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第09讲 拓展三：二面角的传统法与向量法(含探索性问题）
一、知识点归纳
1、定义法
在二面角的棱上任取一点（通常都是取特殊点，如中点，端点），过该点在两个半平面内作二面角棱的垂线，两垂线所成的角就是二面角的平面角.
2、三垂线法
三垂线定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.
三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直.
具体操作步骤（如图在三棱锥中）求二面角：
①第一垂：过点向平面引垂线（一般是找+证，证明）
②第二垂：在平面中，过点作,垂足为
③第三垂：连接（解答题需证明）
3、射影面积法（）
凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（）求出二面角的大小.
4、用向量运算求平面与平面的夹角
如图，若于，于，平面交于，则为二面角的平面角，.
若分别为面，的法向量
①
②根据图形判断二面角为锐二面角还是顿二面角；
若二面角为锐二面角（取正），则；
若二面角为钝二面角（取负），则；
题型01利用定义法求二面角（定值）
【典例1】（2023·全国·高一专题练习）假设是所在平面外一点，而和都是边长为2的正三角形，，那么二面角的大小为（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2023·全国·高一专题练习）如图，已知正方体．
(1)求二面角的正切值的大小；
(2)求二面角的正切值的大小．
【变式1】（2023·全国·高一专题练习）在正方体中，二面角的大小是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023·高一单元测试）如图，在正方体中，
(1)求异面直线与所成的角的大小；
(2)求二面角的大小.
题型02利用三垂线法求二面角（定值）
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）如图，三棱锥 中，已知 平面 .则二面角的正弦值为_____.
【典例2】（2023·高一课时练习）已知正方体的棱长为1．
(1)求异面直线与AC所成角的大小；
(2)求二面角的余弦值．
【变式1】（2023·全国·高一专题练习）已知如图边长为的正方形外有一点且平面，，二面角的大小的正切值______．
【变式2】（2023·上海·模拟预测）直四棱柱，，，，，

(1)求证：；
(2)若四棱柱体积为36，求二面角大小的正切值
题型03利用面积投影法求二面角（定值）
【典例1】（2023·全国·高二假期作业）如图与所在平面垂直，且，，则二面角的余弦值为_______.
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知长方体的底面是边长为1的正方形，侧棱，过作平面分别交棱，于，，则四边形面积的最小值为________.
【变式1】（2023秋·高二课时练习）的边在平面内，在内的射影是，设的面积为，它和平面所成的一个二面角的大小为（为锐角），则的面积是__________．
【变式2】（2023·全国·高一专题练习）直角三角形的斜边在平面内，两条直角边分别与平面成和角，则这个直角三角形所在的平面与平面所成的锐二面角的余弦值为________．
题型04利用向量法求二面角（定值）
【典例1】（2023秋·安徽蚌埠·高二统考期末）如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，二面角的大小为，是中点.

(1)求证：平面；
(2)求二面角的余弦值.
【典例2】（2023春·江苏连云港·高二统考期中）如图，在四棱锥中，平面，与底面所成的角为45°，底面为直角梯形，，，．

(1)求直线与平面所成角的正弦值；
(2)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．
【典例3】（2023春·浙江绍兴·高二统考期末）如图，在正四棱锥中，，过点向平面作垂线，垂足为.

(1)求证：；
(2)若，求二面角的余弦值.
【变式1】（2023·海南海口·海南华侨中学校考一模）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，分别为线段，的中点，连接，延长并与的延长线交于点，连接，.

(1)求证：平面
(2)求平面与平面所成角的正弦值.
【变式2】（2023春·四川宜宾·高二四川省宜宾市第四中学校校考期末）如图，在四棱锥中，，四边形是菱形，，，，是棱上的中点.

(1)求三棱锥的体积；
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
题型05利用向量法求二面角（最值或范围）
【典例1】（江苏省徐州市2022-2023学年高二下学期期末数学试题）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，，分别在棱，上．

(1)当为棱中点时，求证：；
(2)当为棱中点时，求平面与平面所成的二面角余弦值的最大值．
【典例2】（2023春·江苏扬州·高二统考期中）如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，分别是线段的中点，在平面内的射影为.

