
由图象可得，
又，所以，
由五点法可得，
所以．
A：由以上解析可得，故A正确；
B：由以上解析可得ω＝1，故B错误；
C：，故C正确；
D：当时，，
所以最小值为，故D正确；
故选：ACD．
（多选）10．（2024 花溪区校级模拟）已知f（x）＝sin+cos2﹣，ω＞0，下列结论正确的是（　　）
A．若f（x）的最小正周期为π，则ω＝2
B．若f（x）的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于y轴对称，则ωmin＝1
C．若f（x）在[0，2π）上恰有4个极值点，则ω的取值范围为
D．存在ω，使得f（x）在上单调递减
【解答】解：f（x）＝sin+cos2﹣
＝sinωx+cosωx＝sin（），
对于A，，又ω＞0，∴ω＝2，故A正确；
对于B，将f（x）的图象向左平移个单位长度后得到，
若所得图象关于y轴对称，则，得ω＝1+3k，k∈Z，所以ωmin＝1，故B正确；
对于C，由x∈[0，2π），得，
若f（x）在[0，2π）上恰有4个极值点，则，
解得，故C正确；
对于D，由，ω＞0，
结合正弦函数的性质可知，f（x）在上不可能单调递减，故D错误．
故选：ABC．
（多选）11．（2024 安顺二模）已知函数，，则（　　）
A．
B．
C．f（x）在上单调递减
D．f（x）的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于y轴对称
【解答】解：因为函数的图象的一条对称轴方程为，
所以，，
因为，所以，即，
对于A，，A错误；
对于B，因为f（x）图象的一个对称中心为，所以B正确：
对于C，当时，，
所以f（x）在上单调递减，C正确；
对于D，f（x）的图象向左平移个单位长度后，
所得图象对应的函数解析式为，
显然是偶函数，其图像关于y轴对称，D正确．
故选：BCD．
三．填空题（共3小题）
12．（2024 东城区一模）已知角α，β的终边关于直线y＝x对称，且sin（α﹣β）＝，则α，β的一组取值可以是α＝　　，β＝　　．
【解答】解：因为角α，β的终边关于直线y＝x对称，可得α+β＝2 （+kπ）＝+2kπ，k∈Z，
又因为sin（α﹣β）＝，可得α﹣β＝+2k1π或α﹣β＝+2k1π，k1∈Z，
所以，或，
取α＝，β＝．
故答案为：；．
13．（2024 衡阳县校级模拟）已知，则＝　　．
【解答】解：
＝．
故答案为：．
14．（2024 抚顺模拟）已知x1，x2是函数的两个零点，且，若将函数f（x）的图象向左平移个单位后得到的图象关于y轴对称，且函数f（x）在内恰有2个最值点，则实数θ的取值范围为 　（，]　．
【解答】解：由题意，函数 的两个零点，且，
则ωx1+φ＝2kπ+，k∈Z，
ωx2+φ＝2nπ+，n∈Z，
所以ω（x2﹣x1）＝+2（n﹣k）π，
即，
所以ω＝2，
所以，
又因为将函数f（x）的图象向左平移个单位后得到的图象关于y轴对称，
所以f（x）＝2sin（2x+）为偶函数，
则+φ＝k，k∈Z，
又因为，
所以φ＝，f（x）＝2sin（2x﹣）﹣，
当 时，2x＜2，函数有且只有两个最值点，
所以＜2≤，
解得．
故答案为：（，]．
四．解答题（共5小题）
15．（2023 海淀区校级三模）已知函数f（x）＝
（I）如果f（α）＝，试求sin2α的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．
【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝＝＝，
＝（cosx﹣sinx），
＝2cos（x+），
f（α）＝，即：2cos（α+）＝，
即cos（（α+）＝，
sin2α＝﹣cos（2α+），
＝﹣cos2（α+），
＝﹣2cos2（（α+）+1，
＝﹣2×+1，
＝，
∴sin2α＝；
（Ⅱ）f（x）＝2cos（x+），
