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数轴动点、线段、角的计算专项训练
一．解答题（共60小题）
1．数轴上有A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“关联点”．
例如，数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“关联点”．
（1）若点A表示数﹣2，点B表示数1，下列各数﹣1，2，4，6所对应的点分别是C1，C2，C3，C4，其中是点A，B的“关联点”的是 　 　；
（2）点A表示数﹣10，点B表示数15，P为数轴上一个动点：
①若点P在点B的左侧，且点P是点A，B的“关联点”，请直接写出此时点P表示的数为 　 　；
②若点P在点B的右侧，点P，A，B中，有一个点恰好是其它两个点的“关联点”，请直接写出此时点P表示的数为 　 　．
2．我们知道：如果A、B两点在数轴上对应的数分别为x1、x2，那么AB之间的距离可以表示为：|AB＝|x1﹣x2|；若C为线段AB的中点，则点C在数轴上对应的数x可以表示为：．
如图，O点是数轴上的原点，M、N是数轴上的两个点，M点对应的数是为﹣4，N点对应的数是为6．
（1）若M以每秒2个单位的速度向右运动，N以每秒4个单位的速度向左运动，求 　 　秒后O为MN的中点．
（2）若M、N两个点同时出发沿着数轴运动．点M向右运动，点N向左运动，3秒后它们之间的距离为1个单位长度，且N的速度是M的两倍，分别求M、N的速度；
（3）我们规定，在数轴上，当A、B两点都位于原点的右侧且其中一个点到原点的距离是另一个到原点的距离1.5倍：或当A、B两点都位于原点左侧且两个点到原点的距离都相等时，这两种情况均称为AB两点是“相见恨晚距离”．若动点P从原点出发，以每秒1个单位的速度向左运动到点M后原速返回到点N后停止运动，同时，动点Q从点N出发，以每秒2个单位的速度向左在M、N之间作往返运动，且当点P停止运动时，动点Q也之停止运动，求所有满足条件的PQ两点是“相见恨晚距离”的时间？
3．根据所学数轴知识，解答下面的问题：
（1）知识再现：在数轴上有三个点A，B，C如图1所示．
①A点表示的数是 　 　；AB之间的距离是 　 　；
②将点B向左平移4个单位，此时该点表示的数是 　 　；
（2）知识迁移：如图2，将一根木棒放在数轴（单位长度为1cm）上，木棒左端与数轴上的点A重合，右端与数轴上的点B重合．
①若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所应的数为30；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点A时，它的左端在数轴上所对应的数为6，由此可得这根木棒的长为 　 　cm？
②图中点A所表示的数是 　 　，点B所表示的数是 　 　；
（3）知识应用：如图3由（2）中①、②的启发，请借助“数轴”这个工具解决下列问题：
一天，妙妙去问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要37年才出生你若是我现在这么大，我就119岁啦！”请问奶奶现在多少岁了？
琪琪的想法是：借助数轴，把妙妙和奶奶的年龄差看作木棒AB，奶奶像妙妙这样大时，可看作点B移动到点A，此时点A向左移动后，所对应的点C所表示的数为﹣37，
根据琪琪的想法，完成一下问题：
①若把A移动到B时，此时点B向右移动后，所对应的点D表示的数为 　 　，
②求奶奶现在多少岁了．
4．如图，数轴上，O点与C点对应点的数分别是0、60，将一根质地均匀的直尺AB放在数轴上（A在B的左边），若将直尺在数轴上水平移动，当A点移动到B点的位置时，B点与C点重合，当B点移动到A点的位置时，A点与O点重合．
（1）直尺AB的长为 　 　个单位长度；
（2）若直尺AB在数轴上，且满足B点与C点的距离等于B点与O点距离的3倍时，此时A点对应的数为 　 　；
（3）当A点对应的数为20时，作为起始位置，直尺AB以2单位/秒的速度沿数轴匀速向右运动，同时点P从点A出发，以m个单位/秒的速度也沿数轴匀速向右移动，设运动时间为t秒．
①若B、P、C三点恰好在同一时刻重合，则m的值为 　 　；
②当t＝15时，B、P、C三个点中恰好有一个点到另外两点的距离相等，请直接写出所有满足条件的m的值．
5．如图，在数轴上有A、B、C三个点．请回答下列问题：
（1）将点B向左移动3个单位长度后，三个点所表示的数谁最小？是多少？
（2）将点C向左移动．6个单位长度后，这时点B所表示的数比点C所表示的数大多少？
（3）一只蚂蚁从点A出发，沿数轴向右以每秒2个单位的速度运动，运动2秒至点D，然后向左以每秒6个单位的速度运动，运动1秒至点E．点D、E对应的数分别是 　 　、　 　，蚂蚁整个运动的总路程是 　 　个单位．D、E两点间的距离是 　 　．
6．综合与探究
已知，数轴上三点A，O，B对应的数分别为﹣3，0，1，点C为数轴上任意一点，其对应的数为x．
（1）AB的长为 　 　，AC的长为 　 　；
（2）若AC＝2BC，求x的值；
（3）数轴上，如果动点P从点O出发，以每秒1个单位的速度沿数轴正方向运动；同时动点M和N分别从点A和点B出发，分别以每秒3个单位和每秒2个单位的速度也沿数轴正方向运动．当点P到点M的距离等于点P到点N的距离时，直接写出点P所表示的数．
7．已知M、N在数轴上，M对应的数是﹣3，点N在M的右边，且距M点4个单位长度，点P、Q是数轴上两个动点．
（1）直接写出点N所对应的数：　 　；
（2）当点P到点M、N的距离之和是5个单位时，点P对应的数是多少？
（3）如果P、Q分别从点M、N出发，均沿数轴向左运动，点P每秒走2个单位长度，先出发5秒钟，点Q每秒走3个单位长度，当P、Q两点相距2个单位长度时，点P、Q对应的数各是多少？
8．已知数轴上两点A、B对应的数分别为﹣1、3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．
（1）若点P到点A，点B的距离相等，求出x的值；
（2）数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为6？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由；
（3）当P到A、B两点中一点的距离是到另一点距离的2倍，请直接写出x的值．
9．如图所示，已知A，B两点在数轴上，点A在点B的左侧，点A表示的数为﹣1，点B到原点O的距离是点A到原点O的距离的3倍．
（1）数轴上点B对应的数是 　 　．
（2）若点C到点A、点B的距离相等，则点C表示的数为 　 　．点C表示的数与点A表示的数之间的关系是 　 　．
（3）若点A与点D之间的距离表示为AD，点A与点B之间的距离表示为AB，问：在数轴上是否存在点D，使得AD＝2AB，若存在，请出点D表示的数是多少？若不存在，请说明理由？
10．已知，如图A，B分别为数轴上的两点，点A对应的数是﹣20，点B对应的数为80．
（1）请直接写出AB的中点M对应的数．
（2）现在有一只电子蚂蚁P从B点出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以3个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇．请解答下面问题：
①试求出点C在数轴上所对应的数；
②何时两只电子蚂蚁在数轴上相距15个单位长度？
11．已知数轴上A，B，C三点对应的数分别为﹣1、3、5，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x．点A与点P之间的距离表示为AP，点B与点P之间的距离表示为BP．
（1）若AP＝BP，则x＝　 　；
（2）若AP+BP＝8，求x的值；
（3）若点P从点C出发，以每秒3个单位的速度向右运动，点A以每秒1个单位的速度向左运动，点B以每秒2个单位的速度向右运动，三点同时出发．设运动时间为t秒，试判断：4BP﹣AP的值是否会随着t的变化而变化？请说明理由．
12．如图，已知线段AD＝30cm，点C、B都是线段AD上的点，点E是AB的中点．
（1）若BD＝6cm，求线段AE的长；
（2）在（1）的条件下，若ACAD，且点F是线段CD的中点，求线段EF的长．
13．如图，已知线段AB＝20cm，点M是线段AB的中点，点C是AB延长线上一点，AC＝3BC．点D是线段BA延长线上一点，．
（1）求线段BC的长；
（2）求线段DC的长．
14．在数轴上，如果A点表示的数记为a，点B表示的数记为b，则A、B两点间的距离可以记作|a﹣b|或|b﹣a|．我们把数轴上两点之间的距离，用两点的大写字母表示，如：点A与点B之间的距离表示为AB．如图，在数轴上，点A，O，B表示的数为﹣10，0，12．
（1）直接写出结果，OA＝　 　，AB＝　 　．
（2）设点P在数轴上对应的数为x．
①若点P为线段AB的中点，则x＝　 　．
②若点P为线段AB上的一个动点，则|x+10|+|x﹣12|的化简结果是 　 　．
（3）动点M从A出发，以每秒2个单位的速度沿数轴在A，B之间向右运动，同时动点N从B出发，以每秒4个单位的速度沿数轴在A，B之间往返运动，当点M运动到B时，M和N两点停止运动．设运动时间为t秒，是否存在t值，使得OM＝ON？若存在，请直接写出t值；若不存在，请说明理由．
15．（1）如图，已知点C在线段AB上，且AC＝8cm，BC＝6cm，点M、N分别是AC、BC的中点，要求线段MN的长度，可进行如下的计算．请填空：
解：因为M是AC的中点，所以MC　 　，因为AC＝8cm，所以MC＝4cm．
因为N是BC的中点，所以CNBC，因为BC＝6cm，所以CN＝　 　．所以MN＝MC+CN＝　 　．
（2）对于（1），如果AC＝a cm，BC＝b cm，其他条件不变，请求出MN的长度．
16．线段AB＝12cm，点C为AB上的一个动点，点D、E分别是AC和BC的中点．
（1）若点C恰好是AB中点，求DE的长？
（2）若AC＝4cm，求DE的长．
17．如图，点C是线段AB上一点，点M是线段AC的中点，点N是线段BC的中点．
（1）如果AB＝20cm，AM＝6cm，求NC的长；
（2）如果MN＝6cm，求AB的长．
18．如图，点C是线段AB上的一点，其中AB＝8，AC：BC＝1：3，M是线段AC的中点，N是线段BC上一点．
（1）若N为线段BC的中点，求MN的长度；
（2）若N为线段BC的一个三等分点，求MN的长度．
19．如图，已知点C为AB上一点，AC＝30cm，，D，E分别为AC，AB的中点，求DE的长．
20．如图，点B是线段AC上一点，且AB＝21，BCAB．
（1）求线段AC的长．
（2）若点O是线段AC的中点，求线段OB的长．
21．已知线段AB＝12，点C，E，F在线段AB上，点F是线段BC的中点．
（1）如图1，当点E是线段AC的中点时，求线段EF的长；
（2）如图2，当点E是线段AB的中点时，请你猜想线段EF与线段AC之间的数量关系，并说明理由．
22．如图，已知线段AB＝26，BC＝18，点M是AC的中点．
（1）求线段AM的长；
（2）在CB上取一点N，使得CN：NB＝1：2，求线段MN的长．
23．如图，已知线段AB＝4，延长AB到点C，使得AB＝2BC，反向延长AB到点D，使AC＝2AD．
（1）求线段CD的长；
（2）若Q为AB的中点，P为线段CD上一点，且BPBC，求线段PQ的长．
24．如图，AC＝m，BC＝n，C为线段AB上一点，D为AC的中点，E为BC的中点，F为DE的中点．
（1）若|m﹣4|+（n﹣6）2＝0，
①求DE的长；
②求CF的长；
（2）若AB＝12CF，求的值．
25．（1）【特例感知】如图1，已知线段MN＝45 cm，AB＝3 cm，点C和点D分别是AM，BN的中点．若AM＝18 cm，则CD＝　 　cm；
（2）【知识迁移】我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，已知∠AOB在∠MON内部转动，射线OC和射线OD分别平分∠AOM和∠BON；
①若∠MON＝150°，∠AOB＝30°，求∠COD的度数；
②请你猜想∠AOB，∠COD和∠MON三个角有怎样的数量关系？请说明理由．
（3）【类比探究】如图3，∠AOB在∠MON内部转动，若∠MON＝150°，∠AOB＝30°，∠MOC＝k∠AOC，∠NOD＝k∠BOD，求∠COD的度数．（用含有k的式子表示计算结果）．
26．【初步探究】
（1）如图1，已知线段AB＝12，点C和点D为线段AB上的两个动点，且CD＝3，点M，N分别是AC和BD的中点．求MN的长是多少？
【类比探究】
（2）如图2，已知，直角∠COD与平角∠AOB如图摆放在一起，且OM和ON分别是∠AOC，∠BOD的角平分线，则∠MON的度数为多少度？
【知识迁移】
（3）当∠AOB＝α，∠COD＝β时，如图3摆放在一起，且OM和ON分别是∠AOC，∠BOD的角平分线，则∠MON的度数为多少度？（α和β均为小于平角的角）
27．计算：
（1）；
（2）；
（3）109°28′﹣48°32′（结果化成度、分、秒的形式）；
（4）30°32′6″×5（结果化成度、分、秒的形式）．
28．定义：如图①，射线OC在∠AOB的内部，图中共有3个角：∠AOB，∠AOC，∠BOC．若其中有一个角是另一个角的3倍，则称射线OC是∠AOB的“巧分线”．
（1）如图①，若∠AOB＝60°，且射线OC是∠AOB的“巧分线”，则∠AOC的度数＝　 　；
（2）如图②，若∠MPN＝60°，射线PQ绕点P从PN位置开始，以每秒4°的速度顺时针旋转，同时射线PM绕点P以每秒3°的速度顺时针旋转，当PQ与PN第一次成100°角时，射线PQ和射线PM同时停止旋转．设旋转的时间为t秒，求t为何值时，射线PQ是∠MPN的“巧分线”．
29．新定义：如果∠MON的内部有一条射线OP将∠MON分成的两个角，其中一个角是另一个角的n倍，那么我们称射线OP为∠MON的n倍分线，例如，如图1，∠MOP＝4∠NOP，则OP为∠MON的4倍分线．∠NOQ＝4∠MOQ，则OQ也是∠MON的4倍分线．
（1）应用：若∠AOB＝60°，OP为∠AOB的二倍分线，且∠BOP＞∠POA，则∠BOP＝　 　°；
（2）如图2，点A，O，B在同一条直线上，OC为直线AB上方的一条射线．
①若OP，OQ分别为∠AOC和∠BOC的三倍分线，（∠COP＞∠POA，∠COQ＞∠QOB）已知，∠AOC＝120°，则∠POQ＝　 　°；
②在①的条件下，若∠AOC＝α，∠POQ的度数是否发生变化？若不发生变化，请写出计算过程；若发生变化，请说明理由．
③如图3，已知∠MON＝90°，且OM，ON所在射线恰好是分别为∠AOC和∠BOC的三倍分线，请直接写出∠AOC的度数．
30．有一长方形纸带，E、F分别是边AD，BC上一点，∠DEF＝α度（0＜α＜90），将纸带沿EF折叠成图1，再沿GF折叠成图2．
（1）如图1，当α＝30度时，求∠GFC′的度数；
（2）如图2，若∠GFN＝4∠GFE，求α的值．
31．从直线l上一点O在l同侧顺次引射线OA，OM，OB，ON，OC，其中点A在直线l上．
（1）如图1，若OM平分∠AOC，ON平分∠BOC．
①当∠AOB＝120°，∠BOC＝30°时，求∠MON的度数；
②当∠AOB与∠BOC的大小都发生变化时，试探究∠MON与∠AOB间的数量关系，并说明理由；
