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第03讲 6.2.3组合+6.2.4组合数
课程标准 学习目标
①了解组合、组合数的意义。 ②掌握常见的组合处理方法。 ③会用组合的相关方法解决简单的组合问题。 ④熟练运用组合数的相关公式及性质解决与组合有关的问题。 ⑤在实际问题中能区分排列与组合的关系，准确选择恰当的方法解决排列组合的相关问题。 1.掌握组合、组合数的意义； 2.能解决简单的组合问题； 3.并能解决简单的排列组合综合问题；
知识点01：组合
（1）定义：一般地：从个不同的元素中取出()个元素作为一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合.
（2）相同组合：只要两个组合的元素相同，无论元素的顺序如何，都是相同的组合.
（3）组合与排列的异同
相同点:组合与排列都是“从个不同的元素中取出()个元素”.
不同点:组合要求元素“不管元素的顺序合成一组”,而排列要求元素“按照一定的顺序排成一列”因此区分某一问题是组合问题还是排列问题,关键是看选出的元素是否与顺序有关,即交换某两个元素的位置对结果有没有影响,若有影响,则是排列问题，若无影响，则是组合问题.
知识点02：组合数与组合数公式
（1）组合数的定义：从个不同元素中取出()个元素的所有不同组合的个数,叫做从个不同元素中取出个元素的组合数,用符号表示.
（2）组合数公式
或：（，）.
规定：
【即学即练1】（2023上·高二课时练习）计算：
(1)； (2)； (3).
【答案】(1)455 (2)21 (3)19900
【详解】（1）；
（2）；
（3）
知识点03：组合数的性质
（1）性质1：
（2）性质2：
【即学即练2】（2022下·广东梅州·高二校考阶段练习）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由组合数性质知，，
所以，
所以，得.
故选：A.
【即学即练3】（多选）（2023上·辽宁·高二校联考阶段练习）满足方程的值为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
【答案】AB
【详解】因为，所以或
解得：或或或，
当时，，故舍去；
当时，，故舍去；
当时，；
当时，；
故选: AB
题型01 组合的概念
【典例1】（2023下·新疆乌鲁木齐·高二乌鲁木齐市第六十八中学校考期中）下列四个问题属于组合问题的是（ ）
A．从名志愿者中选出人分别参加导游和翻译的工作
B．从、、、这个数字中选取个不同的数字排成一个三位数
C．从全班同学中选出名同学参加学校运动会开幕式
D．从全班同学中选出名同学分别担任班长、副班长
【典例2】（多选）（2023下·河北石家庄·高二校考阶段练习）下列问题是组合问题的是（ ）
A．把5本不同的书分给5个学生，每人一本
B．从7本不同的书中取出5本给某个同学
C．10个人相互发一微信，共发几次微信
D．10个人互相通一次电话，共通了几次电话
【典例3】（多选）（2023下·高二单元测试）下列是组合问题的是（ ）
A．平面上有5个点，其中任意三个点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？
B．10支球队以单循环进行比赛（每两队比赛一次），共进行多少场次？
C．从10个人中选出3个为代表去开会，有多少种选法？
D．从10个人中选出3个为不同学科的课代表，有多少种选法？
【典例4】（2022·高二课时练习）判断下列问题是组合问题还是排列问题．
(1)若集合，则集合的含有3个元素的子集有多少个？
(2)某铁路线上有4个车站，则这条铁路线上需准备多少种车票？
(3)从7本不同的书中取出5本给某同学；
(4)三个人去做5种不同的工作，每人做1种，有多少种分工方法？
(5)把3本相同的书分给5个学生，每人最多得一本，有多少种分配方法？
【变式1】（2022下·黑龙江齐齐哈尔·高二龙江县第一中学校考阶段练习）下面问题中，是排列问题的是（ ）
A．由1，2，3三个数字组成无重复数字的三位数
B．从40人中选5人组成篮球队
C．从100人中选2人抽样调查
D．从1，2，3，4，5中选5个数组成集合
【变式2】（2023上·高二课时练习）判断下列问题分别是排列问题还是组合问题：
(1)从10名学生中任选5名去参观一个展览会，求有多少种不同的选法；
(2)从1、2、3、4、5这5个数字中，每次任取2个不同的数作为一个点的坐标，求所有不同点的个数；
(3)一个黄袋中装有四张分别写有1、3、5、7的卡片，另一个红袋中装有四张分别写有2、8、16、32的卡片．从红袋和黄袋中各任取一张卡片，问这两张卡片上的数相加所得的和有多少种；
(4)有四本不同的书要分别送给四个人，每人一本，问一共有多少种不同的送法．
【变式3】（2023下·高二课时练习）判断下列问题是组合问题还是排列问题：
(1)某铁路线上有4个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票？
(2)把5本不同的书分给5个学生，每人一本；
(3)从7本不同的书中取出5本给某个学生．
题型02 组合数的计算、化简与证明
【典例1】（2024·全国·高三专题练习）（ ）
A．74 B．98 C．124 D．148
【典例2】（多选）（2024上·吉林·高二长春市第二实验中学校联考期末）下列有关排列数、组合数的等式中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【典例3】（2023下·新疆乌鲁木齐·高二乌鲁木齐市第六十八中学校考期中）（1）计算：；
（2）证明：.
【变式1】（多选）（2023下·河北石家庄·高二石家庄市第十八中学校考阶段练习）下列等式中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（2023上·江西南昌·高二南昌十中校考期中）（1）计算：；
（2）求值：.
【变式3】（2023上·高二课时练习）m是自然数，n为正整数，且，求证：．
题型03 组合数方程与不等式
【典例1】（2023上·河南驻马店·高二统考期末）关于的方程的解为（ ）
A． B． C．且 D．或
【典例2】（2023上·山东德州·高二校考阶段练习）（1）解关于x的不等式．
（2）求等式中的n值．
【典例3】（2024·全国·高三专题练习）（1）解不等式．
（2）若，求正整数n．
【变式1】（2023上·高二课时练习）不等式的解为 ．
【变式2】（2023下·河北石家庄·高二校考阶段练习）若，求m.
【变式3】（2024上·辽宁沈阳·高二校联考期末）（1）已知，计算：；
（2）解方程：．
题型04 组合数的性质及其应用
【典例1】（2023下·甘肃白银·高二统考开学考试）（ ）
A．84 B．120 C．126 D．210
【典例2】（2023下·山东济宁·高二统考期中）若，则的值为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．3或6
【典例3】（多选）（2023下·江苏南京·高二南京师大附中校考期中）若，则正整数的值是（ ）
A． B． C． D．
【典例4】（2023下·河北邢台·高二邢台一中校考阶段练习）若（），则 .
【变式1】（2023下·江苏徐州·高二徐州高级中学校考期中）若，则的值为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
【变式2】（多选）（2023下·山西运城·高二统考期中）若，则的值可以是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【变式3】（2023上·福建龙岩·高二校考阶段练习）若，则的值为 .
题型05 有限制条件的组合问题
【典例1】（2024·全国·高三专题练习）用2个0，2个1和1个2组成一个五位数，则这样的五位数有（ ）
A．8个 B．12个 C．18个 D．24个
【典例2】（2024上·上海·高二校考期末）2020年底以来，我国多次在重要场合和政策文件中提及碳中和，碳中和指的是二氧化碳排放量和吸收景可以正负抵消，实现二氧化碳“零排放”.二氧化碳的分子是由一个碳原子和两个氧原子构成的，其结构式为.已知氧有、、三种天然同位素，碳有、、三种天然同位素，则由上述同位素可构成的不同二氧化碳分子共有 个.
【典例3】（2024·全国·高三专题练习）某校为促进拔尖人才培养开设了数学、物理、化学、生物、信息学五个学科竞赛课程，现有甲、乙、丙、丁四位同学要报名竞赛课程，由于精力和时间限制，每人只能选择其中一个学科的竞赛课程，则恰有两位同学选择数学竞赛课程的报名方法数为 ．
【变式1】（2024上·海南海口·高三海南中学校考阶段练习）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读3种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（ ）
A．30种 B．60种 C．180种 D．240种
【变式2】（2024·全国·高三专题练习）中国空间站的主体结构包括天和核心实验舱 问天实验舱和梦天实验舱，假设空间站要安排甲 乙等5名航天员开展实验，三舱中每个舱至少一人至多二人，则甲乙不在同一实验舱的种数有（ ）
A．60 B．66 C．72 D．80
【变式3】（2024·全国·高三专题练习）从1，2，3，4，5，6中选取4个数字，组成各个数位上的数字既不全相同，也不两两互异的四位数，记四位数中各个数位上的数字从左往右依次为a，b，c，d，且要求，则满足条件的四位数的个数为 .
题型06 排列、组合的综合应用
【典例1】（2024·全国·高三专题练习）将六位数“”重新排列后得到不同的六位偶数的个数为 （ ）
A． B． C．216 D．
【典例2】（2024·全国·高三专题练习）中国空间站（China Space Station）的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.2022年10月31日15：37分，我国将“梦天实验舱”成功送上太空，完成了最后一个关键部分的发射，“梦天实验舱”也和“天和核心舱”按照计划成功对接，成为“T”字形架构，我国成功将中国空间站建设完毕.2023年，中国空间站将正式进入运营阶段.假设空间站要安排甲、乙等6名航天员开展实验，三舱中每个舱至少一人至多三人，则不同的安排方法有（ ）
A．450种 B．72种 C．90种 D．360种
【典例3】（2024·全国·高三专题练习）2022年11月，第五届中国国际进口博览会即将在上海举行，组委员会准备安排5名工作人员去A，B，C，D这4所场馆，其中A场馆安排2人，其余场馆各1人，则不同的安排方法种数为 ．
【典例4】（2024·全国·高三专题练习）2023年杭州亚运会需招募志愿者，现从某高校的8名志愿者中任意选出3名，分别担任语言服务、人员引导、应急救助工作，其中甲、乙2人不能担任语言服务工作，则不同的选法共有 种.
