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2024—2025学年度第一学期期中质量监测
九年级数学
说明：1. 全卷共6页，满分120分，考试用时120分钟。
答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的准考证号、学校、班
级、姓名、考场号、考场座号。用2B铅笔把对应该号码的标号涂黑。
选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上。
非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答、答案必须写在答题卡各题目指定区域内相
应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改
液。不按以上要求作答的答案无效。
考生务必保持答题卡的整洁。考试结束时，将答题卡按时交回。
一、选择题（每小题只有一个正确选项，每小题3分，共30分）
1．（3分）已知，则下列比例式成立的是　　
A． B． C． D．
2．（3分）若是方程的一个根，则的值为　　
A．1 B． C．2 D．
3．（3分）一个盒子内装有大小、形状相同的四个球，其中1个红球、1个绿球、2个白球，小明摸出一个球不放回，再摸出一个球，则两次都摸到白球的概率是　　
A． B． C． D．
4．（3分）如图，一架梯子斜靠在竖直墙上，点为梯子的中点，当梯子底端向左水平滑动到位置时，滑动过程中的变化规律是　　
A．变小 B．不变 C．变大 D．先变小再变大
5．（3分）如图，在中，，，，，则的长为　　
A．3 B．6 C．5 D．4
6．（3分）已知直角三角形的两条直角边的长恰好是方程的两根，则此直角三角形的面积为　　
A．2 B．3 C． D．6
7．（3分）如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，若，菱形AC=9，则AE的长为　　
A．14 B． C．15 D．
8．（3分）中国新能源汽车技术领先全球，重庆某新能源汽车销售公司2021年盈利4000万元，2023年盈利6760万元，且从2021年到2023年，每年盈利的年增长率相同．设每年盈利的年增长率为，则列方程得　　
A．
B．
C．
D．
9．（3分）某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么符合这一结果的实验最有可能的是　　
A．袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球
B．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”
C．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是2
D．从一副扑克牌中随机抽取一张，抽到的牌是梅花
10．（3分）出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建．“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一．如图，在矩形中，对角线，相交于点，，，点是边上一点，过点作于点，于点，则的值是（ ）　　
A．2.4 B．2.5 C．3 D．4
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）若，则　 　．
12．（3分）某九年级一名学生进行定点投篮训练，其成绩如表，则这名学生定点投篮一次，投中的概率约为 　 　（精确到．
投篮次数 10 100 10000
投中次数 6 59 6003
13．（3分）已知关于的方程有实数根，则的取值范围是 　 　．
14．（3分）如图，已知四边形是矩形，，点在上，．若平分，则的长为 　 　．
15．（3分）如图，将边长为的正方形绕点逆时针旋转，那么图中阴影部分的面积为 　 　．
三、解答题（一）（本大题3小题，共24分）
16．（8分）解一元二次方程：
（1）；
（2）．
17．（8分）已知关于的一元二次方程．
（1）求证：无论取任何实数，方程总有实数根；
（2）若方程有两个实数根，，且，求的值．
18．（8分）如图，是的中线，是线段上的一点，且，连接并延长交于点．
（1）求的值；
（2）若，求的长．
四、解答题（二）（本大题3小题，共28分）
19．（9分）王老师将1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，让若干学生进行摸球试验，每次摸出一个球（有放回），下表是活动进行中的一组统计数据．
摸球的次数 100 150 200 500 800 1000
摸到黑球的次数 23 31 60 130 203 251
摸到黑球的频率 0.230 0.231 0.300 0.260 0.254 　　
（1）补全表中的有关数据，根据上表数据估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是 　 　；
（2）估计袋中白球的个数；
（3）在（2）的条件下，若小强同学有放回地连续两次摸球，用画树状图或列表的方法计算他两次都摸出白球的概率．
20．（9分）如图，四边形是平行四边形，于点，于点，，连接．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求的长．
