资源简介

第04讲 6.3.1二项式定理+6.3.2二项式系数的性质
课程标准 学习目标
①理解二项式定理的概念，会用二项式定理求解二项展开式。 ②掌握二项式系数的规律和指数的变化规律。 ③掌握多项式展开式的通项及特殊项或系数。 ④理解二项式系数的性质。 ⑤会用赋值法求展开式系数的和。 1.要求能运用二项式定理求解二项展开式； 2.会求展开式中的二项式系数，特殊项及特殊项系数； 3.能用待定法求展开式中的待定系数.能解决与二项式定理相关的综合问题； 4.能理解二项式系数的性质； 5.掌握二项式系数的增减性，灵活应用赋值法求二项展开式各项系数和.
知识点01：知识链接
（1）
（2）
知识点02：二项式定理及相关概念
（1）二项式定理
一般地，对于每个（），的展开式中共有个，将它们合并同类项，就可以得到二项展开式：（）.这个公式叫做二项式定理.
（2）二项展开式
公式中：，等号右边的多项式叫做的二项展开式.
【即学即练1】（2023上·高二课时练习）用二项式定理展开下列各式：
(1)； (2)．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【详解】（1）
.
（2）
.
（3）二项式系数与项的系数
二项展开式中各项的二项式系数为(),项的系数是指该项中除变量外的常数部分,包含符号等.
【即学即练2】（2023上·辽宁朝阳·高三建平县实验中学校联考阶段练习）在二项式的展开式中，二项式系数最大的是（ ）
A．第3项 B．第4项
C．第5项 D．第3项和第4项
【答案】B
【详解】二项式的展开式共有7项，则二项式系数最大的是第4项.
故选：B.
【即学即练3】（2023上·天津滨海新·高三塘沽二中校考阶段练习）若的二项展开式中所有二项系数的和等于，则在的展开式中，的系数是 ．
【答案】
【详解】因为的二项展开式中所有二项系数的和等于，
所以，则，
则展开式的通项为（其中且），
令，解得，
所以展开式中的系数为．
故答案为：．
（4）二项式定理的三种常见变形
①
②
③
知识点03：二项展开式的通项
二项展开式中的()叫做二项展开式的通项,用表示,即通项为展开式的第项:.通项体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律,是二项式定理的核心,它在求展开式的某些特定项(如含指定幂的项常数项、中间项、有理项、系数最大的项等)及其系数等方面有着广泛的应用.
知识点04：二项式系数的性质
①对称性：二项展开式中与首尾两端距离相等的两个二项式系数相等：
②增减性：当时，二项式系数递增，当时，二项式系数递减；
③最大值：当为奇数时，最中间两项二项式系数最大；当为偶数时，最中间一项的二项式系数最大.
④各二项式系数和： ；
奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等：
【即学即练4】（2023·全国·高三专题练习）已知，，若，则该展开式各项的二项式系数和为（ ）
A．81 B．64 C．27 D．32
【答案】D
【详解】，，
∴，解得，
∴该展开式各项的二项式系数和为.
故选：D
【即学即练5】（2023上·辽宁沈阳·高二校考阶段练习）若展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为 ．
【答案】15
【详解】因为展开式的二项式系数之和为64，
所以，所以，
所以二项式为，
所以第项展开式为，
若求常数项，则令，所以，
所以，即常数项为15.
故答案为：15.
题型01 求型的展开式
【典例1】（2023下·北京通州·高二统考期中）二项式的展开式为（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】（2023上·高二课时练习）求的二项展开式．
【典例3】（2023·全国·高二专题练习）利用二项式定理展开下列各式：
(1)；
(2)．
【变式1】（2023·全国·高二课堂例题）写出的展开式．
【变式2】（2023·全国·高二专题练习）求的展开式．
题型02 二项展开式的逆用
【典例1】（2023下·黑龙江七台河·高二勃利县高级中学校考期中）（ ）.
A．1 B．－1
C．(－1)n D．3n
【典例2】（2023下·上海浦东新·高二校考期中） .
【典例3】（2023上·高二课时练习）化简．
【变式1】（2023上·高二课时练习）化简：设，则 ．
【变式2】（2023下·安徽合肥·高二统考期末）已知，则的值为 ．
【变式3】（2023·辽宁大连·育明高中校考一模）的值是 .
题型03二项展开式中的特定项或特定系数问题
【典例1】（2023·四川南充·统考一模）二项式的展开式中常数项为（ ）
A． B．60 C．210 D．
【典例2】（2023下·山东济宁·高二统考期中）的展开式中的系数是（ ）
A．126 B．125 C．96 D．83
【典例3】（2023·西藏拉萨·统考一模）二项式的展开式中的第3项为（ ）
A．160 B． C． D．
【典例4】（2023上·高二课时练习）的展开式的第3项的系数为 ；常数项为 ．
【变式1】（2023上·北京东城·高三景山学校校考阶段练习）二项式的展开式中常数项为 .(用数字作答)
【变式2】（2023·山西临汾·校考模拟预测）的展开式中含的项的系数是 ．（用数字作答）
【变式3】（2023下·四川遂宁·高三射洪中学校考阶段练习）二项式展开式中的含项的系数为 ．
【变式4】（2023下·江苏镇江·高二统考期中）在展开式中，项的系数为 .