（2）如图2．若OM为∠AOC 的一条n等分线，且∠AOM∠AOC，ON为∠BOC的一条n等分线，且，当∠MON＝90°时，此时∠AOB＝135°，试直接写出n的值．
32．在数学活动课上，张老师将两个直角三角尺按如图所示方式摆放，探究∠AOD与∠BOC的数量关系．
【特殊情况，探索结论】
（1）如图①，已知∠AOB＝∠COD＝90°，若∠AOD＝25°，则∠BOC＝　 　．得出的结论是：∠AOD+∠BOC＝　 　．
（2）如图②，已知∠AOB＝∠COD＝45°，若∠AOD＝25°，则∠BOC＝　 　．得出的结论是：∠AOD+∠BOC＝　 　．
【特例启发，解答题目】
（3）如图③，若∠AOB＝∠COD＝α，∠AOD＝β，则∠BOC＝　 　（用含α和β的式子表示）．
（4）如图④，已知∠AOB＝50°，∠COD＝100°，则∠AOD+∠BOC＝　 　．
33．计算：
（1）48°39'+67°31'；
（2）23°53'×2﹣17°43'．
34．已知：∠AOB和∠COD是直角．
（1）如图1，当射线OB在∠COD内部时，请探究∠AOD和∠BOC之间的关系；
（2）如图2，当射线OA，射线OB都在∠COD外部时，过点O作射线OE，射线OF，满足∠BOE∠BOC，∠AOF∠AOD，求∠EOF的度数；
（3）如图2，在（2）的条件下，在平面内是否存在射线OG，使得∠GOF：∠GOE＝2：3，若不存在，请说明理由，若存在，直接写出∠GOF的度数．
35．（1）理解计算：如图①，∠AOB＝80°，∠AOC＝40°．射线OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，求∠MON的度数；
（2）拓展探究：如图②，∠AOB＝α，∠AOC＝β（α，β为锐角）．射线OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，求∠MON的度数；
（3）迁移应用：线段的计算与角的计算存在着紧密的联系．如图③，线段AB＝a，延长线段AB到C，使得BC＝b，点M，N分别为AC，BC的中点，求MN的长．
36．阅读材料：
（1）【特例感知】
如图1，已知线段MN＝30cm，AB＝2cm，点C和点D分别是AM，BN的中点．若AM＝16cm，则CD＝　 　cm；
（2）【知识迁移】
我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，已知∠AOB在∠MON内部转动，射线OC和射线OD分别平分∠AOM和∠BON．
①若∠MON＝150°，∠AOB＝30°，求∠COD的度数．（写解答过程）
②请你猜想∠AOB，∠COD和∠MON三个角有怎样的数量关系．请说明理由．（写解答过程）
（3）【类比探究】
如图3，∠AOB在∠MON内部转动，若∠MON＝150°，∠AOB＝30°，∠MOC＝k∠AOC，∠NOD＝k∠BOD，则∠COD的度数为 　 　．（用含有k的式子直接表示计算结果）
37．已知：∠AOB和∠COD是直角．
（1）如图1，当射线OB在∠COD内部时，则∠AOD和∠BOC之间的关系为 　 　；
（2）如图2，当射线OA，射线OB都在∠COD外部时，过点O作射线OE，射线OF，满足，，求∠EOF的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，在平面内是否存在射线OG，使得∠GOF：∠GOE＝4：5，若不存在，请说明理由，若存在，求出∠GOE的度数．
38．如图1，已知线段AB＝44cm，CD＝4cm，线段CD在线段AB上运动（点C不与点A重合），点E、F分别是AC、BD的中点．
（1）若AC＝10cm，则EF＝　 　cm；
（2）当线段CD在线段AB上运动时，试判断线段EF的长度是否会发生变化，如果不变，请求出线段EF的长度；如果变化，请说明理由；
（3）我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，已知∠COD在∠AOB内部转动，OE、OF分别平分∠AOC和∠BOD．类比以上发现的线段的规律，若∠EOF＝75°，∠COD＝35°，求∠AOB的度数．
39．点O，E分别是长方形纸片ABCD边AB，AD上的点，沿OE，OC翻折，点A落在点A′处，点B落在点B′处．
（1）如图1，当点B′恰好落在线段OA′上时，求∠COE的度数；
（2）如图2，当点B′落在∠EOA′的内部时，若∠AOE＝36°，∠BOC＝64°，求∠A′OB′的度数；
（3）当点A′，B′落在∠COE的内部时，若∠COE＝α，求∠A′OB′的度数（用含α的代数式表示）．
40．如图1，将两块直角三角板AOB与COD的直角顶点O重合在一起，其中直角边OB在∠COD内部．
（1）如图2，若∠AOC＝30°，求∠AOD和∠BOC的度数．
（2）若∠AOC＝α（0°＜α＜90°）．
①∠AOD和∠BOC有什么关系？请说明理由．
②当∠AOD＝3∠BOC时，求α的度数．
41．如图，已知点O为直线AB上一点，∠BOC＝110°，OC⊥OD，OM平分∠AOC，∠BOP＝∠DOM．
（1）求∠AOD的度数；
（2）试说明：OP平分∠BOC；
（3）若改变∠BOC的大小，其余条件不变，设∠BOC＝α（90°＜α＜180°），（2）中的结论是否依然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请用α表示∠COP．
42．如图，点O在直线AB上，∠COD＝60°，∠AOE＝2∠DOE．
（1）若∠BOD＝60°，求∠COE的度数；
（2）试猜想∠BOD和∠COE的数量关系，请直接写出结果 　 　．
43．如图，长方形纸片ABCD，点E，M，N分别是边AB，AD，BC上的动点，将∠AEM，∠BEN分别沿EM，EN折叠，点A，B的对应点分别是点F，点G．
（1）如图1，若∠MEF＝30°，∠GEN＝20°，求∠FEG的度数．
（2）如图2，若点E，F，G在同一直线上，探索∠MEF与∠NEG的关系，并说明理由．
（3）若∠MEN＝x°，直接写出折叠后∠FEG的度数（用含x的代数式表示）．
44．小红站在直线跑道的起跑线上，小明站在起跑线前方30m处，两人同时向前起跑，已知小明的速度为4m/s，小红的速度为6m/s，设跑步时间为t s．
（1）用含t的代数式分别表示两人到起跑线的距离；
（2）当t＝10时，求两人之间的距离；
（3）用含t的代数式表示两人之间的距离．
45．阅读教材，回答下列问题：
有理数的加法法则 问题小明在一条东西向的跑道上，先走了20m，又走了30m，能否确定他现在位于原来位置的哪个方向，与原来位置相距多少米？ 我们知道，求两次运动的总结果，可以用加法来解答，可是上述问题不能得到确定的答案，因为小明最后所在的位置与行走方向有关．
（1）根据教材内容，小明经过两次运动，最后所在的位置与原来位置的最远距离是 　 　m，最近距离是 　 　m；
（2）已知数轴上两点A、B对应的数分别为2、﹣1．若P、Q两点分别从A、B两点同时出发，其中点P的速度是每秒1个单位长度，点Q的速度是每秒3个单位长度，运动时间为t秒．
①当t＝3，若P、Q相距最远，则点P表示的数为 　 　，点Q表示的数为 　 　；
②当t＝3，若P、Q相距最近，则点P表示的数为 　 　，点Q表示的数为 　 　；
③当点P向右运动，点Q向左运动时，点P表示的数为 　 　，点Q表示的数为 　 　；
④当P、Q运动到同一位置时，求出t的值．
46．【阅读理解】整体思想是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，把某些式子或图形看成一个整体，进行整体处理．它作为一种思想方法在数学学习中有广泛的应用，因为一些问题按常规不容易求某一个（或多个）未知量时，根据题目的结构特征，把某一组数或某一个代数式看作一个整体，找出整体与局部的联系，从而找到解决问题的新途径．例如x2+x＝1，求x2+x+2024的值，我们将x2+x作为一个整体代入，则原式＝1+2024＝2025．
【教材原题】如图，若a﹣b＝4，求长方形A与B的面积差．
【尝试应用】当x＝2时，代数式ax5+bx3+cx﹣1的值为m，当x＝﹣2时，求代数式ax5+bx3+cx+4的值；（用含m的代数式表示）
【拓展应用】A，B两地相距60千米，某日，甲从A地出发前往B地，同时，乙从B地出发前往A地．已知甲每小时行a千米，乙每小时行b千米，经过2小时，甲、乙二人相遇．直接写出甲、乙两人相距20千米的时间．
47．数轴上m，n，q所对应的点分别为点M，点N，点Q．若点Q到点M的距离表示为QM，点N到点Q的距离表示为NQ，我们有QM＝q﹣m，NQ＝n﹣q．
（1）点A、点B，点C在数轴上分别对应的数为﹣4，6，c．且BC＝CA，直接写出c的值 　 　．
（2）在（1）的条件下，两只电子蚂蚁甲乙分别从A，C两点出发向右运动，甲的速度为4个单位每秒，乙的速度为1个单位每秒，求经过几秒，两只电子蚂蚁到原点的距离相等．
（3）在（1）（2）的条件下，电子蚂蚁乙运动到点B后立即以原速返回，到达自己的出发点后停止运动，电子蚂蚁甲运动到点B后也以原速返回．到达自己的出发点后又折返向B点运动，当电子蚂蚁乙停止运动时，电子蚂蚁甲随之停止运动，求运动多长时间时，两只蚂蚁相遇．
48．用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身25个，或制盒底40个，一个盒身与两个盒底配成一套．现在有36张白铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底，可使盒身与盒底正好配套？
49．从夏令营营地到学校，先下山再走平路，一少先队员骑自行车以每小时12千米的速度下山，以每小时9千米的速度通过平路，共用了55分钟；回来时，通过平路的速度不变，但以每小时6千米的速度上山，共花去了1小时10分钟，问营地到学校有多少千米．
50．甲、乙两车分别从相距210千米的A，B两地相向而行．
（1）两车均保持匀速行驶且甲车的速度是乙车速度的2倍，若甲车比乙车提前2小时出发，则甲车出发后3小时两车相遇．求甲、乙两车的速度分别是多少（单位：千米/小时）？
（2）如果甲、乙两车保持（1）中的速度，两车同时出发相向而行，求经过多少小时两车相距30千米？
51．体育器材室李老师用546元买足球和篮球，一共买了12个．他买的足球和篮球各多少个？
52．希玥服装店销售一批服装，按照标价进行销售，在销售时发现服装标签被污渍遮盖了，销售员发现打95折比打8折多盈利15元钱；
（1）每件服装标价多少元？
（2）该服装店打算在年前用30000购进同样服装进行售卖，服装厂原售价为80元一件，年前甲乙两服装厂同时搞促销活动，销售方案如表所示，请问该服装店在甲乙哪个服装厂购进服装利润最高？
甲服装厂 乙服装厂
订购超过100件，服装全部打95折，再赠一张50元的代金券，本次购物可抵现金使用．同时每100件，免费配赠35件同样价格的服装． 订购超过100件，服装全部打八折后再减4元，同时超过出300件服装，每件服装返款0.12元包装费．
（3）在（2）的条件下，该服装店购进服装后打算在进价的基础上每件服装加价50%进行销售，由于接近年底，销售可能滞销，因此预计全部进行销售的服装，会有20%需要降价以5折出售，该服装店要想获得利润14949元，需再次按活动价格购进该厂家服装，请计算出该服装店想获得预期利淘，需要准备再次购进服装多少件？
53．小明、小杰两人在400米的环形赛道上练习跑步，小明每分钟跑280米，小杰每分钟跑220米．若小明、小杰两人同时同地反向出发，那么出发几分钟后．小明，小杰第一次相遇？
54．长春市居民生活用电阶梯收费标准如表：
档级 月用电量 电价
第1档 170度以下（含170度） 0.525元/度
第2档 170度～260度（含260度） 超过170度部分按0.575元/度
第3档 260度以上 超过260度部分按0.825元/度
根据收费标准，解答下列问题：
（1）小军家6月用电量为150度，求这个月应缴的电费；
（2）小军家7月用电量在第2档的范围内，若设用电量为x度，则这个月应缴电费 　 　元（用含x的代数式表示）；
（3）8月出现了高温天气，小军家缴电费157.5元，求这个月的用电量．
55．嘉嘉早晨跑步，他从自己家出发，向东跑了2km到达超市，继续向东跑了1.5km到达广场，然后又向西跑了5.5km到达新华书店，最后又向东，跑回自己家．
（1）以嘉嘉家为原点，向东为正方向，用1个单位长度表示1km，画出数轴，在数轴上，分别用点O表示出嘉嘉家，用点A表示超市，用点B表示广场，用点C表示出新华书店的位置；
（2）求嘉嘉家与新华书店之间的距离；
（3）如果嘉嘉跑步的速度是200m/min，那么嘉嘉跑步一共用了多长时间？
56．公园门票价格规定如表：
购票张数 1～50张 51～100张 100张以上
每张票的价格 13元 11元 9元
某校七年级（1）、（2）两个班共104人游园，其中（1）班有40多人，但不足50人．经估算，如果两个班都以班为单位购票，则一共应付1240元．
（1）七年级（1）、（2）班各有学生多少人？
（2）如果两个班联合起来，作为一个团体购票，可省多少钱？
（3）如果七年级（1）班单独组织去游园，作为组织者的你如何购票才最省钱？请说明理由．
57．某车间为提高生产总量，在原有16名工人的基础上，新调入若干名工人，使得调整后车间的总人数是调入工人人数的3倍多4人．
（1）求调入多少名工人；
（2）在（1）的条件下，每名工人每天可以生产240个螺栓或400个螺母，1个螺栓需要2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，应该安排生产螺栓和螺母的工人各多少名？
58．2023年11月12日，新蒲新区举办了以“魅力新蒲，无限可能”为主题的半程马拉松比赛．A，B两个团队共92人（其中A队人数多于B队人数且A队人数不够90人）准备统一服装参加比赛，某服装厂给出了以下三种购买方式：
方式一：购买服装不超过45套时，每套60元；
方式二：购买服装超过45套且不超过90套时，每套50元；
方式三：购买服装超过90套时，每套40元．
若A，B两个团队分别单独购买服装，一共付了5000元．
（1）A，B两团队各有多少人准备参加比赛？
（2）若A团队有10人由于身体原因，不能参加比赛，请为A，B两个团队设计一种较省钱的购买服装方案．
59．有一群鸽子和一些鸽笼，如果每个鸽笼住6只鸽子，则剩余3只鸽子无鸽笼可住，如果再飞来5只鸽子，连同原来的鸽子，每个鸽笼刚好住8只鸽子．求原有多少个鸽笼？
60．一家商店因换季将某种服装打折销售，如果每件服装按标价的5折出售，将亏本20元，如果按标价的8折出售，将盈利40元．
（1）每件服装的标价是多少元？
（2）打几折销售能恰好保证利润率为50%？中小学教育资源及组卷应用平台
数轴动点、线段、角的计算专项训练
一．解答题（共60小题）
1．数轴上有A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“关联点”．
例如，数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“关联点”．
（1）若点A表示数﹣2，点B表示数1，下列各数﹣1，2，4，6所对应的点分别是C1，C2，C3，C4，其中是点A，B的“关联点”的是 　C1和C3　；
（2）点A表示数﹣10，点B表示数15，P为数轴上一个动点：
①若点P在点B的左侧，且点P是点A，B的“关联点”，请直接写出此时点P表示的数为 　﹣35或或　；