(1)求证：平面；
(2)若点为棱的中点，求点到平面的距离；
(3)若点为线段上的动点（不包括端点），求锐二面角的余弦值的取值范围.
【典例3】（2023春·江苏淮安·高二金湖中学校联考阶段练习）如图①所示，长方形中，，，点是边的中点，将沿翻折到，连接，，得到图②的四棱锥．
(1)求四棱锥的体积的最大值；
(2)设的大小为，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值．
【变式1】（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考三模）已知直三棱柱中，侧面为正方形，，，分别为和的中点，D为棱上的动点..

(1)证明：；
(2)求平面与平面所成的二面角正弦值的最小值及此时点的位置.
【变式2】（2023秋·云南昆明·高二统考期末）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，点是线段的中点，点在线段上且满足，面
(1)当时，证明：平面；
(2)当为何值时，平面与平面所成的二面角的正弦值最小？
题型06已知二面角求参数
【典例1】（2022秋·山西运城·高二山西省运城中学校校联考期中）在直角坐标系中，，沿直线把直角坐标系折成的二面角，则的长度为___________.
【典例2】（2023·安徽滁州·校考模拟预测）如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，为的中点，.
(1)证明：平面平面.
(2)若，且二面角的大小为，求四棱锥的体积.
【变式1】（2022·高二课时练习）如图，在长方体中，，，点在棱上．若二面角的大小为，则的坐标为______，点到平面的距离___
【变式2】（2023·黑龙江大庆·大庆实验中学校考模拟预测）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，为的中点.
(1)求证：平面⊥平面；
(2)若二面角为，求点到平面的距离.
题型07二面角中的探索性问题
平面平面.
(1)求证：；
(2)若，探索在棱上是否存在一点，使得二面角的大小为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【变式2】（2023秋·云南昆明·高二统考期末）如图，在直三棱柱中，侧面为正方形，，，，分别为和的中点，为棱上的点.
(1)证明：；
(2)是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为？如果不存在，请说明理由；如果存在，求线段的长.
第09讲 拓展三：二面角的传统法与向量法(含探索性问题）
一、知识点归纳
1、定义法
在二面角的棱上任取一点（通常都是取特殊点，如中点，端点），过该点在两个半平面内作二面角棱的垂线，两垂线所成的角就是二面角的平面角.
2、三垂线法
三垂线定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.
三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直.
具体操作步骤（如图在三棱锥中）求二面角：
①第一垂：过点向平面引垂线（一般是找+证，证明）
②第二垂：在平面中，过点作,垂足为
③第三垂：连接（解答题需证明）
3、射影面积法（）
凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（）求出二面角的大小.
4、用向量运算求平面与平面的夹角
如图，若于，于，平面交于，则为二面角的平面角，.
若分别为面，的法向量
①
②根据图形判断二面角为锐二面角还是顿二面角；
若二面角为锐二面角（取正），则；
若二面角为钝二面角（取负），则；
题型01利用定义法求二面角（定值）
【典例1】（2023·全国·高一专题练习）假设是所在平面外一点，而和都是边长为2的正三角形，，那么二面角的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】取的中点，连接，
∵和都是边长为2的正三角形，则，
所以为二面角的平面角，
又因为，则，
所以，即二面角的大小为.
故选：D.
【典例2】（2023·全国·高一专题练习）如图，已知正方体．
(1)求二面角的正切值的大小；
(2)求二面角的正切值的大小．
【答案】(1)；
(2)．
【详解】（1）连接，交于，
因为四边形为正方形，所以，
又平面，平面，
所以，平面，，
所以平面，因为平面，,
所以是二面角的平面角，
设，
在中，,，
所以，由，
所以，
所以二面角的正切值为.
（2）连接,其中点为的中点，
因为，,
所以，，
所以为二面角的平面角，
在中，，,
所以
二面角的正切值为.
【变式1】（2023·全国·高一专题练习）在正方体中，二面角的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
因为平面，又平面
所以，所以即为二面角的平面角，
因为，所以二面角的大小是．
故选：C．
【变式2】（2023·高一单元测试）如图，在正方体中，
(1)求异面直线与所成的角的大小；
(2)求二面角的大小.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）在正方体中，连接，
由于，所以是异面直线与所成的角，
由于三角形是等边三角形，所以，
所以异面直线与所成的角的大小为.
（2）在正方体中，，
所以是二面角的平面角，
根据正方体的性质可知，
所以二面角的大小为.
题型02利用三垂线法求二面角（定值）
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）如图，三棱锥 中，已知 平面 .则二面角的正弦值为_____.
【答案】
【详解】
取BC的中点D，连结PD，AD，因为，所以，
因为平面ABC，平面ABC，所以，
因为平面PAD，平面PAD，，所以平面PAD，
因为平面PAD，所以，
所以即为二面角的平面角，
因为，所以，，
即二面角的正弦值是.
故答案为：.
【典例2】（2023·高一课时练习）已知正方体的棱长为1．
(1)求异面直线与AC所成角的大小；
(2)求二面角的余弦值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）连，
因为，，所以四边形是平行四边形，所以，
因为四边形是正方形，所以，
所以，即异面直线与AC所成角的大小为.
（2）
设与交于，连，
因为四边形是正方形，所以，
因为平面，平面，所以，
又，，平面，平面，
所以平面，因为平面，所以，
所以就是二面角的平面角.
因为正方体的棱长为1，所以，，
，
所以，
所以二面角的余弦值为.
【变式1】（2023·全国·高一专题练习）已知如图边长为的正方形外有一点且平面，，二面角的大小的正切值______．
【答案】
【详解】设，连接，
平面，平面，，，
四边形为正方形，，
，平面，平面，
又平面，，是二面角的平面角，
由，得：.
故答案为：.
【变式2】（2023·上海·模拟预测）直四棱柱，，，，，