∴当2kπ﹣π≤x+≤2kπ，k∈Z，f（x）单调递增，
∴x∈[2kπ﹣，2kπ﹣]，k∈Z，f（x）单调递增；
同理x∈[2kπ﹣，2kπ+，]，k∈Z，f（x）单调递减；
故f（x）的单调递增区间为：[2kπ﹣，2kπ﹣]，
单调递减区间为：[2kπ﹣，2kπ+]．
16．（2023 威海二模）已知偶函数的部分图象如图所示，A，B，C为该函数图象与x轴的交点，且D为图象的一个最高点．
（1）证明：2ADsin∠ADB＝CDsin∠BDC；
（2）若，CD＝2，，求f（x）的解析式．
【解答】证明：（1）在△ABD中，由正弦定理可得，
在△CBD中，由正弦定理可得，
又∠ABD+∠DBC＝π，所以sin∠ABD＝sin∠DBC，
所以，又BC＝2AB，
所以2ADsin∠ADB＝CDsin∠BDC．
（2）解：因为，CD＝2，，且2ADsin∠ADB＝CDsin∠BDC，
所以，所以，
在△ACD中，由余弦定理可得，
所以，解得，
在Rt△BCD中，
又，则∠CBD＝30°，所以，
则xD＝BDcos30°﹣1＝2，
所以，则，
，
所以，
所以．
17．（2023 济宁二模）已知函数．
（1）求函数f（x）在上的单调递增区间；
（2）将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后得到函数g（x）的图象，若函数g（x）的图象关于点成中心对称，在上的值域为，求α的取值范围．
【解答】解：（1）＝，
∵，∴，
∴当，即时，函数f（x）单调递增，
∴函数f（x）的单调递增区间为；
（2）由题意得，
∵函数g（x）的图象关于点成中心对称，
∴，解得，
∵，∴，
∴，
∴当时，，
又g（x）在上的值域为，
则．解得，
故α的取值范围为．
18．（2023 辽宁二模）已知函数的图象如图所示．将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后得函数g（x）的图象．
（1）求g（x）的解析式；
（2）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，C＝2A，a＝3，求△ABC的面积．
【解答】解：（1）由图可知，，解得：T＝π，
所以，即：f（x）＝sin（2x+φ），
将点代入f（x）＝sin（2x+φ）得，
所以，k∈Z，解得：，k∈Z，
所以，
所以，
因为将函数f（x）的图像向左平移个单位长度后得函数g（x）的图像，
所以．
（2）因为g（x）＝cos2x，所以，
由C＝2A，得cosC＝，sinC＝，
因为cos2A＞0，
所以，即：，
所以由cos2A＝1﹣2sin2A，得sinA＝，
所以由cosA＝，得cosA＝，
所以sinB＝sin（A+C）＝，
由正弦定理，得，
所以△ABC的面积S＝＝．
19．（2023 徐汇区校级三模）如图，某市准备在道路EF的一侧修建一条运动比赛道，赛道的前一部分为曲线段FBC．该曲线段是函数y＝Asin（ωx+）（A＞0，ω＞0），x∈[﹣4，0]时的图象，且图象的最高点为B（﹣1，2），赛道的中间部分为长千米的直线跑道CD，且CD∥EF；赛道的后一部分是以O为圆心的一段圆弧．
（1）求ω的值和∠DOE的大小；
（2）若要在圆弧赛道所对应的扇形ODE区域内建一个“矩形草坪”，矩形的一边在道路EF上，一个顶点在半径OD上，另外一个顶点P在圆弧上，求“矩形草坪”面积的最大值，并求此时P点的位置．
【解答】解：（1）由条件，得A＝2，
．
∵，
∴．
∴曲线段FBC的解析式为：．
∴当x＝0时，．
又CD＝，
∴．
（2）由（1）知．
当“矩形草坪”的面积最大时，
点P 在弧DE上，
故．
设∠POE＝θ，，
“矩形草坪”的面积为：
＝．
∵，
故，
，
S取得最大值．

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