②若点P在点B的右侧，点P，A，B中，有一个点恰好是其它两个点的“关联点”，请直接写出此时点P表示的数为 　40或或65　．
【思路点拔】（1）由“关联点”定义结合数轴上两点间距离公式可求解；
（2）①由新定义内容，结合方程思想和分类讨论思想求解；
②由新定义内容，结合方程思想和分类讨论思想求解．
【解答】解：（1）∵﹣1﹣（﹣2）＝1，1﹣（﹣1）＝2，
﹣1到1的距离是﹣1到﹣2的距离的2倍，故C1符合要求；
∵2﹣（﹣2）＝4，2﹣1＝1，故C2不符合要求；
∵4﹣（﹣2）＝6，4﹣1＝3，故C3符合要求；
∵6﹣（﹣2）＝8，6﹣1＝5，故C4不符合要求；
故只有故C1和C3符合要求，
故答案为：C1和C3．
（2）①设此时点P表示的数为x（x＜15），则PA，PB，
根据点P是点A，B的“关联点”，
则当2时，得2x+20＝x﹣15或2x+20+x﹣15＝0，
解得：x＝﹣35或x．
当2时，得x+10＝2x﹣30或x+10+2x﹣30＝0，
解得：x＝40（不合题设，舍去）或x．
综上，x＝﹣35或或x．
故答案为：﹣35或或．
②当点P在点B的右侧，设设此时点P表示的数为y（y＞15），
则PA，PB，AB＝25．
当P是A，B两点的“关联”点时，可得方程2，
得2y+20＝y﹣15或2y+20+y﹣15＝0，
解得：y＝﹣35或y．（不合题意，都舍去）；
或2，得y＝40或x（不合题设，舍去），
当A是P，B两点的“关联”点时，可得方程225，
解得：y＝2.5或y＝﹣22.5（都不符合题意，舍去）；
或2×25，解得：y＝40或﹣60（不合题意，舍去）．
当B是P，A两点的“关联”点时，可得方程225，
解得：y或（不合题意，舍去）；
或2×25，解得y＝65或y＝﹣35（不合题意，舍去）．
综上所述：y的值为40或或65．
故答案为：40或或65．
2．我们知道：如果A、B两点在数轴上对应的数分别为x1、x2，那么AB之间的距离可以表示为：|AB＝|x1﹣x2|；若C为线段AB的中点，则点C在数轴上对应的数x可以表示为：．
如图，O点是数轴上的原点，M、N是数轴上的两个点，M点对应的数是为﹣4，N点对应的数是为6．
（1）若M以每秒2个单位的速度向右运动，N以每秒4个单位的速度向左运动，求 　1　秒后O为MN的中点．
（2）若M、N两个点同时出发沿着数轴运动．点M向右运动，点N向左运动，3秒后它们之间的距离为1个单位长度，且N的速度是M的两倍，分别求M、N的速度；
（3）我们规定，在数轴上，当A、B两点都位于原点的右侧且其中一个点到原点的距离是另一个到原点的距离1.5倍：或当A、B两点都位于原点左侧且两个点到原点的距离都相等时，这两种情况均称为AB两点是“相见恨晚距离”．若动点P从原点出发，以每秒1个单位的速度向左运动到点M后原速返回到点N后停止运动，同时，动点Q从点N出发，以每秒2个单位的速度向左在M、N之间作往返运动，且当点P停止运动时，动点Q也之停止运动，求所有满足条件的PQ两点是“相见恨晚距离”的时间？
【思路点拔】（1）设t秒后O为MN的中点，O点表示的数为0，此时M点表示的数为﹣4+2t，N点表示的数为6﹣4t，根据中点公式列方程求解即可；
（2）设点M的速度为a，则点N的速度为2a，3秒后点M表示的数为﹣4+3a，点N表示的数为6﹣2a×3＝6﹣6a，根据数轴上两点间距离列方程求解即可；
（3）根据点的运动速度和方向分别表示出各个时间段内点P和点Q在数轴上所代表的数，再根据新定义列方程求解．
【解答】解：（1）当t秒后O为MN的中点，O点表示的数为0，
此时M点表示的数为﹣4+2t，N点表示的数为6﹣4t，
则由题意可得，MN的中点O表示的数为，
解得：t＝1，即秒后O为MN的中点．
故答案为：1．
（2）设点M的速度为a，则点N的速度为2a，3秒后点M表示的数为﹣4+3a，点N表示的数为6﹣2a×3＝6﹣6a，
且距离为1个单位长度，
则1，
∴9a﹣10＝1或9a﹣10＝﹣1，
解得：a或a＝1．
故点M的速度为每秒个单位，点N速度为每秒个单位或点M的速度为每秒1个单位，点N的速度为每秒2个单位．
（3）设y秒后PQ两点是“相见恨晚距离”．由题可知，当点P停止运动时，运动的总时间为秒，
此时Q点停止运动，运动路程为14×2＝28，运动的路线为N→M→N→数轴上表示﹣2的数的位置停止，
①当0＜y≤4时，点P在原点左侧，点P表示的数为0﹣y×1＝﹣y，
则点Q也必须在原点左侧时才满足“相见恨晚距离”，此时点Q表示的数为6﹣2y，且6﹣2y＜0，
根据题意令6﹣2y＝﹣y，解得：y＝6，不合题设，舍去；
②当4＜y≤5时，此时点P在原点左侧，点P表示的数为﹣4+（y﹣4）×1＝y﹣8，
点Q也在原点左侧（在M点右侧），点Q表示的数为6﹣2y，
根据题意令6﹣2y＝y﹣8，解得：y，符合题设；
③当5＜y≤7时，此时点P在原点左侧，点P表示的数为y﹣8，
点Q也在原点左侧（MO之间），点Q表示的数为﹣4+（y﹣5）×2＝2y﹣14，
根据题意令2y﹣14＝y﹣8，解得：y＝6，符合题设；
④当7＜y≤8时，此时点P在原点左侧，点Q在原点右侧，此情况不满足“相见恨晚距离”；
⑤当8＜y≤10时，点P在原点右侧，点P表示的数为y﹣8，
点Q也在原点右侧，点Q表示的数为2+（y﹣8）×2＝2y﹣14，
根据题意令1.5×（2y﹣14）＝y﹣8，解得：y（不合题设，舍去），或者
令2y﹣14＝1.5×（y﹣8），解得：y＝4（不合题设，舍去）；
⑥当10＜y≤13时，点P在原点右侧，点P表示的数为y﹣8，
点Q也在原点右侧（从点N向左运动），点Q表示的数为6﹣2×（y﹣10）＝26﹣2y，
根据题意令y﹣8＝1.5×（26﹣2y），解得：y，符合题设，
或令1.5×（y﹣8）＝26﹣2y，解得：y，符合题 设．
⑦当13＜y≤14时，点P在原点右侧，点Q在原点左侧，不满足“相见恨晚距离”．
综上所述，所有满足条件的PQ两点是“相见恨晚距离”的时间为s或6s或s或s．
3．根据所学数轴知识，解答下面的问题：
（1）知识再现：在数轴上有三个点A，B，C如图1所示．
①A点表示的数是 　﹣2　；AB之间的距离是 　4　；
②将点B向左平移4个单位，此时该点表示的数是 　﹣2　；
（2）知识迁移：如图2，将一根木棒放在数轴（单位长度为1cm）上，木棒左端与数轴上的点A重合，右端与数轴上的点B重合．
①若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所应的数为30；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点A时，它的左端在数轴上所对应的数为6，由此可得这根木棒的长为 　8　cm？
②图中点A所表示的数是 　14　，点B所表示的数是 　22　；
（3）知识应用：如图3由（2）中①、②的启发，请借助“数轴”这个工具解决下列问题：
一天，妙妙去问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要37年才出生你若是我现在这么大，我就119岁啦！”请问奶奶现在多少岁了？
琪琪的想法是：借助数轴，把妙妙和奶奶的年龄差看作木棒AB，奶奶像妙妙这样大时，可看作点B移动到点A，此时点A向左移动后，所对应的点C所表示的数为﹣37，
根据琪琪的想法，完成一下问题：
①若把A移动到B时，此时点B向右移动后，所对应的点D表示的数为 　119　，
②求奶奶现在多少岁了．
【思路点拔】（1）①从图中数轴可直接得出答案；②将点平移即可得出答案；
（2）①最大数减去最小数，再除以3即可；②依次加8即可解答；
（3）①由题得最大数为119，即为答案；②最大数减去最小数，再除以3，再用119减去AB即可．
【解答】解：（1）①如图点A表示﹣2，点B表示2，
∴AB＝4，
故答案为：﹣2，4；
②将点B向左平移4个单位，
该点表示的数是﹣2，
故答案为：﹣2；
（2）①30﹣6＝24，24÷3＝8，
∴这根木棒的长为8cm，
故答案为：8；
②6+8＝14，30﹣8＝22，
∴点A所表示的数是14，点B所表示的数是22，
故答案为：14，22；
（3）①若把A移动到B时，此时点B向右移动后，所对应的点D表示的数为119，
故答案为：119；
②妙妙和奶奶的年龄差为：[119﹣（﹣37）]÷3＝52（岁），
∴奶奶现在的年龄：119﹣52＝67（岁）．
4．如图，数轴上，O点与C点对应点的数分别是0、60，将一根质地均匀的直尺AB放在数轴上（A在B的左边），若将直尺在数轴上水平移动，当A点移动到B点的位置时，B点与C点重合，当B点移动到A点的位置时，A点与O点重合．
（1）直尺AB的长为 　20　个单位长度；
（2）若直尺AB在数轴上，且满足B点与C点的距离等于B点与O点距离的3倍时，此时A点对应的数为 　﹣5或﹣50　；
（3）当A点对应的数为20时，作为起始位置，直尺AB以2单位/秒的速度沿数轴匀速向右运动，同时点P从点A出发，以m个单位/秒的速度也沿数轴匀速向右移动，设运动时间为t秒．
①若B、P、C三点恰好在同一时刻重合，则m的值为 　4　；
②当t＝15时，B、P、C三个点中恰好有一个点到另外两点的距离相等，请直接写出所有满足条件的m的值．
【思路点拔】（1）根据题意可得OA＝AB＝BC，即得AB＝20；
（2）根据AB＝20，OC＝60，BC＝3OB，即得OB＝6015或OB＝6030，进而求得A点表示的数；
（3）①B、C重合时t10，即得10m＝60﹣20，故m＝4；
②t＝15时，运动后B表示的数是40+15×2＝70，P表示的数是20+15m，C表示的数是60，分五种情况：（Ⅰ）当B是P、C中点时，（Ⅱ）当B与P重合时，（Ⅲ）当P是B、C中点时，（Ⅳ）当P与C重合时，（Ⅴ）当C是P、B中点时，分别列出方程，即可解得答案．
【解答】解：（1）∵当A点移动到B点的位置时，B点与C点重合，
∴AB＝BC，
∵当B点移动到A点的位置时，A点与O点重合．
∴OA＝AB，
∴OA＝AB＝BC，
∵OC＝60，
∴AB＝6020，
故答案为：20；
（2）∵OC＝60，
∴OB+BC＝60或BC﹣OB＝60，
∵BC＝3OB，
∴OB60＝15或OB＝30，
∴A点对应的数是15﹣20＝﹣5或﹣30﹣20＝﹣50，
即A点对应的数是﹣5或﹣50；
（3）①当A点对应的数为20时，
∴B运动前表示的数是20+20＝40，
∵直尺AB以2单位/秒的速度沿数轴匀速向右运动，
∴B、C重合时t＝（60﹣40）÷2＝10（秒），
∵点P从点A出发，以m个单位/秒的速度也沿数轴匀速向右移动，若B、P、C三点恰好在同一时刻重合，
∴10m＝60﹣20，
∴m＝4，
故答案为：4；
②t＝15时，运动后B表示的数是40+15×2＝70，P表示的数是20+15m，C表示的数是60，
（Ⅰ）当B是P、C中点时，
依题意有20+15m+60＝70×2，
解得m＝4；
（Ⅱ）当B与P重合时，
依题意有20+15m＝70，
解得m；
（Ⅲ）当P是B、C中点时，
依题意有70+60＝2（20+15m），
解得m＝3；
（Ⅳ）当P与C重合时，20+15m＝60；
解得m，
（Ⅴ）当C是P、B中点时，
依题意有20+15m+70＝60×2，
解得m＝2．
综上所述，m的值是2或或3或或4．
5．如图，在数轴上有A、B、C三个点．请回答下列问题：
（1）将点B向左移动3个单位长度后，三个点所表示的数谁最小？是多少？
（2）将点C向左移动．6个单位长度后，这时点B所表示的数比点C所表示的数大多少？
（3）一只蚂蚁从点A出发，沿数轴向右以每秒2个单位的速度运动，运动2秒至点D，然后向左以每秒6个单位的速度运动，运动1秒至点E．点D、E对应的数分别是 　0　、　﹣6　，蚂蚁整个运动的总路程是 　10　个单位．D、E两点间的距离是 　6　．
【思路点拔】（1）根据数轴得到A、B、C三个点表示的数，结合题意，将点B向左移动3个单位长度后，得到移动后B所表示的数，从而得到结果；
（2）将C移动后后得到表示的数为﹣3，与B所表示的数，比较得到结果；
（3）根据蚂蚁从A移动至D，得到D所表示的数，再移动到E，得到E所表示的数，从而得到结果．
【解答】解：（1）∵根据数轴可得：A点表示数﹣4，B点表示数﹣2，C点表示数3，
∴将B向左移动3个单位，得到移动后B点表示数﹣5，
∵﹣5＜﹣4＜3，
∴移动后三个点中B点表示的数最小，是﹣5；
（2）∵C点表示数3，
∴将C点向左移动6个单位后，所表示的数为﹣3，
∵B点表示数﹣2，
∴点B所表示的数比点C所表示的数大1个单位；
（3）∵蚂蚁沿数轴向右以每秒2个单位的速度运动，运动2秒至点D，
∴蚂蚁移动了4个单位长度，
∴D点表示的数为0，
∵然后向左以每秒6个单位的速度运动，运动1秒至点E，
∴E点表示的数为﹣6，
∴蚂蚁移动的总路程为：4+6＝10，
即移动的总路程为10个单位，
∴D、E两点间的距离是6，
故答案为：0，﹣6，10，6．
6．综合与探究
已知，数轴上三点A，O，B对应的数分别为﹣3，0，1，点C为数轴上任意一点，其对应的数为x．
（1）AB的长为 　4　，AC的长为 　|x+3|　；
（2）若AC＝2BC，求x的值；
（3）数轴上，如果动点P从点O出发，以每秒1个单位的速度沿数轴正方向运动；同时动点M和N分别从点A和点B出发，分别以每秒3个单位和每秒2个单位的速度也沿数轴正方向运动．当点P到点M的距离等于点P到点N的距离时，直接写出点P所表示的数．
【思路点拔】（1）根据数轴上两点间距离公式求解；
（2）用含x的式子表示出BC，AC，列方程求解即可；
（3）用含t的式子表示出t秒时点P，M，N所表示的数，进而用含/的式子表示出PM，PN，列方程求解即可．
【解答】解 （1）∵A，O，B对应的数分别为﹣3，0，1，
∴AB＝1﹣（﹣3）＝4，AC＝|x﹣（﹣3）|＝|x+3|，
故答案为：4；|x+3|；
（2）∵AC＝2BC，BC＝2|x﹣1|，
∴|x+3|＝2|x﹣1|，
∴x+3＝2（x﹣1）或x+3＝﹣2（x﹣1），解得x＝5或x，
故答案为：5或；
（3）由题意知，t秒时，点P所表示的数为t，点M所表示的数为﹣3+3t，点P所表示的数为1+2t，
∴PM＝|﹣3+3t﹣t|＝|﹣3+2t|，PN＝|1+2t﹣t|＝|1+t|＝1+t，当点P到点M的距离等于点P到点N的距离时，PM＝PN，
∴|﹣3+2t|＝1+t，
∴﹣3+2t＝1+t或﹣（﹣3+2t）＝1+t，解得：t＝4或t，
∴点P所表示的数为4或，
故答案为：4或．
7．已知M、N在数轴上，M对应的数是﹣3，点N在M的右边，且距M点4个单位长度，点P、Q是数轴上两个动点．
（1）直接写出点N所对应的数：　1　；
（2）当点P到点M、N的距离之和是5个单位时，点P对应的数是多少？
（3）如果P、Q分别从点M、N出发，均沿数轴向左运动，点P每秒走2个单位长度，先出发5秒钟，点Q每秒走3个单位长度，当P、Q两点相距2个单位长度时，点P、Q对应的数各是多少？
【思路点拔】（1）根据向右就做加法，列式求解；
（2）根据两点间的距离公式列方程求解；
（3）设P点运动时间为t，列方程求出t的值，再求P，Q对应的数．
【解答】解：（1）﹣3+4＝1，
故答案为：1；
（2）设P点表示的数为x，则|x+3|+|x﹣1|＝5，
解得：x＝﹣3.5或x＝1.5；
（3）设P点运动的时间为t秒，则Q运动的时间为（t﹣5）秒，
由题意得：|（﹣3﹣2t）﹣[1﹣3（t﹣5）]|＝2，
解得：t＝17或t＝21，
当t＝17时，P表示的数为：﹣3﹣34＝﹣37，Q表示的数为：1﹣36＝﹣35，
当t＝21时，P表示的数为：﹣3﹣42＝﹣45，Q表示的数为：1﹣48＝﹣47．
8．已知数轴上两点A、B对应的数分别为﹣1、3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．
