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3.7.1 二次函数图象与x轴的交点问题同步学案
列清单·划重点
知识点 二次函数与一元二次方程的关系
对于二次函数当 ________时，函数即可化为一元二次方程 这时方程的根就是抛物线与x轴交点的____________.
二次函数 与x轴的交点个数可由一元二次方程 的根的情况说明：
1.当 时，一元二次方程 有_的实数根，二次函数 与 x 轴有________交点.
2.当 时，一元二次方程 有________的实数根,二次函数 与 x 轴有_________交点.
3.当 时，一元二次方程 实数根,二次函数 与x轴________交点.
明考点 ·识方法
考点 二次函数与x轴的交点
典例 已知抛物线
(1)求证：该抛物线与 x 轴一定有两个交点；
(2)若该抛物线与x轴的两个交点分别为A，B，且它的顶点为 P，求 的面积.
思路导析 (1)利用 来证明；(2)先求出 A，B两点及顶点P 的坐标，再将坐标转化为线段的长，求出 的面积.
变式 已知抛物线
(1)求证：无论m 为何值，此抛物线与x轴总有两个不同的交点；
(2)若 是抛物线 与x轴交点的横坐标且 求 m的值.
当堂测·夯基础
1.若二次函数 的图象经过点(-1,0),(2,0),则关于x的方程 的解为 ( )
2.二次函数 y=的图象与x轴有两个不同交点，则a可以是 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
3.函数 的图象过点(2，0)，则使函数值 成立的x的取值范围是( )
4.已知抛物线 m与x 轴有且只有一个交点，则m=___________.
5.若抛物线 与x轴有公共点，则a的取值范围是__________.
参考答案
【列清单·划重点】
知识点 0 横坐标 1.两个不相等 两个 2.两个相等 一个 3.没有 没有
【明考点·识方法】
典例 解：(1)证明：∵对于一元二次方程其判别式
∴方程 有两个不相等的实数根，
∴抛物线 与x轴一定有两个交点；
(2)令 解得
又∵抛物线的顶点 P 的纵坐标为
变式 解:(1)证明:
∴无论m为何值，此抛物线与x轴总有两个不同的交点；
(2)由题意，得
整理得 解得
【当堂测·夯基础】
1. A 2. B 3. A 4.9
且
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3.7.2 利用二次函数图象求一元二次方程的近似根同步学案
列清单· 划重点
知识点 用图象法求一元二次方程近似根的一般步骤
(1)把一元二次方程化成一般形式；
(2)画出与一元二次方程相对应的二次函数的图象；
(3)根据抛物线与 x轴交点的位置确定一元二次方程根的取值范围；
(4)利用计算器进行探索，得出一元二次方程的近似根.
明考点· 识方法
考点 用图象法求一元二次方程的近似根
典例 利用图象法求一元二次方程 的近似根(精确到0.1).
思路导析 因为二次函数 与x轴交点的横坐标即为一元二次方程 的根，所以可通过画二次函数. 的图象求方程 的近似根.
变式 对于抛物线
(1)将抛物线的表达式化为顶点式；
(2)完善下列表格中的数据，在坐标系中利用五点法画出此抛物线；
… 0 2 6 …
… …
(3)结合图象，当 时，y的取值范围是__________；
(4)结合图象及所学习的知识，估算 的两个根为___________(精确到0.1,误差不超过0.2).
当 堂测·夯基础
1.如表所示给出了二次函数 中x，y的一些对应值，则可以估计一元二次方程 的一个近似解 x 的范围为 ( )
x … 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 …
y … -1.16 -0.71 -0.24 0.25 0.76 …
2.小颖用计算器探索方程 的根，作出如图所示的图象，并求得一个近似根. ，则方程的另一个近似根为_____________.(精确到0.1)
3.根据表内数据估计方程 其中一个解的近似值：
1.63 1.64 1.65 1.66 ...
5.9169 5.9696 6.0225 6.0756 ...
根据表中数据，求方程 的一个解大约是____________.(精确到0.01)
4.已知二次函数. 的图象(a，b是常数)与y轴交于点A，点A 与点 B 关于抛物线的对称轴对称，且点 在该函数图象上.二次函数 (a，b是常数)中的自变量 x 与函数值y的部分对应值如表：
x ... -2 -1 0 1 3 ...
y=ax +bx+2 ... -10 -3 2 5 5 ...
下列结论：
①点 B 的坐标是(2,2)
②这个函数的最大值大于5
有一个根在4 与 5 之间
④当 时，
其中正确的为___________.(填序号)
参考答案
【明考点·识方法】
典例 解：在平面直角坐标系中画出函数的图象如图所示.
由图象可知 有两个实数根：一个根在-2和-1之间，另一个根在2 和3之间.
①先求-2和-1之间的根，利用计算器探索：
x -1.1 -1.2 -1.3 -1.4
y -0.69 -0.36 -0.01 0.36
因此，x=-1.3是方程的一个近似根；
②另一个根也可类似地求出：
x 2.1 2.2 2.3 2.4
y -0.69 -0.36 -0.01 0.36
因此， 也是方程的一个近似根.
所以，一元二次方程 的近似根为
变式 解：
∴抛物线的顶点式为
(2)列表:
x … -2 0 2 4 6 …
y … 6 -6 -10 -6 6 …
函数图象如图所示：
(3)-10≤y<6;
(4)由图象可知方程有两个根，一个在-2和-1之间，另一个在5 和 6之间.
当 时，
当 时，
因此，x=-1.2是方程的一个近似根；
同理，x=5.2是方程的另一个近似根，故一元二次方程 的近似根为
故答案为：
【当堂测·夯基础】
1. C 2.1.4 3.1.65 4.②③④
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