【变式1】（2024·全国·高三专题练习）安排包括甲、乙在内的4名大学生去3所不同的学校支教，每名大学生只去一个学校，每个学校至少去1名，甲、乙不能安排在同一所学校，则不同的安排方法有（ ）
A．36种 B．30种 C．24种 D．12种
【变式2】（2024上·河北邯郸·高三磁县第一中学校考阶段练习）国际高峰论坛上，组委会要从6个国内媒体团和3个国外媒体团中选出3个媒体团进行提问，要求这3个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团，且国内媒体团不能连续提问，则不同的提问方式的种数为（ ）
A．306 B．198 C．268 D．378
【变式3】（2024·全国·高三专题练习）从5男3女共8名学生中选出组长1人，副组长1人，普通组员3人组成5人志愿组，要求志愿组中至少有3名男生，且组长和副组长性别不同，则共有 种不同的选法.（用数字作答）
【变式4】（2024·全国·高三专题练习）从2个不同的红球，2个不同的黄球，2个不同的蓝球共6个球中任取2个，放入红、黄、蓝色的三个袋子中，每个袋子至多放入1个球，且球色与袋色不同，则不同的放法有 种.
题型07 与几何图形有关的组合问题
【典例1】（2023上·辽宁沈阳·高二校考阶段练习）如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（ ）
A．18 B．24 C．30 D．32
【典例2】（2023下·云南楚雄·高二统考期中）如图，小华从图中处出发，先到达处，再前往处，则小华从处到处可以选择的最短路径有（ ）

A．25条 B．48条 C．150条 D．512条
【典例3】（多选）（2023下·贵州贵阳·高二贵阳一中校考阶段练习）在某城市中，两地之间有如图所示的道路网，甲随机沿道路网选择一条最短路径，从地出发到地，则下列结论正确的是（ ）

A．不同的路径共有31条
B．不同的路径共有41条
C．若甲途经地，则不同的路径共有18条
D．若甲途经地，且不经过地，则不同的路径共有8条
【变式1】（2023上·江西抚州·高二江西省抚州市第一中学校考阶段练习）在某城市中，A，B两地有如图所示的方格型道路网，甲随机沿道路网选择一条最短路径，从A地出发去往B地，途经C地，则不同的路线有（ ）
A．90 种 B．105 种 C．260种 D．315 种
【变式2】（2023上·上海闵行·高三上海市七宝中学校考期中）某数学兴趣小组用纸板制作正方体教具，现给图中的正方体展开图的六个区域涂色，有红、橙、黄、绿四种颜色可选，要求制作出的正方体相邻面所涂颜色均不同，共有 种不同的涂色方法.
【变式3】（2023·全国·高二随堂练习）如图，湖面上有4个相邻的小岛A，B，C，D，现要建3座桥梁，将这4个小岛连接起来，共有多少种不同的方案？

题型08 分组、分配问题
【典例1】（2023·四川雅安·统考一模）甲、乙、丙、丁4个学校将分别组织部分学生开展研学活动，现有五个研学基地供选择，每个学校只选择一个基地，则4个学校中至少有3个学校所选研学基地不相同的选择种数共有（ ）
A．420 B．460 C．480 D．520
【典例2】（2023上·湖北武汉·高二武汉市东湖中学校考期中）为庆祝3.8妇女节，东湖中学举行了教职工气排球比赛，赛制要求每个年级派出十名成员分为两支队伍，每支队伍五人，并要求每支队伍至少有两名女老师，现高二年级共有4名男老师，6名女老师报名参加比赛.
(1)一共有多少不同的分组方案？
(2)在进入决赛后，每个年级只派出一支队伍参加决赛，在比赛时须按照1、2、3、4、5号位站好，为争取最好成绩，高二年级选择了、、、、、六名女老师进行训练，经训练发现不能站在5号位，若、同时上场，必须站在相邻的位置，则一共有多少种排列方式？
【典例3】（2023下·河南郑州·高二校考期中）已知从左到右有5个空格.
(1)若向这5个格子填入0，1，2，3，4五个数，要求每个数都要用到，且第三个格子不能填0，则一共有多少不同的填法？
(2)若向这5个格子放入7个不同的小球，要求每个格子里都有球，问有多少种不同的放法？
【典例4】（2022下·安徽安庆·高二安庆市第二中学校考期中）6位同学报名参加2022年杭州亚运会4个不同的项目（记为）的志愿者活动，每位同学恰报1个项目.
(1)6位同学站成一排拍照，如果甲乙两位同学必须相邻，丙丁两位同学不相邻，求不同的排队方式有多少种？
(2)若每个项目至少需要一名志愿者，求一共有多少种不同报名方式？
(3)若每个项目只招一名志愿者，且同学甲不参加项目，同学乙不参加项目，求一共有多少种不同录用方式？
【典例5】（2023·高二课时练习）将四个小球放入编号为1、2、3、4的四个盒子中，根据下列条件求不同放法的种数．
(1)四个小球不同，每个盒子各放一个；
(2)四个小球相同，每个盒子各放一个；
(3)四个小球不同，四个盒子恰有一个空着；
(4)四个小球相同，四个盒子恰有一个空着．
【变式1】（2024·河南郑州·统考一模）2023年12月6日上午，2023世界5G大会在郑州国际会展中心拉开帷幕．世界5G大会是全球5G领域国际性盛会，也是首次在豫举办．本次大会以“5G变革共绘未来”为主题，以持续推动5G不断演进创新为目标．现场邀请全球有影响力的科学家、企业家、国际组织负责人等参会，并进行高层次、高水平交流研讨．为确保大会顺利进行，面向社会招聘优秀志愿者，参与大会各项服务保障工作．现从包含甲、乙的6人中选派4人参与“签到组”、“服务组”、“物料组”、“机动组”四个不同的岗位工作，每人去一个组，其中甲、乙至少有一人参加且甲不去“签到组”的选派方法共有 种．（用数字作答）
【变式2】（2023下·江苏宿迁·高二统考期中）某医疗小组有4名男性，2名女性共6名医护人员，医护人员甲是其中一名．
(1)若从中任选2人参加A，两项救护活动，每人只能参加其中一项活动，每项活动都要有人参加，求医护人员甲不参加项救护活动的选法种数；
(2)这6名医护人员将去3个不同的地方参与医疗支援，每人只能去一地，每地有2人前往，若2名女性不能去往同一个地方，求不同的分配方案种数．
【变式3】（2023下·湖北·高二校联考阶段练习）（1）将个不同的小球放入个不同的盒子中，没有空盒子，共有多少种不同的放法
（2）将个不同的小球放入个不同的盒子中，盒子可空，共有多少种不同的放法
（3）将个相同的小球放入个不同的盒子中，没有空盒子，共有多少种不同的放法
（4）将个相同的小球放入个不同的盒子中，盒子可空，共有多少种不同的放法
（注：要写出算式，结果用数字表示）
【变式4】（2023下·浙江·高二杭州市萧山区第五高级中学校联考期中）盒子中有个不同的白球和个不同的黑球.
(1)若将这些小球取出后排成一排，使得黑球互不相邻，白球也不相邻，共有多少种不同的排法？
(2)随机一次性摸出个球，使得摸出的三个球中至少有个黑球，共有多少种不同的摸球结果？
(3)将这些小球分别放入另外三个不同的盒子，使得每个盒子至少一个球，共有多少种不同的放法？
（注：要写出算式，结果用数字表示）
【变式5】（2023下·河北石家庄·高二校联考期中）现有7本不同的书准备分给甲、乙、丙三人.
(1)若甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得4本，则不同的分配方法有多少种？
(2)若甲、乙、丙三人中，一人得3本，另外两人每人得2本，则不同的分配方法有多少种？
A夯实基础 B能力提升
A夯实基础
一、单选题
1．（2024上·吉林·高二校联考期末）计算的值是（ ）
A．62 B．102 C．152 D．540
2．（2023·全国·高三专题练习）满足，且的有序数组共有（ ）个.