（1）若点P到点A，点B的距离相等，求出x的值；
（2）数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为6？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由；
（3）当P到A、B两点中一点的距离是到另一点距离的2倍，请直接写出x的值．
【思路点拔】（1）根据点P到点A，点B的距离相等，则P为AB的中点，所以P为1；
（2）根据当P在A的左侧以及当P在A的右侧分别求出即可；
（3）分四种情况讨论，当P在A左侧时，PB＝2PA；当P在A、B之间时，PB＝2PA或PA＝2PB；当P在B右侧时，PA＝2PB；分别得出即可．
【解答】解：（1）∵点P到点A，点B的距离相等，
∴点P对应的数；
（2）解：当P在AB之间，PA+PB＝4（不可能有）；
当P在A的左侧，PA+PB＝﹣1﹣x+3﹣x＝6，
得x＝﹣2；
当P在A的右侧，PA+PB＝x﹣（﹣1）+x﹣3＝6，
得x＝4．
故点P对应的数为﹣2或4；
（3）解：当P在A左侧时，PB＝2PA，
则3﹣x＝2（﹣1﹣x），
解得：x＝﹣5；
当P在A、B之间时，PB＝2PA或PA＝2PB；
则3﹣x＝2（x+1）或x+1＝2（3﹣x），
解得：或；
当P在B右侧时，x+1＝2（x﹣3），
解得：x＝7．
综上，x的值为﹣5或或或7．
9．如图所示，已知A，B两点在数轴上，点A在点B的左侧，点A表示的数为﹣1，点B到原点O的距离是点A到原点O的距离的3倍．
（1）数轴上点B对应的数是 　3　．
（2）若点C到点A、点B的距离相等，则点C表示的数为 　1　．点C表示的数与点A表示的数之间的关系是 　互为相反数　．
（3）若点A与点D之间的距离表示为AD，点A与点B之间的距离表示为AB，问：在数轴上是否存在点D，使得AD＝2AB，若存在，请出点D表示的数是多少？若不存在，请说明理由？
【思路点拔】（1）先计算出点A到原点O的距离，再算出点B到原点O的距离，再根据点A在点B的左侧确定点B对应的数；
（2）根据两点之间的中点坐标的特点求解即可；根据结果可判断两点之间的关系是互为相反数；
（3）先计算出AB的距离，再计算出AD的距离，最后分点D位于点A的左右两侧分别讨论．
【解答】解：（1）由题意可知，点A表示的数为﹣1，则点A到原点O的距离是1，点B到原点O的距离是3，点B可能是3或﹣3，但由于点A位于点B的左侧，故点B对应的数是3．
故答案为：3；
（2）∵点C到点A、点B的距离相等，
∴点C表示的数为：，因点A表示的数为﹣1，
∴点C表示的数与点A表示的数之间的关系是互为相反数．
故答案为：1；互为相反数．
（3）存在，理由如下：
∵AB的距离为：3﹣（﹣1）＝4，
∴AD＝2AB＝2×4＝8，
考虑到点D可能位于点A的左右两侧，分两种情况讨论：
①当点D位于点A的左侧时，点D表示的数为：﹣1﹣8＝﹣9；
②当点D位于点A的右侧时，点D表示的数为：﹣1+8＝7．
∴存在点D，点D表示的数是﹣9或7．
10．已知，如图A，B分别为数轴上的两点，点A对应的数是﹣20，点B对应的数为80．
（1）请直接写出AB的中点M对应的数．
（2）现在有一只电子蚂蚁P从B点出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以3个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇．请解答下面问题：
①试求出点C在数轴上所对应的数；
②何时两只电子蚂蚁在数轴上相距15个单位长度？
【思路点拔】（1）根据数轴上A、B两点所表示的数为a、b，则AB的中点所表示的数可以用公式计算；
（2）①设出点C所表示的数，表示出AC、BC，再根据两只蚂蚁的运动时间相等，列方程求解即可；②分两种情况进行解答，即：Ⅰ）相遇前相距15个单位长度，Ⅱ）相遇后相距15个单位长度，分别列方程求解即可．
【解答】解：（1）AB的中点M所对应的数为30
（2）①如图1，设点C所表示的数为x，则AC＝x+20，BC＝80﹣x，
由题意得，，
解得，x＝40，
答：点C在数轴上所表示的数为40；
②分两种情况进行解答，设运动的时间为t秒
Ⅰ）如图2，相遇前相距15个单位长度，
则3t+2t＝80﹣（﹣20）﹣15，
解得，t＝17（秒），
Ⅱ）如图3，相遇后相距15个单位长度
则3t+2t＝80﹣（﹣20）+15，
解得，t＝23（秒）
答：当两只蚂蚁运动17秒或23秒时，两只电子蚂蚁在数轴上相距15个单位长度．
11．已知数轴上A，B，C三点对应的数分别为﹣1、3、5，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x．点A与点P之间的距离表示为AP，点B与点P之间的距离表示为BP．
（1）若AP＝BP，则x＝　1　；
（2）若AP+BP＝8，求x的值；
（3）若点P从点C出发，以每秒3个单位的速度向右运动，点A以每秒1个单位的速度向左运动，点B以每秒2个单位的速度向右运动，三点同时出发．设运动时间为t秒，试判断：4BP﹣AP的值是否会随着t的变化而变化？请说明理由．
【思路点拔】（1）观察数轴，可得答案；
（2）根据点P在点A左侧或点P在点A右侧，分别列式求解即可；
（3）分别用含t的式子表示出BP和AP，再计算4BP﹣AP，即可得答案．
【解答】解：（1）由数轴可得：若AP＝BP，则x＝1；
故答案为：1；
（2）∵AP+BP＝8
分3种情况
①若点P在点A左侧
∵AP+BP＝8
∴﹣1﹣x+3﹣x＝8，
∴x＝﹣3，
②若点P在点B右侧
∵AP+BP＝8
∴x+1+x﹣3＝8，
∴x＝5
③若点P在点A、B之间
∵AB＝4
∴AP+BP＝4
这与题目条件AP+BP＝8矛盾
∴综上所述x的值为﹣3或5．
（3）BP＝5+3t﹣（3+2t）＝t+2，
AP＝t+6+3t＝4t+6，
∴4BP﹣AP＝4（t+2）﹣（4t+6）＝2，
∴4BP﹣AP的值不会随着t的变化而变化．
12．如图，已知线段AD＝30cm，点C、B都是线段AD上的点，点E是AB的中点．
（1）若BD＝6cm，求线段AE的长；
（2）在（1）的条件下，若ACAD，且点F是线段CD的中点，求线段EF的长．
【思路点拔】（1）由AB＝AD﹣BD可求AB的长，结合中点的定义可求AE的长；
（2）由ACAD可得AC＝10cm，则CD＝20cm，结合中点的定义可求EF的长．
【解答】解：（1）∵AD＝30cm，BD＝6cm，
∴AB＝AD﹣BD＝30﹣6＝24（cm），
∵点E是AB的中点，
∴AEAB＝12（cm）；
（2）∵ACAD，
∴AC＝10cm，CD＝20cm，
∵点F是线段CD的中点，
∴DFCD＝10cm，
∵AD＝30cm，AE＝12cm，
∴EF＝30﹣12﹣10＝8（cm）．
13．如图，已知线段AB＝20cm，点M是线段AB的中点，点C是AB延长线上一点，AC＝3BC．点D是线段BA延长线上一点，．
（1）求线段BC的长；
（2）求线段DC的长．
【思路点拔】（1）由AC＝AB+BC＝3BC，AB＝20cm，即可求出BC的长；
（2）由，AB＝20cm，求出AD的长，进而求出DC的长．
【解答】解：（1）∵AC＝3BC，AC＝AB+BC，
∴AB＝2BC，
∵AB＝20cm，
∴BC＝10cm；
（2）∵，AB＝20cm，
∴AD＝10cm，
∵BC＝10cm，
∴DC＝AD+AB+BC＝40cm．
14．在数轴上，如果A点表示的数记为a，点B表示的数记为b，则A、B两点间的距离可以记作|a﹣b|或|b﹣a|．我们把数轴上两点之间的距离，用两点的大写字母表示，如：点A与点B之间的距离表示为AB．如图，在数轴上，点A，O，B表示的数为﹣10，0，12．
（1）直接写出结果，OA＝　10　，AB＝　22　．
（2）设点P在数轴上对应的数为x．
①若点P为线段AB的中点，则x＝　1　．
②若点P为线段AB上的一个动点，则|x+10|+|x﹣12|的化简结果是 　22　．
（3）动点M从A出发，以每秒2个单位的速度沿数轴在A，B之间向右运动，同时动点N从B出发，以每秒4个单位的速度沿数轴在A，B之间往返运动，当点M运动到B时，M和N两点停止运动．设运动时间为t秒，是否存在t值，使得OM＝ON？若存在，请直接写出t值；若不存在，请说明理由．
【思路点拔】（1）用绝对值计算数轴上两点之间的距离即可；
（2）①根据AP＝BP列方程求解即可；
②|x+10|+|x﹣12|＝|x﹣（﹣10）|+|x﹣12|，表示线段AB的长度，据此作答即可；
（3）写出点M表示的数，分别写出当0≤t和t≤11时点N表示的数，根据OM＝ON列绝对值方程并求解即可．
【解答】解：（1）OA＝|﹣10﹣0|＝10，AB＝|﹣10﹣12|＝22，
故答案为：10，22．
（2）①∵点P为线段AB的中点，
∴AP＝BP，
∴x﹣（﹣10）＝12﹣x，解得x＝1．
故答案为：1．
②∵点P为线段AB上的一个动点，
∴|x+10|+|x﹣12|＝|x﹣（﹣10）|+|x﹣12|＝AB＝22，
故答案为：22．
（3）点M表示的数为2t﹣10（0≤t≤11），OM＝|2t﹣10|；
当0≤t时，点N表示的数为﹣4t+12，ON＝|﹣4t+12|；
当t≤11时，点N表示的数为4（t）﹣10＝4t﹣32，ON＝|4t﹣32|．
当0≤t时，|2t﹣10|＝|﹣4t+12|，解得t＝1或；
当t≤11时，|2t﹣10|＝|4t﹣32|，解得t＝7或11．
∴存在t值，使得OM＝ON，t＝1，，7或11．
15．（1）如图，已知点C在线段AB上，且AC＝8cm，BC＝6cm，点M、N分别是AC、BC的中点，要求线段MN的长度，可进行如下的计算．请填空：
解：因为M是AC的中点，所以MC　AC　，因为AC＝8cm，所以MC＝4cm．
因为N是BC的中点，所以CNBC，因为BC＝6cm，所以CN＝　3cm　．所以MN＝MC+CN＝　7cm　．
（2）对于（1），如果AC＝a cm，BC＝b cm，其他条件不变，请求出MN的长度．
【思路点拔】（1）已知AC，CB的长度，点M，N分别为AC，BC的长度．则MCAC，CNCB，MN＝MC+CN（AC+CB），从而可求出MN的长度．
（2）将第一问中得到的MN（AC+CB）中AB和CB的具体值分别换成a，b即可用a，b表示的MN的长度．
【解答】解：（1）由分析可得题中应填：AC；3cm；7cm
（2）因为M是AC的中点，所以MCAC，
因为AC＝acm，所以MCacm
因为N是BC的中点，所以CNBC，
因为BC＝bcm，所以CNbcm，
所以MN＝MC+CNcm．
16．线段AB＝12cm，点C为AB上的一个动点，点D、E分别是AC和BC的中点．
（1）若点C恰好是AB中点，求DE的长？
（2）若AC＝4cm，求DE的长．
【思路点拔】（1）根据题意和图形可以求得DC和CE的长，从而可以求得DE的长；
（2）根据题意和图形可以求得DC和CE的长，从而可以求得DE的长．
【解答】解：（1）∵AB＝12cm，点C恰好是AB中点，
∴AC＝BC＝6cm，
∵点D、E分别是AC和BC的中点，
∴CD＝3cm，CE＝3cm，
∴DE＝CD+CE＝6cm，
即DE的长是6cm；
（2）∵AB＝12cm，AC＝4cm，
∴CB＝8cm，
∵点D、E分别是AC和BC的中点，
∴DC＝2cm，CE＝4cm，
∴DE＝DC+CE＝6cm，
即DE的长是6cm．
17．如图，点C是线段AB上一点，点M是线段AC的中点，点N是线段BC的中点．
（1）如果AB＝20cm，AM＝6cm，求NC的长；
（2）如果MN＝6cm，求AB的长．
【思路点拔】（1）先求出AC，再求出BC，根据线段的中点求出即可；
（2）求出BC＝2CN，AC＝2CM，把MN＝CN+MC＝6cm代入求出即可．
【解答】解：（1）∵点M是线段AC的中点，
∴AC＝2AM，
∵AM＝6cm，
∴AC＝12cm，
∵AB＝20cm，
∴BC＝AB﹣AC＝8cm，
∵点N是线段BC的中点，
∴NCBC＝4cm；
（2）∵点M是线段AC的中点，点N是线段BC的中点，
∴BC＝2NC，AC＝2MC，
∵MN＝NC+MC＝6cm，
∴AB＝BC+AC＝2×6cm＝12cm．
18．如图，点C是线段AB上的一点，其中AB＝8，AC：BC＝1：3，M是线段AC的中点，N是线段BC上一点．
（1）若N为线段BC的中点，求MN的长度；
（2）若N为线段BC的一个三等分点，求MN的长度．
【思路点拔】（1）根据线段中点的性质得出，结合图形，即可求解；
（2）根据线段中点的性质以及三等分点的性质，分类讨论，进而即可求解．
【解答】解：（1）∵M是线段AC的中点，N为线段BC的中点，
∴，
∵AB＝8，
∴；
（2）∵AB＝8，AC：BC＝1：3，
∴，，
∵M是线段AC的中点，
∴，
∵N为线段BC的一个三等分点，
∴或，
∴MN＝CM+CN＝1+2＝3或MN＝CM+CN＝1+4＝5；
∴MN的长为3或5．
19．如图，已知点C为AB上一点，AC＝30cm，，D，E分别为AC，AB的中点，求DE的长．
【思路点拔】根据题意求出BC，进而求出AB，再根据线段中点的定义计算即可．
【解答】解：∵BCAC，AC＝30cm，
∴BC30＝12cm，
∴AB＝AC+BC＝30+12＝42（cm），
∵E为AB的中点，
∴AEAB＝21cm，
∵D为AC的中点，
∴ADAC＝15cm，
∴DE＝AE﹣AD＝21﹣15＝6（cm）．
20．如图，点B是线段AC上一点，且AB＝21，BCAB．
（1）求线段AC的长．
（2）若点O是线段AC的中点，求线段OB的长．
【思路点拔】（1）求出线段BC用AB+BC可得结论；
（2）利用线段中点的意义，求出线段OC，用OC﹣BC即可．
【解答】解：（1）∵AB+BC＝AC．
又∵，AB＝21，
∴AC＝AB+BC＝21+7＝28；
（2）∵O是AC的中点，
∴，
∴OB＝CO﹣BC＝14﹣7＝7．
21．已知线段AB＝12，点C，E，F在线段AB上，点F是线段BC的中点．
（1）如图1，当点E是线段AC的中点时，求线段EF的长；
（2）如图2，当点E是线段AB的中点时，请你猜想线段EF与线段AC之间的数量关系，并说明理由．
【思路点拔】（1）因为点E是线段AC的中点，点F是线段BC的中点，所以ECAC，CFBC，因为EF＝EC+CF，可得EF的长；
（2）因为点E是线段AB的中点，点F是线段BC的中点，所以 ，，因为EF＝BE﹣BF，化简可得线段EF与线段AC之间的数量关系．
【解答】解：（1）∵点E是线段AC的中点，点F是线段BC的中点，
∴ECAC，CFBC，
∴，
答：线段EF的长为6；
（2），
∵点E是线段AB的中点，点F是线段BC的中点，
∴，，
∴．
22．如图，已知线段AB＝26，BC＝18，点M是AC的中点．
（1）求线段AM的长；
（2）在CB上取一点N，使得CN：NB＝1：2，求线段MN的长．
【思路点拔】（1）先求出AC＝AB﹣BC＝8，再根据中点的定义求解即可；
（2）根据BC＝18，CN：NB＝1：2，得出．再求出，看根据MN＝MC+NC，即可求解．
【解答】解：（1）线段AB＝26，BC＝18，
∴AC＝AB﹣BC＝26﹣18＝8．
又∵点M是AC的中点．
∴，
答：线段AM的长度是4．
（2）∵BC＝18，CN：NB＝1：2，
∴．
又∵点M是AC的中点，AC＝8，
∴，
∴MN＝MC+NC＝4+6＝10，
答：MN的长度是10．
23．如图，已知线段AB＝4，延长AB到点C，使得AB＝2BC，反向延长AB到点D，使AC＝2AD．