(1)求证：；
(2)若四棱柱体积为36，求二面角大小的正切值
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）由题意得，，
平面，平面，
平面，平面
而，平面平面，
又平面平面
（2）四棱柱体积，
得，得，
过点作，垂足为，连接，
由平面，得（三垂线定理），
故即为二面角的平面角，
，得，
故

题型03利用面积投影法求二面角（定值）
【典例1】（2023·全国·高二假期作业）如图与所在平面垂直，且，，则二面角的余弦值为_______.
【答案】
【详解】过 A作的延长线于E， 连结 DE，
∵平面平面，平面平面，
∴ 平面
∴ E点即为点A在平面内的射影，
∴ 为在平面内的射影，
设，则，
∴由余弦定理可得，∴，
∴ ，
又，∴ ，
设二面角为，∴ .
而二面角与互补，
∴二面角 的余弦值为.
故答案为：
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知长方体的底面是边长为1的正方形，侧棱，过作平面分别交棱，于，，则四边形面积的最小值为________.
【答案】
【详解】法一：根据题意作图，如图①所示，
过点F作FH⊥BD1交BD1于H，设FH＝h.由题意得BD1＝2.
因为长方体对面平行，
所以截面BFD1E为平行四边形，则，
当h取最小值时四边形BFD1E的面积最小.
易知h的最小值为直线CC1与直线BD1间的距离.
易知当F为CC1的中点时，h取得最小值，hmin＝，.
故四边形BFD1E面积的最小值为.
法二(射影面积法)：设平面BFD1E与底面ABCD的交线为l. 如图②，
过D1作D1H⊥l交l于H.连接DH，则∠D1HD为二面角D1 l D的平面角，设为θ.
根据射影面积公式,得,
则当cos θ最大时，最小.当cos θ最大时，分析易知DH最长.又DH最长为DB＝，所以cos θ最大值为，因为，所以四边形BFD1E面积的最小值为.
故答案为：
【变式1】（2023秋·高二课时练习）的边在平面内，在内的射影是，设的面积为S，它和平面所成的一个二面角的大小为（为锐角），则的面积是__________．
【答案】
【详解】如图所示，作交于点，连接，
因为A在内的射影是，所以平面，
又，所以，
又，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
所以即为平面ABC和平面所成的二面角的平面角，即，
则，
则.
故答案为：.

【变式2】（2023·全国·高一专题练习）直角三角形的斜边在平面内，两条直角边分别与平面成和角，则这个直角三角形所在的平面与平面所成的锐二面角的余弦值为________．
【答案】
【详解】过点作平面，垂足为，连接，
∵平面，则，
设，
不妨设分别与平面成和角，则，
过作，垂足为，连接，
∵，，平面，
则平面，且平面，
∴，即所求二面角的平面角为，
由的面积可得，
由的面积可得，
∵，
故所求锐二面角的余弦值为．
故答案为：.
题型04利用向量法求二面角（定值）
【典例1】（2023秋·安徽蚌埠·高二统考期末）如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，二面角的大小为，是中点.