A． B． C． D．
3．（2024·全国·高三专题练习）某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有
A．4种 B．10种 C．18种 D．20种
4．（2024上·辽宁锦州·高二统考期末）《数术记遗》是东汉时期徐岳编撰的一部数学专著，该书记述了我国古代14种算法，分别是：积算（即算筹） 太乙算 两仪算 三才算 五行算 八卦算 九宫算 运筹算 了之算 成数算 把头算 龟算 珠算 和计数.某学习小组有甲 乙 丙3人，该小组要收集九宫算 运筹算 了之算 成数算 把头算 珠算6种算法相关资料，要求每种算法只能一人收集，每人至少收集其中一种，则不同的分配方案种数为（ ）
A．240 B．300 C．420 D．540
5．（2024上·吉林·高二校联考期末）为了支援与促进边疆少数民族地区教育事业发展，某市教育系统选派了三位男教师和两位女教师支援新疆，这五名教师被分派到三个不同地方对口支援，每位教师只去一个地方，每个地方至少去一人，其中两位女教师分派到同一个地方的方法种数为（ ）
A．18 B．150 C．36 D．54
6．（2024·全国·模拟预测）“雍容华贵冠群芳，百卉争妍独占王．”牡丹花在很早之前就遍布世界各地，具有极高的观赏价值．某花房拟在一侧种植红、紫、白、蓝、黄、黑6色牡丹，种植时，黑牡丹与紫牡丹分别种在两端，白牡丹和蓝牡丹相邻．若白牡丹与黑牡丹不相邻，则不同的种植方法共有（ ）
A．24种 B．20种 C．12种 D．22种
7．（2024·吉林白山·统考一模）2023年12月初，某校开展宪法宣传日活动，邀请了法制专家杨教授为广大师生做《大力弘扬宪法精神，建设社会主义法制文化》的法制报告，报告后杨教授与四名男生、两名女生站成一排合影留念，要求杨教授必须站中间，他的两侧均为两男1女，则总的站排方法共有（ ）
A．300 B．432 C．600 D．864
8．（2024·全国·模拟预测）某中学教师节活动分上午和下午两场，且上午和下午的活动均为A，B，C，D，E这5个项目.现安排甲、乙、丙、丁四位教师参加教师节活动，每位教师上午、下午各参加一个项目，每场活动中的每个项目只能有一位老师参加，且每位教师上午和下午参加的项目不同.已知丁必须参加上午的项目E，甲、乙、丙不能参加上午的项目A和下午的项目E，其余项目上午和下午都需要有人参加，则不同的安排方法种数为（ ）
A．20 B．40 C．66 D．80
二、多选题
9．（2024·全国·高三专题练习）为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法正确的是（ ）
A．某学生从中选2门课程学习，共有15种选法
B．课程“乐”“射”排在不相邻的两周，共有240种排法
C．课程“御”“书”“数”排在相邻的三周，共有144种排法
D．课程“礼”不排在第一周，也不排在最后一周，共有480种排法
10．（2024·全国·高三专题练习）（多选题）下列人员的坐法种数为24的是（ ）
A．4把椅子排成一排，4人随机就座
B．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻
C．4人均不坐在写着自己名字的座位上
D．4把椅子排成一排，甲、乙、丙、丁四人中甲、乙必须相邻
三、填空题
11．（2024·全国·高三专题练习）某班准备利用班会的时间举行一场小型的文娱活动，准备表演3个歌唱类节目和2个语言类节目，现要排出一个节目单，若前2个节目中必须要有语言类节目，则不同的排法有 种．
12．（2024·全国·高三专题练习）某迷宫隧道猫爬架如图所示，，C为一个长方体的两个顶点，，是边长为3米的大正方形的两个顶点，且大正方形由完全相同的9小正方形拼成.若小猫从点沿着图中的线段爬到点，再从点沿着长方体的棱爬到点，则小猫从点爬到点可以选择的最短路径共有 条.

四、解答题
13．（2024上·全国·高三期末）现有10个运动员名额，作如下分配方案.
(1)平均分成5个组，每组2人，有多少种分配方案？
(2)分成7个组，每组最少1人，有多少种分配方案？
14．（2024下·全国·高一随堂练习）将4个编号分别为1，2，3，4的小球放入4个编号分别为1，2，3，4的盒子中．
（1）有多少种放法？
（2）每盒至多一球，有多少种放法？
（3）恰好有一个空盒，有多少种放法？
（4）每个盒内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，有多少种放法？
（5）把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种放法？
B能力提升
1．（2024·全国·高三专题练习）“第二课堂”是哈九中多样化课程的典型代表，旨在进一步培养学生的人文底蕴和科学精神，为继续满足同学们不同兴趣爱好，美育中心精心准备了大家非常喜爱的中华文化传承系列的第二课堂活动课：陶艺，拓印，扎染，创意陶盆，壁挂，剪纸六个项目供同学们选学，每位同学选择1个项目.则甲、乙、丙、丁这4名学生至少有3名学生所选的课全不相同的方法共有（ ）
A．135种 B．720种 C．1080种 D．1800种
2．（2024上·辽宁沈阳·高二沈阳市回民中学校考期末）某学校实行新课程改革，即除语、数、外三科为必考科目外，还要在理、化、生、史、地、政六科中选择三科作为选考科目.已知某生的高考志愿为某大学环境科学专业，按照该大学上一年高考招生选考科目要求理、化必选，为该生安排课表（上午四节、下午四节，每门课每天至少一节），已知该生某天最后两节为自习课，且数学不排下午第一节，语文、外语不相邻（上午第四节和下午第一节不算相邻），则该生该天课表有（ ）.
A．444种 B．1776种 C．1440种 D．1560种
3．（多选）（2023下·甘肃白银·高二统考开学考试）小许购买了一套五行文昌塔摆件（如图），准备一字排开摆放在桌面上，下列结论正确的有（ ）
A．不同的摆放方法共有120种
B．若要求“水塔”和“土塔”不相邻，则不同的摆放方法共有36种
C．若要求“水塔”和“土塔”不相邻，则不同的摆放方法共有72种
D．若要求“水塔”和“土塔”相邻，且“水塔”不摆两端，则不同的摆放方法共有36种
4．（2023下·山东·高二济南市章丘区第四中学校联考阶段练习）中国救援力量在国际自然灾害中为拯救生命作出了重要贡献，很好地展示了国际形象，增进了国际友谊，多次为祖国赢得荣誉．现有6支救援队（含甲、乙）前往A，B，C三个受灾点执行救援任务，若每支救援队只能去其中一个受灾点，且每个受灾点至少安排1支救援队，其中A受灾点至少需要2支救援队，且甲、乙2支救援队不能去同一个受灾点，则不同的安排方法种数是 ．
5．（2023下·湖北宜昌·高二校联考期中）第18届亚足联亚洲杯将于2023年举行，已知此次亚洲杯甲裁判组有6名裁判，分别是.（以下问题用数字作答）
(1)若亚洲杯组委会邀请甲裁判组派裁判去参加一项活动，必须有人去，去几人由甲裁判组自行决定，问甲裁判组共有多少种不同的安排方法？
(2)若亚洲杯组委会安排这6名裁判担任6场比赛的主裁判，每场比赛只有1名主裁判，每名裁判只担任1场比赛的主裁判，根据回避规则，其中A不担任第一场比赛的主裁判，不担任第三场比赛的主裁判，问共有多少种不同的安排方法？
(3)若亚洲杯组委会将这6名裁判全部安排到3项不同的活动中，每项活动至少安排1名裁判，每名裁判只参加1项活动，问共有多少种不同的安排方法？21世纪教育网(www.21cnjy.com)
第03讲 6.2.3组合+6.2.4组合数
课程标准 学习目标
①了解组合、组合数的意义。 ②掌握常见的组合处理方法。 ③会用组合的相关方法解决简单的组合问题。 ④熟练运用组合数的相关公式及性质解决与组合有关的问题。 ⑤在实际问题中能区分排列与组合的关系，准确选择恰当的方法解决排列组合的相关问题。 1.掌握组合、组合数的意义； 2.能解决简单的组合问题； 3.并能解决简单的排列组合综合问题；
知识点01：组合
（1）定义：一般地：从个不同的元素中取出()个元素作为一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合.
（2）相同组合：只要两个组合的元素相同，无论元素的顺序如何，都是相同的组合.
（3）组合与排列的异同
相同点:组合与排列都是“从个不同的元素中取出()个元素”.
不同点:组合要求元素“不管元素的顺序合成一组”,而排列要求元素“按照一定的顺序排成一列”因此区分某一问题是组合问题还是排列问题,关键是看选出的元素是否与顺序有关,即交换某两个元素的位置对结果有没有影响,若有影响,则是排列问题，若无影响，则是组合问题.
知识点02：组合数与组合数公式
（1）组合数的定义：从个不同元素中取出()个元素的所有不同组合的个数,叫做从个不同元素中取出个元素的组合数,用符号表示.
（2）组合数公式
或：（，）.
规定：
【即学即练1】（2023上·高二课时练习）计算：
(1)； (2)； (3).
【答案】(1)455 (2)21 (3)19900
【详解】（1）；
（2）；
（3）
知识点03：组合数的性质
（1）性质1：
（2）性质2：
【即学即练2】（2022下·广东梅州·高二校考阶段练习）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由组合数性质知，，
所以，
所以，得.
故选：A.
【即学即练3】（多选）（2023上·辽宁·高二校联考阶段练习）满足方程的值为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
【答案】AB
【详解】因为，所以或
解得：或或或，
当时，，故舍去；
当时，，故舍去；
当时，；
当时，；
故选: AB
题型01 组合的概念
【典例1】（2023下·新疆乌鲁木齐·高二乌鲁木齐市第六十八中学校考期中）下列四个问题属于组合问题的是（ ）
A．从名志愿者中选出人分别参加导游和翻译的工作
B．从、、、这个数字中选取个不同的数字排成一个三位数
C．从全班同学中选出名同学参加学校运动会开幕式
D．从全班同学中选出名同学分别担任班长、副班长
【答案】C
【详解】对于A选项，从名志愿者中选出人分别参加导游和翻译的工作，
将人选出后，还要安排导游或翻译的工作，与顺序有关，这个问题为排列问题；
对于B选项，从、、、这个数字中选取个不同的数字排成一个三位数，
选出三个数字之后，还要将这三个数安排至个位、十位、百位这三个数位，
与顺序有关，这个问题为排列问题；
对于C选项，从全班同学中选出名同学参加学校运动会开幕式，只需将三名同学选出，
与顺序无关，这个问题为组合问题；
对于D选项，从全班同学中选出名同学分别担任班长、副班长，
将人选出后，还要安排至班长、副班长两个职务，与顺序有关，这个问题为排列问题.
故选：C.
