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分课时教学设计
第十一课时《5.3 实际问题与一元一次方程（第四课时）》教学设计
课型 新授课 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 在实际生活中，存在着大量问题可以供助数学知识来解决，可见数学可以回归生活、服务于生活。比较不同能效空调的综合费用进而合理选择购买方案就是一个常见的生活问题，是学生在利用一元一次方程解决实际问题的实践基础上，面对的更加综合性的问题。通过对这种问题的解决，学生会再次体验数学建模的全过程，提升模型观念。
学习者分析 学生通过前面的学习，对于一些相对简单的实际问题，能够找出其中的已知量和未知量、分析它们之间的关系，引入未知数列出方程表示问题中的相等关系，利用一元一次方程解决实际问题，已具有一定的分析问题、解决问题的能力。由于比较不同能效空调的综合费用进而合理选择购买方案的问题综合性较强，学生缺乏解决综合问题的经验、所以提取信息、分析问题能力还有待提高。
教学目标 通过建立方程模型解决不同能效空调综合费用的比较问题，初步掌握解决方案选择问题的一般方法，提升模型观念，增强应用意识。
教学重点 建立不同能效空调综合费用比较问题的一元一次方程模型。
教学难点 找到不同能效空调综合费用比较问题的相等关系并列出方程。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：学习目标教师活动1： 师出示学习目标： 通过建立方程模型解决不同能效空调综合费用的比较问题，初步掌握解决方案选择问题的一般方法，提升模型观念，增强应用意识。学生活动1： 学生齐声读本课的学习目标活动意图说明： 明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性。环节二：新知导入教师活动2： 导语：上节课，我们一起探究了用一元一次方程解决与实际生活联系更为紧密的问题——销售中的盈亏问题，今天，我们通过对“不同能效空调的综合费用比较”来探究——方案选择问题。学生活动2： 学生认真听老师的讲解活动意图说明： 指出本课探究的主要内容——不同能效空调的综合费用比较环节三：新知讲解教师活动3： 探究：不同能效空调的综合费用比较 购买空调时，需要综合考虑空调的价格和耗电情况．某人打算从当年生产的两款空调中选购一台，下表是这两 款空调的部分基本信息．如果电价是0.5元／(kw·h)，请你分析他购买、使用哪款空调综合费用较低. 两款空调的部分基本信息表 （1）你能从表格中得到哪些信息？对空调的选择要综合考虑哪些因素？ 预设：空调匹数、能效等级、售价和平均每年的耗电量 空调的售价与电费 （2）空调的电费与什么因素有关？如果把空调的售价与电费的和叫作空调的综合费用，如何根据综合费用来选择空调？你觉得选哪款空调更划算？ 预设：使用时间 综合费用＝空调的售价＋电费 （3）设空调的使用时间为t年，你能把两款空调的综合费用分别用t表示出来吗？观察列出的两个代数式，可以得出哪款空调的综合费用更低吗？ 预设：1级能效空调的综合费用（单位：元）是 3000＋0.5×640t， 即 3000＋320t. 3级能效空调的综合费用（单位：元）是 2600＋0.5×800t， 即 2600＋400t. （4）使用时间是多少年时，两款空调的综合费用相等？ 预设：3000＋320t＝2600＋400t， 解得 t＝5. （5）使用时间在什么范围内，1级能效空调的综合费用更低？使用时间在什么范围内时，3级能效空调的综合费用更低？请说明理由。 预设：为了比较两款空调的综合费用，我们把表示3级能效空调的综合费用的式子2600＋400t变形为1级能效空调的综合费用与另外一个式子的和，即 （3000＋320t）＋（80t－400）， 也就是3000＋320t＋80（t－5）. 这样，当t＜5时，80(t－5)是负数，这表明3级能效空调的综合费用较低；当t＞5时，80(t－5)是正数，这表明1级能效空调的综合费用较低. 指出：由此可见，同样是1.5匹的空调，1级能效空调虽然售价高，但由于比较省电，使用年份长（超过5年）时综合费用反而低。根据相关行业标准，空调的安全使用年限是10年（从生产日期计起），因此购买、使用1级能效空调更划算。 结论：通常，1级能效电器既节能又省钱！ 归纳：解答这类问题的一般步骤 1．运用一元一次方程解应用题的方法，求解使方案值相等的情况； 2．用特殊值试探去选择方案，取小于(或大于)一元一次方程解的值，比较两种方案的优劣后下结论．学生活动3： 学生认真审题，仔细思考老师提出的问题，小组讨论交流，班级内汇报，然后听老师的点评和讲解活动意图说明： 通过探究，让学生建立方程模型解决“不同能效空调的综合费用比较”的问题，掌握解决方案类问题的方法，体分分类思想，增强应用意识和应用能力．环节四：课堂小结教师活动4： 问题：本节课你都学习到了哪些知识？ 教师通过学生的回答，进行归纳 学生活动4： 学生积极回顾本节课学习到的知识活动意图说明： 通过学生自己回顾、总结、梳理所学的知识，将所学的知识与以前学过的知识进行紧密联系，完善认知结构和知识体系。
