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2024~2025 学年第一学期阶段性学业水平阳光测评
初二数学 2024.11
(满分 130 分，时长 120 分钟)
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案用 2B 铅笔涂在答．题．卷．相．应．的．位．置．上．。
下列实数中是无理数的是
若点 P(m 1, m 1) 在第三象限，则m 的值可以是
A.－2 B.－1 C. 0 D. 1
如图，己知 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，以 A 为圆心，AC 长为半径作弧，交 AB 于点 D。若∠A=40°，则∠DCB 的度数为
A.15° B.20° C.40° D.50°
下列各式计算正确的是
(
36
) 6
B. 6
C. 6
D. 6
(
36
) (
36
) (
36
)以下列各选项中的三个数为三角形的三边长，其中能构成直角三角形的是
1 1 1
A.2、3、4 B.9、12、15 C.32、42、52 D. 、 、
3 4 5
我国的桥梁建设在世界上处于领先地位，无论是桥梁数量、跨度还是技术创新，都取得了显著成就。图 1 为某斜拉索桥，该斜拉索桥的拉索和桥面构成等腰三角形。图 2 为其示意图。在△ABC 中，AB=AC，若 D 是 BC 边上的一点，则下列条件不能说明 AD⊥BC 的是A.BD=CD B.∠ADB=∠ADC C.∠BAD=∠CAD D.BC=2AD
小颖和她爸爸利用国庆长假到某一景区游玩，小颖的汽车先在市区道路上匀速行驶了 15 千
米后进入高速公路，在高速公路上匀速行驶一段时间后，再在乡村道路上匀速行驶 0.5 小时
到达景区。已知汽车在市区道路的行驶速度是乡村道路行驶速度的 2 倍，在平面直角坐标系中，汽车行驶的路程 y(单位：千米)与行驶的时间 x(单位：小时)之间的关系如图所示，以下说法正确的是
①汽车在乡村道路上行驶速度为 30 千米/小时
②汽车在高速公路上行驶速度为 120 千米/小时
③汽车在高速公路上行驶的时间 2 小时
④汽车行驶的总路程为 255 千米
A.①② B.③④ C.①④ D.②③
如图，在△ABC 中，∠B=105°，∠C=35°，M 是 AB 边中点，N 是 AC 边上任意一点，将
△AMN 沿直线 MN 翻折，使点 A 关于直线 MN 的对称点 D 落在直线 BC 上。则∠DNC 的度数为
A.70° B.80° C.70°或 110° D.80°或 110°
(
(
5)
2
)二、填空题：本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分。请将答案填在答．题．卷．相．应．的．位．置．上．。
计算：
.
在平面直角坐标系中，若点 P(a, a 3) 在 x 轴上，则 a 的值为 .
(
2
)11，写出一个比
大且比
小的整数 .
(
17
)12.如图，在△ABC 中，AB=AC，∠A=3∠B、则∠B 的度数为 .
13.若2( x2 1) 18 ，则 x .
如图，在△ABC 中，AB 的垂直平分线交 BC 于点 D、交 AB 于点 E，AC 的垂直平分线交BC 于点 F，交 AC 于点 G，连接 AD，AF。若 BC=6，BD=2，∠DAF=90°，则 DF 的长为 .
如图。在钝角三角形 ABC 中，∠CAB=15°，AB=2，点 D 是 AB 边上任意一点，点 E 是 AC
边上一动点，当 DE+BE 取得最小值时，AD 的长为 .
如图，在平面直角坐标系中，已知点 A、B 的坐标分别为(0，3)，(6，3)，点 C 从点 A 出发沿 AB 以 1 个单位每秒的速度向终点 B 匀速运动(不与点 B 重合)，同时，点 D 从点 A 出发以相同的速度沿 y 轴正半轴匀速运动，两个点的运动时间为t 秒( t 0 )。过点 C 作 CE⊥x 轴， 垂足为 E，连接 BE，在 x 轴上找一点 F(点 F 在点 E 右侧)使 BF=BE。连接 DC 并延长交 x 轴于点 H，若点 H 始终在点 F 的左侧，则t 的取值范围是 .
三、解答题：本大题共 11 小题，共 82 分。把解答过程写在答．题．卡．相．应．的．位．置．上．，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明。
(
16
) (
3
8
)17.(本题满分 5 分)
计算： (2
18.(本题满分 5 分)
2 )0 .