题型04 三项展开式中的特定项或特定系数问题
【典例1】（2023下·河北邢台·高二统考期末）展开式中的常数项为（ ）
A．6 B．15 C．20 D．28
【典例2】（2023·广东广州·统考模拟预测）的展开式中的系数为 （用数字作答）.
【典例3】（2023上·山东·高三沂源县第一中学校联考开学考试）展开式中含项的系数为 ．
【变式1】（2023·广东·东莞市东华高级中学校联考一模）在的展开式中，记项的系数为，若，则的值为 .
【变式2】（2023上·安徽·高三安徽省马鞍山市第二十二中学校联考阶段练习）展开式中，项的系数为 .
【变式3】（2023下·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习）的展开式中项的系数为 ．
题型05 几个二项式的和或积的展开式中的特定项或特定系数问题
【典例1】（2023上·江西宜春·高二校考阶段练习）的展开式中的系数为（ ）
A． B．7 C．77 D．
【典例2】（2023·安徽·校联考模拟预测）二项式的展开式中，所有项系数和为，则的系数为 （用数字作答）.
【典例3】（2023上·全国·高三专题练习）的展开式中含的项的系数为 .
【典例4】（2023·天津·高三专题练习）若的展开式中所有项的系数和为，则展开式中的系数为 ．
【变式1】（2023·全国·模拟预测）的展开式中常数项为 ．（用数字作答）
【变式2】（2023下·山东临沂·高二统考期中）已知，若其展开式中各项的系数和为81，则 ．
【变式3】（2023·江苏·统考模拟预测）已知的展开式中所有项的系数之和为81，则展开式中含的项的系数为 .
【变式4】（2023·全国·模拟预测）已知的二项展开式中，偶数项的二项式系数之和为16，则展开式中的系数为 ．
题型06 二项式系数最大项问题
【典例1】（2023·四川绵阳·统考二模）展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则n的值为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【典例2】（2023下·广西防城港·高二防城港市高级中学校考期中）已知二项式的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则 .
【典例3】（2023上·高二课时练习）（1）已知的展开式中第项和第项的二项式系数相等，求；
（2）的二项式系数的最大值是多少？
【变式1】（2023下·陕西宝鸡·高二统考期末）若的展开式中第3项与第9项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为（ ）
A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第7项
【变式2】（2023下·辽宁沈阳·高二沈阳市第十五中学校考阶段练习）的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则第四项为 .
【变式3】（2023上·高二课时练习）若的展开式中，的系数是x的系数的7倍，求n的值及二项式系数的最大值．
题型07 系数最大（小）项问题
【典例1】（2023上·全国·高三阶段练习）已知的展开式中唯有第5项的系数最大，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2023·上海嘉定·统考一模）已知的二项展开式中系数最大的项为 ．
【典例3】（2023·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）的二项展开式中系数最大的项为 .
【典例4】（2023上·福建龙岩·高二福建省龙岩第一中学校考阶段练习）（1）若，求的值；
（2）在的展开式中，
①求二项式系数最大的项；
②系数的绝对值最大的项是第几项；
【变式1】（2023·河南安阳·统考二模）的展开式中各项系数的最大值为（ ）．
A．112 B．448 C．896 D．1792
【变式2】（2023上·上海·高三上海市宜川中学校考期中）二项式的展开式中，系数最大的项为 ．
【变式3】（2023下·江苏南通·高二江苏省通州高级中学校考阶段练习）已知的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比为2:5.
(1)求n的值；
(2)系数最大的项．
【变式4】（2023下·四川雅安·高二校考阶段练习）（1）若，求的值；
（2）在的展开式中，
①求二项式系数最大的项；
②系数的绝对值最大的项是第几项？
题型08 赋值法解决系数和问题
【典例1】（2023上·四川攀枝花·高二统考期末）从①第4项的系数与第2项的系数之比是；②第3项与倒数第2项的二项式系数之和为36；这两个条件中任选一个，再解决补充完整的题目．
已知（），且的二项展开式中，____．
(1)求的值；
(2)①求二项展开式的中间项；
②求的值．
【典例2】（2023下·山东济南·高二校考阶段练习）已知，求：
(1)；
(2)．
【典例3】（2023上·高二课时练习）设．求：
(1)的值；
(2)的值；
(3)的值．
【典例4】（2023下·江苏·高二校联考阶段练习）若，求下列各式的值.
(1)；
(2)；
(3).
【变式1】（2023上·上海·高二上海市第二中学校考阶段练习）若.
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值.
【变式2】（2023上·高二单元测试）已知.
(1)求；
(2)求；
(3)求.
【变式3】（2023下·河北保定·高二校考阶段练习）设设十．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值．
【变式4】（2023下·黑龙江齐齐哈尔·高二齐齐哈尔市恒昌中学校校考期末）已知.
(1)求的值；
(2)求的值.