21．（10分）惠来县公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为30元个，商家经过调查统计，当售价为40元个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？
（3）在（2）的条件下，当售价定为多少元时，该经销商能获得最大利润，最大利润为几元？
五、解答题（三）（本大题2小题，共23分）
22．（11分）如图1，在矩形中，，，，，分别从，，，出发，沿，，，方向在矩形的边上同时运动，运动速度分别是，，，，当其中一个点到达所在运动边的另一个端点时，四个点同时停止运动．设运动时间为秒．
（1）当为何值时，点，重合；
（2）当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，求的值或范围；
（3）如图2，连接，交于点，交于点，直接写出当为何值时，．
23．（12分）【问题呈现】
如图1，的顶点在正方形两条对角线的交点处，，将绕点旋转，旋转过程中，的两边分别与正方形的边和交于点、（点与点，不重合）．探索线段、、之间的数量关系．
【问题初探】
（1）爱动脑筋的艾坤发现，通过证明 　　 　 　，可以得到结论．请直接写出线段、、之间的数量关系 　 　；
【问题引申】
（2）如图2，将图1中的正方形改为的菱形，，其他条件不变，请你写出线段、、之间的数量关系，并说明理由；
【问题解决】
（3）如图3，在（2）的条件下，的两边分别与菱形的边和所在直线交于点、（点与点，不重合），当菱形的边长为8，点运动至与点距离恰好为7的位置，且旋转至时，请直接写出的长度．2024—2025学年度第一学期期中质量监测
九年级数学参考答案
一、选择题（每小题3分，共30分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D C B D B B B C A
二、填空题 （每小题3分，共15分）
11．； 12．0.6； 13．k； 14．10； 15．；
三、解答题（一）（本大题3小题，共24分）
16．（8分）解：（1），
，
，
，；………………4分
（2），
或，
，．………………8分
17．（8分）（1）证明：△
，
△
无论取任何实数，方程总有实数根；………………4分
（2）解：根据根与系数的关系得，，………………5分
∵x＋x2＋3x1x2=-1，
∴m＋3＋3×3m=-1，………………7分
解得，
即的值为．………………8分
18．（8分）解：（1），，
，
，
；………………4分
（2）如图，过作交于点，
，
，………………5分
是的中线，
，
，………………6分
，
，………………7分
，
，
．………………8分
四、解答题（二）（本大题3小题，共28分）
19．（9分）解：（1）0.251；0.25………………2分
（2）设袋子中白球的个数为，
根据题意，得：，………………3分
解得，………………4分
经检验是分式方程的解，
估算袋中白球的个数为3；………………5分
（3）画树状图得：
………………8分
共有16种等可能的结果，两次都摸到白球的有9种情况，
两次都摸出白球的概率为．………………9分
20．（9分）（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，，
，，
，
，………………3分
，
四边形是平行四边形，………………4分
又，
平行四边形是矩形；………………5分
（2）解：，
，
由（1）可知，四边形是矩形，
，
，
，
，………………7分
由（1）可知， ABE≌ CDF，
，
．………………9分
21．（10分）解：（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，
依题意，得，………………2分
解得，（不合题意，舍去），
答：设该品牌头盔销售量的月增长率为；………………3分
（2）设该品牌头盔每个售价为元，
依题意，得，………………5分
整理，得，
解得，，………………6分
因要尽可能让顾客得到实惠，
所以．
答：该品牌头盔每个售价应定为50元．………………7分
（3）设该品牌头盔每个售价为y元，月利润为w元，
则w＝（y-30)［500-10（y-40）］………………8分
＝-10y2+1200y-27000
＝-10（y-60)2+9000
≤9000
答：当售价为60元时，最大利润为9000元………………10分
五、解答题（三）（本大题2小题，共23分）
22．（11分）解：（1）依题意，，………………3分
解得：（负值舍去）；………………5分
（2）当点到达点时，，
解得：（负值舍去）；
，………………6分
①当，相遇前，依题意当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，
，
即恒成立，………………7分
②当，相遇后，即，
此时恒成立，………………8分
且；………………9分
（3）．………………11分
23．（12分）解：（1）△，△，；………………4分
（2），理由如下；………………5分
如图2，取的中点，连接，
四边形为的菱形，
，，，
△是等边三角形，………………6分
，，
，
，
，
△是等边三角形，………………7分
，，
又，
，即，
在△和△中，
，
△TPE≌△，………………8分
，
，
；………………10分
（3）满足条件的的长度为或．………………12分

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