(1)求证：平面；
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）取中点，连接，因为直角梯形中，
，且，所以四边形是平行四边形，
平面平面，
平面.
又是中点平面平面，
平面，
又平面，平面平面，
平面平面.
（2）连接，由知：，
由（1）知：且，
，在平面内过点作交于点，
则两两互相垂直，
以为坐标原点，以方向分别为轴正方向，建立空间直角坐标系，

则，
从而，
设平面的法向量为，
即，令，得，
易知平面的一个法向量为，
，
由题意知，二面角为锐二面角，
所以二面角的余弦值为.
【典例2】（2023春·江苏连云港·高二统考期中）如图，在四棱锥中，平面，与底面所成的角为45°，底面为直角梯形，，，．

(1)求直线与平面所成角的正弦值；
(2)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：因为平面，且平面，所以，，
又因为，所以，
因为与底面所成的角为，所以，故，
以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立的空间直角坐标系，如图所示，
因为，，可得，，，，
所以，，，
设平面的一个法向量为，可得，
取，则，可得，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
（2）解：根据题意，平面的一个法向量，
设平面的一个法向量为，可得，
取，则，，所以
则，
所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．

【典例3】（2023春·浙江绍兴·高二统考期末）如图，在正四棱锥中，，过点向平面作垂线，垂足为.

(1)求证：；
(2)若，求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）由题意知平面，平面，所以，
又，，平面，所以平面，
因为平面，所以，又，所以.
（2）因为平面，平面，所以，
所以，所以，
作交于点，所以为中点，
又由（1）知平面，所以，又，所以平面.
以为坐标原点，，分别为，轴建立空间直角坐标系，
所以，，，所以，.
设平面的方向量为，
所以，即，令，则，，
所以，又平面的法向量.
设二面角的平面角为，由图可知二面角为锐角，
所以.

【变式1】（2023·海南海口·海南华侨中学校考一模）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，分别为线段，的中点，连接，延长并与的延长线交于点，连接，.

(1)求证：平面
(2)求平面与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2) .
【详解】（1）∵，且，
∴为的中位线，
∴ME为的中位线，∴.
又∵平面PFD，平面PFD，∴平面PFD.
（2）以A为坐标原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，则由已知可得，，，
∵x轴⊥平面PEA，∴设平面PEA的一个法向量为，平面PEF的法向量为，∵，，
∴，令，得，，∴，
∴，∴平面APE与平面PEF所成角的正弦值为 .

【变式2】（2023春·四川宜宾·高二四川省宜宾市第四中学校校考期末）如图，在四棱锥中，，四边形是菱形，，，，是棱上的中点.

(1)求三棱锥的体积；
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为四边形是菱形，所以.
又，平面，且，所以平面.
因为平面，所以.
因为，所以，所以.
因为平面，且，所以平面.
因为是棱上的中点，所以到平面的距离，
四边形是菱形，，，
则中，，，，
∵，∴三棱锥的体积为.
（2）取棱的中点，连接，则有，因为，则.
两两垂直，故以为原点，分别以的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系.
因，则.

因是棱上的中点，则.
设平面的法向量为，则，
令，则，得.
平面的一个法向量为.
设平面与平面的夹角为，则.
故平面与平面夹角的余弦值为.
题型05利用向量法求二面角（最值或范围）
【典例1】（江苏省徐州市2022-2023学年高二下学期期末数学试题）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，，分别在棱，上．

(1)当为棱中点时，求证：；
(2)当为棱中点时，求平面与平面所成的二面角余弦值的最大值．
【答案】(1)证明见解析
(2)．
【详解】（1）因为底面为正方形，所以，又因为平面，，平面，
所以，．以为正交基底建立空间坐标系，
则，，，，．

当为棱中点时，，设，
则，，
所以，所以．
（2）当为棱中点时，，设，
则，，，．
设平面的法向量为，则
取，则是平面的一个法向量，
设平面的法向量为，则
取，则是平面的一个法向量．
设平面与平面所成角为，
则．
令，则，
所以当，即时，取最大值．
所以平面与平面所成的二面角余弦值的最大值为．
【典例2】（2023春·江苏扬州·高二统考期中）如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，分别是线段的中点，在平面内的射影为.