题型09 有关整除或求余问题
【典例1】（2024上·河北廊坊·高三河北省文安县第一中学校联考期末）设，且，若能被7整除，则（ ）
A．-4 B．-5 C．-6 D．-7
【典例2】（2023上·山东·高二校联考阶段练习）被8除的余数为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
【典例3】（2023下·江苏连云港·高二校考阶段练习）如果今天是星期三，经过7天后还是星期三，那么经过天后是（ ）
A．星期三 B．星期四 C．星期五 D．星期六
【变式1】（2024下·全国·高二随堂练习）设的小数部分为x，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式2】（2023上·山东·高三山东省实验中学校考阶段练习）二项式展开式的各项系数之和被7除所得余数为 ．
【变式3】（2023上·高二课时练习）用二项式定理证明能被8整除．
题型10 利用二项式定理近似计算
【典例1】（2023·江西南昌·统考一模）二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿提出．二项式定理可以推广到任意实数次幂，即广义二项式定理：对于任意实数，，当比较小的时候，取广义二项式定理的展开式的前两项可得：，并且的值越小，所得结果就越接近真实数据．用这个方法计算的近似值，可以这样操作：，用这样的方法，估计的近似值约为（ ）
A．2.922 B．2.928 C．2.926 D．2.930
【典例2】（2023·江苏·高二专题练习）估算的结果，精确到0.01的近似值为（ ）
A．30.84 B．31.84 C．30.40 D．32.16
【变式1】（2023·全国·高二专题练习）的计算结果精确到0.001的近似值是（ ）
A．0.930 B．0.931 C．0.932 D．0.933
【变式2】（2023·全国·高三专题练习）的计算结果精确到0.01的近似值是 ．
A夯实基础 B能力提升
A夯实基础
一、单选题
1．（2024上·辽宁沈阳·高二校联考期末）的展开式中含的项是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·湖北黄冈·高三校联考期中）若为一组从小到大排列的数，，，，，的第六十百分位数，则二项式的展开式的常数项是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023上·江苏·高三校联考阶段练习）在的展开式中，含项的系数为（ ）
A． B．20 C． D．15
4．（2023下·山东滨州·高二统考期中）若的展开式中的系数为40，则（ ）
A．2 B． C．4 D．
5．（2023上·福建莆田·高二莆田华侨中学校考期末）若，则（ ）
A．1 B．513 C．512 D．511
6．（2023下·四川资阳·高二统考期末）展开式中，系数最大的项是（ ）
A．第5，6项 B．第6，7项 C．第6项 D．第7项
7．（2024上·辽宁·高二辽宁实验中学校联考期末），则（ ）
A．31 B．1023 C．1024 D．32
8．（2023上·全国·高三阶段练习）已知的展开式中唯有第5项的系数最大，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．（2023上·甘肃庆阳·高二校考期末）下列说法正确的是（ ）
A．已知，则可能取值为6
B．已知，则可能取值为7
C．在的二项式展开式中，常数项是84
D．在的二项式展开式中，常数项是
10．（2023上·广东佛山·高三校考阶段练习）若，其中为实数，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
11．（2024上·全国·高三专题练习）若的展开式中含x的项的系数为60，则的最小值为 ．
12．（2024上·甘肃武威·高三民勤县第一中学校联考开学考试）干支纪年是中国古代的一种纪年法.分别排出十天干与十二地支如下：
天干：甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸
地支：子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥
把天干与地支按以下方法依次配对：把第一个天干“甲”与第一个地支“子”配出“甲子”，把第二个天干“乙”与第二个地支“丑”配出“乙丑”，，若天干用完，则再从第一个天干开始循环使用.已知2023年是癸卯年，则年以后是 年.
四、解答题
13．（2024上·辽宁沈阳·高二沈阳市回民中学校考期末）已知，若.
(1)求的值；
(2)求的值.（结果可以用幂指数表示）
14．（2024上·吉林·高二校联考期末）己知的展开式二项式系数和为64.
(1)求展开式中的常数项；
(2)求展开式中二项式系数最大的项.
B能力提升
1．（2024·全国·模拟预测）已知的展开式中前3项的二项式系数之和为29，则的展开式中的系数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024上·河北保定·高三河北省唐县第一中学校考期末）的展开式的各项系数之和为1，则该展开式中含项的系数是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·新疆·校联考一模）若的展开式中常数项为，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2024上·辽宁沈阳·高二校联考期末）的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则的展开式中所有项系数的绝对值之和为 ．
5．（2024上·上海·高二上海南汇中学校考期末）（1）求证：；
（2）利用等式可以化简：；类比上述方法，化简下式：.
（3）已知等差数列的首项为，公差为，求证：对于任意正整数，函数总是关于的一次函数.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
第04讲 6.3.1二项式定理+6.3.2二项式系数的性质
课程标准 学习目标
①理解二项式定理的概念，会用二项式定理求解二项展开式。 ②掌握二项式系数的规律和指数的变化规律。 ③掌握多项式展开式的通项及特殊项或系数。 ④理解二项式系数的性质。 ⑤会用赋值法求展开式系数的和。 1.要求能运用二项式定理求解二项展开式； 2.会求展开式中的二项式系数，特殊项及特殊项系数； 3.能用待定法求展开式中的待定系数.能解决与二项式定理相关的综合问题； 4.能理解二项式系数的性质； 5.掌握二项式系数的增减性，灵活应用赋值法求二项展开式各项系数和.