（1）求线段CD的长；
（2）若Q为AB的中点，P为线段CD上一点，且BPBC，求线段PQ的长．
【思路点拔】（1）利用AB＝2BC计算出BC＝2，则AC＝6，再利用AC＝2AD得到AD＝3，然后计算AC+AD得到线段CD的长；
（2）利用线段中点的定义BQ＝2，BP＝1，讨论：当点P在B、C之间时，计算BP+BQ；当点P在A、B之间时，计算BQ﹣BP．
【解答】解：（1）∵AB＝4，AB＝2BC，
∴BC＝2，
∴AC＝AB+BC＝6，
∵AC＝2AD，
∴AD＝3，
∴CD＝AC+AD＝6+3＝9；
（2）∵Q为AB中点，
∴BQAB＝2，
∵BPBC，
∴BP＝1，
当点P在B、C之间时，PQ＝BP+BQ＝2+1＝3；
当点P在A、B之间时，PQ＝BQ﹣BP＝2﹣1＝1．
即PQ的长为1或3．
24．如图，AC＝m，BC＝n，C为线段AB上一点，D为AC的中点，E为BC的中点，F为DE的中点．
（1）若|m﹣4|+（n﹣6）2＝0，
①求DE的长；
②求CF的长；
（2）若AB＝12CF，求的值．
【思路点拔】（1）先根据已知求出m、n的值，
①根据线段的中点性质求出DC，CE，然后相加即可，
②根据线段中点的性质求出DF，然后用DF减去DC即可；
（2）分两种情况讨论，AC＜BC，AC＞BC．
【解答】解：（1）由题意可得：m﹣4＝0，n﹣6＝0，
∴m＝4，n＝6，
∴AC＝4，BC＝6，
①∵D为AC的中点，E为BC的中点，
∴DC＝ADAC＝2，CE＝BEBC＝3，
∴DE＝DC+CE＝5，
②∵F为DE的中点，
∴DFDE＝2.5，
∴CF＝DF﹣DC＝0.5；
（2）分两种情况：
当AC＜BC时，如图：
设DC＝AD＝x，CE＝BE＝y，
∴AB＝AC+BC＝2x+2y，DE＝DC+CE＝x+y，
∴DFDE（x+y），
∴CF＝DF﹣CD（x+y）﹣x（y﹣x），
∵AB＝12CF，
∴2x+2y＝12 （y﹣x），
∴2x＝y，
∴，
当AC＞BC时，如图所示：
设DC＝AD＝x，CE＝BE＝y，
∴AB＝AC+BC＝2x+2y，DE＝DC+CE＝x+y，
∴DFDE（x+y），
∴CF＝CD﹣CF＝x（x+y）（x﹣y），
∵AB＝12CF，
∴2x+2y＝12 （x﹣y），
∴2y＝x，
∴，
综上所述，的值为或2．
25．（1）【特例感知】如图1，已知线段MN＝45 cm，AB＝3 cm，点C和点D分别是AM，BN的中点．若AM＝18 cm，则CD＝　24　cm；
（2）【知识迁移】我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，已知∠AOB在∠MON内部转动，射线OC和射线OD分别平分∠AOM和∠BON；
①若∠MON＝150°，∠AOB＝30°，求∠COD的度数；
②请你猜想∠AOB，∠COD和∠MON三个角有怎样的数量关系？请说明理由．
（3）【类比探究】如图3，∠AOB在∠MON内部转动，若∠MON＝150°，∠AOB＝30°，∠MOC＝k∠AOC，∠NOD＝k∠BOD，求∠COD的度数．（用含有k的式子表示计算结果）．
【思路点拔】（1）欲求CD，需求AC+AB+BD．已知AB，需求AC+BD．点C和点D分别是AM，BN的中点，得ACAM，BDBN，那么，进而解决此题．
（2）①欲求∠COD，需求∠AOC+∠AOB+∠BOD．已知∠AOB，需求∠AOC+∠BOD．由OC和OD分别平分∠AOM和∠BON，得，，进而解决此题．②与①同理可证．
（3）由∠MOC＝k∠AOC，∠NOD＝k∠BOD可得，∠AOM＝（1+k）∠AOC，∠BON＝（1+k）∠BOD，所以，根据∠COD＝∠AOC+∠AOB+∠BOD可得结论．
【解答】解：（1）∵MN＝45 cm，，AM＝18 cm
∴BN＝MN﹣AB﹣AM＝45﹣3﹣18＝24cm，
∵点C和点D分别是AM，BN的中点，
∴，，
∴AC+BD＝21cm．
∴CD＝AC+AB+BD＝3+21＝24cm．
故答案为：24．
（2）①∵OC和OD分别平分∠AOM和∠BON，
∴，．
∴．
又∵∠MON＝150°，∠AOB＝30°，
∴∠AOM+∠BON＝∠MON﹣∠AOB＝150°﹣30°＝120°．
∴∠AOC+∠BOD＝60°．
∴∠COD＝∠AOC+∠AOB+∠BOD＝60°+30°＝90°．
②．
理由如下：
∵OC和OD分别平分和∠BON，
∴，．
∴．
∴∠COD＝∠AOC+∠AOB+∠BOD．
（3）∵∠MON＝150°，∠AOB＝30°，
∴∠AOM+∠BON＝120°，
∵∠MOC＝k∠AOC，
∴∠AOM＝（1+k）∠AOC，∠BON＝（1+k）∠BOD，
∴，
∴∠COD＝∠AOC+∠AOB+∠BOD．
26．【初步探究】
（1）如图1，已知线段AB＝12，点C和点D为线段AB上的两个动点，且CD＝3，点M，N分别是AC和BD的中点．求MN的长是多少？
【类比探究】
（2）如图2，已知，直角∠COD与平角∠AOB如图摆放在一起，且OM和ON分别是∠AOC，∠BOD的角平分线，则∠MON的度数为多少度？
【知识迁移】
（3）当∠AOB＝α，∠COD＝β时，如图3摆放在一起，且OM和ON分别是∠AOC，∠BOD的角平分线，则∠MON的度数为多少度？（α和β均为小于平角的角）
【思路点拔】（1）利用线段中点的性质求出MC与DN得和即可；
（2）利用角平分线的性质求出∠MOC与∠DON的和即可；
（3）利用图2的解题思路计算即可．
【解答】解：（1）∵AB＝12，CD＝3，
∴AC+BD＝9，
∵点M，N分别是AC和BD的中点，
∴MCAC，DNBD，
∴MC+DN＝4.5，
∴MN＝MC+CD+DN＝7.5；
（2）∵∠AOB＝180°，∠COD＝90°，
∴∠AOC+∠BOD＝90°，
∵OM和ON分别是∠AOC，∠BOD的角平分线，
∴∠MOC∠AOC，∠DON∠DOC，
∴∠MOC+∠DON＝45°，
∴∠MON＝∠MOC+∠COD+∠DON＝135°；
（3）∵OM和ON分别是∠AOC，∠BOD的角平分线，
∴∠MOC∠AOC，∠BON∠BOD，
∴∠MON＝∠MOC+∠COB+∠BON
∠AOC+∠COB∠BOD
（∠AOC+2∠COB+∠BOD）
（∠AOB+∠COD）
．
27．计算：
（1）；
（2）；
（3）109°28′﹣48°32′（结果化成度、分、秒的形式）；
（4）30°32′6″×5（结果化成度、分、秒的形式）．
【思路点拔】（1）利用加法结合律计算分数、小数的加法运算，然后进行加减运算即可；
（2）先计算乘方，然后进行乘除运算，最后进行加减运算即可；
（3）根据109°28′﹣48°32′＝108°+88′﹣（48°+32′），计算求解即可；
（4）根据30°32′6″×5＝（30°+32′+6″）×5，计算求解即可．
【解答】解：（1）
＝10+1+24﹣16﹣10
＝9；
（2）
＝﹣49+2×9﹣（﹣6）×（﹣8）
＝﹣49+18﹣48
＝﹣79；
（3）109°28′﹣48°32′
＝108°+88′﹣（48°+32′）
＝（108°﹣48°）+（88′﹣32′）
＝60°56′；
（4）30°32′6″×5
＝（30°+32′+6″）×5
＝150°+160′+30″
＝150°+2°+40′+30″
＝152°40′30″．
28．定义：如图①，射线OC在∠AOB的内部，图中共有3个角：∠AOB，∠AOC，∠BOC．若其中有一个角是另一个角的3倍，则称射线OC是∠AOB的“巧分线”．
（1）如图①，若∠AOB＝60°，且射线OC是∠AOB的“巧分线”，则∠AOC的度数＝　15°或20°或40°或45°　；
（2）如图②，若∠MPN＝60°，射线PQ绕点P从PN位置开始，以每秒4°的速度顺时针旋转，同时射线PM绕点P以每秒3°的速度顺时针旋转，当PQ与PN第一次成100°角时，射线PQ和射线PM同时停止旋转．设旋转的时间为t秒，求t为何值时，射线PQ是∠MPN的“巧分线”．
【思路点拔】（1）根据“巧分线”定义即可求解；
（2）根据“巧分线”定义分4种情况：当∠MPQ＝3∠NPQ时，当∠MPN＝3∠NPQ时，当∠MPN＝3∠MPQ时，当∠NPQ＝3∠MPQ时，分别求解即可．
【解答】解：（1）∵∠AOB＝60°，且射线OC在∠AOB的“巧分线”，
∴∠AOC＝3∠BOC或∠BOC＝3∠AOC或∠AOB＝3∠AOC或∠AOB＝3∠BOC，
∵∠AOC+∠BOC＝∠AOB＝60°
∴∠AOC＝45°或15°或20°或40°；
故答案为：15°或20°或40°或45°
（2）根据题意得：
当∠MPQ＝3∠NPQ时，则60+3t﹣4t＝3×4t，
解得；
当∠MPN＝3∠NPQ时，则60+3t＝3×4t，
解得；
当∠MPN＝3∠MPQ时，则60+3t＝3×（60+3t﹣4t），
解得t＝20；
当∠NPQ＝3∠MPQ时，
4t＝3（3t+60﹣4t），
解得．
此时，故不符合题意，舍去；
综上，当t为或或20时，射线PQ是∠MPN的“巧分线”．
29．新定义：如果∠MON的内部有一条射线OP将∠MON分成的两个角，其中一个角是另一个角的n倍，那么我们称射线OP为∠MON的n倍分线，例如，如图1，∠MOP＝4∠NOP，则OP为∠MON的4倍分线．∠NOQ＝4∠MOQ，则OQ也是∠MON的4倍分线．
（1）应用：若∠AOB＝60°，OP为∠AOB的二倍分线，且∠BOP＞∠POA，则∠BOP＝　40　°；
（2）如图2，点A，O，B在同一条直线上，OC为直线AB上方的一条射线．
①若OP，OQ分别为∠AOC和∠BOC的三倍分线，（∠COP＞∠POA，∠COQ＞∠QOB）已知，∠AOC＝120°，则∠POQ＝　135　°；
②在①的条件下，若∠AOC＝α，∠POQ的度数是否发生变化？若不发生变化，请写出计算过程；若发生变化，请说明理由．
③如图3，已知∠MON＝90°，且OM，ON所在射线恰好是分别为∠AOC和∠BOC的三倍分线，请直接写出∠AOC的度数．
【思路点拔】（1）根据题意可得：∠BOP＝2∠AOP，∠BOP+∠AOP＝60°，进而得出答案；
（2）①由题意可得：∠COP＝3∠AOP，∠COQ＝3∠BOQ，根据∠AOC＝120°，得出∠AOP＝90°，∠BOQ＝45°，再求解即可；
②不变，根据题意得出，，再代入即可得出答案；
③设∠MOC＝α，则∠NOC＝90°﹣α，根据题意得出∠COM＝3∠AOM，∠BON＝3∠CON，列出方程，求得∠MOC＝67.5°，∠MOA＝22.5°，进而得出答案．
【解答】解：（1）∵∠AOB＝60°，OP为∠AOB的二倍分线，且∠BOP＞∠POA，
∴∠BOP＝2∠AOP，∠BOP+∠AOP＝60°，
∴∠AOP＝20°，
∴∠BOP＝40°，
故答案为：40；
（2）①∵OP，OQ分别为∠AOC和∠BOC的三倍分线（∠COP＞∠POA，∠COQ＞∠QOB），
∴∠COP＝3∠AOP，∠COQ＝3∠BOQ，
∵∠AOC＝120°，
∴∠BOC＝60°，
∴∠AOP＝30°，∠BOQ＝15°，
∴∠COP＝90°，∠COQ＝45°，
∴∠POQ＝∠POC+∠COQ＝135°，
故答案为：135；
②不变，
∵OP，OQ分别为∠AOC和∠BOC的三倍分线，∠COP＞∠POA，∠COQ＞∠QOB，
∴，，
∴∠POQ＝∠COP+∠COQ，，，，，＝135°；
③设∠MOC＝α，
∵∠MON＝90°，
∴∠NOC＝90°﹣α，
∵OM，ON所在射线恰好是分别为∠AOC和∠BOC的三倍分线，
∴∠COM＝3∠AOM，∠BON＝3∠CON，
∵∠AOM+∠COM+∠CON+∠BON＝180°，
∴，
∴α＝67.5°，
∴∠MOC＝67.5°，∠MOA＝22.5°，
∴∠AOC＝90°．
30．有一长方形纸带，E、F分别是边AD，BC上一点，∠DEF＝α度（0＜α＜90），将纸带沿EF折叠成图1，再沿GF折叠成图2．
（1）如图1，当α＝30度时，求∠GFC′的度数；
（2）如图2，若∠GFN＝4∠GFE，求α的值．
【思路点拔】（1）由长方形的对边是平行的，得到∠BFE＝∠DEF＝30°，根据三角形外角的性质得到∠EGB＝∠BFE+∠DEF＝60°，由对顶角的性质得到∠FGD′＝∠EGB＝60°，即可得到∠GFC′＝180°﹣∠FGD′＝120°；
（2）由折叠可得∠GEF＝∠DEF＝α°，∠GFC′＝∠GFN，由长方形的对边是平行的，得∠GFE＝∠DEF＝α°，由此可以求得∠FGD′＝∠EGB＝2α°，∠GFN＝4α°，由∠GFC′+∠FGD′＝180°可以求出α°，即可以得到α的值．
【解答】解：（1）由折叠可得∠GEF＝∠DEF，
∵长方形的对边是平行的，
∴∠BFE＝∠DEF＝30°，
∴∠EGB＝∠BFE+∠DEF＝60°，
∴∠FGD′＝∠EGB＝60°，
∴∠GFC′＝180°﹣∠FGD′＝120°；
∴当α＝30度时，∠GFC′的度数是120°；
（2）由折叠可得∠GEF＝∠DEF＝α°，∠GFC′＝∠GFN，
∵长方形的对边是平行的，
∴∠GFE＝∠DEF＝α°，
∴∠EGB＝∠GFE+∠DEF＝2α°，∠GFN＝4∠GFE＝4α°，
∴∠FGD′＝∠EGB＝2α°，
∵∠GFC′+∠FGD′＝180°，
∴4α°+2α°＝180°
∴α°＝30°．
∴α的值是30．
31．从直线l上一点O在l同侧顺次引射线OA，OM，OB，ON，OC，其中点A在直线l上．
（1）如图1，若OM平分∠AOC，ON平分∠BOC．
①当∠AOB＝120°，∠BOC＝30°时，求∠MON的度数；
②当∠AOB与∠BOC的大小都发生变化时，试探究∠MON与∠AOB间的数量关系，并说明理由；
（2）如图2．若OM为∠AOC 的一条n等分线，且∠AOM∠AOC，ON为∠BOC的一条n等分线，且，当∠MON＝90°时，此时∠AOB＝135°，试直接写出n的值．
【思路点拔】（1）①易得∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝150°，因为OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，所以∠MOC∠AOC＝75°，∠NOC∠BOC＝15°，则∠MON＝∠MOC﹣∠NOC＝60°；
②根据题意，∠MON＝∠MOC﹣∠NOC，∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC；因为∠MOC∠AOC，∠NOC∠BOC，所以∠MON（∠AOC﹣∠BOC）∠AOB．
（2）根据题意，易得∠MOC∠AOC，∠NOC∠BOC，则∠MON＝∠MOC﹣∠NOC（∠AOC﹣∠BOC）∠AOB，即90°135°，即可求解n的值．
【解答】解：（1）①易得∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝150°，
∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
∴∠MOC∠AOC＝75°，∠NOC∠BOC＝15°，
∴∠MON＝∠MOC﹣∠NOC＝60°；
②∠MON∠AOB．
证明：根据题意，∠MON＝∠MOC﹣∠NOC，∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC；
∵∠MOC∠AOC，∠NOC∠BOC，
∴∠MON（∠AOC﹣∠BOC）∠AOB．
（2）∵∠AOM∠AOC，，
∴∠MOC∠AOC，∠NOC∠BOC，
因此∠MON＝∠MOC﹣∠NOC（∠AOC﹣∠BOC）∠AOB，
即90°135°，解得：n＝3．