板书设计 课题：5.3 实际问题与一元一次方程（第四课时） 一、不同能效空调的综合费用比较 二、方案选择问题的一般步骤教师板演区学生展示区
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1．某校七年级三个班级联合开展户外研学活动，此次活动由一班班长负责购买车票，票价每张20元．有如图两种优惠方案：班长思考一会儿说，无论选择哪种方案所要付的车费是一样的，则七年级三个班级共有（ ） A．60人 B．61人 C．62人 D．63人 答案：D 2．今年五一长假期间，某博物馆门票的收费标准如下： 门票类别成人票儿童票团体票（限5张及以上）价格（元/人）1004060
小明和小鹏两个家庭分别去该博物馆参观，每个家庭都有5名成员，且他们都选择了最省钱的方案购买门票，结果小明家比小鹏家少花40元．则小明家购门票共花了（　　） A．200元 B．240元 C．260元 D．300元 答案：C 3．周末，乐乐一家和姑姑一家（共6人）相约一起去观看电影《长津湖》．乐乐用手机查到他家附近两家影城的票价和优惠活动如下： 影城票价（元）优惠活动时光影城48学生票半价遇见影城50网络购票，总价打八折
乐乐打算用网络给所有人购票，发现两家影城购票的总费用相同，则两家共有学生 人． 答案：2 选做题： 4．某学校在一次环保知识宣传活动中，需印刷若干份调查问卷．印刷厂有甲、乙两种收费方式，甲种方式：收制版费6元，每印一份收印刷费0.1元；乙种方式：不收制版费，每印一份收印刷费0.12元：设共印刷调查问卷x份． (1)按甲种方式应收费 元，按乙种方式应收费 元；（用含x的代数式表示） (2)试问学校选用哪种印刷方式所需费用较少？ 解：（1）由题意可知：甲种收费方式应收费元； 乙种收费方式应收费元 故答案为：；． （2）根据题意可得：， 解得：． 故印刷少于300份时，乙种收费方式较少；印刷300份时，两种收费方式一样多；印刷多于300份时，甲种收费方式较少． 【综合拓展类作业】 5．当今社会，随着生活水平的提高，人们越来越重视自己的身心健康，开始注重锻炼身体．某公司计划购买50个羽毛球拍和个羽毛球，某体育用品商店每个羽毛球拍定价80元，每个羽毛球定价5元，经协商拟定了如下两种优惠方案（两种优惠方案不可混用）： 方案一：每买一个羽毛球拍就赠送2个羽毛球； 方案二：羽毛球拍和羽毛球都按定价的付款． (1)若，请计算哪种方案划算； (2)若，请用含的代数式分别把两种方案的费用表示出来； (3)请你帮助公司写出取值不同时的所有划算的购买方案． 解：（1）当时， 方案一：（元）． 方案二：（元）． 因为， 所以当时，方案一划算． 答：若，方案一划算． （2）当时， 方案一：元． 方案二：元． 答：方案一、方案二的费用用代数式分别表示为元，元． （3）若方案一和方案二的费用相等， 当时，方案一不需要单独再购买羽毛球，可得， 解得． 因为， 所以，当时，方案二划算；当时，方案一划算； 当时，方案一和方案二都需要单独购买羽毛球，可得， 解得． 所以，当时，方案一划算；当时，方案一和方案二一样划算；当时，方案二划算． 综上可知，当时，方案二划算；当时，方案一划算；当时，方案一和方案二一样划算；当时，方案二划算．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．大丰新华书店推出售书优惠方案，如果李明同学一次性购书付款162元，那么李明同学所购书的原价可能是（　　） ①一次性购书不超过100元，不享受优惠 ②一次性购书超过100元但不超过200元，一律打九折 ③一次性购书超过200元，一律打八折 A．180元 B．202.5元 C．180元或202.5元 D．180元或200元 答案：C 2．某超市在“双十一”活动期间，推出如下购物优惠方案： ①一次性购物在100元（不含100元）以内，不享受优惠； ②一次性购物在100元（含100元）以上，350元（不含350元）以内，一律享受九折优惠； ③一次性购物在350元（含350元）以上，一律享受八折优惠． 小敏在该超市两次购物分别付了85元和288元，若小敏把这两次购物改为一次性购物，则小敏至少需付款（　　） A．