知识点01：知识链接
（1）
（2）
知识点02：二项式定理及相关概念
（1）二项式定理
一般地，对于每个（），的展开式中共有个，将它们合并同类项，就可以得到二项展开式：（）.这个公式叫做二项式定理.
（2）二项展开式
公式中：，等号右边的多项式叫做的二项展开式.
【即学即练1】（2023上·高二课时练习）用二项式定理展开下列各式：
(1)； (2)．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【详解】（1）
.
（2）
.
（3）二项式系数与项的系数
二项展开式中各项的二项式系数为(),项的系数是指该项中除变量外的常数部分,包含符号等.
【即学即练2】（2023上·辽宁朝阳·高三建平县实验中学校联考阶段练习）在二项式的展开式中，二项式系数最大的是（ ）
A．第3项 B．第4项
C．第5项 D．第3项和第4项
【答案】B
【详解】二项式的展开式共有7项，则二项式系数最大的是第4项.
故选：B.
【即学即练3】（2023上·天津滨海新·高三塘沽二中校考阶段练习）若的二项展开式中所有二项系数的和等于，则在的展开式中，的系数是 ．
【答案】
【详解】因为的二项展开式中所有二项系数的和等于，
所以，则，
则展开式的通项为（其中且），
令，解得，
所以展开式中的系数为．
故答案为：．
（4）二项式定理的三种常见变形
①
②
③
知识点03：二项展开式的通项
二项展开式中的()叫做二项展开式的通项,用表示,即通项为展开式的第项:.通项体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律,是二项式定理的核心,它在求展开式的某些特定项(如含指定幂的项常数项、中间项、有理项、系数最大的项等)及其系数等方面有着广泛的应用.
知识点04：二项式系数的性质
①对称性：二项展开式中与首尾两端距离相等的两个二项式系数相等：
②增减性：当时，二项式系数递增，当时，二项式系数递减；
③最大值：当为奇数时，最中间两项二项式系数最大；当为偶数时，最中间一项的二项式系数最大.
④各二项式系数和： ；
奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等：
【即学即练4】（2023·全国·高三专题练习）已知，，若，则该展开式各项的二项式系数和为（ ）
A．81 B．64 C．27 D．32
【答案】D
【详解】，，
∴，解得，
∴该展开式各项的二项式系数和为.
故选：D
【即学即练5】（2023上·辽宁沈阳·高二校考阶段练习）若展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为 ．
【答案】15
【详解】因为展开式的二项式系数之和为64，
所以，所以，
所以二项式为，
所以第项展开式为，
若求常数项，则令，所以，
所以，即常数项为15.
故答案为：15.
题型01 求型的展开式
【典例1】（2023下·北京通州·高二统考期中）二项式的展开式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】二项式，
.
故选：B
【典例2】（2023上·高二课时练习）求的二项展开式．
【答案】
【详解】由二项式定理，得
，
所以的二项展开式是．
【典例3】（2023·全国·高二专题练习）利用二项式定理展开下列各式：
(1)；
(2)．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【详解】（1）解：由.
（2）解：由
.
【变式1】（2023·全国·高二课堂例题）写出的展开式．
【答案】
【详解】在二项式定理中令，可得
．
【变式2】（2023·全国·高二专题练习）求的展开式．
【答案】
【详解】
题型02 二项展开式的逆用
【典例1】（2023下·黑龙江七台河·高二勃利县高级中学校考期中）（ ）.
A．1 B．－1
C．(－1)n D．3n
【答案】C
【详解】原式=.
故选：C.
【典例2】（2023下·上海浦东新·高二校考期中） .
【答案】
【详解】原式.
故答案为：.
【典例3】（2023上·高二课时练习）化简．
【答案】．
【详解】原式
【变式1】（2023上·高二课时练习）化简：设，则 ．
【答案】1
【详解】因为
故答案为：
【变式2】（2023下·安徽合肥·高二统考期末）已知，则的值为 ．
【答案】
【详解】由，
可得
则，即，解得．
故答案为：.
【变式3】（2023·辽宁大连·育明高中校考一模）的值是 .
【答案】
【详解】由已知可得，
.
故答案为：.
题型03二项展开式中的特定项或特定系数问题
【典例1】（2023·四川南充·统考一模）二项式的展开式中常数项为（ ）
A． B．60 C．210 D．
【答案】B
【详解】展开式的通项为，
所以，
常数项为，
故选：B.
【典例2】（2023下·山东济宁·高二统考期中）的展开式中的系数是（ ）
A．126 B．125 C．96 D．83
【答案】B
【详解】由题意原式中的系数；
故选：B.
【典例3】（2023·西藏拉萨·统考一模）二项式的展开式中的第3项为（ ）
A．160 B． C． D．
【答案】C
【详解】因为，所以，故C项正确.
故选：C．
【典例4】（2023上·高二课时练习）的展开式的第3项的系数为 ；常数项为 ．
【答案】
【详解】由二项式展开式的通项为，
可得展开式中第3项为，所以第3项的系数为，
令，可得，所以展开式的常数项为.
