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九年级数学参考答案与评分标准
一、选择题
1——5、DDACA 6——10、ACBAB
二、填空题
1 3 5
11. x1 1 ， x2 9 12.12 13. 14.（7 5 7）或填（7 5 1） 15.6 2
三、解答题
16、（1）解： x 2 2 5x 2 0，
这里 a 1,b 2 5,c 2 ………………1分
( 2 5)2 4 1 2 12 0， ………………2分
x ( 2 5) 12∴ 5 3 ， ………………4分
2 1
∴ x1 5 3, x2 5 3, ………………5分
（2）解： x 2 1 2(x 1)
(x 1)(x 1) 2(x 1) 0， ………………2分
∴ (x 1)(x 1 2) 0， ………………3分
∴ x 1 0，或 x 3 0 ………………4分
解得： x1 1， x2 3． ………………5分
17. 解：∵ l1∥ l2∥ l3 ，
AB AD
∴ ， ……………………2分
BC DE
∵AB=3，AD=2，DE=4，
3 2
∴ ， ……………………3分
BC 4
解得：BC=6； ……………………4分
∵ l1∥ l2∥ l3 ，
BF AB
∴ ， ……………………6分
EF AC
1
{#{QQABbYIEggAoABBAAAhCQQWCCkIQkhGACYgOBBAAIAAByQNABAA=}#}
∵EF=7.5，AC=3+6=9，
BF 3
∴ ， ……………………7分
7.5 9
解得：BF=2.5；
∴BC、BF的长分别为 6，2.5． ……………………8分
2
18. （1）解：所抽卡片上的植物是裸子植物的概率是 ； ……………………3分
3
（2）解：列表如下：
Ⅰ Ⅱ Ⅲ
A （A，Ⅰ） （A，Ⅱ）（A，Ⅲ）
B （B，Ⅰ）（B，Ⅱ）（B，Ⅲ）
C （C，Ⅰ）（C，Ⅱ）（C，Ⅲ）
……………………6分
一共有 9种等可能的结果，其中所抽取的两张卡片上的植物都是被子植物的结果有 2种，
……………………7分
2
∴所抽取的两张卡片上的植物都是被子植物的概率为 ． ……………………8分
9
19.（1）证明：∵AB//CD，
∴∠CAB=∠ACD ， ……………………1分
∵ AC平分 ∠BAD，
∴∠CAB=∠CAD， ……………………2分
∴∠CAD=∠ACD，
∴ AD=CD， ……………………3分
又∵ AD=AB，
∴ AB=CD，
又∵ AB//CD ，
∴四边形 ABCD是平行四边形， ……………………4分
又∵AB=AD，
∴ 四边形 ABCD是菱形． ……………………5分
（2）解：∵四边形 ABCD是菱形，
1 1
∴AC⊥BD ，OA=OC= AC ，OB=OD= BD， ……………………6分
2 2
2
{#{QQABbYIEggAoABBAAAhCQQWCCkIQkhGACYgOBBAAIAAByQNABAA=}#}
1
∴OB= BD=1，
2
在 Rt△AOB中，∠AOB＝90° ，
∴ ， ……………………7分
∵CE⊥AB ，
∴∠AEC＝90° ，
在 Rt△AEC中，∠AEC＝90，O为 AC中点，
1
∴OE= AC=OA=2． ……………………8分
2
20.解：设每盒养生醋的售价应为 x元， ……………………1分
48 x
根据题意得， (x 30)(320 5 ) 4000 ……………………5分
0.5
解得 x1=40，x2=70 ……………………6分
∵想扩大销售量 ∴x2=70不符合题意，舍去． ……………………7分
答：若该厂既想每天的利润达到 4000 元又想扩大销售量，那么每盒养生醋的售价应为 40
元.（其他方法参照给分） ……………………8分
21.解：（1）对角线相等的平行四边形是矩形； ……………………3分
（2）证明：∵AB=CD，AD=BC，
∴四边形 ABCD是平行四边形， ……………………5分
∵AC=BD，
∴四边形 ABCD是矩形． ……………………7分
（3）先利用卷尺测量对边长度相等，来确保它的形状是平行四边形；然后再量一下对角线
的长度，两条邻边的平方和等于对角线的平方时，可利用勾股定理的逆定理判别一个内角为
90°，就确保了它是矩形（有一个角是直角的平行四边形为矩形）．
……………………9分
22.解:（1）驱动问题一：设长为 4x米，宽为 3x米， ……………………1分
1
根据题意得: (4x－4)(3x－4)= ×4x×3x， ……………………4分
2
解得: x 21=4， x2 (不合题意舍去), ……………………5分3
则 4x=16，3x=12, ……………………6分
答:该长方形场地的长为 16米，宽为 12米. ……………………7分
3
{#{QQABbYIEggAoABBAAAhCQQWCCkIQkhGACYgOBBAAIAAByQNABAA=}#}
（2）驱动问题二：m=2米，n=4米; ……………………9分
（3）驱动问题三：设 BG=a米，则 AE=(a+8)米,
根据题意得: 长方形空地 AEFG面积 =(12－a)(a+8) ……………………10分
= a 2 4a 96 (a 2)2 100 ……………………11分
∵-1＜0
∴当 a=2时，长方形空地 AEFG面积最大，最大值为 100平方米. ……………………12分
23.解：（1） 2 2 …………………………………3分
（1）由已知可得∠B=∠C=∠1=45° …………………………………4分
∴∠2+∠3=135° F
E
∠4+∠3=135°
A
∴∠2=∠4， NM …………………………………6分
2
∴△BDM ∽△CND 13 4 …………………………………7分
B D C
（3）连接 MN， 图2
∵△BDM ∽△CND
BD BM DM
∴ …………………………………8分
CN CD DN
2 2 3 BM CD F