【典例2】（多选）（2023下·河北石家庄·高二校考阶段练习）下列问题是组合问题的是（ ）
A．把5本不同的书分给5个学生，每人一本
B．从7本不同的书中取出5本给某个同学
C．10个人相互发一微信，共发几次微信
D．10个人互相通一次电话，共通了几次电话
【答案】BD
【详解】A.因为书不同，每个同学拿到的也不同，与顺序有关，故不是组合问题；
B.从7本不同的书中取出5本给某个同学，每种取法中取出的书不考虑顺序，故是组合问题；
C. 10个人相互发一微信，与顺序有关，故不是组合问题；
D. 因为互相通一次电话与顺序无关，故是组合问题；
故选：BD
【典例3】（多选）（2023下·高二单元测试）下列是组合问题的是（ ）
A．平面上有5个点，其中任意三个点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？
B．10支球队以单循环进行比赛（每两队比赛一次），共进行多少场次？
C．从10个人中选出3个为代表去开会，有多少种选法？
D．从10个人中选出3个为不同学科的课代表，有多少种选法？
【答案】ABC
【详解】A是组合问题，因为两点确定一条直线，与点的顺序无关；
B是组合问题，因为每两个队比赛一次，并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别；
C是组合问题，因为三个代表之间没有顺序的区别；
D是排列问题，因为三个人中，担任哪一科的课代表是有顺序区别的．
故选:ABC．
【典例4】（2022·高二课时练习）判断下列问题是组合问题还是排列问题．
(1)若集合，则集合的含有3个元素的子集有多少个？
(2)某铁路线上有4个车站，则这条铁路线上需准备多少种车票？
(3)从7本不同的书中取出5本给某同学；
(4)三个人去做5种不同的工作，每人做1种，有多少种分工方法？
(5)把3本相同的书分给5个学生，每人最多得一本，有多少种分配方法？
【答案】(1)组合问题 (2)排列问题 (3)组合问题
(4)排列问题 (5)组合问题
【详解】（1）因为集合的任一个含3个元素的子集与元素顺序都无关，所以它是组合问题．
（2）因为车票与起点、终点顺序有关，例如“甲→乙”与“乙→甲”的车票不同，所以它是排列问题．
（3）因为从7本不同的书中取出5本给某同学，取出的5本书并不考虑书的顺序，所以它是组合问题．
（4）因为从5种不同的工作中选出3种，按一定顺序分给三个人去做，所以它是排列问题．
（5）因为3本书是相同的，把这3本书无论分给哪三个人都不需要考虑顺序，所以它是组合问题．
【变式1】（2022下·黑龙江齐齐哈尔·高二龙江县第一中学校考阶段练习）下面问题中，是排列问题的是（ ）
A．由1，2，3三个数字组成无重复数字的三位数
B．从40人中选5人组成篮球队
C．从100人中选2人抽样调查
D．从1，2，3，4，5中选5个数组成集合
【答案】A
【详解】解：对于A，由1，2，3三个数字组成无重复数字的三位数，
则共有种排法，是排列问题；
对于B，从40人中选5人组成篮球队，有种选法，是组合问题；
对于C，从100人中选2人抽样调查，有种选法，是组合问题；
对于D，从1，2，3，4，5中选5个数组成集合，有种选法，是组合问题.
故选：A.
【变式2】（2023上·高二课时练习）判断下列问题分别是排列问题还是组合问题：
(1)从10名学生中任选5名去参观一个展览会，求有多少种不同的选法；
(2)从1、2、3、4、5这5个数字中，每次任取2个不同的数作为一个点的坐标，求所有不同点的个数；
(3)一个黄袋中装有四张分别写有1、3、5、7的卡片，另一个红袋中装有四张分别写有2、8、16、32的卡片．从红袋和黄袋中各任取一张卡片，问这两张卡片上的数相加所得的和有多少种；
(4)有四本不同的书要分别送给四个人，每人一本，问一共有多少种不同的送法．
【答案】(1)组合问题 (2)排列问题 (3)组合问题 (4)排列问题
【详解】（1）从10名学生中任选5名去参观一个展览会，选出的学生不用排序，
所以这是组合问题.
（2）从1、2、3、4、5这5个数字中，每次任取2个不同的数作为一个点的坐标，
由于坐标有横纵坐标之分，所以选出的2个不同的数需要排序，
故这是排列问题.
（3）从红袋和黄袋中各任取一张卡片，求这两张卡片上的数相加所得的和，
因为加法满足交换律，故选出的卡片不用排序，
所以这是组合问题.
（4）因为四本不同的书送给四个人，要求每人一本，
所以这四本书需要排序，故这是排列问题.
【变式3】（2023下·高二课时练习）判断下列问题是组合问题还是排列问题：
(1)某铁路线上有4个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票？
(2)把5本不同的书分给5个学生，每人一本；
(3)从7本不同的书中取出5本给某个学生．
【答案】(1)排列问题 (2)排列问题 (3)组合问题
【详解】（1）因为一种火车票与起点、终点顺序有关，如甲→乙和乙→甲的车票是不同的，所以它是排列问题．
（2）由于书不同，每人每次拿到的书也不同，有顺序之分，因此它是排列问题．
（3）从7本不同的书中，取出5本给某个学生，在每种取法中取出的5本并不考虑书的顺序，故它是组合问题．
题型02 组合数的计算、化简与证明
【典例1】（2024·全国·高三专题练习）（ ）
A．74 B．98 C．124 D．148
【答案】C
【详解】．
故选：C．
【典例2】（多选）（2024上·吉林·高二长春市第二实验中学校联考期末）下列有关排列数、组合数的等式中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【详解】A选项，，A错误；
B选项，根据组合公式得到，B正确；
C选项，，
，
故，C正确；
D选项，，D错误.
故选：BC
【典例3】（2023下·新疆乌鲁木齐·高二乌鲁木齐市第六十八中学校考期中）（1）计算：；
（2）证明：.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】（1）利用排列数公式可求得所求代数式的值；
（2）利用组合数公式可证得结论成立.
【详解】（1）；
（2）证明：，
，
因此，.
【变式1】（多选）（2023下·河北石家庄·高二石家庄市第十八中学校考阶段练习）下列等式中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【详解】A：，正确；
B：，错误；
C：，正确；
D：，正确；
故选：ACD
【变式2】（2023上·江西南昌·高二南昌十中校考期中）（1）计算：；
（2）求值：.
【答案】（1）；（2）或
【详解】（1）；
（2）由组合数的定义知：，解得，又，
或.
当时；
当时.
所以的值为或.
【变式3】（2023上·高二课时练习）m是自然数，n为正整数，且，求证：．
【答案】证明见解析
【详解】根据组合数公式，可以得到．
题型03 组合数方程与不等式
【典例1】（2023上·河南驻马店·高二统考期末）关于的方程的解为（ ）
A． B． C．且 D．或
【答案】D
【详解】因为，则或，解得或，
若，可得，符合题意；
若，可得，符合题意；
综上所述：或.
故选：D.
【典例2】（2023上·山东德州·高二校考阶段练习）（1）解关于x的不等式．
（2）求等式中的n值．
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）由，得，，
于是，整理得，解得，
所以.
（2）原方程变形为，即，显然，
因此，
化简整理，得，而，解得，
所以.
【典例3】（2024·全国·高三专题练习）（1）解不等式．
（2）若，求正整数n．
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）由，可得，可得.
可得，
所以，即，
因为，，，
，，
所以；
（2）
，
故，解得.
【变式1】（2023上·高二课时练习）不等式的解为 ．
【答案】
【详解】依题意，所以且，
由得，
，
所以不等式的解为.
故答案为：
【变式2】（2023下·河北石家庄·高二校考阶段练习）若，求m.
【答案】或
【详解】依题意，得且，所以，
由，可得，即，解得，
又因为，所以或.
【变式3】（2024上·辽宁沈阳·高二校联考期末）（1）已知，计算：；
（2）解方程：．
【答案】（1）126；（2）．
【详解】（1）因为，则，解得，经验证符合题意，
所以
.
（2）由，得，
即，而由，知，解得，
所以原方程的解为.
题型04 组合数的性质及其应用
【典例1】（2023下·甘肃白银·高二统考开学考试）（ ）
A．84 B．120 C．126 D．210
【答案】D
【详解】因为，
所以．
故选：D
【典例2】（2023下·山东济宁·高二统考期中）若，则的值为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．3或6
【答案】D
【详解】因为，所以或，解得或.经检验符合题意
故选：D
【典例3】（多选）（2023下·江苏南京·高二南京师大附中校考期中）若，则正整数的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【详解】因为，所以，即或，
解得或3，经检验均满足要求.
故选：AC
【典例4】（2023下·河北邢台·高二邢台一中校考阶段练习）若（），则 .
【答案】4
【详解】由题意可知，解得，
或，解得，舍去，
综上：.
故答案为：4
【变式1】（2023下·江苏徐州·高二徐州高级中学校考期中）若，则的值为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】C
【详解】若，则，
所以,解得.
故选:C.
【变式2】（多选）（2023下·山西运城·高二统考期中）若，则的值可以是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】BC
【详解】因为，所以或，解得或8.
故选：BC
【变式3】（2023上·福建龙岩·高二校考阶段练习）若，则的值为 .
【答案】210
【详解】，
，即，
，
=210，
故答案为：210.
题型05 有限制条件的组合问题
【典例1】（2024·全国·高三专题练习）用2个0，2个1和1个2组成一个五位数，则这样的五位数有（ ）
A．8个 B．12个 C．18个 D．24个
【答案】C
【详解】当首位为2时，这样的五位数有个；
当首位为1时，这样的五位数有个.
综上，这样的五位数共有个.
故选：C.
【典例2】（2024上·上海·高二校考期末）2020年底以来，我国多次在重要场合和政策文件中提及碳中和，碳中和指的是二氧化碳排放量和吸收景可以正负抵消，实现二氧化碳“零排放”.二氧化碳的分子是由一个碳原子和两个氧原子构成的，其结构式为.已知氧有、、三种天然同位素，碳有、、三种天然同位素，则由上述同位素可构成的不同二氧化碳分子共有 个.