故答案为：；.
【变式1】（2023上·北京东城·高三景山学校校考阶段练习）二项式的展开式中常数项为 .(用数字作答)
【答案】60
【详解】二项式的展开式的通项公式，
由，得，则，
所以二项式的展开式中常数项为60.
故答案为：60
【变式2】（2023·山西临汾·校考模拟预测）的展开式中含的项的系数是 ．（用数字作答）
【答案】
【详解】因为的展开通项公式为
，
令，得，
所以其中含的项的系数为.
故答案为：.
【变式3】（2023下·四川遂宁·高三射洪中学校考阶段练习）二项式展开式中的含项的系数为 ．
【答案】-40
【详解】二项式展开式的通项为，
令，则.
故答案为：.
【变式4】（2023下·江苏镇江·高二统考期中）在展开式中，项的系数为 .
【答案】
【详解】由题意，多项式，
根据组合数的运算，展开式中的系数为，
又由.
故答案为：.
题型04 三项展开式中的特定项或特定系数问题
【典例1】（2023下·河北邢台·高二统考期末）展开式中的常数项为（ ）
A．6 B．15 C．20 D．28
【答案】C
【详解】因为，
所以展开式中的常数项即分子展开式中的系数，即.
故选：C
【典例2】（2023·广东广州·统考模拟预测）的展开式中的系数为 （用数字作答）.
【答案】
【详解】由于，
所以的展开式中含的项为，
所以的展开式中的系数为.
故答案为：
【典例3】（2023上·山东·高三沂源县第一中学校联考开学考试）展开式中含项的系数为 ．
【答案】-160
【详解】变形为，
故通项公式得，
其中的通项公式为，
故通项公式为，其中，，
令，解得，
故.
故答案为：-160
【变式1】（2023·广东·东莞市东华高级中学校联考一模）在的展开式中，记项的系数为，若，则的值为 .
【答案】
【详解】因为在的展开式中，记项的系数为，
所以项的系数，
即，
由，可得，
即，
所以.
故答案为：.
【变式2】（2023上·安徽·高三安徽省马鞍山市第二十二中学校联考阶段练习）展开式中，项的系数为 .
【答案】
【详解】，∵的指数是3，∴得到，
∵的指数是2，得到，∴项的系数为.
故答案为：
【变式3】（2023下·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习）的展开式中项的系数为 ．
【答案】
【详解】的展开式中，构成项只能是一个、一个、3个相乘，
故此项为．
故答案为：.
题型05 几个二项式的和或积的展开式中的特定项或特定系数问题
【典例1】（2023上·江西宜春·高二校考阶段练习）的展开式中的系数为（ ）
A． B．7 C．77 D．
【答案】B
【详解】的展开式通项为，
故的展开式中的系数为，
故选：B.
【典例2】（2023·安徽·校联考模拟预测）二项式的展开式中，所有项系数和为，则的系数为 （用数字作答）.
【答案】
【详解】令可得二项式的所有项系数和为，所以.
二项式的展开式的通项公式为，，1，…，8，
所以的展开式中，的系数为.
故答案为：
【典例3】（2023上·全国·高三专题练习）的展开式中含的项的系数为 .
【答案】960
【详解】的展开式的通项为，故令，
可得的展开式中含的项的系数为：.
故答案为：960.
【典例4】（2023·天津·高三专题练习）若的展开式中所有项的系数和为，则展开式中的系数为 ．
【答案】
【详解】令，得，解得，进而可得的展开式为，令，
得，令，得，
故的系数为．
故答案为：
【变式1】（2023·全国·模拟预测）的展开式中常数项为 ．（用数字作答）
【答案】
【详解】的展开式的通项（，1，2，…，8）．
当时，其展开式的常数项为；
当时，其展开式中的系数为，
则的展开式中常数项为．
故答案为：
【变式2】（2023下·山东临沂·高二统考期中）已知，若其展开式中各项的系数和为81，则 ．
【答案】
【详解】由展开式中各项的系数和为，
令，可得，解得.
故答案为：.
【变式3】（2023·江苏·统考模拟预测）已知的展开式中所有项的系数之和为81，则展开式中含的项的系数为 .
【答案】32
【详解】记
令，则，即，
则的展开式中含的项为.
故答案为：32
【变式4】（2023·全国·模拟预测）已知的二项展开式中，偶数项的二项式系数之和为16，则展开式中的系数为 ．
【答案】720
【详解】由偶数项的二项式系数之和为16，
则有，
所以展开式中的项为：，
则展开式中的系数为：720.
故答案为：720.
题型06 二项式系数最大项问题
【典例1】（2023·四川绵阳·统考二模）展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则n的值为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】C
【详解】因为只有一项二项式系数最大，所以n为偶数，故，得.
故选：C
【典例2】（2023下·广西防城港·高二防城港市高级中学校考期中）已知二项式的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则 .
【答案】
【详解】因为二项式的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，
根据二项展开式的性质，可得中间项的二项式系数最大，所以展开式一共有7项，
所以为偶数且，可得.
故答案为：.