445元 B．405元 C．356元 D．324元 答案：D 3．某街道居委会需印制主题为“做文明有礼北京人，垃圾分类从我做起”的宣传单，其附近两家图文社印制此种宣传单的收费标准如图所示： （1）为达到及时宣传的目的，街道居委会同时在A、B两家图文社共印制了1500张宣传单，印制费用共计179元，则街道居委会在A图文社印制了 张宣传单； （2）为扩大宣传力度，街道居委会还需要再加印5000张宣传单，在A、B两家图文社中，选择 图文社更省钱（填A或B）． 答案：800；B 选做题： 4．在去年的“6．18”促销活动中，某网店需要x个包装箱．甲、乙两个工厂都想独自承担全部任务，分别给出了如下报价： 甲工厂单价1.5元/个，如果达到或超过1万个，全部打八折．乙工厂5000个内（含5000个）的单价为1.5元/个，超过5000个的部分，单价为1元/个．
(1)若你是网店负责人，需要12000个包装箱时，从节省费用角度，你认为由谁单独承包合适？请说明理由． (2)当x为何值时，甲乙工厂的收费相同？ 解：（1）甲工厂单独承包合适，理由如下： 甲工厂费用： （元）， 乙工厂费用： （元） ∵， ∴甲工厂单独承包合适； （2）根据题意可知，当时，两个工厂的单价均为1．5元/个，即此时甲乙工厂的收费相同； 当时，超过5000的部分，甲工厂单价便宜，此时不可能两个工厂收费相同， 当时，依题意有：， 解得． ∴当或时，甲乙工厂的收费相同． 【综合拓展类作业】 5．某服装批发商促销一种裤子和T恤，在促销活动期间，裤子每件定价100元，T恤每件定价50元，并向客户提供两种优惠方案： 方案一：买一件裤子送一件T恤； 方案二：裤子和T恤都按定价的付款． 现某客户要购买裤子30件，T恤x件（）： (1)按方案一，购买裤子和T恤共需付款 ______（用含x的式子表示）； (2)计算一下，购买多少件T恤时，两种优惠方案付款一样？ (3)若两种优惠方案可同时使用，当时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？ 解：（1）根据题意得， 故按方案一，购买裤子和T恤共需付款； （2）按方案一，购买裤子和T恤共需付款， 根据题意得，， 解得， 答：购买90件T恤时，两种优惠方案付款一样； （3）能，用方案一购买裤子30件，送T恤30件，再用方案二购买10件T恤，共需付款 （元）， 共需付款3400元．
教学反思 学生通过前面的学习，能够用方程解决简单的数学问题，但像不同能效空调的综合费用比较这类与生活结合度较高、复杂的综合性问题还缺乏必要的分析、理解、分类、比较、验证等解决问题的能力，因此，在教学过程中从已有的经验出发，从易到难、分散难点、逐步引导、缓慢渗透分类验证思想和方程建模思想，以提高学生的建模思想和应用意识。
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第五章 一元一次方程
5.3 实际问题与一元一次方程（第四课时）
通过建立方程模型解决不同能效空调综合费用的比较问题，初步掌握解决方案选择问题的一般方法，提升模型观念，增强应用意识。
上节课，我们一起探究了用一元一次方程解决与实际生活联系更为紧密的问题——销售中的盈亏问题，今天，我们通过对“不同能效空调的综合费用比较”来探究——方案选择问题。
探究：不同能效空调的综合费用比较
购买空调时，需要综合考虑空调的价格和耗电情况．某人打算从当年生产的两款空调中选购一台，下表是这两 款空调的部分基本信息．如果电价是0.5元／(kw·h)，请你分析他购买、使用哪款空调综合费用较低.
匹数 能效等级 售价/元 平均每年耗电量/(kw·h)
1.5 1级 3 000 640
1.5 3级 2 600 800
两款空调的部分基本信息表
匹数 能效等级 售价/元 平均每年耗电量/(kw·h)
1.5 1级 3 000 640
1.5 3级 2 600 800
（1）你能从表格中得到哪些信息？对空调的选择要综合考虑哪些因素？
（2）空调的电费与什么因素有关？如果把空调的售价与电费的和叫作空调的综合费用，如何根据综合费用来选择空调？你觉得选哪款空调更划算？
空调匹数、能效等级、售价和平均每年的耗电量
空调的售价与电费
使用时间
综合费用＝空调的售价＋电费
（3）设空调的使用时间为t年，你能把两款空调的综合费用分别用t表示出来吗？观察列出的两个代数式，可以得出哪款空调的综合费用更低吗？
匹数 能效等级 售价/元 平均每年耗电量/(kw·h)
1.5 1级 3 000 640
1.5 3级 2 600 800
1级能效空调的综合费用（单位：元）是
3000＋0.5×640t，即 3000＋320t.