【答案】18
【详解】分以下两种情况讨论：
若两个氧原子相同，此时二氧化碳分子共有种；
若两个氧原子不同，此时二氧化碳分子共有种.
由分类加法计数原理可知，由上述同位素可构成的不同二氧化碳分子共有种.
故答案为：18
【典例3】（2024·全国·高三专题练习）某校为促进拔尖人才培养开设了数学、物理、化学、生物、信息学五个学科竞赛课程，现有甲、乙、丙、丁四位同学要报名竞赛课程，由于精力和时间限制，每人只能选择其中一个学科的竞赛课程，则恰有两位同学选择数学竞赛课程的报名方法数为 ．
【答案】96
【详解】由题知先安排甲、乙、丙、丁四位同学的2名选择数学竞赛课程，
则有：种情况，
剩下2名同学在选择物理、化学、生物、信息学四个学科竞赛课程时有：
①2名同学选择1个学科竞赛则有：种情况，
②2名同学各选择1个学科竞赛则有种情况，
所以恰有两位同学选择数学竞赛课程的报名方法数为：
种情况，
故答案为：96.
【变式1】（2024上·海南海口·高三海南中学校考阶段练习）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读3种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（ ）
A．30种 B．60种 C．180种 D．240种
【答案】C
【详解】甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读3种，
则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有种.
故选：C
【变式2】（2024·全国·高三专题练习）中国空间站的主体结构包括天和核心实验舱 问天实验舱和梦天实验舱，假设空间站要安排甲 乙等5名航天员开展实验，三舱中每个舱至少一人至多二人，则甲乙不在同一实验舱的种数有（ ）
A．60 B．66 C．72 D．80
【答案】C
【详解】5名航天员安排三舱，每个舱至少一人至多二人，共有种安排方法，
若甲乙在同一实验舱的种数有种，
故甲乙不在同一实验舱的种数有种.
故选：C.
【变式3】（2024·全国·高三专题练习）从1，2，3，4，5，6中选取4个数字，组成各个数位上的数字既不全相同，也不两两互异的四位数，记四位数中各个数位上的数字从左往右依次为a，b，c，d，且要求，则满足条件的四位数的个数为 .
【答案】105
【详解】由题意可知，只用2个不同的数字时，有（种）选法，
按照位数要求，每种数字组合组成的符合要求的四位数有3个，比如数字1和2，可以构成的四位数有1222，1122，1112，所以共有（个）符合要求的四位数.
只用3个不同的数字时，有（种）选法，
按照位数要求，每种数字组合组成的符合要求的四位数有3个，比如数字1，2，3，可以构成的四位数有1123，1223，1233，所以共有（个）符合要求的四位数.
故符合要求的四位数总共有（个）.
故答案为：105
题型06 排列、组合的综合应用
【典例1】（2024·全国·高三专题练习）将六位数“”重新排列后得到不同的六位偶数的个数为 （ ）
A． B． C．216 D．
【答案】D
【详解】由题意，
末尾是或，
不同偶数个数为，
末尾是，
不同偶数个数为，
所以共有个.
故选：D
【典例2】（2024·全国·高三专题练习）中国空间站（China Space Station）的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.2022年10月31日15：37分，我国将“梦天实验舱”成功送上太空，完成了最后一个关键部分的发射，“梦天实验舱”也和“天和核心舱”按照计划成功对接，成为“T”字形架构，我国成功将中国空间站建设完毕.2023年，中国空间站将正式进入运营阶段.假设空间站要安排甲、乙等6名航天员开展实验，三舱中每个舱至少一人至多三人，则不同的安排方法有（ ）
A．450种 B．72种 C．90种 D．360种
【答案】A
【详解】由题知，6名航天员安排三舱，
三舱中每个舱至少一人至多三人，
可分两种情况考虑：
第一种：分人数为的三组，共有种；
第二种：分人数为的三组，共有种；
所以不同的安排方法共有种.
故选：A.
【典例3】（2024·全国·高三专题练习）2022年11月，第五届中国国际进口博览会即将在上海举行，组委员会准备安排5名工作人员去A，B，C，D这4所场馆，其中A场馆安排2人，其余场馆各1人，则不同的安排方法种数为 ．
【答案】60
【详解】分为两步，第一步：安排2人去A场馆有种结果，第二步：安排其余3人到剩余3个场馆，有种结果，所以不同的安排方法种数为．
故答案为：60.
【典例4】（2024·全国·高三专题练习）2023年杭州亚运会需招募志愿者，现从某高校的8名志愿者中任意选出3名，分别担任语言服务、人员引导、应急救助工作，其中甲、乙2人不能担任语言服务工作，则不同的选法共有 种.
【答案】252
【详解】解：先从甲、乙之外的6人中选取1人担任语言服务工作，
再从剩下的7人中选取2人担任人员引导、应急救助工作，
则不同的选法共有种.
故答案为：252
【变式1】（2024·全国·高三专题练习）安排包括甲、乙在内的4名大学生去3所不同的学校支教，每名大学生只去一个学校，每个学校至少去1名，甲、乙不能安排在同一所学校，则不同的安排方法有（ ）
A．36种 B．30种 C．24种 D．12种
【答案】B
【详解】若每名大学生只去一个学校，每个学校至少去1名，则不同的安排方法有种，
若甲、乙安排在同一所学校，则不同的安排方法有种，
所以甲、乙不能安排在同一所学校，则不同的安排方法有种.
故选：B.
【变式2】（2024上·河北邯郸·高三磁县第一中学校考阶段练习）国际高峰论坛上，组委会要从6个国内媒体团和3个国外媒体团中选出3个媒体团进行提问，要求这3个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团，且国内媒体团不能连续提问，则不同的提问方式的种数为（ ）
A．306 B．198 C．268 D．378
【答案】B
【详解】由题可知选出的3个媒体团的构成有如下两类：
①选出的3个媒体团中只有一个国内媒体团，有种不同的提问方式；
②选出的3个媒体团中有两个国内媒体团，有种不同的提问方式．
综上，共有种不同的提问方式．
故选：B.
【变式3】（2024·全国·高三专题练习）从5男3女共8名学生中选出组长1人，副组长1人，普通组员3人组成5人志愿组，要求志愿组中至少有3名男生，且组长和副组长性别不同，则共有 种不同的选法.（用数字作答）
【答案】
【详解】由题意可知，当志愿组有3名男生，2名女生时，有种方法；
当志愿组有4名男生，1名女生时，有种方法，
由分类计数原理得，共有种不同的选法.
故答案为：.
【变式4】（2024·全国·高三专题练习）从2个不同的红球，2个不同的黄球，2个不同的蓝球共6个球中任取2个，放入红、黄、蓝色的三个袋子中，每个袋子至多放入1个球，且球色与袋色不同，则不同的放法有 种.
【答案】42
【详解】根据题意，分两类情况：
①若取出2个球全是同一种颜色，有3种可能，若为红色只需把它们放入蓝和黄即可，有（种），此时有（种）；
②若取出的2个球为两种颜色的球，有（种），若为一红一黄，每个袋子至多放入一个球，且球色与袋色不同，有3种方法，此时共有（种），
因此不同的放法有种.
故答案为：42.
题型07 与几何图形有关的组合问题
【典例1】（2023上·辽宁沈阳·高二校考阶段练习）如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（ ）
A．18 B．24 C．30 D．32
【答案】C
【详解】从到共有条最短路径，从到共有条路径，
故小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为.
故选：C
【典例2】（2023下·云南楚雄·高二统考期中）如图，小华从图中处出发，先到达处，再前往处，则小华从处到处可以选择的最短路径有（ ）

A．25条 B．48条 C．150条 D．512条
【答案】C
【详解】从处到处的最短路径有条，从处到处的最短路径有条，则小华从处到处可以选择的最短路径有条．
故选：C.
【典例3】（多选）（2023下·贵州贵阳·高二贵阳一中校考阶段练习）在某城市中，两地之间有如图所示的道路网，甲随机沿道路网选择一条最短路径，从地出发到地，则下列结论正确的是（ ）

A．不同的路径共有31条
B．不同的路径共有41条
C．若甲途经地，则不同的路径共有18条
D．若甲途经地，且不经过地，则不同的路径共有8条
【答案】AC
【详解】由图可知，从地出发到地的最短路径共包含7步，其中3步向上，4步向右，
且前3步中至少有1步向上，则不同的路径共有条，故A正确、B错误；
若甲途经地，则不同的路径共有条，故C正确；
若甲途经地，且不经过地，则不同的路径共有，故D错误；
故选：AC.
【变式1】（2023上·江西抚州·高二江西省抚州市第一中学校考阶段练习）在某城市中，A，B两地有如图所示的方格型道路网，甲随机沿道路网选择一条最短路径，从A地出发去往B地，途经C地，则不同的路线有（ ）
A．90 种 B．105 种 C．260种 D．315 种
【答案】B
【详解】由题可知，不同的路线有种．
故选：B.
【变式2】（2023上·上海闵行·高三上海市七宝中学校考期中）某数学兴趣小组用纸板制作正方体教具，现给图中的正方体展开图的六个区域涂色，有红、橙、黄、绿四种颜色可选，要求制作出的正方体相邻面所涂颜色均不同，共有 种不同的涂色方法.
【答案】
【详解】如图，还原回正方体后，、为正方体前后两个对面，、为左右两个对面，、为上下两个对面，

先涂有种涂法，
当与同色，再涂有种涂法，
若与同色，则有种涂法，最后涂有种涂法，
若与不同色，则有种涂法，最后涂有种涂法，
则有种涂法；
当与不同色，则涂有种涂法，涂有种涂法，此时与必同色且只有一种涂法，也只有种涂法，
则有，
综上可得一共有种涂法.
