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第07讲 拓展一：中点弦问题
一、知识点归纳
知识点01：相交弦中点（点差法）：
直线与曲线相交，涉及到交线中点的题型，多数用点差法。按下面方法整理出式子，然后根据实际情况处理该式子。
主要有以下几种问题：
（1）求中点坐标；（2）求中点轨迹方程；（3）求直线方程；（4）求曲线；
中点， ，
知识点02：点差法：
设直线和曲线的两个交点，，代入椭圆方程，得； ；
将两式相减，可得；；
最后整理得：
同理，双曲线用点差法，式子可以整理成：
设直线和曲线的两个交点，，代入抛物线方程，得； ；
将两式相减，可得；整理得：
二、题型精讲
题型01求直线方程
【典例1】（2023春·宁夏吴忠·高二吴忠中学校考期中）过点的直线与椭圆交于两点，且点M平分弦，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】（2023秋·新疆巴音郭楞·高二校考期末）（1）求过点，与双曲线离心率相等的双曲线的标准方程.
（2）已知双曲线，求过点且被点平分的弦所在直线的方程.
【典例3】（2023春·四川·高二统考期末）已知直线与抛物线相交于、两点.
(1)若直线过点，且倾斜角为，求的值；
(2)若直线过点，且弦恰被平分，求所在直线的方程.
【变式1】（2023·全国·高三专题练习）过点的直线与双曲线相交于两点，若是线段的中点，则直线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（2023春·河南·高二临颍县第一高级中学校联考开学考试）已知椭圆的长轴比短轴长2，椭圆的离心率为．
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线与椭圆交于两点，且线段的中点为，求的方程．
【变式3】（2023春·内蒙古呼伦贝尔·高二校考阶段练习）已知抛物线的焦点为是抛物线上的点，且．
(1)求抛物线的方程；
(2)已知直线交抛物线于两点，且的中点为，求直线的方程．
题型02处理存在性问题
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线：的焦点为为上的动点，垂直于动直线，垂足为，当为等边三角形时，其面积为.
(1)求的方程；
(2)设为原点，过点的直线与相切，且与椭圆交于两点，直线与交于点，试问：是否存在，使得？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
【典例2】（2023春·江西萍乡·高二校联考阶段练习）已知双曲线的右焦点为，且C的一条渐近线经过点.
(1)求C的标准方程；
(2)是否存在过点的直线l与C交于不同的A，B两点，且线段AB的中点为P.若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆：，A为椭圆的下顶点，设椭圆与直线相交于不同的两点、，为弦的中点，当时，求的取值范围.
【典例2】（2022·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，直线和椭圆交于两点，且的周长为．
(1)求的方程；
(2)设点为线段的中点，为坐标原点，求线段长度的取值范围．
【变式1】（2023·天津·校考模拟预测）已知曲线的方程为，曲线是以、为焦点的椭圆，点为曲线与曲线在第一象限的交点，且．
(1)求曲线的标准方程；
(2)直线与椭圆相交于A、B两点，若AB的中点在曲线上，求直线的斜率的取值范围．
【变式2】（2023春·内蒙古赤峰·高二校考阶段练习）已知椭圆的中心在原点，焦点为，且离心率.
（1）求椭圆的方程；
（2）直线（与坐标轴不平行）与椭圆交于不同的两点，且线段中点的横坐标为，求直线倾斜角的取值范围.
题型05定值问题
【典例1】（2022·全国·高二专题练习）已知椭圆的离心率为，直线被椭圆截得的线段长为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设过椭圆的右焦点与坐标轴不垂直的直线交于点，，交轴于点，为线段的中点，且为垂足.问：是否存在定点，使得的长为定值？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由.
【典例2】（2023春·湖南株洲·高二株洲二中校考开学考试）已知双曲线（，）的渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为.
(1)求双曲线的方程；
(2)设，是双曲线右支上不同的两点，线段AB的垂直平分线交AB于，点的横坐标为2，则是否存在半径为1的定圆，使得被圆截得的弦长为定值，若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由.
【变式1】（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线：的焦点是，若过焦点的直线与相交于，两点，所得弦长的最小值为2．
(1)求实数的值；
(2)设，是抛物线上不同于坐标原点的两个不同的动点，且以线段为直径的圆经过点，作，为垂足，试探究是否存在定点，使得为定值，若存在，则求出该定点的坐标及定值，若不存在，请说明理由．
第07讲 拓展一：中点弦问题
一、知识点归纳
知识点01：相交弦中点（点差法）：
直线与曲线相交，涉及到交线中点的题型，多数用点差法。按下面方法整理出式子，然后根据实际情况处理该式子。
主要有以下几种问题：
（1）求中点坐标；（2）求中点轨迹方程；（3）求直线方程；（4）求曲线；
中点， ，
知识点02：点差法：
设直线和曲线的两个交点，，代入椭圆方程，得； ；
将两式相减，可得；；
最后整理得：
同理，双曲线用点差法，式子可以整理成：
设直线和曲线的两个交点，，代入抛物线方程，得； ；
将两式相减，可得；整理得：
二、题型精讲
题型01求直线方程
【典例1】（2023春·宁夏吴忠·高二吴忠中学校考期中）过点的直线与椭圆交于两点，且点M平分弦，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】设，直线斜率为，则有，
①-②得，
因为点为中点，则，
所以，即，
所以直线的方程为，整理得
故选：B
【典例2】（2023秋·新疆巴音郭楞·高二校考期末）（1）求过点，与双曲线离心率相等的双曲线的标准方程.