3级能效空调的综合费用（单位：元）是
2600＋0.5×800t，即 2600＋400t.
（4）使用时间是多少年时，两款空调的综合费用相等？
3000＋320t＝2600＋400t，
解得 t＝5.
（5）使用时间在什么范围内，1级能效空调的综合费用更低？使用时间在什么范围内时，3级能效空调的综合费用更低？请说明理由。
匹数 能效等级 售价/元 平均每年耗电量/(kw·h)
1.5 1级 3 000 640
1.5 3级 2 600 800
为了比较两款空调的综合费用，我们把表示3级能效空调的综合费用的式子2600＋400t变形为1级能效空调的综合费用与另外一个式子的和，即
（3000＋320t）＋（80t－400），
也就是 3000＋320t＋80（t－5）.
这样，当t＜5时，80(t－5)是负数，这表明3级能效空调的综合费用较低；当t＞5时，80(t－5)是正数，这表明1级能效空调的综合费用较低.
匹数 能效等级 售价/元 平均每年耗电量/(kw·h)
1.5 1级 3 000 640
1.5 3级 2 600 800
由此可见，同样是1.5匹的空调，1级能效空调虽然售价高，但由于比较省电，使用年份长（超过5年）时综合费用反而低。根据相关行业标准，空调的安全使用年限是10年（从生产日期计起），因此购买、使用1级能效空调更划算。
通常，1级能效电器既节能又省钱！
1．运用一元一次方程解应用题的方法，求解使方案值相等的情况；
2．用特殊值试探去选择方案，取小于(或大于)一元一次方程解的值，比较两种方案的优劣后下结论．
解答这类问题的一般步骤
【知识技能类作业】必做题：
1．某校七年级三个班级联合开展户外研学活动，此次活动由一班班长负责购买车票，票价每张20元．有如图两种优惠方案：班长思考一会儿说，无论选择哪种方案所要付的车费是一样的，则七年级三个班级共有（ ）
A．60人 B．61人
C．62人 D．63人
D
【知识技能类作业】必做题：
2．今年五一长假期间，某博物馆门票的收费标准如下：
门票类别 成人票 儿童票 团体票（限5张及以上）
价格（元/人） 100 40 60
小明和小鹏两个家庭分别去该博物馆参观，每个家庭都有5名成员，且他们都选择了最省钱的方案购买门票，结果小明家比小鹏家少花40元．则小明家购门票共花了（　　）
A．200元 B．240元 C．260元 D．300元
C
【知识技能类作业】必做题：
3．周末，乐乐一家和姑姑一家（共6人）相约一起去观看电影《长津湖》．乐乐用手机查到他家附近两家影城的票价和优惠活动如下：
影城 票价（元） 优惠活动
时光影城 48 学生票半价
遇见影城 50 网络购票，总价打八折
乐乐打算用网络给所有人购票，发现两家影城购票的总费用相同，则两家共有学生 人．
2
【知识技能类作业】选做题：
4．某学校在一次环保知识宣传活动中，需印刷若干份调查问卷．印刷厂有甲、乙两种收费方式，甲种方式：收制版费6元，每印一份收印刷费0.1元；乙种方式：不收制版费，每印一份收印刷费0.12元：设共印刷调查问卷x份．
(1)按甲种方式应收费 元，按乙种方式应收费 元；（用含x的代数式表示）
(2)试问学校选用哪种印刷方式所需费用较少？
解：（2）根据题意可得：，
解得： ．
故印刷少于300份时，乙种收费方式较少；印刷300份时，两种收费方式一样多；印刷多于300份时，甲种收费方式较少．
【综合拓展类作业】
5．当今社会，随着生活水平的提高，人们越来越重视自己的身心健康，开始注重锻炼身体．某公司计划购买50个羽毛球拍和个羽毛球，某体育用品商店每个羽毛球拍定价80元，每个羽毛球定价5元，经协商拟定了如下两种优惠方案（两种优惠方案不可混用）：
方案一：每买一个羽毛球拍就赠送2个羽毛球；
方案二：羽毛球拍和羽毛球都按定价的付款．
(1)若，请计算哪种方案划算；
(2)若，请用含的代数式分别把两种方案的费用表示出来；
(3)请你帮助公司写出取值不同时的所有划算的购买方案．
【综合拓展类作业】
解：（1）当时，
方案一：（元）．
方案二：（元）．
因为，
所以当时，方案一划算．
答：若，方案一划算．
（2）当时，
方案一：元．
方案二：元．
答：方案一、方案二的费用用代数式分别表示为元，元．