故答案为：
【变式3】（2023·全国·高二随堂练习）如图，湖面上有4个相邻的小岛A，B，C，D，现要建3座桥梁，将这4个小岛连接起来，共有多少种不同的方案？

【答案】16
【详解】由题意知要将4个相邻的小岛A，B，C，D连接起来，
共有个位置可以建设桥梁，
从这6个位置中选3个建设桥梁，共有种选法，
但选出的3个位置可能是仅连接或或或三个小岛，不合题意，
故要建3座桥梁，将这4个小岛连接起来，共有（种）不同的方案.
题型08 分组、分配问题
【典例1】（2023·四川雅安·统考一模）甲、乙、丙、丁4个学校将分别组织部分学生开展研学活动，现有五个研学基地供选择，每个学校只选择一个基地，则4个学校中至少有3个学校所选研学基地不相同的选择种数共有（ ）
A．420 B．460 C．480 D．520
【答案】C
【详解】求不相同的选择种数有两类办法：恰有3个学校所选研学基地不同有种方法，
4个学校所选研学基地都不相同有种方法，
所以不相同的选择种数有（种）.
故选：C
【典例2】（2023上·湖北武汉·高二武汉市东湖中学校考期中）为庆祝3.8妇女节，东湖中学举行了教职工气排球比赛，赛制要求每个年级派出十名成员分为两支队伍，每支队伍五人，并要求每支队伍至少有两名女老师，现高二年级共有4名男老师，6名女老师报名参加比赛.
(1)一共有多少不同的分组方案？
(2)在进入决赛后，每个年级只派出一支队伍参加决赛，在比赛时须按照1、2、3、4、5号位站好，为争取最好成绩，高二年级选择了、、、、、六名女老师进行训练，经训练发现不能站在5号位，若、同时上场，必须站在相邻的位置，则一共有多少种排列方式？
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）队伍分配方案可分为：①两组都是3女2男；②一组是1男4女，另一组是3男2女，
①若两组都是3女2男，
则先将6女平均分成两组共种方式，
再将4男平均分成两组共种方式，
所以两组都是3女2男的情况有种；
②一组是1男4女，另一组是3男2女的情况有种，
所以总情况数为种.
故一共有种不同的分组方案；
（2）总共可分为三种情况，如下：
①若上场且不上场：
先将全排列，共有种方式，
再把捆绑后和全排列共有种方式，
所以上场且不上场共有种不同的排列方式；
②若上场且也上场：
（i）若在1号位，先将全排列，共有种方式，
再从中选两人，有种方式，
则捆绑后和中的两人全排列，有种方式，
所以在1号位共有种不同的方式；
（ii）若在2号位，
再将全排列，且可位于3，4号位或4，5号位，共有种方式，
再从中选两人进行排列，有种方式，
所以在2号位或3号位共有种不同的方式；
（iii）若在3号位，
再将全排列，且可位于1，2号位或4，5号位，共有种方式，
再从中选两人进行排列，有种方式，
所以在2号位或3号位共有种不同的方式；
（iiii）若在4号位，
将全排列，且可位于1，2号位或2，3号位，共有种方式，
再从中选两人进行排列，有种方式，
所以在4号位共有种不同的方式.
所以上场且也上场共有种不同的方式；
③若中有一人上场且上场：
上场且不在5号位，则可位于1，2，3，4号位，有种方式，
再从中选一人，有种方式，
中的一人和共4人全排列，共种方式，
所以中有一人上场且上场共有种不同的排列方式.
综上所述，共有种排列方式.
【典例3】（2023下·河南郑州·高二校考期中）已知从左到右有5个空格.
(1)若向这5个格子填入0，1，2，3，4五个数，要求每个数都要用到，且第三个格子不能填0，则一共有多少不同的填法？
(2)若向这5个格子放入7个不同的小球，要求每个格子里都有球，问有多少种不同的放法？
【答案】(1)96
(2)16800
【详解】（1）根据题意，分2步进行分析：
①第三个格子不能填0，则0有4种选法；
②将其余的4个数字全排列，安排在其他四个格子中，有种情况，
则一共有种不同的填法；
（2）根据题意，分2步进行分析：
①、将7个小球分成5组，有2种分法：
若分成2－2－1－1－1的5组，有种分法，
若分成3－1－1－1－1的5组，有种分组方法，
则有（）种分组方法，
②、将分好的5组全排列，对应5个空格，有种情况，
则一共有种放法.
【典例4】（2022下·安徽安庆·高二安庆市第二中学校考期中）6位同学报名参加2022年杭州亚运会4个不同的项目（记为）的志愿者活动，每位同学恰报1个项目.
(1)6位同学站成一排拍照，如果甲乙两位同学必须相邻，丙丁两位同学不相邻，求不同的排队方式有多少种？
(2)若每个项目至少需要一名志愿者，求一共有多少种不同报名方式？
(3)若每个项目只招一名志愿者，且同学甲不参加项目，同学乙不参加项目，求一共有多少种不同录用方式？
【答案】(1)144
(2)1560
(3)252
【详解】（1）根据题意先把甲乙看成整体，与除了甲、乙、丙、丁之外的两人进行排列，再把丙丁插空进行排列，
所以共有.
（2）先分为4组，则按人数可分为1，1，1，3和1，1，2，2两种分组方式，共有种；
再分到4个项目，即可得共有；
（3）先考虑全部，则共有种排列方式，
其中甲参加项目共有种，同学乙参加项目共有种；
甲参加项目同时乙参加项目共有种，
根据题意减去不满足题意的情况共有种.
【典例5】（2023·高二课时练习）将四个小球放入编号为1、2、3、4的四个盒子中，根据下列条件求不同放法的种数．
(1)四个小球不同，每个盒子各放一个；
(2)四个小球相同，每个盒子各放一个；
(3)四个小球不同，四个盒子恰有一个空着；
(4)四个小球相同，四个盒子恰有一个空着．
【答案】(1)24
(2)1
(3)144
(4)12
（4）先将小球分组，再选出空盒，选出放入2个小球的盒子，从而得到答案.
【详解】（1）四个小球不同，每个盒子各放一个，属于全排列问题，则不同的放法有种；
（2）四个小球相同，每个盒子各放一个，每个小球放入任何一个盒子，都为同1种情况，故不同的放法有1种；
（3）四个小球不同，四个盒子恰有一个空着，则有一个盒子放入了2个小球，
先将四个不同的小球分为3组，有种情况，选出一个空盒，有种情况，
再将分好的3组小球，与对应的3个盒子进行全排列，共有种选择，
综上：四个小球不同，四个盒子恰有一个空着，选择方法有种；
（4）四个小球相同，四个盒子恰有一个空着，则有一个盒子放入了2个小球，
先将四个不同的小球分为3组，则只有1种分法，即2，1，1，
选出一个空盒，有种情况，
将分好的3组小球，放入3个盒子中，选出放入2个小球的盒子，有种情况，
综上：四个小球相同，四个盒子恰有一个空着，一共有种选择.
【变式1】（2024·河南郑州·统考一模）2023年12月6日上午，2023世界5G大会在郑州国际会展中心拉开帷幕．世界5G大会是全球5G领域国际性盛会，也是首次在豫举办．本次大会以“5G变革共绘未来”为主题，以持续推动5G不断演进创新为目标．现场邀请全球有影响力的科学家、企业家、国际组织负责人等参会，并进行高层次、高水平交流研讨．为确保大会顺利进行，面向社会招聘优秀志愿者，参与大会各项服务保障工作．现从包含甲、乙的6人中选派4人参与“签到组”、“服务组”、“物料组”、“机动组”四个不同的岗位工作，每人去一个组，其中甲、乙至少有一人参加且甲不去“签到组”的选派方法共有 种．（用数字作答）
【答案】
【详解】根据题意可知6人中选派4人参与选派方式共有种，
其中甲、乙都不参与的选派方式共有种，
其中甲、乙至少有一人参加且甲去“签到组”的选派方式共有种，
所以甲、乙至少有一人参加且甲不去“签到组”的选派方法共有种.
故答案为：
【变式2】（2023下·江苏宿迁·高二统考期中）某医疗小组有4名男性，2名女性共6名医护人员，医护人员甲是其中一名．
(1)若从中任选2人参加A，两项救护活动，每人只能参加其中一项活动，每项活动都要有人参加，求医护人员甲不参加项救护活动的选法种数；
(2)这6名医护人员将去3个不同的地方参与医疗支援，每人只能去一地，每地有2人前往，若2名女性不能去往同一个地方，求不同的分配方案种数．
【答案】(1)25
(2)72
【详解】（1）分两类：①甲参加项救护活动，再从其余5人中选一人参加A，选法数为，
②甲不参加救护活动，则从其余5人中任选两人参加救护活动，选法数为，
所以共有选法种数为20+5=25；
（2）分三步：第一步先安排两名女性医护人员有：，
第二步：安排两名女医护人员同去的男医护人员有：，
第三步：剩余两名男性医护人员去另外一地有： ，
所以共有不同的分配方案数为：．
【变式3】（2023下·湖北·高二校联考阶段练习）（1）将个不同的小球放入个不同的盒子中，没有空盒子，共有多少种不同的放法
（2）将个不同的小球放入个不同的盒子中，盒子可空，共有多少种不同的放法
（3）将个相同的小球放入个不同的盒子中，没有空盒子，共有多少种不同的放法
（4）将个相同的小球放入个不同的盒子中，盒子可空，共有多少种不同的放法
（注：要写出算式，结果用数字表示）
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.
