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2024-2025学年广西桂林市高一上学期联合调研检测数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知命题，，则为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.函数的定义域为( )
A. B.
C. D.
4.已知函数是幂函数，则( )
A. B. C. D.
5.下列函数中，既是奇函数，又在区间上是增函数的是( )
A. B. C. D.
6.已知，，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.“空气质量指数”是定量描述空气质量状况的指数．当大于时，表示空气重度污染，不宜开展户外活动．某地某天时的空气质量指数随时间变化的趋势由函数描述，则该天适宜开展户外活动的时长至多为( )
A. 小时 B. 小时 C. 小时 D. 小时
8.已知定义在上的函数在上单调递减，且对任意的，，总有，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，则( )
A. B.
C. D.
10.已知函数，则下列结论正确的是( )
A. 在上单调递增 B. 若，则
C. 方程有个解 D. 若，则
11.对于定义在上的函数，若是奇函数，是偶函数，且在上单调递减，则( )
A.
B.
C.
D. 在上单调递减
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知定义在上的奇函数，则 ．
13.已知函数，则 ．
14.已知、、均为实数且，令函数，若对，恒成立，则的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设集合，．
当时，求
若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知函数，其中
若的解集为，求
求关于的不等式的解集，其中为常数．
17.本小题分
如图所示，学校要围建一个面积为的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙利用旧墙时需要维修，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为的进出口，已知旧墙的维修费用为元，新墙的造价为元，设利用旧墙的长度为单位：，修建此矩形场地的总费用为单位：元．
求关于的函数表达式
试确定的值，使修建此矩形场地的总费用最小，并求出最小总费用．
18.本小题分
已知函数满足对一切实数，都有成立，且，当时有．
求，
判断并证明在上的单调性
解不等式．
19.本小题分
已知、、均为正实数．
证明：
证明，并求的最小值
若，求证：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：当时，，，
所以
若“”是“”的充分不必要条件，则集合是集合的真子集，
所以，且等号不同时成立，解得，
所以实数的取值范围为
16.解：由题知，解得
此时方程的解为，，
由韦达定理得，得经检验符合题意．
方程的根为，
当时，，不等式为，此时解集为
当时，，不等式的解集为
当时，，不等式的解集为
综上所述：当时，不等式的解集为
当时，不等式的解集为
当时，不等式的解集为
17.解：由题意知，矩形的一边长为，另一边长为，
则
．
故．
因为，
所以，
所以，
当且仅当，即时，等号成立．
当利用旧墙的长度为时，修建此矩形场地的总费用最小，最小总费用是元．
18.解：令，则，
令，则，
设，则，
时，，又当时有，
时，
函数在上为单调递减函数，证明如下：
证明：设，且
则
，，
函数在上为单调递减函数
不等式，，
，得，
设，则，解得，
原不等式等价于，
，，
问题等价于，解得，
不等式的解集为．
19.解：证明：由基本不等式得，
左右相加得，当且仅当时“”成立，问题得证
证明：，
当且仅当时等号成立，故不等式成立
，，
当且仅当，即时，等号成立，．
证明：令，，
则，
由基本不等式得，
同理可得，
，
左右相加得
当且仅当时取等号，显然不存在此情况

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