如图，在平而直角坐标系中，点 A 坐标为(3，0)，点 B 坐标为(0，2)，点 C 坐标为(2，4)。求四边形 OACB 的面积.
19.(本题满分 6 分)
已知 5x－1 的算术平方根为 2，x+3y+4 的立方根是－1。求 x－4y 的平方根.
20.(本题满分 6 分)
如图，在△ABC 中，AB=AC，点 D 是 BC 边上中点，AC 的垂直平分线交 AD 于点 E，交AC 于点 F，连接 BE。求证：AE=BE.
21.(本题满分 6 分)
弦图(图 1)，在三国时期被赵爽发明，是证明勾股定理几何方法中最为重要的一种图形， 2002 年国际数学家大会在北京召开，大会的会标是我国古代数学家赵爽画的“弦图”，体现了
数学研究中的继承和发展。在学习了勾股定理后，小亮同学受此启发，探究后发现，若将 4 个直角边长为 a、b，斜边长为 c 的直角三角形(图 2 中涂色部分)拼成如图所示的五边形。通过两种方法计算它的面积可以验证勾股定理，请利用图 2 完成勾股定理的验证。
22(本题满分 8 分)
已知，在平面直角坐标系中，点 A 在第二象限，且到 x 轴的距离为 2。到 y 轴的距离为 3。(1)点 A 坐标为 ；
(2)点 B 与点 A 关于 y 轴对称，连接 AB，点 C 在直线 AB 上方且点 C 坐标为(2，m)， 若△ABC 的面积为 12，求 m 的值。
23.(本题满分 8 分)
如图，在△ABC 中，∠ACB=90°。
尺规作图：在△ABC 的 BC 边上找到点 D，使得点 D 到 AB 的距离等于 CD；
(请用圆规和无刻度直尺作图，不写作法，保留作图痕迹)； (2)若 AC=3，BC=4，求 CD 的长。
24.(本题满分 8 分)
如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，BC=6，AC=8，连接 DC。
(1)AB= ；
已知，直线 MN 垂直平分 AC 分别交 AB、AC 于点 D、点 E，若点 F 从点 C 出发沿 CB 以每秒 2 个单位长度的速度向终点 B 匀速运动，设运动时间为t 秒，连接 DC、DF，在点 F 运动过程中，△DCF 能否为以 CF 为腰的等腰三角形 若能，求出t 的值；若不能， 请说明理由。
25.(本题满分 10 分)
若直角三角形的三边的长都是正整数，则三边的长为“勾股数”，构造勾股数，就是要寻找 3 个正整数，使它们满足“其中两个数的平方和(或平方差)等于第三个数的平方”，即满足以下关系：
( )2+( )2=( )2；①
或( )2－( )2=( )2；②
要满足以上①、②的关系，可以从乘法公式入手，我们知道：
(x+y)2+( x－y)2=4xy；③
如果等式③的右边也能写成“( )2”的形式，那么它就符合②的关系。
因此。只要设 x=m2，y=l，③式就可化成：( m2+l)2－(m2－l)2=(2m)2，于是，当 m 为大于 1 的正整数时，“m2+l，m2－l 和 2m”就是勾股数，根据勾股数的这种关系式，就可以找出勾股数.
当 m= 4 时，该组勾股数是 ；
若一组勾股数中最大的数与最小的数的和为 16，求 m 的值；
若一组勾股数中最大数是 a +6a+0(a 是任意正整数)，则另外两个数分别为 ，
。(分别用含 a 的代数式表示)。
26.(本题满分 10 分)
【问题回顾】我们知道。有两个角相等的三角形是等腰三角形(简称“等角对等边”)。其证明方法：如图 1，在△ABC 中，∠B=∠C，作顶角∠BAC 的平分线 AD，交 BC 边于点 D。利用“AAS”可以证明△ABD≌△ACD，可得 AB=AC。其本质是利用了图形的轴对称性
【类比探究】某数学兴趣小组在三角形“等角对等边”定理的基础上，提出猜想：在三角形中，大的内角所对的边也大，即“大角对大边”转化成数学符号语言为：
已知：在△ABC 中，∠ACB>∠B。求证：AB>AC。
数学兴趣小组学生发现，该命题也可利用轴对称证明。作 BC 的垂直平分线，交 AB 于点
D，交 BC 于点 E，连接 DC(如图 2)。请你帮助数学兴趣小组完成证明。
【知识应用】
请利用在三角形中，大的内角所对的边也大，即“大角对大边”这一结论完成下列问题：
已知，△ABC 中，AC=3，BC=5，且∠C>∠A>∠B，则 AB 边的取值范围为 ；
已知，如图 3，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，点 E 为 AC 边上任意一点(不与点 A，点C 重合)，连接 BE 交 AD 于点 F。
求证：BF>FE。
27.(本题满分 10 分)
如图，在平面直角坐标系中，点 A，点 B 分别为 x 轴正半轴和 y 轴正半轴上两点。以 AB
为斜边作等腰直角三角形 ABC，使点 C 在直线 AB 下方。
若点 A 坐标为(6，0)，点 B 坐标为(0，2)，则点 C 的坐标为 ；
若 OA－OB=8，求出点 C 的坐标；
若 AB=4，△AOB 面积为 3，求出点 C 的坐标。初二数学参考答案及评分标准
一、选择题（每小题3分，共24分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
A
B
A
B
D
D
二、填空题（每小题3分，共24分）
9.5
10.3
11.2(3或4)
12.36
13.而
15.5
92
16.0三、解答题（本大题共11小题，共82分）
17.解：原式=1+4-2…3分
=3
…5分
18.解：连接0C
,点A坐标为(3,0)，
∴.0A=3.