【分析】（1）先将个不同的小球分为三组，确定每组小球的数量，然后将三组小球放
【详解】解：（1）将个不同的小球分为三组，每组的小球数量分别为、、或、、，
然后再将这三组小球放入三个盒子中，
因此，不同的放法种数为种；
（2）每个小球有种方法，由分步乘法计数原理可知，
将个不同的小球放入个不同的盒子中，盒子可空，不同的放法种数为种；
（3）将个相同的小球放入个不同的盒子中，没有空盒子，
只需在个相同的小球中间所形成的个空位中插入块板即可，
所以，不同的放法种数为种；
（4）将个相同的小球放入个不同的盒子中，盒子可空，
等价于将个相同的小球放入个不同的盒子中，每个盒子不空，
只需在个相同的小球中间所形成的个空位中插入块板即可，
所以，不同的放法种数为种.
【变式4】（2023下·浙江·高二杭州市萧山区第五高级中学校联考期中）盒子中有个不同的白球和个不同的黑球.
(1)若将这些小球取出后排成一排，使得黑球互不相邻，白球也不相邻，共有多少种不同的排法？
(2)随机一次性摸出个球，使得摸出的三个球中至少有个黑球，共有多少种不同的摸球结果？
(3)将这些小球分别放入另外三个不同的盒子，使得每个盒子至少一个球，共有多少种不同的放法？
（注：要写出算式，结果用数字表示）
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）解：将个不同的白球和个不同的黑球排成一排，使得黑球互不相邻，白球也不相邻，
只需先将个不同的黑球进行排序，然后将个不同的白球插入黑球在中间所形成的空位中，
由分步乘法计数原理可知，不同的排法种数为种.
（2）解：随机一次性摸出个球，使得摸出的三个球中至少有个黑球，
则黑球得个数可以是或或，
由分类加法计数原理可知，不同的摸球结果种数为种.
（3）解：先将这个小球分为组，则这三组小球的个数分别为、、或、、，
再将这三组小球分配给三个盒子，
由分步乘法计数原理可知，不同的放法种数为种.
【变式5】（2023下·河北石家庄·高二校联考期中）现有7本不同的书准备分给甲、乙、丙三人.
(1)若甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得4本，则不同的分配方法有多少种？
(2)若甲、乙、丙三人中，一人得3本，另外两人每人得2本，则不同的分配方法有多少种？
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）首先将7本书分成1本、2本、4本，共三组有种，
再将三组分给甲、乙、丙三人有种，
所以共有种.
（2）首先将7本书分成3本、2本、2本，共三组有种，
再将三组分给甲、乙、丙三人有种，
所以共有种.
A夯实基础 B能力提升
A夯实基础
一、单选题
1．（2024上·吉林·高二校联考期末）计算的值是（ ）
A．62 B．102 C．152 D．540
【答案】A
【分析】利用组合和排列数公式计算
【详解】
故选：A
2．（2023·全国·高三专题练习）满足，且的有序数组共有（ ）个.
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据组合的定义即可结合组合数求解.
【详解】由于，所以从1到9共9个数任取4个数得一个有序数组，所有个数为．
故选：A．
3．（2024·全国·高三专题练习）某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有
A．4种 B．10种 C．18种 D．20种
【答案】B
【详解】分两种情况：①选2本画册，2本集邮册送给4位朋友，有C42＝6种方法；②选1本画册，3本集邮册送给4位朋友，有C41＝4种方法．所以不同的赠送方法共有6＋4＝10(种)．
4．（2024上·辽宁锦州·高二统考期末）《数术记遗》是东汉时期徐岳编撰的一部数学专著，该书记述了我国古代14种算法，分别是：积算（即算筹） 太乙算 两仪算 三才算 五行算 八卦算 九宫算 运筹算 了之算 成数算 把头算 龟算 珠算 和计数.某学习小组有甲 乙 丙3人，该小组要收集九宫算 运筹算 了之算 成数算 把头算 珠算6种算法相关资料，要求每种算法只能一人收集，每人至少收集其中一种，则不同的分配方案种数为（ ）
A．240 B．300 C．420 D．540
【答案】D
【分析】根据分组分配问题，结合排列组合即可求解.
【详解】将6种算法分成3组，有1，1，4一组，有1，2，3一组，以及2，2，2一组，
然后将这3组分配给甲乙丙三个人，
所以不同的分配方案有，
故选：D
5．（2024上·吉林·高二校联考期末）为了支援与促进边疆少数民族地区教育事业发展，某市教育系统选派了三位男教师和两位女教师支援新疆，这五名教师被分派到三个不同地方对口支援，每位教师只去一个地方，每个地方至少去一人，其中两位女教师分派到同一个地方的方法种数为（ ）
A．18 B．150 C．36 D．54
【答案】C
【详解】五名教师被分派到三个不同地方对口支援，每位教师只去一个地方，每个地方至少去一人，
分派方案可按人数分为3，1，1或2，2，1两种情况，
根据题意两位女教师分派到同一个地方，分派方案可分为两种情况：
若两位女教师分配到同一个地方，且该地方没有男老师，则有：种方法；
若两位女教师分配到同一个地方，且该地方有一位男老师，则有：种方法；
故共有：36种分派方法，
故选：．
6．（2024·全国·模拟预测）“雍容华贵冠群芳，百卉争妍独占王．”牡丹花在很早之前就遍布世界各地，具有极高的观赏价值．某花房拟在一侧种植红、紫、白、蓝、黄、黑6色牡丹，种植时，黑牡丹与紫牡丹分别种在两端，白牡丹和蓝牡丹相邻．若白牡丹与黑牡丹不相邻，则不同的种植方法共有（ ）
A．24种 B．20种 C．12种 D．22种
【答案】B
【详解】求不同的种植方法需要两步，第一步：将黑牡丹与紫牡丹分别种在两端，共（种）方法；
第二步：将相邻的白牡丹和蓝牡丹看作一个整体，与红牡丹、黄牡丹一起排在黑牡丹与紫牡丹中间，
共（种）方法，其中，白牡丹与黑牡丹不相邻的排法有（种），
所以不同的种植方法共有（种）．
另解：求不同的种植方法需要3步，第一步：将黑牡丹与紫牡丹分别种在两端，共（种）方法；
第二步：在黑牡丹和紫牡丹中间种植红牡丹和黄牡丹，共（种）方法；
第三步：将相邻的白牡丹和蓝牡丹看作一个整体，在红牡丹和黄牡丹的前、中、后三个空位种植，且白牡丹与黑牡丹不相邻，共（种）方法，
所以不同的种植方法共有（种）．
故选：B
7．（2024·吉林白山·统考一模）2023年12月初，某校开展宪法宣传日活动，邀请了法制专家杨教授为广大师生做《大力弘扬宪法精神，建设社会主义法制文化》的法制报告，报告后杨教授与四名男生、两名女生站成一排合影留念，要求杨教授必须站中间，他的两侧均为两男1女，则总的站排方法共有（ ）
A．300 B．432 C．600 D．864
【答案】B
【详解】杨教授站中间，只有1种方法；
四名男生分成两组放在两边方法数；
两名女生放在两边方法数，
每一边两名男生与一名女生再排序，得出总的方法数为.
故选：B.
8．（2024·全国·模拟预测）某中学教师节活动分上午和下午两场，且上午和下午的活动均为A，B，C，D，E这5个项目.现安排甲、乙、丙、丁四位教师参加教师节活动，每位教师上午、下午各参加一个项目，每场活动中的每个项目只能有一位老师参加，且每位教师上午和下午参加的项目不同.已知丁必须参加上午的项目E，甲、乙、丙不能参加上午的项目A和下午的项目E，其余项目上午和下午都需要有人参加，则不同的安排方法种数为（ ）
A．20 B．40 C．66 D．80
【答案】C
【详解】因为丁必须参加上午的项目E，甲、乙、丙不能参加上午的项目A，所以上午甲、乙、丙参加B，C，D这3个项目，
共有种不同的安排方法.
又因为甲、乙、丙、丁四人下午参加的项目为A，B，C，D，分2类：
①丁参加项目A，共有2种不同的安排方法；
②丁参加B，C，D这3个项目中的1个，从甲、乙、丙中选1人参加项目A，剩下两人参加剩下的2个项目，
共有种不同安排方法；
综上所述：共有种不同的安排方法.
故选：C.
二、多选题
9．（2024·全国·高三专题练习）为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法正确的是（ ）
A．某学生从中选2门课程学习，共有15种选法
B．课程“乐”“射”排在不相邻的两周，共有240种排法
C．课程“御”“书”“数”排在相邻的三周，共有144种排法
D．课程“礼”不排在第一周，也不排在最后一周，共有480种排法
【答案】ACD
【详解】对于A，从六门课程中选两门的不同选法有种，A正确；
对于B，先排“礼”、“御”、“书”、“数”，再用插空法排“乐”“射”，不同排法共有种，B错误；
对于C，“御”“书”“数”排在相邻的三周，可将“御”“书”“数”视为一个元素，不同排法共有种，C正确；
对于D，从中间四周中任取一周排“礼”，再排其它五门体验课程共有种，D正确.
故选：ACD.
10．（2024·全国·高三专题练习）（多选题）下列人员的坐法种数为24的是（ ）
A．4把椅子排成一排，4人随机就座
B．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻
C．4人均不坐在写着自己名字的座位上
D．4把椅子排成一排，甲、乙、丙、丁四人中甲、乙必须相邻
【答案】AB
【详解】A项中，4把椅子排成一排，4人随机就座的坐法种数为，故A正确；
B项中，利用“插空法”，先排3个空位，形成4个空隙供3人选择就座，因此任何两人不相邻的坐法种数为，故B正确；
C项中，第一个人有3种选择，然后第一个人坐的座位名字对应的人也有3种选择，剩余两人只有1种选择，所以共有9种坐法，故C错误；
D项中，4把椅子排成一排，甲、乙、丙、丁四人中甲、乙必须相邻的坐法种数为，故D错误.