(1)求证：平面；
(2)若点为棱的中点，求点到平面的距离；
(3)若点为线段上的动点（不包括端点），求锐二面角的余弦值的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【详解】（1）法一：连结，因为为等边三角形，为中点，，
又平面，平面，
平面
平面，又平面，
由题设知四边形为菱形，，
分别为中点，，
又平面平面.
法二：由平面，平面，
又为等边三角形，为中点，，则以为坐标原点，所在直线为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则
又平面平面.
法三：（同法二建系）设平面的一个法向量为

，即
不妨取，则，则
所以平面的一个法向量为
，，，平面
（2）由（1）坐标法得，平面的一个法向量为（或）
点到F到平面的距离=
（3）
设，则，
；
由（1）知：平面平面的一个法向量
（或者由（1）中待定系数法求出法向量）；
设平面的法向量，
则，令，则；
，
令，则；
，
即锐二面角的余弦值的取值范围为.
【典例3】（2023春·江苏淮安·高二金湖中学校联考阶段练习）如图①所示，长方形中，，，点是边的中点，将沿翻折到，连接，，得到图②的四棱锥．
(1)求四棱锥的体积的最大值；
(2)设的大小为，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）取的中点，连接，因为，则，
当平面平面时，点到平面的距离最大，四棱锥的体积取得最大值，此时平面，且，
底面为梯形，，
则四棱锥的体积最大值为.
（2）连接，因为，所以，所以为的平面角，即，
过点作平面，以为坐标原点，
分别以DA，DC，DZ所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，
过作于点，由题意得平面，
设，因为，所以，，，
所以，，
所以，
所以，，
设平面PAM的法向量为，则，
令，则，
设平面的法向量为，
因为，，
则，令，
可得，
设两平面夹角为，
则
令，，所以，
所以，
因为的对称轴为，
所以当时，有最小值，
所以平面和平面夹角余弦值的最小值为．
【变式1】（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考三模）已知直三棱柱中，侧面为正方形，，，分别为和的中点，D为棱上的动点..

(1)证明：；
(2)求平面与平面所成的二面角正弦值的最小值及此时点的位置.
【答案】(1)证明见解析
(2)最小值为，点为靠近的的四等分点
【详解】（1）因为三棱柱是直三棱柱，所以底面，
又底面，所以，，
又因为，，所以，
又，平面，所以平面，
又平面，所以，即两两垂直，
以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，设，则