【典例3】（2023上·高二课时练习）（1）已知的展开式中第项和第项的二项式系数相等，求；
（2）的二项式系数的最大值是多少？
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）二项式展开式的通项为（且），
所以第项的二项式系数为，第项的二项式系数为，
依题意可得，所以；
（2）二项式展开式的一共项，则第项和第项二项式系数相等同时取得最大值，
又展开式的通项为（且）
所以第项的二项式系数为，第项二项式系数为，
即的二项式系数的最大值是.
【变式1】（2023下·陕西宝鸡·高二统考期末）若的展开式中第3项与第9项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为（ ）
A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第7项
【答案】C
【详解】由二项式定理可得第3项与第9项的系数分别为和，
即，由二项式系数性质可得；
因此展开式中二项式系数最大的项为，是第6项.
故选：C
【变式2】（2023下·辽宁沈阳·高二沈阳市第十五中学校考阶段练习）的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则第四项为 .
【答案】/
【详解】因为展开式中只有第六项的二项式系数最大，即，所以，
所以.
故答案为：
【变式3】（2023上·高二课时练习）若的展开式中，的系数是x的系数的7倍，求n的值及二项式系数的最大值．
【答案】，最大值为70.
【详解】因为展开式的第项的通项公式为，
所以的系数为，的系数为，
因为的系数等于x的系数的7倍，
所以，解得.
所以二项式系数的最大值为.
题型07 系数最大（小）项问题
【典例1】（2023上·全国·高三阶段练习）已知的展开式中唯有第5项的系数最大，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】的展开式的通项为，
由题可知，解得．
故选：A
【典例2】（2023·上海嘉定·统考一模）已知的二项展开式中系数最大的项为 ．
【答案】
【详解】设系数最大的项为，
则，解得，
因为且为整数，
所以，此时最大的项为.
故答案为：
【典例3】（2023·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）的二项展开式中系数最大的项为 .
【答案】
【详解】设展开式的第项的系数最大，
则，解得，
所以系数最大的项为第或第项，
所以系数最大的项为：
，
.
故答案为：
【典例4】（2023上·福建龙岩·高二福建省龙岩第一中学校考阶段练习）（1）若，求的值；
（2）在的展开式中，
①求二项式系数最大的项；
②系数的绝对值最大的项是第几项；
【答案】（1）；（2）①②第6项和第7项
【详解】解：（1）∵，
令，可得，
令，可得，
∴．
（2）①．
二项式系数最大的项为中间项，即第5项．所以．
②设第项系数的绝对值最大，
则，所以
解得
故系数绝对值最大的项是第6项和第7项.
【变式1】（2023·河南安阳·统考二模）的展开式中各项系数的最大值为（ ）．
A．112 B．448 C．896 D．1792
【答案】D
【详解】该二项式的通项公式为，
由，可得．
因为，所以展开式中各项系数的最大值为．
故选：D
【变式2】（2023上·上海·高三上海市宜川中学校考期中）二项式的展开式中，系数最大的项为 ．
【答案】
【详解】展开式通项公式为，且为整数.
要想系数最大，则为偶数，
其中，，，
，
显然系数最大项为.
故答案为：
【变式3】（2023下·江苏南通·高二江苏省通州高级中学校考阶段练习）已知的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比为2:5.
(1)求n的值；
(2)系数最大的项．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为第二项与第三项的二项式系数之比是，
则，即，解得(舍)或，
所以n的值为6.
（2）的展开式的通项为，
令，解得，
又，，
展开式中系数最大的项为第项，且．
【变式4】（2023下·四川雅安·高二校考阶段练习）（1）若，求的值；
（2）在的展开式中，
①求二项式系数最大的项；
②系数的绝对值最大的项是第几项？
【答案】（1）；（2）①；②第6项和第7项
【详解】（1）∵，
令，可得，令，可得，
∴．
（2）①．
二项式系数最大的项为中间项，即第5项．所以．
②设第项系数的绝对值最大，
则所以解得
故系数绝对值最大的项是第6项和第7项．
题型08 赋值法解决系数和问题
【典例1】（2023上·四川攀枝花·高二统考期末）从①第4项的系数与第2项的系数之比是；②第3项与倒数第2项的二项式系数之和为36；这两个条件中任选一个，再解决补充完整的题目．
已知（），且的二项展开式中，____．
(1)求的值；
(2)①求二项展开式的中间项；
②求的值．
【答案】(1)条件选择见解析，
(2)①；②．
【详解】（1）若选择①第4项的系数与第2项的系数之比是，
则有，
化简可得，求得或（舍去）．
若选择②第3项与倒数第2项的二项式系数之和为36，
则有，
化简可得，求得或（舍去）．
（2）由（1）可得，
①的二项展开式的中间项为．
②二项式展开式的通项公式为，
所以、、、、为正数，、、、为负数．
在中，令．
再令，可得，
∴．
【典例2】（2023下·山东济南·高二校考阶段练习）已知，求：
(1)；
(2)．
【答案】(1)1
(2)625
【详解】（1）由，
令得，
所以．
（2）在中，
令得①，
令得②,
所以．
【典例3】（2023上·高二课时练习）设．求：
(1)的值；
(2)的值；
(3)的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由，
令，得，则；
令，得，
则，
所以；
（2）令，得①，
令，得②，
①②得，，
所以；
（3）根据展开式的通项公式知，，为负，，为正；
令，
所以．
【典例4】（2023下·江苏·高二校联考阶段练习）若，求下列各式的值.