故选：AB.
三、填空题
11．（2024·全国·高三专题练习）某班准备利用班会的时间举行一场小型的文娱活动，准备表演3个歌唱类节目和2个语言类节目，现要排出一个节目单，若前2个节目中必须要有语言类节目，则不同的排法有 种．
【答案】84
【详解】若前2个节目都是语言类节目，此时后3个为歌唱类节目，有种情况；
若前2个节目中恰有1个是语言类，有1个是歌唱类，则有种情况，
剩余的3个节目进行全排列，则有种情况，则共有种情况．
综上，有种不同的排法，
故答案为：84
12．（2024·全国·高三专题练习）某迷宫隧道猫爬架如图所示，，C为一个长方体的两个顶点，，是边长为3米的大正方形的两个顶点，且大正方形由完全相同的9小正方形拼成.若小猫从点沿着图中的线段爬到点，再从点沿着长方体的棱爬到点，则小猫从点爬到点可以选择的最短路径共有 条.

【答案】
【详解】小猫要从点爬到点，需要先从点爬到点，需要走3横3竖，则可选的路径共有条，
再从点爬到点的路径共6条，用分步乘法计数原理可得小猫可以选择的最短路径有20×6=120条.
故答案为：120.
四、解答题
13．（2024上·全国·高三期末）现有10个运动员名额，作如下分配方案.
(1)平均分成5个组，每组2人，有多少种分配方案？
(2)分成7个组，每组最少1人，有多少种分配方案？
【答案】(1)945
(2)84
【详解】（1）根据平均分配规律，则平均分配5个组共有种方案.
（2）10名运动员排成一排，中间形成9个空隙，选6个位置插入隔板，
则分成7组，故分配方案共有种.
14．（2024下·全国·高一随堂练习）将4个编号分别为1，2，3，4的小球放入4个编号分别为1，2，3，4的盒子中．
（1）有多少种放法？
（2）每盒至多一球，有多少种放法？
（3）恰好有一个空盒，有多少种放法？
（4）每个盒内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，有多少种放法？
（5）把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种放法？
【答案】（1）256；（2）24；（3）144；（4）8；（5）12.
【详解】（1）根据题意，每个小球有4种放法，则4个小球有44＝256种放法，
（2）根据题意，每盒至多一球，即每个盒子都只能放1个球，有＝24种放法，
（3）根据题意，分2步进行分析：在4个球中任选2个，
放入1个盒子中，有＝24种放法，
在剩下的3个盒子中，任选2个，
放入剩下2个两个小球，有＝6种放法，则有6×24＝144种放法；
（4）根据题意，分2步进行分析：在4个小球中任选1个，
放入编号相同的盒子中，有＝4种放法，
剩下3个小球放入编号不同的盒子中，
有2种放法，则有4×2＝8种不同的放法，
（5）根据题意，在4个盒子中选出1个，放入2个小球，有4种选法，
在剩下的3个盒子中，任选2个，分别放入1个小球，有＝3中选法，
则有4×3＝12种不同的放法．
B能力提升
1．（2024·全国·高三专题练习）“第二课堂”是哈九中多样化课程的典型代表，旨在进一步培养学生的人文底蕴和科学精神，为继续满足同学们不同兴趣爱好，美育中心精心准备了大家非常喜爱的中华文化传承系列的第二课堂活动课：陶艺，拓印，扎染，创意陶盆，壁挂，剪纸六个项目供同学们选学，每位同学选择1个项目.则甲、乙、丙、丁这4名学生至少有3名学生所选的课全不相同的方法共有（ ）
A．135种 B．720种 C．1080种 D．1800种
【答案】C
【详解】恰有2名学生选课相同，
第一步，先将选课相同的2名学生选出，有种可能；
第二步，从6个项目中选出3个排好，有.
根据分步计数原理可得，方法有；
4名学生所选的课全不相同的方法有.
根据分类加法计数原理可得，甲、乙、丙、丁这4名学生至少有3名学生所选的课全不相同的方法共有.
故选：C.
2．（2024上·辽宁沈阳·高二沈阳市回民中学校考期末）某学校实行新课程改革，即除语、数、外三科为必考科目外，还要在理、化、生、史、地、政六科中选择三科作为选考科目.已知某生的高考志愿为某大学环境科学专业，按照该大学上一年高考招生选考科目要求理、化必选，为该生安排课表（上午四节、下午四节，每门课每天至少一节），已知该生某天最后两节为自习课，且数学不排下午第一节，语文、外语不相邻（上午第四节和下午第一节不算相邻），则该生该天课表有（ ）.
A．444种 B．1776种 C．1440种 D．1560种
【答案】B
【详解】理、化、生、史、地、政六选三，且理、化必选，
所以只需在生、史、地、政中四选一，有（种）.
对语文、外语排课进行分类，第1类：语文、外语有一科在下午第一节，则另一科可以安排在上午四节课中的任意一节，剩下的四科可全排列，有（种）；
第2类：语文、外语都不在下午第一节，则下午第一节可在除语、数、外三科的另三科中选择，有（种），
语文和外语可都安排在上午，即上午第一、三节，上午第一、四节，上午第二、四节3种，
也可一科在上午任一节，一科在下午第二节，有（种），
其他三科可以全排列，有（种）.
综上，共有（种）.
故选：B
3．（多选）（2023下·甘肃白银·高二统考开学考试）小许购买了一套五行文昌塔摆件（如图），准备一字排开摆放在桌面上，下列结论正确的有（ ）
A．不同的摆放方法共有120种
B．若要求“水塔”和“土塔”不相邻，则不同的摆放方法共有36种
C．若要求“水塔”和“土塔”不相邻，则不同的摆放方法共有72种
D．若要求“水塔”和“土塔”相邻，且“水塔”不摆两端，则不同的摆放方法共有36种
【答案】ACD
【详解】由题可知，不同的摆放方法共有种，A正确；
若要求“水塔”和“土塔”不相邻，则不同的摆放方法共有种，C正确，B不正确；
若要求“水塔”和“土塔”相邻，且“水塔”不摆两端，则不同的摆放方法共有种，D正确．
故选：ACD
4．（2023下·山东·高二济南市章丘区第四中学校联考阶段练习）中国救援力量在国际自然灾害中为拯救生命作出了重要贡献，很好地展示了国际形象，增进了国际友谊，多次为祖国赢得荣誉．现有6支救援队（含甲、乙）前往A，B，C三个受灾点执行救援任务，若每支救援队只能去其中一个受灾点，且每个受灾点至少安排1支救援队，其中A受灾点至少需要2支救援队，且甲、乙2支救援队不能去同一个受灾点，则不同的安排方法种数是 ．
【答案】266
【详解】若将6支救援队分成1，1，4三组，再分到A，B，C三个受灾点，
共有种不同的安排方法，
其中甲、乙去同一个地方的有种，
所以有N1＝30－12＝18种不同的安排方法；
若将6支救援队分成1，2，3三组，再分到A，B，C三个受灾点，
共有种不同的安排方法，
其中甲、乙去同一个地方的有种，
所以有N2＝240一64＝176种不同的安排方法；
若将6支救援队分成2，2，2三组，再分到A，B，C三个受灾点，
共有种不同的安排方法，
其中甲、乙去同一个地方的有种，
所以有N3＝90－18＝72种不同的安排方法．
故共有N＝N1＋N2＋N3＝266种不同的安排方法．
故答案为：266.
5．（2023下·湖北宜昌·高二校联考期中）第18届亚足联亚洲杯将于2023年举行，已知此次亚洲杯甲裁判组有6名裁判，分别是.（以下问题用数字作答）
(1)若亚洲杯组委会邀请甲裁判组派裁判去参加一项活动，必须有人去，去几人由甲裁判组自行决定，问甲裁判组共有多少种不同的安排方法？
(2)若亚洲杯组委会安排这6名裁判担任6场比赛的主裁判，每场比赛只有1名主裁判，每名裁判只担任1场比赛的主裁判，根据回避规则，其中A不担任第一场比赛的主裁判，不担任第三场比赛的主裁判，问共有多少种不同的安排方法？
(3)若亚洲杯组委会将这6名裁判全部安排到3项不同的活动中，每项活动至少安排1名裁判，每名裁判只参加1项活动，问共有多少种不同的安排方法？
【答案】(1)63种
(2)504种
(3)540种
【详解】（1）由题意知：可去名裁判，
所以共有（种）不同的安排方法.
（2）这6名裁判担任6场比赛的主裁判，每场比赛只有1名主裁判，每名裁判只担任1场比赛的主裁判，共有种方法，
若A担任第一场比赛的主裁判的方法数为；
若C担任第三场比赛的主裁判的方法数为；
若A担任第一场比赛的主裁判同时担任第三场比赛的主裁判的方法数为；
所以A不担任第一场比赛的主裁判，不担任第三场比赛的主裁判，共有（种）不同的安排方法.
（3）亚洲杯组委会将这6名裁判安排到3项不同的活动中，每项活动至少安排1名裁判，则分类如下：
①这6名裁判分为1人，1人，4人这三组，共有（种）不同的安排方法；
②这6名裁判分为1人，2人，3人这三组，共有（种）不同的安排方法；
③这6名裁判分为2人，2人，2人这三组，共有（种）不同的安排方法.
综上所述：组委会将这6名裁判安排到3项不同的活动中，每项活动至少安排1名裁判，共有（种）不同的安排方法.
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