32．在数学活动课上，张老师将两个直角三角尺按如图所示方式摆放，探究∠AOD与∠BOC的数量关系．
【特殊情况，探索结论】
（1）如图①，已知∠AOB＝∠COD＝90°，若∠AOD＝25°，则∠BOC＝　155°　．得出的结论是：∠AOD+∠BOC＝　180°　．
（2）如图②，已知∠AOB＝∠COD＝45°，若∠AOD＝25°，则∠BOC＝　65°　．得出的结论是：∠AOD+∠BOC＝　90°　．
【特例启发，解答题目】
（3）如图③，若∠AOB＝∠COD＝α，∠AOD＝β，则∠BOC＝　2α﹣β　（用含α和β的式子表示）．
（4）如图④，已知∠AOB＝50°，∠COD＝100°，则∠AOD+∠BOC＝　150°　．
【思路点拔】（1）先求∠AOC度数和∠BOC度数，再求∠AOD+∠BOC度数．
（2）先求∠BOD度数和∠BOC度数，再求∠AOD+∠BOC度数．
（3）先把∠BOD表示出来，再计算∠BOC度数．
（4）设∠AOD＝γ，故∠BOD＝50°﹣γ，由∠AOD+∠BOC＝∠AOD+∠BOD+∠COD计算即可．
【解答】解：（1）∵∠AOB＝90°，且∠AOD＝25°，
∴∠AOC＝90°﹣25°＝65°，
∴∠BOC＝AOC+∠AOB＝65°+90°＝155°．
∴∠AOD+∠BOC＝25°+155°＝180°．
故答案为155°，180°．
（2）∵∠AOB＝45°，且∠AOD＝25°，
∴∠BOD＝45°﹣25°＝20°，
∴∠BOC＝∠DOC+∠BOD＝45°+20°＝65°．
∴∠AOD+∠BOC＝25°+65°＝90°．
故答案为65°，90°．
（3）∵∠AOB＝α，∠AOD＝β，
∴∠BOD＝α﹣β，
∴∠BOC＝∠BOD+∠COD＝α﹣β+α＝2α﹣β．
故答案为：2α﹣β．
（4）设∠AOD＝γ，
∴∠BOD＝50°﹣γ，
∴∠AOD+∠BOC
＝∠AOD+∠BOD+∠COD
＝γ+50°﹣γ+100°
＝150°，
故答案为：150°．
33．计算：
（1）48°39'+67°31'；
（2）23°53'×2﹣17°43'．
【思路点拔】（1）根据度分秒的进制进行计算，即可解答；
（2）根据度分秒的进制进行计算，即可解答．
【解答】解：（1）48°39'+67°31'
＝115°70′
＝116°10′；
（2）23°53'×2﹣17°43'
＝46°106′﹣17°43′
＝29°63′
＝30°3′．
34．已知：∠AOB和∠COD是直角．
（1）如图1，当射线OB在∠COD内部时，请探究∠AOD和∠BOC之间的关系；
（2）如图2，当射线OA，射线OB都在∠COD外部时，过点O作射线OE，射线OF，满足∠BOE∠BOC，∠AOF∠AOD，求∠EOF的度数；
（3）如图2，在（2）的条件下，在平面内是否存在射线OG，使得∠GOF：∠GOE＝2：3，若不存在，请说明理由，若存在，直接写出∠GOF的度数．
【思路点拔】（1）根据题意得∠AOB＝∠COD＝90°，即∠BOD+∠BOC＝∠COD，∠AOC+∠BOC＝90°，则∠BOD＝90°﹣∠BOC，∠AOC＝90°﹣∠BOC，可得∠AOD＝180°﹣∠BOC，即可得；
（2）根据题意计算得∠AOD+∠BOC＝180°，根据，得∠BOE+∠AOF＝60°，即可得；
（3）分情况讨论：①当射线OG在∠EOF内部时，②当射线OG在∠EOF外部时，分别计算即可得．
【解答】解：（1）∠AOD+∠BOC＝180°，
∵∠AOB和∠COD是直角，
∴∠AOB＝∠COD＝90°，
即∠BOD+∠BOC＝∠COD，∠AOC+∠BOC＝90°，
∴∠BOD＝90°﹣∠BOC，∠AOC＝90°﹣∠BOC，
∴∠AOD＝∠AOB+∠BOD＝90°+90°﹣∠BOC＝180°﹣∠BOC，
∴∠AOD+∠BOC＝180°；
（2）根据题意得，∠AOD+∠BOC＝360°﹣90°﹣90°＝180°，
∵，，
∴，
∴∠EOF＝60°+90°＝150°；
（3）∠GOF的度数是60°或84°，
①如图所示，当射线OG在∠EOF内部时，
∵∠GOF：∠GOE＝2：3，
∴；
②如图，当射线OG在∠EOF外部时，
∵∠GOF：∠GOE＝2：3，
∴，
综上所述，∠GOF的度数是60°或84°．
35．（1）理解计算：如图①，∠AOB＝80°，∠AOC＝40°．射线OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，求∠MON的度数；
（2）拓展探究：如图②，∠AOB＝α，∠AOC＝β（α，β为锐角）．射线OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，求∠MON的度数；
（3）迁移应用：线段的计算与角的计算存在着紧密的联系．如图③，线段AB＝a，延长线段AB到C，使得BC＝b，点M，N分别为AC，BC的中点，求MN的长．
【思路点拔】（1）根据角的平行线的特点，可以得知所分两角相等，等于原角的一半，根据角与角之间的数量关系即可得出结论；
（2）根据角的平行线的特点，可以得知所分两角相等，等于原角的一半，根据角与角之间的数量关系即可得出结论；
（3）根据（2）的原理，可直接得出结论．
【解答】解：（1）∵∠BOC＝∠AOB+∠AOC＝80°+40°＝120°，
射线OM平分∠BOC，
∴∠COM∠BOC120°＝60°，
∵ON平分∠AOC，
∴∠CON∠AOC40°＝20°，
∴∠MON＝∠COM﹣∠CON＝60°﹣20°＝40°．
（2）∵∠BOC＝∠AOB+∠AOC＝α+β，
∵射线OM平分∠BOC，
∴∠COM∠BOC（α+β），
∵ON平分∠AOC，
∴∠CON∠AOCβ，
∴∠MON＝∠COM﹣∠CON（α+β）βα．
（3）∵AB＝a，BC＝b，
∴AC＝AB+BC＝a+b，
∵点M，N分别为AC，BC的中点，
∴CMAC（a+b），CNBC＝b，
∴MN＝CM﹣CNa．
故答案为：a．
36．阅读材料：
（1）【特例感知】
如图1，已知线段MN＝30cm，AB＝2cm，点C和点D分别是AM，BN的中点．若AM＝16cm，则CD＝　16　cm；
（2）【知识迁移】
我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，已知∠AOB在∠MON内部转动，射线OC和射线OD分别平分∠AOM和∠BON．
①若∠MON＝150°，∠AOB＝30°，求∠COD的度数．（写解答过程）
②请你猜想∠AOB，∠COD和∠MON三个角有怎样的数量关系．请说明理由．（写解答过程）
（3）【类比探究】
如图3，∠AOB在∠MON内部转动，若∠MON＝150°，∠AOB＝30°，∠MOC＝k∠AOC，∠NOD＝k∠BOD，则∠COD的度数为 　30°　．（用含有k的式子直接表示计算结果）
【思路点拔】（1）欲求CD，需求AC+AB+BD．已知CD，需求AC+BD．点C和点D分别是AM，BN的中点，得ACAM，BDBN，那么AC+BDAMBN（AM+BN），进而解决此题．
（2）①欲求∠COD，需求∠AOC+∠AOB+∠BOD．已知∠AOB，需求∠AOC+∠BOD．由OC和OD分别平分∠AOM和∠BON，得∠AOC∠AOM，∠BOD∠BON，进而解决此题．
②与①同理．
（3）由，∠MOC＝k∠AOC，∠NOD＝k∠BOD可得，∠AOM＝（1+k）∠AOC，∠BON＝（1+k）∠BOD，所以∠AOC+∠BOD，根据∠COD＝∠AOC+∠AOB+∠BOD可得结论．
【解答】解：（1）∵MN＝30cm，AB＝2cm，AM＝16cm，
∴BN＝MN﹣AB﹣AM＝12（cm），
∵点C和点D分别是AM，BN的中点，
∴ACAM＝8cm，BDBN＝6cm．
∴AC+BD＝14（cm）．
∴CD＝AC+AB+BD＝14+2＝16（cm）．
故答案为：16．
（2）①∵OC和OD分别平分∠AOM和∠BON，
∴∠AOC∠AOM，∠BOD∠BON．
∴∠AOC+∠BOD∠AOM∠BON（∠AOM+∠BON）．
又∵∠MON＝150°，∠AOB＝30°，
∴∠AOM+∠BON＝∠MON﹣∠AOB＝120°．
∴∠AOC+∠BOD＝60°．
∴∠COD＝∠AOC+∠BOD+∠AOB＝60°+30°＝90°．
②∠COD（∠MON+AOB）．理由如下：
∵OC和OD分别平分∠AOM和∠BON，
∴∠AOC∠AOM，∠BOD∠BON．
∴∠AOC+∠BOD∠AOM∠BON（∠AOM+∠BON）．
∴∠COD＝∠AOC+∠BOD+∠AOB
（∠AOM+∠BON）+∠AOB
（∠MON﹣∠AOB）+∠AOB．
（∠MON+AOB）．
（3）∵∠MON＝150°，∠AOB＝30°，
∴∠AOM+∠BON＝120°，
∵∠MOC＝k∠AOC，∠NOD＝k∠BOD，，
∴∠AOM＝∠MOC+∠AOC＝（1+k）∠AOC，
∠BON＝∠NOD+∠BOD＝（1+k）∠BOD，
∴∠AOC+∠BOD，
∴∠COD＝∠AOC+∠BOD+∠AOB30°，
故答案为：30°．
37．已知：∠AOB和∠COD是直角．
（1）如图1，当射线OB在∠COD内部时，则∠AOD和∠BOC之间的关系为 　∠AOD+∠BOC＝180°　；
（2）如图2，当射线OA，射线OB都在∠COD外部时，过点O作射线OE，射线OF，满足，，求∠EOF的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，在平面内是否存在射线OG，使得∠GOF：∠GOE＝4：5，若不存在，请说明理由，若存在，求出∠GOE的度数．
【思路点拔】（1）因为射线OB在∠COD内部，∠AOD+∠BOC＝∠AOB+∠COD可得；
（2）因为射线OA，射线OB都在∠COD外部，可得∠AOD+∠BOC＝180°，因为，，可得∠BOE+∠AOF的度数，又因∠EOF＝∠FOA+∠AOB+∠BOE，可得∠EOF的度数；
（3）分射线OG在∠EOF内部、射线OG在∠EOF外部两种情况．
【解答】解：（1）∵射线OB在∠COD内部，
∴∠AOD+∠BOC＝∠AOB+∠COD＝180°，
故答案为：∠AOD+∠BOC＝180°；
（2）∵射线OA，射线OB都在∠COD外部，
∴∠AOD+∠BOC＝180°，
∵，，即∠AOF∠AOD，
∴4∠BOE+4∠AOF＝180°，即∠BOE+∠AOF＝45°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠EOF＝∠FOA+∠AOB+∠BOE＝135°；
（3）设∠GOF＝4x，则∠GOE＝5x，
①当射线OG在∠EOF内部时，
4x+5x＝135°，
解得：x＝15°，
此时∠GOE＝75°，
②当射线OG在∠EOF外部时，
4x+5x＝360°﹣135°，
解得：x＝25°，
此时∠GOE＝125°，
∴∠GOE＝75°或∠GOE＝125°．
38．如图1，已知线段AB＝44cm，CD＝4cm，线段CD在线段AB上运动（点C不与点A重合），点E、F分别是AC、BD的中点．
（1）若AC＝10cm，则EF＝　24　cm；
（2）当线段CD在线段AB上运动时，试判断线段EF的长度是否会发生变化，如果不变，请求出线段EF的长度；如果变化，请说明理由；
（3）我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，已知∠COD在∠AOB内部转动，OE、OF分别平分∠AOC和∠BOD．类比以上发现的线段的规律，若∠EOF＝75°，∠COD＝35°，求∠AOB的度数．
【思路点拔】（1）由AC＝10cm，CD＝4cm，可得BD＝AB﹣AC﹣CD的长度，∵根据线段中点的性质可得，即可算出EC，DF的长度，根据EF＝EC+CD+DF代入计算即可得出答案；
（2）根据线段中点的性质可得，EC，DF，由EF＝EC+CD+DF＝EC，可得（AB﹣CD）+CD，代入计算即可得出答案；
（3）由角平分线的定义可得，∠AOC＝2∠EOC，∠BOD＝2∠DOF，根据∠AOB＝∠AOC+∠COD+∠BOD，可得2∠EOC+∠COD+2∠DOF，即可得出2（∠EOC+∠COD+∠DOF）﹣∠COD，即2∠EOF﹣∠COD，代入计算即可得出答案．
【解答】解：（1）∵AC＝10cm，CD＝4cm，
∴BD＝AB﹣AC﹣CD＝44﹣10﹣4＝30cm，
∵点E、F分别是AC、BD的中点，
∴EC5（cm），DF15（cm），
∴EF＝EC+CD+DF＝5+4+15＝24（cm）；
故答案为：24；
（2）线段EF的长度不会发生变化；理由如下：
∵点E、F分别是AC、BD的中点，
∴EC，DF，
∴EF＝EC+CD+DF＝EC（AB﹣CD）+CD24；
（3）∵OE、OF分别平分∠AOC和∠BOD，
∴∠AOC＝2∠EOC，∠BOD＝2∠DOF，
∴∠AOB＝∠AOC+∠COD+∠BOD
＝2∠EOC+∠COD+2∠DOF
＝2（∠EOC+∠COD+∠DOF）﹣∠COD
＝2∠EOF﹣∠COD
＝2×75°﹣35°
＝115°．
39．点O，E分别是长方形纸片ABCD边AB，AD上的点，沿OE，OC翻折，点A落在点A′处，点B落在点B′处．
（1）如图1，当点B′恰好落在线段OA′上时，求∠COE的度数；
（2）如图2，当点B′落在∠EOA′的内部时，若∠AOE＝36°，∠BOC＝64°，求∠A′OB′的度数；
（3）当点A′，B′落在∠COE的内部时，若∠COE＝α，求∠A′OB′的度数（用含α的代数式表示）．
【思路点拔】（1）由折叠的性质，得到∠AOE＝∠A′OE，∠BOC＝∠B′OC，根据∠AOE+∠A′OE+∠BOC+∠B′OC＝180°，∠COE＝∠A′OE+∠B′OC即可求解；
（2）由折叠的性质，得到∠AOE＝∠A′OE，∠BOC＝∠B′OC，根据∠A′OE+∠B′OC＝∠AOE+∠BOC＝100°，∠COE＝180°﹣（∠AOE+∠BOC）＝80°，根据∠A′OB′＝∠A′OE+∠B′OC﹣∠COE即可求解；
（3）由折叠的性质，得到∠AOE＝∠A′OE，∠BOC＝∠B′OC，分当点B′在∠A′OE内部时，当点B′在∠A′OE外部时，两种情况得出结论．
【解答】解：（1）由折叠的性质，得到∠AOE＝∠A′OE，∠BOC＝∠B′OC，
∴∠AOE+∠A′OE+∠BOC+∠B′OC＝180°，
∴∠A′OE+∠B′OC＝90°
∴∠COE＝∠A′OE+∠B′OC＝90°；
（2）由折叠的性质，得到∠AOE＝∠A′OE，∠BOC＝∠B′OC，
∵∠AOE＝36°，∠BOC＝64°，
∴∠A′OE+∠B′OC＝∠AOE+∠BOC＝100°，∠COE＝180°﹣（∠AOE+∠BOC）＝80°，
∠A′OB′＝∠A′OE+∠B′OC﹣∠COE＝20°；
（3）∵∠COE＝α，
∴∠AOE+∠BOC＝180°﹣∠COE＝180°﹣α，
由折叠的性质，得到∠AOE＝∠A′OE，∠BOC＝∠B′OC．
①如图2，当点B′在∠A′OE内部时，
∵∠A′OB′＝∠A′OE+∠B′OC﹣∠COE，
∴∠A′OB′＝（180°﹣α）﹣α＝180°﹣2α；
②如图3，当点B′在∠A′OE外部时，
∵∠A′OB′＝∠COE﹣（∠A′OE+∠B′OC），
∴∠A′OB′＝α﹣（180﹣α）＝2α﹣180°．
综上，∠A′OB′的度数为180°﹣2α或2α﹣180°．
40．如图1，将两块直角三角板AOB与COD的直角顶点O重合在一起，其中直角边OB在∠COD内部．
（1）如图2，若∠AOC＝30°，求∠AOD和∠BOC的度数．
（2）若∠AOC＝α（0°＜α＜90°）．
①∠AOD和∠BOC有什么关系？请说明理由．
②当∠AOD＝3∠BOC时，求α的度数．