∴ ，
CN 2 2 DM DN
E
8
∴CN= A，
3 M
2 N
又∵∠B=∠1=45°
3 1 4
∴△BMD∽ △DMN B D ………C…………………………10分
图3
DM BM 4
∴ ，AN=AC－CN= ，
MN DM 3
5
MN= AM 2 AN 2 = …………………………………11分
3
∴DM 2 5 BM MN =3× =5
3
∴DM= 5 …………………………………12分
4
{#{QQABbYIEggAoABBAAAhCQQWCCkIQkhGACYgOBBAAIAAByQNABAA=}#}介休市2024—2025学年第一学期期中质量评估试题（卷）
九年级数学
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.全卷共6页，满分120分，考试时间120分钟.
2.卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置.
3.答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效.
4.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷 选择题（共30分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑）
1.若，则的值为
A.1 B. C. D.
2.在数学史上，有很多著名的几何图形用来验证数学知识的产生过程.如图所示的图案，
是一连串有公共顶点O的直角三角形拼接而成，若
∠AOB=∠BOC=∠COD=…=∠LOM=30°，则图中直
角三角形之间存在的变换关系是
A.图形的平移 B.图形的旋转
C.图形的全等 D.图形的相似
3.一元二次方程的根的情况为
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.有一个实数根 D.没有实数根
4.配方法是解一元二次方程的一种基本方法，其本质是将一元二次方程由一般式
化为的形式，然后利用开平方求一元二
次方程的解的过程，这个过程中主要体现的数学思想是
A.数形结合思想 B.函数思想 C.转化思想 D.公理化思想
5.如图，在四边形纸片ABCD中，AB=AD，CB=CD，将纸片按如图方式折叠2次后，
沿虚线剪开，阴影部分展开后得到的四边形是
A.菱形
B.矩形
C.正方形
D.无法判断
6.近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷
纷开展降价促销活动某款燃油汽车今年2月份售价为23万元，4月份售价为18.63
万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是x，
则所列方程正确的是
A. B.
C. D.
7.如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，
同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上，若线段
AB=6，则线段BC的长是
A.1 B.2
C.3 D.4
8.在△ABC中，∠ABC=90°，用直尺和圆规在AC上确定点D，使△BAD∽△CBD，
根据作图痕迹判断，正确的是
A B C D
9.用如图所示的两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏，分别旋转两个转盘，若其中一
个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色(如果指针恰好指在分格线上，重转).那么
可配成紫色的概率为
A. B.
C. D.
10.如图，将一个装有水的杯子倾斜放置在水平的桌面上，其截面可看作一个宽
BC=6cm，长CD=16cm的矩形．当水面触到杯口边缘时，边CD恰有一半露出水面
（即E为CD的中点），那么此时水面高度（即点B到桌面
MN的距离）是
A.8.5cm B.9.6cm
C.12cm D.12.8cm
(
D
) (
A
)第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11.一元二次方程的解是 ▲ .
(
C
)12.如图，菱形ABCD的边长AB=3cm，则菱形的周长为
(
B
) ▲ cm.
13.甲骨文是迄今为止中国发现的年代最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀
传统文化的根脉，小明同学对甲骨文很感兴趣，制作了如图所示的四张卡片(这四张
卡片分别用字母A，B，C，D表示，正面文字依次是文、明、自、由，这四张卡片
除正面内容不同外，其余均相同)，现将四张卡片背面朝上，洗匀放好小明从中随 机抽取一张卡片不放回，小亮再从中随机抽取一张卡片，则两人抽取的卡片恰好组
成“文明”一词的概率为 ▲ ．
14.如图1，在线段AC上找一个点B，B把AC分成AB和BC两段，其中AB是较小的
一段，满足AB:BC=BC:AC，则B为线段AC的黄金分割点．黄金分割广泛存在于艺
术、自然、建筑等领域，例如，枫叶的叶脉蕴含着黄金分割．如图2，B为AC的黄
(
B
图1
图2
) 金分割点(AB >BC)，AC长度为14cm，则AB的长度 ▲ cm.(结果用根号
表示)
(
15题图
)
15.如图，正方形的边长为4，点E是CD的中点，HG垂直平分AE且分别交AE、
BC于点H、G，则的长为 ▲ ．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演
算步骤．）
16.（本题共10分）解方程：
（1） （2）
17.（本题共8分）如图，∥∥，AB=3，AD=2，DE=4，EF=7.5，求BC、BF
的长.
