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3.3.2 二次函数的图象与性质同步学案
列清单·划重点
知识点① 二次函数 的图象
一般的，二次函数 的图象是___________，我们把二次函数 0)的图象叫做_____________________.
注意
是二次函数 成立的首要条件.
知识点② 二次函数 的性质
关于二次函数 的性质，主要从抛物线的开口方向、顶点、对称轴、函数值的增减性以及函数的最大值或最小值几个方面来确定.其性质归纳如表所示：
值
图象
开口方向 开口_______，且_______无限延伸 开口_______，且______无限延伸
对称轴 ____________ ____________
顶点 顶点坐标_________，顶点是它的最________点 顶点坐标_________，顶点是它的最________点
最大(小)值 最小值_________ 最大值________
增减性 0时,y 的值随x 值的增大而___________;时，y的值随x值的增大而_________ 0时,y的值随x值的增大而_________;时,y的值随x值的增大而_________
明考点·识方法
考点① 二次函数 的图象
典例1 (1)在如图所示的平面直角坐标系中作出二次函数 与 的图象；
与 的图象有何区别 你能由此总结出一个规律性的特征吗
思路导析 用列表、描点、连线的方法作出二次函数 和 的图象，再依据图象回答问题.
易错易混
对于二次函数 a的绝对值越大，抛物线的开口反而越小.
变式 在如图所示的平面直角坐标系中，画出函数 与 的图象.
考点② 二次函数 的性质
典例2 已知 是二次函数，且当 时，y随x的增大而减小.
(1)求k的值;
(2)作出该函数的图象；
(3)根据图象指出该抛物线的对称轴和顶点坐标；
(4)若点 M(2,a)在该函数的图象上,求a的值.
变式 已知函数 是关于x的二次函数.
(1)求满足条件的m的值；
(2)m为何值时，抛物线有最高点 求出这个最高点的坐标，这时，抛物线的增减性如何
当堂测·夯基础
1.对于函数 下列说法正确的是( )
A.当 时，y随x的增大而减小 B.当 时，y随x的增大而增大
C. y随x的增大而减小 D. y随x的增大而增大
2.抛物线 共有的性质是 ( )
A.开口向下 B.对称轴是 y轴 C.都有最低点 D. y随x的增大而减小
3.已知四个二次函数的图象如图所示，那么 的大小关系是______________________.(请用“＞”连接)
4.关于二次函数
(1)其图象开口向________，对称轴是_______轴，顶点坐标为___________，当 时,y随x 的增大而_________，当 时，y随x的增大而________，当 时,y有最_______值，最大值是______________；
(2)若A ,为函数图象上的三点，则的大小关系是__________________.
5.已知如图所示，直线经过点 A(4,0)和 B(0,4),它与抛物线 在第一象限内交于点 P，且的面积为4.
(1)求直线 AB 的表达式;
(2)求 a的值.
参考答案
【列清单·划重点】
知识点1 抛物线 抛物线
知识点2 向上 向上 向下 向下 y轴 y轴 (0,0) 低 (0,0) 高 0 0 增大 减小 减小 增大
【明考点·识方法】
典例1
解:(1)列表:
… -2 -1.5 -1 0 1 1.5 2 …
… 12 3 0 3 12 …
… 4 1 0 1 4 …
根据表格描点、连线，作出二次函数 与 的图象如图所示；
(2)由图象可以看出， 与 的图象只有开口的大小不相同， 比 的开口要大一些.由此猜想：对于抛物线y=与 当 时， 的开口比 的开口小一些.
变式 参照典例 1 的列表、描点 和连线即可.
典例2
解:(1)要使 为二次函数，
则 解得 即k=2或k=-1;
又∵当x>0时，y的值随x 值的增大而减小，
∴k-1<0,即k<1,∴k=-1;
(2)由(1)知 列表：
x -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
y -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 -4.5
描点、连线：
(3)对称轴为y轴,顶点坐标为(0,0);
(4)把 M(2,a)代入 得
变式 解：(1)由题意，得 且解得m=2 或m=-3;
(2)当m=2时,m+2=4>0,抛物线开口向上，该抛物线有最低点；
当m=-3时,m+2=-1<0,抛物线开口向下，该抛物线有最高点，
此时抛物线表达式为 则最高点坐标为(0,0),
当x>0时,y 随x的增大而减小;当x<0时，y随x的增大而增大.
【当堂测·夯基础】
1. B 2. B
4.(1)下 y (0,0) 减小 增大 0 大
5.解:(1)设直线 AB的表达式为y= kx+b,
将A(4,0),B(0,4)分别代入 y= kx+b,
得 解得
故直线AB的表达式为y=-x+4;
(2)∵△AOP的面积为4,
再把 yp=2代入 y=-x+4,得x=2,所以 P(2,2).
把 P(2,2)代入 得
故 a的值为 .
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