(1)；
(2)；
(3).
【答案】(1)1024
(2)58024
(3)393660
【详解】（1）令，则，所以.
，当时，可得.
（2）令，得，
令，得，
所以.
（3）因为，
两边对求导得，
令，得.
【变式1】（2023上·上海·高二上海市第二中学校考阶段练习）若.
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）令，则，①
（2）令，则，②
令，则，
，
；
（3），
即为含项的系数，为，
则.
【变式2】（2023上·高二单元测试）已知.
(1)求；
(2)求；
(3)求.
【答案】(1)800；
(2)；
(3)0.
【详解】（1）在展开式中，含的项为，
所以.
（2）令，
当时，，当时，，
所以.
（3）
.
因为，所以，
故
【变式3】（2023下·河北保定·高二校考阶段练习）设设十．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）令，则①
（2）令，则②，
①②可得：；
（3）因为的和为二项式的展开式的各个项的系数和，
所以令，则．
【变式4】（2023下·黑龙江齐齐哈尔·高二齐齐哈尔市恒昌中学校校考期末）已知.
(1)求的值；
(2)求的值.
【答案】(1)2
(2)18
【详解】（1）解：由，
令，可得；
令，可得，
所以，所以.
（2）解：因为，
两边同时求导数，可得，
令，则.
题型09 有关整除或求余问题
【典例1】（2024上·河北廊坊·高三河北省文安县第一中学校联考期末）设，且，若能被7整除，则（ ）
A．-4 B．-5 C．-6 D．-7
【答案】C
【详解】，
因为能被7整除，
且能被7整除，
故能被7整除，
又，所以.
故选：C.
【典例2】（2023上·山东·高二校联考阶段练习）被8除的余数为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
【答案】B
【详解】
其中是8的整数倍，
故被8除的余数为3.
故选：B
【典例3】（2023下·江苏连云港·高二校考阶段练习）如果今天是星期三，经过7天后还是星期三，那么经过天后是（ ）
A．星期三 B．星期四 C．星期五 D．星期六
【答案】B
【详解】因为，
所以除以7的余数为1，所以经过天后是星期四，
故选：B．
【变式1】（2024下·全国·高二随堂练习）设的小数部分为x，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【详解】由，得的整数部分为4，
则，所以，
即，
故.
故选:B
【变式2】（2023上·山东·高三山东省实验中学校考阶段练习）二项式展开式的各项系数之和被7除所得余数为 ．
【答案】6
【详解】令得，
由于，
由于，
均能被7整除，所以余数为6，
故答案为：6
【变式3】（2023上·高二课时练习）用二项式定理证明能被8整除．
【答案】见解析
【详解】证明：
能被8整除.
所以能被8整除.
题型10 利用二项式定理近似计算
【典例1】（2023·江西南昌·统考一模）二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿提出．二项式定理可以推广到任意实数次幂，即广义二项式定理：对于任意实数，，当比较小的时候，取广义二项式定理的展开式的前两项可得：，并且的值越小，所得结果就越接近真实数据．用这个方法计算的近似值，可以这样操作：，用这样的方法，估计的近似值约为（ ）
A．2.922 B．2.928 C．2.926 D．2.930
【答案】C
【详解】，
故选：C.
【典例2】（2023·江苏·高二专题练习）估算的结果，精确到0.01的近似值为（ ）
A．30.84 B．31.84 C．30.40 D．32.16
【答案】A
【详解】原式
+
．
故选：A．
【变式1】（2023·全国·高二专题练习）的计算结果精确到0.001的近似值是（ ）
A．0.930 B．0.931 C．0.932 D．0.933
【答案】C
【详解】.
故选：C
【变式2】（2023·全国·高三专题练习）的计算结果精确到0.01的近似值是 ．
【答案】1.34
【详解】
故答案为：
A夯实基础 B能力提升
A夯实基础
一、单选题
1．（2024上·辽宁沈阳·高二校联考期末）的展开式中含的项是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】的展开式的通项公式为，则，得，所以含的项是．
故选：C.
2．（2023上·湖北黄冈·高三校联考期中）若为一组从小到大排列的数，，，，，的第六十百分位数，则二项式的展开式的常数项是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由，可知，
所以二项式为，
其展开式的通项为，
令，即，
所以常数项为，
故选：B.
3．（2023上·江苏·高三校联考阶段练习）在的展开式中，含项的系数为（ ）
A． B．20 C． D．15
【答案】A
【详解】的第项为，
令，则，
所以的展开式中，含项为，系数为.
故选：A
4．（2023下·山东滨州·高二统考期中）若的展开式中的系数为40，则（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】B
【详解】的展开式的项为,
因为的展开式中的系数为40，
所以，解得.