【思路点拔】（1）根据题意可得：∠AOB＝∠COD＝90°，然后利用角的和差关系，进行计算即可解答；
（2）①根据题意可得：∠AOB＝∠COD＝90°，然后利用角的和差关系可得∠AOD+∠BOC＝∠AOB+∠COD，进行计算即可解答；
②利用①的结论，进行计算可求出∠BOC＝45°，然后再利用角的和差关系，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）由题意得：
∠AOB＝∠COD＝90°，
∵∠AOC＝30°，
∴∠AOD＝∠AOC+∠COD＝120°，∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝60°，
∴∠AOD的度数为120°，∠BOC的度数为60°；
（2）①∠AOD+∠BOC＝180°，
理由：∵∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠AOD+∠BOC＝∠AOB+∠BOD+∠BOC
＝∠AOB+∠COD
＝90°+90°
＝180°，
∴∠AOD+∠BOC＝180°；
②∵∠AOD＝3∠BOC，∠AOD+∠BOC＝180°，
∴4∠BOC＝180°，
∴∠BOC＝45°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝45°，
∴α的度数为45°．
41．如图，已知点O为直线AB上一点，∠BOC＝110°，OC⊥OD，OM平分∠AOC，∠BOP＝∠DOM．
（1）求∠AOD的度数；
（2）试说明：OP平分∠BOC；
（3）若改变∠BOC的大小，其余条件不变，设∠BOC＝α（90°＜α＜180°），（2）中的结论是否依然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请用α表示∠COP．
【思路点拔】（1）先根据邻补角定义求出∠AOC＝70°，再根据OC⊥OD可得∠AOD的度数；
（2）先根据∠AOC＝70°及角平分线定义得∠AOM＝35°，进而得∠DOM＝55°，则∠BOP＝∠DOM＝55°，由此即可得出结论；
（3）根据邻补角定义得∠AOC＝180°﹣α，根据OC⊥OD得∠AOD＝∠COD﹣∠AOC＝α﹣90°，再根据角平分线定义得∠AOM∠AOC＝90°α，进而得∠DOM＝∠AOD+∠AOMα，则∠BOPα，由此即可得出结论．
【解答】解：（1）∵点O为直线AB上一点，∠BOC＝110°，
∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝70°，
∵OC⊥OD，
∴∠COD＝90°，
∴∠AOD＝∠COD﹣∠AOC＝90°﹣70°＝20°；
（2）∵∠AOC＝70°，OM平分∠AOC，
∴∠AOM∠AOC＝35°，
由（1）可知：∠AOD＝20°，
∴∠DOM＝∠AOD+∠AOM＝20°+35°＝55°，
∴∠BOP＝∠DOM＝55°，
∴∠COP＝∠BOC﹣∠BOP＝110°﹣55°＝55°，
∴∠BOP＝∠COP＝55°，
∴OP平分∠BOC；
（3）（2）中的结论依然成立，理由如下：
∵点O为直线AB上一点∠BOC＝α（90°＜α＜180°），
∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣α，
∵OC⊥OD，
∴∠COD＝90°，
∴∠AOD＝∠COD﹣∠AOC＝90°﹣（180°﹣α）＝α﹣90°，
∴OM平分∠AOC，
∴∠AOM∠AOC（180°﹣α）＝90°α，
∴∠DOM＝∠AOD+∠AOM＝α﹣90°+90°αα，
∴∠BOP＝∠DOMα，
∴∠COP＝∠BOC﹣∠DOM＝ααα，
∴∠BOP＝∠COPα，
∴OP平分∠BOC．
42．如图，点O在直线AB上，∠COD＝60°，∠AOE＝2∠DOE．
（1）若∠BOD＝60°，求∠COE的度数；
（2）试猜想∠BOD和∠COE的数量关系，请直接写出结果 　∠BOD＝3∠COE　．
【思路点拔】（1）根据补角的定义可得∠AOD＝120°，再根据角平分线的定义可得答案；
（2）设∠COE＝x，则∠DOE＝60﹣x，再利用AOE＝2∠DOE，然后整理可得结论．
【解答】解：（1）∵∠BOD＝60°，
∴∠AOD＝120°，
∵∠AOE＝2∠DOE，
∴∠DOE∠AOD＝40°，
∴∠COE＝∠COD﹣∠DOE＝60°﹣40°＝20°；
（2）∠BOD＝3∠COE，
设∠COE＝x，则∠DOE＝60°﹣x，
∵∠AOE＝2∠DOE，
∴∠AOD＝3∠DOE＝3（60°﹣x）＝180°﹣3x，
∴∠BOD＝180°﹣∠AOD＝180°﹣（180°﹣3x）＝3x，
∴∠BOD＝3∠COE，
故答案为：∠BOD＝3∠COE．
43．如图，长方形纸片ABCD，点E，M，N分别是边AB，AD，BC上的动点，将∠AEM，∠BEN分别沿EM，EN折叠，点A，B的对应点分别是点F，点G．
（1）如图1，若∠MEF＝30°，∠GEN＝20°，求∠FEG的度数．
（2）如图2，若点E，F，G在同一直线上，探索∠MEF与∠NEG的关系，并说明理由．
（3）若∠MEN＝x°，直接写出折叠后∠FEG的度数（用含x的代数式表示）．
【思路点拔】（1）根据折叠的性质即可求解；
（2）根据折叠的性质即可求解；
（3）根据折叠的性质分两种情况即可求解．
【解答】解：（1）由折叠可得，∠MEA＝∠MEF＝30°，∠BEN＝∠GEN＝20°，
∴∠AEF＝30°×2＝60°，∠BEG＝20°×2＝40°，
∴∠FEG＝180°﹣60°﹣40°＝80°；
（2）∠MEF+∠NEG＝90°，理由如下：
由折叠可得：∠AEF＝2∠MEF，∠BEG＝2∠NEG，
∵∠AEF+∠BEG＝180°，
∴2∠MEF+2∠NEG＝180°，
∴∠MEF+∠NEG＝90°；
（3）当折叠后的图形如图1时，90≤x＜180，
∠AEM+∠BEN＝180°﹣x°，
∴∠AEF+∠BEG＝2（∠AEM+∠BEN）＝2（180°﹣x°）＝360°﹣2x°，
∵∠AEF+∠BEG+∠FEG＝180°，
∴360°﹣2x°+∠FEG＝180°，
∴∠FEG＝2x°﹣180°＝|2x﹣180|°；
当折叠后的图形如图3时，0＜x≤90，
∠AEM+∠BEN＝180°﹣x°，
∴∠AEF+∠BEG＝2（∠AEM+∠BEN）＝2（180°﹣x°）＝360°﹣2x°，
∵∠AEF+∠BEG＝180°+∠FEG，
∴360°﹣2x°＝180°+∠FEG，
∴∠FEG＝180°﹣2x°＝|2x﹣180|°；
综上，∠FEG的度数为|2x﹣180|°．
44．小红站在直线跑道的起跑线上，小明站在起跑线前方30m处，两人同时向前起跑，已知小明的速度为4m/s，小红的速度为6m/s，设跑步时间为t s．
（1）用含t的代数式分别表示两人到起跑线的距离；
（2）当t＝10时，求两人之间的距离；
（3）用含t的代数式表示两人之间的距离．
【思路点拔】（1）由题意可知，小红到起跑线的距离为6t m，小明到起跑线的距离为（30+4t）m；
（2）当t＝10时，6t＝60，30+4t＝70，而70﹣60＝10（m），所以两人之间的距离为10m；
（3）当小红与小明相遇时，则6t＝30+4t，求得t＝15，再分两种情况讨论，一是当0≤t≤15时，两人之间的距离是30+4t﹣6t＝（30﹣2t）m；二是当t＞15时，两人之间的距离是6t﹣（30+4t）＝（2t﹣30）m．
【解答】解：（1）根据题意得，小红到起跑线的距离为6t m，小明到起跑线的距离为（30+4t）m，
答：小红到起跑线的距离为6t m，小明到起跑线的距离为（30+4t）m．
（2）当t＝10时，6t＝6×10＝60，30+4t＝30+4×10＝70，
∴70﹣60＝10（m），
答：两人之间的距离为10m．
（3）当小红与小明相遇时，则6t＝30+4t，
解得t＝15，
当0≤t≤15时，30+4t﹣6t＝（30﹣2t）m；
当t＞15时，6t﹣（30+4t）＝（2t﹣30）m，
答：当0≤t≤15时，两人之间的距离是（30﹣2t）m；当t＞15时，两人之间的距离是（2t﹣30）m．
45．阅读教材，回答下列问题：
有理数的加法法则 问题小明在一条东西向的跑道上，先走了20m，又走了30m，能否确定他现在位于原来位置的哪个方向，与原来位置相距多少米？ 我们知道，求两次运动的总结果，可以用加法来解答，可是上述问题不能得到确定的答案，因为小明最后所在的位置与行走方向有关．
（1）根据教材内容，小明经过两次运动，最后所在的位置与原来位置的最远距离是 　50　m，最近距离是 　10　m；
（2）已知数轴上两点A、B对应的数分别为2、﹣1．若P、Q两点分别从A、B两点同时出发，其中点P的速度是每秒1个单位长度，点Q的速度是每秒3个单位长度，运动时间为t秒．
①当t＝3，若P、Q相距最远，则点P表示的数为 　5　，点Q表示的数为 　﹣10　；
②当t＝3，若P、Q相距最近，则点P表示的数为 　5　，点Q表示的数为 　8　；
③当点P向右运动，点Q向左运动时，点P表示的数为 　2+t　，点Q表示的数为 　﹣1﹣3t　；
④当P、Q运动到同一位置时，求出t的值．
【思路点拔】（1）由题意可知：当两次运动方向相同时距离最远，求出最远距离即可；当两次运动方向相反时距离最近，求出最近距离即可；
（2）①由题意可知：当点P向右运动，点Q向左运动时，P、Q相距最远，再求出此时点P，Q表示的数即可；
②由题意可知：当点P向右运动，点Q向右运动时，P、Q相距最近，再求出此时点P，Q表示的数即可；
③由点P，Q的出发点、运动速度、运动方向及运动速度，即可用含t的代数式表示出点P，Q表示的数；
④由两点速度间的关系，可得出共有两种情况，当点P，Q相向运动时，点P表示的数为2﹣t，点Q表示的数为﹣1+3t，根据P，Q运动到同一位置（即两点表示的数相同），可列出关于t的一元一次方程，解之可得出t的值；当点P，Q同时向右运动时，点P表示的数为2+t，点Q表示的数为﹣1+3t，根据P，Q运动到同一位置（即两点表示的数相同），可列出关于t的一元一次方程，解之可得出t的值．
【解答】解：（1）根据题意得：当两次运动方向相同时，最后所在的位置与原来位置的最远，最远的距离是20+30＝50（m）；
当两次运动方向相反时，最后所在的位置与原来位置的最近，最近的距离是|20﹣30|＝10（m）．
故答案为：50，10；
（2）①根据题意得：当点P向右运动，点Q向左运动时，P、Q相距最远，
∴点P表示的数为2+1×3＝5，点Q表示的数为﹣1﹣3×3＝﹣10．
故答案为：5，﹣10；
②根据题意得：当点P向右运动，点Q向右运动时，P、Q相距最近，
∴点P表示的数为2+1×3＝5，点Q表示的数为﹣1+3×3＝8．
故答案为：5，8；
③根据题意得：当点P向右运动，点Q向左运动时，点P表示的数为2+t，点Q表示的数为﹣1﹣3t．
故答案为：2+t，﹣1﹣3t；
④∵点Q的速度大于点P的速度，
∴共有两种情况．
当点P，Q相向运动时，点P表示的数为2﹣t，点Q表示的数为﹣1+3t，
根据题意得：2﹣t＝﹣1+3t，
解得：t；
当点P，Q同时向右运动时，点P表示的数为2+t，点Q表示的数为﹣1+3t，
根据题意得：2+t＝﹣1+3t，
解得：t．
答：当P，Q运动到同一位置时，t的值为或．
46．【阅读理解】整体思想是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，把某些式子或图形看成一个整体，进行整体处理．它作为一种思想方法在数学学习中有广泛的应用，因为一些问题按常规不容易求某一个（或多个）未知量时，根据题目的结构特征，把某一组数或某一个代数式看作一个整体，找出整体与局部的联系，从而找到解决问题的新途径．例如x2+x＝1，求x2+x+2024的值，我们将x2+x作为一个整体代入，则原式＝1+2024＝2025．
【教材原题】如图，若a﹣b＝4，求长方形A与B的面积差．
【尝试应用】当x＝2时，代数式ax5+bx3+cx﹣1的值为m，当x＝﹣2时，求代数式ax5+bx3+cx+4的值；（用含m的代数式表示）
【拓展应用】A，B两地相距60千米，某日，甲从A地出发前往B地，同时，乙从B地出发前往A地．已知甲每小时行a千米，乙每小时行b千米，经过2小时，甲、乙二人相遇．直接写出甲、乙两人相距20千米的时间．
【思路点拔】（1）先表示长方形A与B的面积差为：4（5a﹣2b）﹣3（6a﹣2b），再化简，再整体代入计算即可；
（2）由条件得到m+1＝32a+8b+2c，再把x＝﹣2代入可得ax5+bx3+cx+4＝﹣（32a+8b+2c）+4，再整体代入计算即可；
（3）由2小时相遇可得a+b＝30，再分两种情况：当两人相遇前，相距20千米，当两人相遇后，相距20千米，再列式计算即可．
【解答】解：（1）根据题意可知：
4（5a﹣2b）﹣3（6a﹣2b）
＝2a﹣2b，
∴原式＝2（a﹣b）＝8．
（2）当x＝2时，则m＝32a+8b+2c﹣1，
∴m+1＝32a+8b+2c，
当x＝﹣2时，
∴ax5+bx3+cx+4
＝﹣32a﹣8b﹣2c+4
＝﹣（32a+8b+2c）+4
＝﹣（m+1）+4
＝﹣m+3；
（3）由题意可得：a+b＝30，
当两人相遇前，相距20千米，
（小时），
当两人相遇后，相距20千米，
（小时），
综上：当行驶时间为小时或小时，两人相距20千米，
47．数轴上m，n，q所对应的点分别为点M，点N，点Q．若点Q到点M的距离表示为QM，点N到点Q的距离表示为NQ，我们有QM＝q﹣m，NQ＝n﹣q．
（1）点A、点B，点C在数轴上分别对应的数为﹣4，6，c．且BC＝CA，直接写出c的值 　1　．
（2）在（1）的条件下，两只电子蚂蚁甲乙分别从A，C两点出发向右运动，甲的速度为4个单位每秒，乙的速度为1个单位每秒，求经过几秒，两只电子蚂蚁到原点的距离相等．
（3）在（1）（2）的条件下，电子蚂蚁乙运动到点B后立即以原速返回，到达自己的出发点后停止运动，电子蚂蚁甲运动到点B后也以原速返回．到达自己的出发点后又折返向B点运动，当电子蚂蚁乙停止运动时，电子蚂蚁甲随之停止运动，求运动多长时间时，两只蚂蚁相遇．
【思路点拔】（1）根据BC＝CA建立方程求出其解；
（2）根据原点与两只蚂蚁的距离相等建立方程．分三种情况进行讨论：①两只电子蚂蚁甲，乙在点B的左侧；②甲，乙在点B的异侧；③甲，乙在点B的右侧；
（3）第一次相遇点是甲追上乙的地方，第二次相遇点是甲返回的过程中与乙相遇的地方，第三次相遇是乙在返回的过程中与甲第二次从A到B时相遇的地方，第四次相遇点是乙在返回的过程中与甲第二次返回相遇的地方．
【解答】解：（1）∵BC＝CA，
∴6﹣c＝c﹣（﹣4），
∴c＝1，
故答案为：1；
（2）由题意，经过t秒两只电子蚂蚁到原点的距离相等．
又∵经过t秒，A为﹣4+4t，C为1+t，
∴|﹣4+4t﹣0|＝|1+t﹣0|．
∴t或．
答：经过秒或秒，两只电子蚂蚁到原点的距离相等．（3）①根据题意知，当第一次相遇时，有
4t﹣t＝AC，即4t﹣t＝5，
解得，t；
②根据题意知，当第二次相遇，有
4t+t＝AB+BC，即4t+t＝10+5，
解得，t＝3；
③根据题意知，当第三次相遇时，有
4t+t＝3AB+BC，即4t+t＝30+5，
解得，t＝7；
④根据题意知，当第四次相遇时，有
4t﹣t＝3AB﹣BC，即4t﹣t＝30﹣5，
解得，t．
故当运动时间为秒或3秒或7秒或秒时，两只蚂蚁相遇．
48．用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身25个，或制盒底40个，一个盒身与两个盒底配成一套．现在有36张白铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底，可使盒身与盒底正好配套？
