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湖南师大附中2024-2025学年度高二第一学期期中考试
数学
时量：120分钟 满分：150分
得分：__________
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知双曲线的一条渐近线方程为，则（ ）
A.1 B.2 C.8 D.16
2.已知直线，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.记等差数列的前项和为，则（ ）
A.120 B.140 C.160 D.180
4.已知数列的通项若是递增数列，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
5.已知直线，从点射出的光线经直线反射后经过点，则光线从到的路程为（ ）
A.2 B.3 C.5 D.6
6.已知两圆，动圆在圆内部且和圆内切，和圆外切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ）
A. B.
C. D.
7.设直线与圆相交于两点，且的面积为8，则（ ）
A. B. C.1 D.
8.设是双曲线的左 右焦点，是坐标原点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为.若，则的离心率为（ ）
A. B.2 C. D.3
二 多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.数列的一个通项公式是（ ）
A. B.
C. D.
10.（作业43T12）已知抛物线上三点为抛物线的焦点，则下列说法正确的是（ ）
A.抛物线的准线方程为
B.若，则
C.若三点共线，则
D.若，则的中点到轴距离的最小值为2
11.曲线，下列结论正确的是（ ）
A.曲线关于原点对称
B.曲线关于直线对称
C.当时，曲线上点的横坐标的取值范围为
D.若曲线在第一象限内存在位于直线左侧的点，则
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知椭圆的左 右焦点分别为，上顶点为，若，则的短轴长为__________.
13.已知各项均为正数的数列的前项和为，且满足，则__________.
14.已知双曲线，其左，右焦点分别为，点是双曲线右支上的一点，点为的内心（内切圆的圆心），，若，则的内切圆的半径为__________.
四 解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）
已知圆过点和，且圆心在直线0上.
（1）求圆的标准方程；
（2）经过点的直线与圆相切，求的方程.
16.（本小题满分15分）
已知等比数列的各项均为正数，且.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
17.（本小题满分15分）
如图，已知四棱锥中，平面是边长为2的正三角形，点在平面内的投影恰好是的中心.
（1）求证：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
18.（本小题满分17分）
已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，分别为的左，右焦点，抛物线的顶点在原点，焦点与的右焦点重合.
（1）求椭圆与抛物线的标准方程；
（2）过焦点的直线交椭圆于点，交抛物线于点，为过点且垂直于轴的直线上异于的一点.
（i）若，求直线的方程；
（ii）设的斜率分别为，求的值.
19.（本小题满分17分）
已知集合，若对于任意与至少有一个属于，则称为开心集.
（1）分别判断集合与集合是否为开心集，并说明理由；
（2）当时，若，求开心集；
（3）若集合为开心集，且中存在元素，使得中所有元素均为的整数倍，求的最小值.
湖南师大附中2024-2025学年度高二第一学期期中考试
数学参考答案
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A C C B C D C A
1.A 【解析】依题意，得，令，即的渐近线方程为，所以.故选A.
2.C 【解析】由直线与直线平行得，得或，
经验证，当时，直线与重合，舍去，所以“”是“”的充要条件.故选C.
3.C 【解析】因为，所以，所以，所以，故选C.
4.B 【解析】由已知得解得.
5.C 【解析】设点关于直线的对称点为，则有解得，因为光线从到的路程即的长，而.所以光线从到的路程为5.
6.D 【解析】设圆的半径为，则，所以的轨迹是以为焦点的椭圆，且，所以，故所求动圆圆心的轨迹方程为.
7.C 【解析】由三角形的面积公式可得，
得，由，得，
所以为等腰直角三角形，
所以圆心到直线的距离为，
由点到直线的距离公式得，解得.故选C.
8.A 【解析】法1：如图，过点作的反向延长线的垂线，垂足为，连接，由题意可知，四边形为平行四边形，且是直角三角形.
由渐近线的性质知，所以，
又，所以，
所以，所以.故选A.
法2：易知在中，，所以，又因为，所以.在中，由余弦定理得，
即，因为，所以，即，所以，因此的离心率为.故选A.
二 多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
题号 9 10 11
答案 AD ABD BCD
9.AD 【解析】根据正弦函数，余弦函数的性质可知A，D可以作为数列的一个通项公式，不符合，表示表示，故选AD.
10.ABD 【解析】把点代入抛物线，得，所以抛物线的准线方程为，故A正确；因为，所以，又由，得，所以，故B正确；因为三点共线，所以线段是焦点弦，所以，故C不正确；设的中点为，因为，所以，得，即的中点到轴距离的最小值为2，故D正确.
11.BCD 【解析】对选项A：设曲线上有一点，则①，而点关于原点对称的点为，若曲线关于原点对称，则也应在曲线上，则有②；联立①②，得，此时无解，故A错误；
对选项B：设曲线上有一点，则③，而点关于对称的点为，若曲线关于对称，则也应在曲线上，则有④；联立③④，得，即，该式恒成立，则和是在曲线上且关于对称的点，即是该曲线的对称轴，故B正确；
对选项C：由原方程得，解得，所以C正确；
对选项D：由原方程得，由题意知，当时有点在曲线上，因为，所以在上有解，即在上有解，又因为函数在上单调递减，所以，所以D正确.故选BCD.
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 【解析】设，易知，
结合，可知为等腰直角三角形，
所以，故，
所以，
所以的短轴长为.故答案为.
13.2024 【解析】由于数列的各项均为正数，即，当时，，即，当时，由，可得，两式相减得，又为一个以2为首项，2为公差的等差数列，.
14. 【解析】由，结合点是的内切圆的圆心可知，又有，所以，再结合双曲线的定义可得，
再根据，由余弦定理可得，
即，解得，则，
可得内切圆的半径.故答案为.
四 解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15.【解析】（1）设圆的方程为，
根据题意，可得
解得，
所以圆的方程为.
（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，易知直线与圆相切；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
由圆心到直线的距离等于圆的半径，可得，解得，
则直线的方程为，即.
故直线的方程为或.
16.【解析】（1）设等比数列的公比为，由题意得
因为，所以所以.
（2）因为，
所以，
，
所以，
，两式相减得，
，
故.
17.【解析】（1）平面平面，
平面平面平面，
又平面平面平面.
（2）如图，连接点在平面内的投影恰好是的中心，
又是边长为2的正三角形，三棱锥为正三棱锥，
为等腰直角三角形，，
取的中点，连接，则，
，
四边形是矩形，，
又，
平面，
两两互相垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
，
设平面的法向量为，
平面的法向量为.
又，设直线与平面所成角为，
则.
故直线与平面所成角的正弦值为.
18.【解析】（1）根据题意可知，
解得
概圆的方程为.
抛物线的方程为.
（2）（i）设的方程为，
联立化简得，显然，
设，则，
所以，
联立化简得，显然，
设，则，
所以
因为，所以，即，即，
所以直线的方程为或.
（ii）设，则，
，
.
19.【解析】（1）对于集合，因为，故不是开心集.
对于集合，因为，
故集合是开心集.
（2）当时，，
因为，由题意得，故，
①若，由于，故，故，即，此时符合题意.
②若，由于，故，故，即，此时符合题意.
综上，或.
（3）由题意，，若中存在元素，使得中所有元素均为的整数倍，
则必有，故，
分别考虑和其他任意元素，由题意可得也在中，而，
故，特别地，，
下考虑对于，
因为，所以，
故，
特别地，，故，即，
由，且，故，即，
以此类推，.
又因为，
所以，
又因为，即，所以，
即，故.
当时，满足条件.
综上，的最小值为2023.

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