故选:B．
5．（2023上·福建莆田·高二莆田华侨中学校考期末）若，则（ ）
A．1 B．513 C．512 D．511
【答案】D
【详解】令，得，令，得，
所以，
故选：D
6．（2023下·四川资阳·高二统考期末）展开式中，系数最大的项是（ ）
A．第5，6项 B．第6，7项 C．第6项 D．第7项
【答案】D
【详解】因为的展开式的通项为，，
所以展开式中各项的系数即为其二项式系数，
根据二项式系数的性质有，第7项的二项式系数最大，故A，B，C错误.
故选：D.
7．（2024上·辽宁·高二辽宁实验中学校联考期末），则（ ）
A．31 B．1023 C．1024 D．32
【答案】B
【详解】由二项式的展开式的通项为，
所以，当时，可得为正数，当时，可得为负数，
令，可得，
令，可得，
所以
.
故选：B.
8．（2023上·全国·高三阶段练习）已知的展开式中唯有第5项的系数最大，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】的展开式的通项为，
由题可知，解得．
故选：A
二、多选题
9．（2023上·甘肃庆阳·高二校考期末）下列说法正确的是（ ）
A．已知，则可能取值为6
B．已知，则可能取值为7
C．在的二项式展开式中，常数项是84
D．在的二项式展开式中，常数项是
【答案】BC
【详解】对于选项A和选项B，
因为，故，或，得，
故A错误，B正确；
对于选项C和选项D，
根据二项展开式的通项公式，
令，解得，∴，故C正确、D错误.
故选：BC.
10．（2023上·广东佛山·高三校考阶段练习）若，其中为实数，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【详解】令可得，A正确.
，其展开式的第三项是，所以，B不正确.
令可得，所以，D不正确.
令可得，与相减可得，C正确.
故选：AC
三、填空题
11．（2024上·全国·高三专题练习）若的展开式中含x的项的系数为60，则的最小值为 ．
【答案】
【详解】，
令得，
∴，依题意，
∴，
∴，当且仅当，即时，等号成立．
∴的最小值为．
故答案为：
12．（2024上·甘肃武威·高三民勤县第一中学校联考开学考试）干支纪年是中国古代的一种纪年法.分别排出十天干与十二地支如下：
天干：甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸
地支：子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥
把天干与地支按以下方法依次配对：把第一个天干“甲”与第一个地支“子”配出“甲子”，把第二个天干“乙”与第二个地支“丑”配出“乙丑”，，若天干用完，则再从第一个天干开始循环使用.已知2023年是癸卯年，则年以后是 年.
【答案】丙午
【详解】因为，
所以年以后地支为“午”.
因为，
又因为除以10余数为3，所以年以后天干为“丙”，
故年以后是丙午年.
故答案为：丙午
四、解答题
13．（2024上·辽宁沈阳·高二沈阳市回民中学校考期末）已知，若.
(1)求的值；
(2)求的值.（结果可以用幂指数表示）
【答案】(1)11
(2)
【详解】（1）由题意得，
故，
所以，解得；
（2）由（1）中通项公式可得大于0，小于0，
在中，令得，
，
令得，故，
故.
14．（2024上·吉林·高二校联考期末）己知的展开式二项式系数和为64.
(1)求展开式中的常数项；
(2)求展开式中二项式系数最大的项.
【答案】(1)60
(2).
【详解】（1）由题意得：，解得
由通项公式，
令，可得：.则常数项为
（2）是偶数，展开式共有7项，则第四项最大，
∴展开式中二项式系数最大的项为.
B能力提升
1．（2024·全国·模拟预测）已知的展开式中前3项的二项式系数之和为29，则的展开式中的系数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题知，，解得或（舍去）．
则的展开式的通项，
当中取3时，的展开式中取含的项，令，解得，；
当中取时，的展开式中取含的项，令，解得，．
所以的展开式中的系数为.
故选：D．
2．（2024上·河北保定·高三河北省唐县第一中学校考期末）的展开式的各项系数之和为1，则该展开式中含项的系数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为的展开式的各项系数之和为1，
令，得，解得，
所以的展开式中含项为，
所以该展开式中含项的系数是.
故选：D.
3．（2023·新疆·校联考一模）若的展开式中常数项为，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【详解】由，有，
令，即，故，
即，即，则，
当且仅当或时，等号成立，
故的最小值为.
故选：C.
4．（2024上·辽宁沈阳·高二校联考期末）的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则的展开式中所有项系数的绝对值之和为 ．
【答案】（或者写成6561）
【详解】因为展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，
所以，由组合数的性质可得，
即,
因为的展开式中所有项系数的绝对值之和等于的展开式中所有项系数和，
所以，令可得.
故答案为：（或者写成6561）.
5．（2024上·上海·高二上海南汇中学校考期末）（1）求证：；
（2）利用等式可以化简：；类比上述方法，化简下式：.
（3）已知等差数列的首项为，公差为，求证：对于任意正整数，函数总是关于的一次函数.
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析.
【详解】证明：（1）因为、，，
由组合数公式可得，故结论成立；
解：（2）因为、，，
则，
则
；
（3）因为等差数列的首项为，公差为，则，
则
，
所以，
总是关于的一次函数.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