【综合拓展类作业】
（3）若方案一和方案二的费用相等，
当时，方案一不需要单独再购买羽毛球，可得
解得．
因为，
所以，当时，方案二划算；当时，方案一划算；
当时，方案一和方案二都需要单独购买羽毛球，可得
，解得．
所以，当时，方案一划算；当时，方案一和方案二一样划算；当时，方案二划算．
综上可知,当时,方案二划算；当时,方案一划算；当时，方案一和方案二一样划算；当时，方案二划算．
方案选择问题
列方程
分类讨论
列代数式
　　在分类讨论的某个范围内，
借助字母表达式表示费用
　　不同方案的选择的转折点，可通过列方程计算寻找
弄清如何分类
【知识技能类作业】必做题：
1．大丰新华书店推出售书优惠方案，如果李明同学一次性购书付款162元，那么李明同学所购书的原价可能是（　　）
①一次性购书不超过100元，不享受优惠
②一次性购书超过100元但不超过200元，一律打九折
③一次性购书超过200元，一律打八折
A．180元 B．202.5元
C．180元或202.5元 D．180元或200元
C
【知识技能类作业】必做题：
2．某超市在“双十一”活动期间，推出如下购物优惠方案：
①一次性购物在100元（不含100元）以内，不享受优惠；
②一次性购物在100元（含100元）以上，350元（不含350元）以内，一律享受九折优惠；
③一次性购物在350元（含350元）以上，一律享受八折优惠．
小敏在该超市两次购物分别付了85元和288元，若小敏把这两次购物改为一次性购物，则小敏至少需付款（　　）
A．445元 B．405元 C．356元 D．324元
D
【知识技能类作业】必做题：
3．某街道居委会需印制主题为“做文明有礼北京
人，垃圾分类从我做起”的宣传单，其附近两家
图文社印制此种宣传单的收费标准如图所示：
（1）为达到及时宣传的目的，街道居委会同时在A、B两家图文社共印制了1500张宣传单，印制费用共计179元，则街道居委会在A图文社印制了 张宣传单；
（2）为扩大宣传力度，街道居委会还需要再加印5000张宣传单，在A、B两家图文社中，选择 图文社更省钱（填A或B）．
800
B
【知识技能类作业】选做题：
4．在去年的“6．18”促销活动中，某网店需要x个包装箱．甲、乙两个工厂都想独自承担全部任务，分别给出了如下报价：
甲工厂 单价1.5元/个，如果达到或超过1万个，全部打八折．
乙工厂 5000个内（含5000个）的单价为1.5元/个，超过5000个的部分，单价为1元/个．
(1)若你是网店负责人，需要12000个包装箱时，从节省费用角度，你认为由谁单独承包合适？请说明理由．
(2)当x为何值时，甲乙工厂的收费相同？
【知识技能类作业】选做题：
解：（1）甲工厂单独承包合适，理由如下：
甲工厂费用：（元），
乙工厂费用：
（元）
∵，∴甲工厂单独承包合适；
（2）根据题意可知，当时，两个工厂的单价均为1．5元/个，即此时甲乙工厂的收费相同；
当时，超过5000的部分，甲工厂单价便宜，此时不可能两个工厂收费相同，
当时，依题意有：，
解得．
∴当或时，甲乙工厂的收费相同．
【综合拓展类作业】
5．某服装批发商促销一种裤子和T恤，在促销活动期间，裤子每件定价100元，T恤每件定价50元，并向客户提供两种优惠方案：
方案一：买一件裤子送一件T恤；
方案二：裤子和T恤都按定价的付款．
现某客户要购买裤子30件，T恤x件（）：
(1)按方案一，购买裤子和T恤共需付款 _________________（用含x的式子表示）；
(2)计算一下，购买多少件T恤时，两种优惠方案付款一样？
(3)若两种优惠方案可同时使用，当时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？
【综合拓展类作业】
解：（2）按方案一，购买裤子和T恤共需付款，
根据题意得，，
解得，
答：购买90件T恤时，两种优惠方案付款一样；
（3）能，用方案一购买裤子30件，送T恤30件，再用方案二购买10件T恤，共需付款
（元），
共需付款3400元．

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