【思路点拔】可设用x张制盒身，则（36﹣x）张制盒底，可使盒身与盒底正好配套，根据等量关系：一个盒身与两个盒底配成一套．列出方程求解即可．
【解答】解：设用x张制盒身，则（36﹣x）张制盒底，
根据题意，得到方程：2×25x＝40（36﹣x），
解得：x＝16，
36﹣x＝36﹣16＝20．
答：用16张制盒身，20张制盒底，可使盒身与盒底正好配套．
49．从夏令营营地到学校，先下山再走平路，一少先队员骑自行车以每小时12千米的速度下山，以每小时9千米的速度通过平路，共用了55分钟；回来时，通过平路的速度不变，但以每小时6千米的速度上山，共花去了1小时10分钟，问营地到学校有多少千米．
【思路点拔】根据题意，设山路x千米，从营地回学校共用了55分钟，从学校回营地用了1小时10分钟，根据平路的速度不变，所以时间也不变，多用掉的时间是因为上山的速度降低了，可得出方程，解出即可得到山路的路程．由此求出上山的时间，再求出平路的时间，根据速度乘时间等于路程求出平路的路程，最后求和即可．
【解答】解：55分钟小时，1小时10分钟小时，
设山路x千米，
∵一少先队员骑自行车以每小时12千米的速度下山，以每小时9千米的速度通过平路，共用了55分钟；回来时，通过平路的速度不变，但以每小时6千米的速度上山，共花去了1小时10分钟，
∴，
解得：x＝3，
（小时），
（小时），
（千米），
3+6＝9 （千米），
答：营地到学校有9千米．
50．甲、乙两车分别从相距210千米的A，B两地相向而行．
（1）两车均保持匀速行驶且甲车的速度是乙车速度的2倍，若甲车比乙车提前2小时出发，则甲车出发后3小时两车相遇．求甲、乙两车的速度分别是多少（单位：千米/小时）？
（2）如果甲、乙两车保持（1）中的速度，两车同时出发相向而行，求经过多少小时两车相距30千米？
【思路点拔】（1）设乙车的速度是x千米/小时，则甲车的速度是2x千米/小时，利用路程＝速度×时间，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出乙车的速度，再将其代入2x中，即可求出甲车的速度；
（2）设经过y小时两车相距30千米，利用路程＝速度×时间，可列出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）设乙车的速度是x千米/小时，则甲车的速度是2x千米/小时，
根据题意得：3×2x+（3﹣2）x＝210，
解得：x＝30，
∴2x＝2×30＝60（千米/小时）．
答：甲车的速度是60千米/小时，乙车的速度是30千米/小时；
（2）设经过y小时两车相距30千米，
根据题意得：60y+30y＝210﹣30或60y+30y＝210+30，
解得：m＝2或m．
答：经过2小时或小时两车相距30千米．
51．体育器材室李老师用546元买足球和篮球，一共买了12个．他买的足球和篮球各多少个？
【思路点拔】设李老师买足球x个，则买篮球（12﹣x）个，根据用546元买了篮球和足球共12个，列出一元一次方程，解方程即可．
【解答】解：设李老师买足球x个，则买篮球（12﹣x）个，
由题意可得：48x+42（12﹣x）＝546，
解得x＝7，
∴12﹣x＝5，
答：李老师买足球7个，买篮球5个．
52．希玥服装店销售一批服装，按照标价进行销售，在销售时发现服装标签被污渍遮盖了，销售员发现打95折比打8折多盈利15元钱；
（1）每件服装标价多少元？
（2）该服装店打算在年前用30000购进同样服装进行售卖，服装厂原售价为80元一件，年前甲乙两服装厂同时搞促销活动，销售方案如表所示，请问该服装店在甲乙哪个服装厂购进服装利润最高？
甲服装厂 乙服装厂
订购超过100件，服装全部打95折，再赠一张50元的代金券，本次购物可抵现金使用．同时每100件，免费配赠35件同样价格的服装． 订购超过100件，服装全部打八折后再减4元，同时超过出300件服装，每件服装返款0.12元包装费．
（3）在（2）的条件下，该服装店购进服装后打算在进价的基础上每件服装加价50%进行销售，由于接近年底，销售可能滞销，因此预计全部进行销售的服装，会有20%需要降价以5折出售，该服装店要想获得利润14949元，需再次按活动价格购进该厂家服装，请计算出该服装店想获得预期利淘，需要准备再次购进服装多少件？
【思路点拔】（1）设每件服装标价x元，根据打95折比打8折多盈利15元钱，列出方程求解即可；
（2）根据题意先求出每个厂在优惠条件下30000元能购进的服装数量，再求出利润比较即可；
（3）设需在购进y件服装，根据利润为14949元列出方程求解即可．
【解答】解：（1）设每件服装标价x元，
则：0.95x﹣0.8x＝15
解得：x＝100，
答：每件服装标价为100元；
（2）30000÷80＝375＞100，
甲厂可以购进服装：（30000+50）÷（80×0.95）+3×35500（件），
∴在甲厂可购进500件服装的费用为：（500﹣3×35）×（80×0.95）﹣50＝29970（元），
服装店在甲服装厂购进服装利润为：80×500﹣29970＝10030（元），
乙厂：30000÷（80×0.8﹣4）＝500（件）
∴在乙厂可购进500件服装，
∴在甲厂可购进500件服装的费用为30000﹣500×0.12＝29940（元），
则服装店在乙服装厂购进服装利润为：500×80﹣29940＝10060（元）；
∵10060＞10030，
∴该服装店在乙服装厂购进服装利润最高；
（3）设需在购进y件服装，由（2）知，进价为：80×0.8﹣4＝60（元），
现标价为：60×（1+50%）＝90（元），
按进价的基础上每件服装加价50%销售的服装有：（500+y）（1﹣20%）＝400+0.8y（件），
按5折出售的服装有：（500+y）20%＝100+0.2y（件），
售价为：90×50%＝45（元），
则90（400+0.8y）+45（100+0.2y）﹣29940﹣60y＝14949，
36000+72y+4500+9y﹣29940﹣60y＝14949，即21y＝4389，
解得：y＝209，
答：需要在购进209件服装．
53．小明、小杰两人在400米的环形赛道上练习跑步，小明每分钟跑280米，小杰每分钟跑220米．若小明、小杰两人同时同地反向出发，那么出发几分钟后．小明，小杰第一次相遇？
【思路点拔】根据“俩人的路程和＝400米”列方程求解．
【解答】解：设a分钟以后俩人第一次相遇，
由题意得：220a＝400﹣280a，
解得：a＝0.8，
答：经过0.8分钟以后小明，小杰第一次相遇．
54．长春市居民生活用电阶梯收费标准如表：
档级 月用电量 电价
第1档 170度以下（含170度） 0.525元/度
第2档 170度～260度（含260度） 超过170度部分按0.575元/度
第3档 260度以上 超过260度部分按0.825元/度
根据收费标准，解答下列问题：
（1）小军家6月用电量为150度，求这个月应缴的电费；
（2）小军家7月用电量在第2档的范围内，若设用电量为x度，则这个月应缴电费 　（0.575x﹣8.5）　元（用含x的代数式表示）；
（3）8月出现了高温天气，小军家缴电费157.5元，求这个月的用电量．
【思路点拔】（1）根据第一档电费算法列式计算即可；
（2）据第二档电费算法列式，化简即可；
（3）根据题意先计算第二档电费，再根据第三档电费的价格求得用电量即可．
【解答】解：（1）∵150＜170，
∴150×0.525＝78.75 （元），
答：小军家这个月应缴纳电费 78.75元；
（2）依题意，设用电量为x度，则这个月应缴电费0.525×170+（x﹣170）×0.575＝89.25+0.575（x﹣170）＝0.575x﹣8.5，
故答案为：（0.575x﹣8.5）；
（3）当用电量为260度，即x＝260时，电费为：0.575x﹣8.5＝0.575×260﹣8.5＝141，
157.5＞141，即用电量超过260度，
所以用电量为：（度），
答：小军家这个月的用电量为280度．
55．嘉嘉早晨跑步，他从自己家出发，向东跑了2km到达超市，继续向东跑了1.5km到达广场，然后又向西跑了5.5km到达新华书店，最后又向东，跑回自己家．
（1）以嘉嘉家为原点，向东为正方向，用1个单位长度表示1km，画出数轴，在数轴上，分别用点O表示出嘉嘉家，用点A表示超市，用点B表示广场，用点C表示出新华书店的位置；
（2）求嘉嘉家与新华书店之间的距离；
（3）如果嘉嘉跑步的速度是200m/min，那么嘉嘉跑步一共用了多长时间？
【思路点拔】（1）根据题意画出数轴，即可；
（2）计算C，O的距离即可求出答案；
（3）求出每个数的绝对值，相加可求嘉嘉一共跑了的路程，再根据时间＝路程÷速度即可求出答案．
【解答】解：（1）在数轴上标注数据如图：
（2）0﹣（﹣2）＝2，
答：嘉距离为2km；
（3）2+1.5+|﹣5.5|+2＝11km＝11000m，
11000÷200＝55min，
答：一共用了55min．
56．公园门票价格规定如表：
购票张数 1～50张 51～100张 100张以上
每张票的价格 13元 11元 9元
某校七年级（1）、（2）两个班共104人游园，其中（1）班有40多人，但不足50人．经估算，如果两个班都以班为单位购票，则一共应付1240元．
（1）七年级（1）、（2）班各有学生多少人？
（2）如果两个班联合起来，作为一个团体购票，可省多少钱？
（3）如果七年级（1）班单独组织去游园，作为组织者的你如何购票才最省钱？请说明理由．
【思路点拔】（1）设（1）班有x个学生，则（2）班有（104﹣x）个学生，根据购票总费用＝（1）班购票费用+（2）班购票费用即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）求出购买104张票的总钱数，将其与1240做差即可得出结论；
（3）分别求出购买48张门票以及购买51张门票的总钱数，比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）设（1）班有x个学生，则（2）班有（104﹣x）个学生，
∵（1）班有40多人，但不足50人，
∴（2）班学生超过50人，不足100人，
∴（1）班按照每张票的价格为13元购票，（2）班按照每张票的价格为11元购票，
由题意得：13x+11（104﹣x）＝1240，
解得：x＝48，
∴104﹣x＝56．
故七年级（1）班有48个学生，七年级（2）班有56个学生；
（2）1240﹣9×104＝304（元）；
故如果两班联合起来，作为一个团体购票，可省304元钱．
（3）51×11＝561（元），48×13＝624（元），
∴561＜624，
∴如果七年级（1）班单独组织去游园，购买51张门票最省钱．
57．某车间为提高生产总量，在原有16名工人的基础上，新调入若干名工人，使得调整后车间的总人数是调入工人人数的3倍多4人．
（1）求调入多少名工人；
（2）在（1）的条件下，每名工人每天可以生产240个螺栓或400个螺母，1个螺栓需要2个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，应该安排生产螺栓和螺母的工人各多少名？
【思路点拔】（1）设调入x名工人，根据“调整后车间的总人数是调入工人人数的3倍多4人“得：16+x＝3x+4，可解得答案；
（2）设y名工人生产螺栓，由“1个螺栓需要2个螺母”，可得240y×2＝400（22﹣y），即可解得答案．
【解答】解：（1）设调入x名工人，
根据题意得：16+x＝3x+4，
解得x＝6，
∴调入6名工人；
（2）由（1）知，调入6名工人后，车间有工人16+6＝22（名），
设y名工人生产螺栓，则（22﹣y）名工人生产螺母，
∵每天生产的螺栓和螺母刚好配套，
∴240y×2＝400（22﹣y），
解得y＝10，
∴22﹣y＝22﹣10＝12，
答：10名工人生产螺栓，12名工人生产螺母，可使每天生产的螺栓和螺母刚好配套．
58．2023年11月12日，新蒲新区举办了以“魅力新蒲，无限可能”为主题的半程马拉松比赛．A，B两个团队共92人（其中A队人数多于B队人数且A队人数不够90人）准备统一服装参加比赛，某服装厂给出了以下三种购买方式：
方式一：购买服装不超过45套时，每套60元；
方式二：购买服装超过45套且不超过90套时，每套50元；
方式三：购买服装超过90套时，每套40元．
若A，B两个团队分别单独购买服装，一共付了5000元．
（1）A，B两团队各有多少人准备参加比赛？
（2）若A团队有10人由于身体原因，不能参加比赛，请为A，B两个团队设计一种较省钱的购买服装方案．
【思路点拔】（1）设A团队由x人参加比赛，则B团队由（92﹣x）人参加比赛，先计算出46＜x＜90，2＜92﹣x＜46，据此可得方程50x+60（92﹣x）＝5000，解方程即可得到答案；
（2）分别计算：①两个团队单独买、②两个团队一起买82套、③两个团体一起买91套的总花费，即可得到答案．
【解答】解：（1）设A团队由x人参加比赛，则B团队由（92﹣x）人参加比赛，
∵A队人数多于B队人数且A队人数不够90人，
∴92﹣x＜x＜90，
解得，46＜x＜90，即甲队的人数范围是46＜x＜90，
∴乙队人数范围是：2＜92﹣x＜46，
由题意得，50x+60（92﹣x）＝5000，
解得x＝52，
∴92﹣x＝40，
答：A团队由52人参加比赛，则B团队由40人参加比赛；
（2）由题意得，A团队参加比赛的人数为52﹣10＝42（人），
当两个团队单独买时的费用为（42+40）×60＝4920（元），
当两个团队一起买82套时的费用为82×50＝4100（元），
当两个团队一起买91套时的费用为91×40＝3640（元），
∵3640＜4100＜4920，
∴两个团队一起买91套时最省钱．
59．有一群鸽子和一些鸽笼，如果每个鸽笼住6只鸽子，则剩余3只鸽子无鸽笼可住，如果再飞来5只鸽子，连同原来的鸽子，每个鸽笼刚好住8只鸽子．求原有多少个鸽笼？
【思路点拔】设原有x个鸽笼，则原有鸽子（6x+3）只，根据“如果再飞来5只鸽子，连同原来的鸽子，每个鸽笼刚好住8只鸽子”，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设原有x个鸽笼，则原有鸽子（6x+3）只，
根据题意得：8x＝6x+3+5，
解得：x＝4．
答：原有4个鸽笼．
60．一家商店因换季将某种服装打折销售，如果每件服装按标价的5折出售，将亏本20元，如果按标价的8折出售，将盈利40元．
（1）每件服装的标价是多少元？
（2）打几折销售能恰好保证利润率为50%？
【思路点拔】（1）设每件服装的标价是x元，根据每件服装按标价的5折出售，将亏本20元，如果按标价的8折出售，将盈利40元得：0.5x+20＝0.8x﹣40，即可解得答案；
（2）设打m折销售能恰好保证利润率为50%，根据售价＝进价×（1+利润率）得：200（0.5×200+20）×（1+50%），可解得答案．
【解答】解：（1）设每件服装的标价是x元，
根据题意得：0.5x+20＝0.8x﹣40，
解得x＝200，
∴每件服装的标价是200元；
（2）设打m折销售能恰好保证利润率为50%，
根据题意得：200（0.5×200+20）×（1+50%），
解得m＝9，
答：打9折销售能恰好保证利润率为50%．

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