1”1”1卡””*”””””””79”】分分
,点B坐标为(0,2)，
∴OB=2.
…2分
,点C坐标为(2,4)，
1
50c=2x3x4=6,
…3分
S.ow-x2x22.
2
4分
∴.四边形OACB的面积=2+6=8.
…5分
19.解：5x-1的算术平方根为2，
5-1=4,解方程，得X1.…2分
,x+3y+4的立方根是-1，
x叶3y叶4仁-1，解方程，得=-2.…4分
.t√父-4y=tW+8=t3.…6分
20.证明：连接EC
,AB=AC,点D是BC边上中点，
ADLBC.…2分
∴，AD垂直平分BC.
∴EC=EB.
3分
,EF垂直平分AC,
..EC=EA.
5分
:.AE=BE.
6分
21.证明：
五边形面积可表示为c2+abx2三C2+ab.“…2分
五边形面积也可表示为5a(2a+b)+b(2b+)=ad2+b2+ab.
…4分
2
∴.c2+ab=a2+b2+ab.
5分
a2+b2=c2.
6分
22.解：(1)A(-3,2)行
2分
(2),点B与点A关于y轴对称，
.点B坐标为(3,2).
3分
AB=6.
4分
,点C坐标为(2，m)且点C在AB上方，
点C到B距离为m一2，…5分
,△ABC的面积为12，
20m-2)x6=12
7分
解方程，得m=6.
8分
23.解：(1)尺规作图正确，
2分
点D字母标正确：
…3分
(2)在Rt△ABC中，∠ACB=90°.
,AC=3,BC-4,
h8-5,5ac-2x3x4=6
5分
,点D到AB的距离等于CD,
S.uc-AC-CD+AB-CD
1
2
-3CD+5 CD=4CD.
2
4CD=6.…7分
解方程，得cD=
…8分
24.解：(1)AB=10:
2分
(2),MN垂直平分AC,
∴DA=DC
.∠A=∠DCA.
,∠ACB=90°，
∴.∠A+∠B=90°，
∠DCA+∠DCB=90°.
∴∠B=∠DCB
∴.DC=DB.
AB=10,
∴.DC-5.
…3分
①当CD=CF时，CF=CD=5,
……5分
②当FC-FD时，过点D作DH⊥CF,垂足为H
DB=DC,DH⊥CF,
:.CH-18C=3.
2
在Rt△DCH中，∠DHC-90°.
,'DC=5,CH=3,
M
D

N
∴.DH=4.
…6分
设FC=FD=x,则FHx3.
在Rt△DFH中，∠DHF-90°.
B
42+c-3)2=x2.
解方程，得x=25
…7分
6
2÷2=
25
8分
2
综上所述：1的值为1=或！=
2
12
25.解：(1)8,15,17：
…2分
(2)由题意可得，该组勾股数中最大的数为m2+1.
①若最小的数为m2-1.
由题意，得m2+1+m2-1=16.…3分
解方程，得m=±√.
:勾股数为正整数，∴m=士尽不符题意，舍去.…5分
②若最小边为2m.
由题意，得m2+1+2m=16.
6分
解方程，得m=3或m=-5(不符合题意，舍去)
综上所述：m的值为3.
…8分
(3)2a+6,a2+6a+8.
10分

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