18.（本题共8分）生物学科王老师为了帮助学生分清“裸子植物”与“被子植物”，制作
了一些带有植物图案的卡片（如图，这些卡片除图案不同外，其他均相同），分别
放入甲、乙两个不透明的箱子中，甲箱中装有A、B、C三张卡片，乙箱中装有Ⅰ、
Ⅱ、Ⅲ三张卡片其中A.银杏、B.红豆杉、Ⅲ.落叶松是裸子植物，C.牡丹、Ⅰ.向日葵、
Ⅱ.菊花是被子植物．
(
乙 箱
Ⅰ
.向日葵
Ⅱ
.菊花
Ⅲ
.落叶松
) (
甲 箱
A.银杏
B.红豆杉
C.牡丹
)
（1）王老师从甲箱中随机抽取一张卡片，所抽卡片上的植物是裸子植物的概率是
▲ ；
（2）王老师先从甲箱中随机抽取一张卡片，再从乙箱中随机抽取一张卡片，请用
列表法或画树状图法，求所抽取的两张卡片上的植物都是被子植物的概率．
19.（本题共8分）如图，在四边形ABCD 中，AB//DC，AB=AD ，对角线AC，BD交
于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB=，BD=2 ，求OE的长．
20.（本题共8分）应用题：
山西有着3000多年的制醋史，山西老陈醋凝结着黄土高原上特有的风土人情，
成为山西熠熠发光的文化名片，也是致富一方的产业.某陈醋厂在传统技术的基础上
不断创新，推出了一款养生醋进行线上销售，引得广大网友争相购买品尝，据了解
得知，成本价为每盒30元，如果按每盒48元销售，每天可售出320盒；为了扩大
知名度，该厂家决定降价销售，经调查发现，当销售单价每下降0.5元，平均每天
的销售量可增加5盒，若该厂既想每天的利润达到4000元，又想扩大销售量，那么
每盒养生醋的售价应为多少元
21.（本题共9分）阅读与思考
请阅读下列材料，完成相应的任务.
(
“
只用卷尺也能判断矩形
”
×
年
×
月
×
日 星期日
今天，我在一本数学课外丛书上看到这样一个有趣的问题，工人师傅在做门窗或矩形零件时，他是这样做的：首先利用卷尺（有刻度）测量两组对边的长度是否分别相等；其次利用卷尺测量该门窗的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形.我有如下思考：工人师傅的做法究竟是依据什么原理得到四边形是矩形？已知在四边形
ABCD
中，
AB=CD
，
AD=BC
，
AC=BD
.
求证：四边形
ABCD
是矩形.
证明：
…
.
)
任务：
（1）上述做法是依据了矩形的一个判定定理： ▲ ；
（2）补全材料中的证明过程；
（3）若只限于利用有刻度的卷尺进行测量计算，请你用另一种判别方法来判定四边
形ABCD是矩形，并写出简要的测量方法.
22.（本题共12分）项目化学习：
项目主题 如何改造儿童游乐公园
项目背景 为了在儿童游乐公园的花圃场地改造出一块空地来安装大型儿童游乐设施,特提出“如何改造儿童游乐公园？”方案设计的项目学习，以下是项目学习小组对游乐场所改造设计的研究过程．
实践活动一 场地改造前，如图1，有一块长与宽之比为4:3的长方形场地ABCD上，阴影部分区域为两条宽度都为4米的花圃.剩余空地面积为场地ABCD面积的一半.
驱动问题一 （1）项目学习小组需确定场地ABCD的尺寸，不再测量的情况下，请你根据以上信息求出长方形场地ABCD的长和宽.
实践活动二 确定改造方案：如图2，已知BG=m米，ED=n米，阴影部分区域栽种花草， 长方形空地AEFG安装游乐设施.
驱动问题二 （2）若剩余空地面积为场地ABCD面积的，m=n，则m= ▲ 米，n= ▲ 米.
驱动问题三 （3）若AE比BG大8米，求长方形空地AEFG面积的最大值.
23.（本题12分）综合与实践
问题情境
在Rt△ABC中，∠BAC=90° ，AB=AC=4，现取一块等腰直角三角尺（∠DEF
=90° ，DE=EF=6），将45°角的顶点D放在Rt△ABC斜边的中点处，并将三角尺
绕点D顺时针方向旋转a（），三角尺的两边DF、DE分别交AB，AC
于点M、N．
问题解决
（1）如图1，当DE经过点A时，AD的长为 ▲ ；
猜想证明
（2）如图2，求证：△BDM ∽△CND；
实践探究：
(
N
图3
E
F
B
D
C
A
M
) （3）如图3，三角尺绕点D继续旋转的过程中，若BM=3 时，求DM的长．
(
M
图2
E
D
C
B
F
A
N
)
(
图1
F
E
D
C
A
B
M
（
N
）
)

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