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2024-2025学年江苏省苏州市高一（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知函数的定义域为，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
3.已知命题：，，若为真命题，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
4.已知幂函数的图象过点，则函数的值域是( )
A. B. C. D.
5.如图所示，正方体容器内放了一个圆柱形烧杯，向放在容器底部的烧杯注水流量一定，注满烧杯后，继续注水，直至注满正方体容器，则正方体容器中水面上升高度与注水时间之间的函数图象可能是( )
A. B. C. D.
6.已知，函数若满足关于的方程，则下列选项的命题中为假命题的是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
7.一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于，而且这个比值越大，采光效果越好，则( )
A. 若一所公寓窗户面积与地板面积的总和为，则这所公寓的窗户面积至少应该为
B. 若窗户面积和地板面积在原来基础上都增加了，公寓采光效果会变好
C. 若同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果会变好
D. 若同时增加窗户面积和地板面积，且增加的地板面积是增加的窗户面积的倍，公寓采光效果一定会变差
8.设奇函数的定义域为，对任意的，，且，都有不等式，且，则不等式的解集是( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设全集，集合，，，则( )
A. 集合的真子集个数是 B.
C. D.
10.已知，，若，则( )
A. 的最大值为 B. 的最小值为
C. 的最大值为 D. 的最小值为
11.设函数，则( )
A. 直线是曲线的对称轴
B. 若函数在上单调递减，则
C. 对，，不等式总成立
D. 当时，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设，，，，若，则______．
13.已知是偶函数且，若，则 ______．
14.设函数若是函数的最小值，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知全集为，集合，．
若，求集合；
若，求的取值范围．
16.本小题分
已知函数，其中，．
若不等式的解集为，解关于的不等式；
解关于的不等式．
17.本小题分
函数是定义在上的偶函数，且．
求的解析式及其值域；
求的值，并计算．
18.本小题分
某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为立方米，深为米甲工程队参与投标，给出的报价为：池底每平米的造价为元，池壁每平米造价为元设总造价为元，池底一边长为米，另一边长为米．
若按照甲工程队的报价，怎样设计能使水池造价最低？最低造价是多少？
现有乙工程队也参与投标，其给出的整体报价为元，其中，试问甲工程队一定能中标吗？报价总低于对手即为中标
19.本小题分
已知函数．
判断的奇偶性，并证明你的结论；
记．
讨论在上的单调性，并说明理由再请直接写出的单调区间；
是否存在这样的区间，使得在上是单调函数，且的取值范围是若存在，求出区间；若不存在，请说明理由．
参考答案
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14.
15.解：当时，，或，
而，所以；
由，得，则，解得，所以的取值范围是．
16.解：不等式为，解集为，
所以和是方程的解，所以，解得，；
所以不等式即为，
化简得，解得或；
所以不等式的解集为或；
不等式，即，
等价于，
不等式对应方程的根为和；
当时，，不等式为，解集为；
当时，，不等式的解集为；
当时，，不等式的解集为．
17.解：根据题意，函数是定义在上的偶函数，
则有，解可得，
又由，即，则，
故，，
变形可得，
由于，则，则有，故，
故函数的值域为；
，，
则，，
则有，
故
．
18.解：由题意可知，水池的容积为，可得，
甲工程队的造价为
元，
当且仅当时，即当时，等号成立，
所以，将贮水池的池底涉及为边长为米的正方形时，总造价最低，最低造价是元；
若甲工程队一定能中标成功，则对任意的、，
不等式恒成立，
即对任意的恒成立，
因为，当且仅当时，等号成立，
令，则，
由基本不等式可得，
当且仅当时，即当时，即当时，等号成立，所以，，
所以，要使得甲工程队一定能竞标成功，则，
又因为，所以，甲工程队一定能竞标成功．
19.解：函数是奇函数，
证明如下：函数的定义域为，
因为，
所以函数是奇函数；
，，，
则，
由，得，，当时，，
则，函数在上单调递减；
当时，，则，函数在上单调递增，
令，
即，
解得或，
所以或时，，即，
当，，即，
所以，
所以函数在，上单调递减，在，上单调递增；
由知，函数在，上单调递减，在，上单调递增，
假设存在区间符合条件，
当，时，在上单调递减，
则，即，化简得，而，，，
所以不成立，即，无解，不存在；
当时，在上单调递增，则，即，
所以、是方程，即的两个实根，解得，，符合题意，区间为；
当时，在，上单调递减，则，化简得，而，则，即，
由，得，，无解，不存在；
当时，在，上单调递增，则，
所以、是方程，即的两个实根，此方程在无解，不存在，
所以存在区间，使得在上是单调函数，且的取值范围是，
该区间为．
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