，，，，，，，，设，
所以，，
因为，
所以，即.
（2）设平面的法向量为，
因为，，
所以，令，则，
平面的一个法向量为，
设平面与平面DEF所成的二面角为，
则，
当时，取最小值为，此时取得最大值，
所以，
所以平面与平面DEF所成的二面角正弦值的最小值为，此时点为靠近的的四等分点.
【变式2】（2023秋·云南昆明·高二统考期末）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，点是线段的中点，点在线段上且满足，面
(1)当时，证明：平面；
(2)当为何值时，平面与平面所成的二面角的正弦值最小？
【答案】(1)证明见详解
(2)
【详解】（1）设，
因为//，则，
若，即，可得，
所以//，
平面，平面，
故//平面.
（2）连接，
由题意可得：，
在中，由余弦定理，
即，可得，则，
且面ABCD，如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，
则，
可得，
设点，则，
因为，则，解得，即，
可得，
设平面BFE的法向量为，则，
令，则，即，
由题意可得：平面的法向量，
设平面BFE与平面PBD所成的二面角为，
则，
由题意可知：，则有：
当时，则；
当时，则，
因为，则，
关于的二次函数开口向上，对称轴，
当，即时，取到最小值，即，
可得；
综上所述：.
所以当时，取到最大值，取到最小值.
即当时，平面BFE与平面PBD所成的二面角的正弦值最小.
题型06已知二面角求参数
【典例1】（2022秋·山西运城·高二山西省运城中学校校联考期中）在直角坐标系中，，沿直线把直角坐标系折成的二面角，则的长度为___________.
【答案】8
【详解】如图，分别作垂直于直线于点，则由等腰直角三角形的性质可得，即.
若沿直线把直角坐标系折成的二面角，则，
因为二面角的大小为，所以，代入上式可得，
所以，即的长度为.
故答案为：8.
【典例2】（2023·安徽滁州·校考模拟预测）如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，为的中点，.
(1)证明：平面平面.
(2)若，且二面角的大小为，求四棱锥的体积.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）由题意，证明如下：
在中，为的中点，
∴.
在四棱锥中，，且，
∴平面，
∵平面，
∴平面平面.
（2）由题意及（1）得，连接.
在中，三角形为等边三角形，
∴，
∴两两垂直，
建立空间直角坐标系如下图所示：
设，则，
∵，
∴，
∴.
设平面的法向量为，
则
令，得.
平面的一个法向量为，
∵二面角的大小为，
∴，
解得，
∴.
【变式1】（2022·高二课时练习）如图，在长方体中，，，点在棱上．若二面角的大小为，则的坐标为______，点到平面的距离___
【答案】
【详解】设，平面的法向量为．
由题可知，，，，则，．易知平面的一个法向量为．
∵为平面的法向量，∴，
令，则，又二面角的大小为，
∴，即，
解得或（舍去），
∴，，又，∴．
故答案为：；
【变式2】（2023·黑龙江大庆·大庆实验中学校考模拟预测）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，为的中点.
(1)求证：平面⊥平面；
(2)若二面角为，求点到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）底面，平面，
，
又，平面，，
平面，
又平面，
平面⊥平面.
（2）底面，平面，
，
因为，
故以为正交基底，建立空间直角坐标系，设
则，
设平面的法向量为，
由于，
令，得：，
故取，
取平面的法向量为，
则，解得：，
故，
故点到平面的距离.
题型07二面角中的探索性问题
【典例1】（2023秋·湖南郴州·高二统考期末）如图2，在中，，，．将沿翻折，使点D到达点P位置（如图3），且平面平面．
(1)求证：平面平面；
(2)设Q是线段上一点，满足，试问：是否存在一个实数，使得平面与平面的夹角的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，
【详解】（1）在中，由余弦定理得，
，
，
过点作交于点，如图所示，
又平面平面，且平面平面
由平面，
所以平面，又平面，
所以，又，
所以平面，又平面，
所以平面平面．
（2）由题知，即，
由（1）知，且
平面，所以以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，
设为平面的法向量，
由，
令得，
且，
又易得平面的法向量为，
由，
故存在实数使得平面与平面的夹角的余弦值为．
【典例2】（2023春·云南昆明·高二昆明一中校考期中）如图1，在平面四边形中，∥，，将沿翻折到的位置，使得平面⊥平面，如图2所示.
(1)设平面与平面的交线为，求证：；
(2)在线段上是否存在一点（点不与端点重合），使得二面角的余弦值为，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，理由见解析.
【详解】（1）证明:延长相交于点，连接，
则为平面与平面的交线，
由平面⊥平面，，平面，
且平面平面，所以平面，
又由∥，所以平面，
因为平面，所以，所以，
（2）由（1）知：，
以为坐标原点，以所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示，
可得，
则，
设（其中），
则，所以，
设平面QBD的法向量为，
则，
令，可得，所以，
又由平面，所以平面的一个法向量为
则，
解得，
所以存在点为的中点时，使得二面角的余弦值为.
【变式1】（2023·全国·校联考模拟预测）在直四棱柱中，四边形为平行四边形，平面平面.
(1)求证：；
(2)若，探索在棱上是否存在一点，使得二面角的大小为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：由题意知平面平面，所以.
过在平面内作直线交于点，
因为平面平面，平面平面平面，
所以平面.
又平面，所以.
因为平面，所以平面，
又平面，所以.
（2）由（1）知，因为，所以，
又平面，且平面，所以，
故以为坐标原点，直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
设，则，故.
平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量，则，
令，则，所以，
所以，解得（负根舍），
所以在棱存在点，使得二面角的大小为，且.
【变式2】（2023秋·云南昆明·高二统考期末）如图，在直三棱柱中，侧面为正方形，，，，分别为和的中点，为棱上的点.
则，
令，则，
设平面与平面的夹角为，则
，
整理得，，解得，
所以存在点，满足条件.
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