（2）已知双曲线，求过点且被点平分的弦所在直线的方程.
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）双曲线过点，所求双曲线的焦点在轴上，
又所求双曲线离心率与双曲线离心率相同，
可设其方程为：，
将代入双曲线方程得：，则所求双曲线标准方程为：.
（2）方法一：由题意知：所求直线的斜率存在，
可设其方程为：，即，
由得：，
设，，，
又为中点，，解得：，
当时，满足，符合题意；
所求直线的方程为：，即；
方法二：设，，
均在双曲线上，，
两式作差得：，
直线的斜率，
又为中点，，，，
经检验：该直线存在，
所求直线的方程为：，即.
【典例3】（2023春·四川·高二统考期末）已知直线与抛物线相交于、两点.
(1)若直线过点，且倾斜角为，求的值；
(2)若直线过点，且弦恰被平分，求所在直线的方程.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因直线的倾斜角为，所以直线的斜率，
又因直线过点，
所以直线的方程为：，即，
联立得，
设，，
所以，，
所以
（2）因、在抛物线上，
所以，，
两式相减得：，
得，
故直线的斜率为4，
所以直线的方程为：，即
【变式1】（2023·全国·高三专题练习）过点的直线与双曲线相交于两点，若是线段的中点，则直线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】解：设，则，
两式相减得直线的斜率为，
又直线过点，
所以直线的方程为，
经检验此时与双曲线有两个交点.
故选：A
【变式2】（2023春·河南·高二临颍县第一高级中学校联考开学考试）已知椭圆的长轴比短轴长2，椭圆的离心率为．
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线与椭圆交于两点，且线段的中点为，求的方程．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为椭圆的离心率为，所以，解得．．
又椭圆的长轴比短轴长2，所以，
联立方程组，解得
所以椭圆的方程为．
（2）显然点在椭圆内，
设，因为在椭圆上，所以，
两个方程相减得，即，
因为线段的中点为，所以，，
所以．
所以的方程为，即．
【变式3】（2023春·内蒙古呼伦贝尔·高二校考阶段练习）已知抛物线的焦点为是抛物线上的点，且．
(1)求抛物线的方程；
(2)已知直线交抛物线于两点，且的中点为，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，
所以，
故抛物线的方程为．
（2）
易知直线的斜率存在，设直线的斜率为，
则
两式相减得，整理得．
因为的中点为，所以，
所以直线的方程为，即.
题型02处理存在性问题
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线：的焦点为为上的动点，垂直于动直线，垂足为，当为等边三角形时，其面积为.
(1)求的方程；
(2)设为原点，过点的直线与相切，且与椭圆交于两点，直线与交于点，试问：是否存在，使得？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）∵为等边三角形时，其面积为，
∴，解得，
根据和抛物线的定义可知，落在准线上，即，
设准线和轴交点为，易证，于是，
∴的方程为；
（2）假设存在，使得，则线为段的中点，
设，依题意得，则，
由可得，所以切线的斜率为，
设，，线段的中点，
由，可得，
所以，
整理可得：，即，所以，
可得，又因为，
所以当时，，此时三点共线，满足为的中点，
综上，存在，使得点为的中点恒成立，.
【典例2】（2023春·江西萍乡·高二校联考阶段练习）已知双曲线的右焦点为，且C的一条渐近线经过点.
(1)求C的标准方程；
(2)是否存在过点的直线l与C交于不同的A，B两点，且线段AB的中点为P.若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)不存在，理由见解析
【详解】（1）解：因为双曲线C的右焦点为，所以，可得，
又因为双曲线C的一条渐近线经过点，可得，即，
联立方程组，解得，
所以双曲线C的标准方程为.
（2）解：假设存在符合条件的直线，易知直线l的斜率存在，
设直线的斜率为，且，
则，两式相减得，所以，
因为的中点为，所以，所以，解得，
直线的方程为，即，
把直线代入，整理得，
可得，该方程没有实根，所以假设不成立，
即不存在过点的直线与C交于两点，使得线段的中点为.
【变式1】（2023秋·重庆北碚·高二西南大学附中校考阶段练习）双曲线的渐近线方程为，一个焦点到该渐近线的距离为2．
(1)求C的方程；
(2)是否存在直线l，经过点且与双曲线C于A，B两点，M为线段AB的中点，若存在，求l的方程：若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)存在；.
【详解】（1）双曲线的渐近线为，
因为双曲线的一条渐近线方程为，所以，
又焦点到直线的距离，所以，
又，所以，，所以双曲线方程为
（2）假设存在，由题意知：直线的斜率存在，设，，直线的斜率为，则，，
所以，，
两式相减得，即
即，所以，解得，
所以直线的方程为，即，
经检验直线与双曲线有两个交点，满足条件，
所以直线的方程为.
题型03求弦中点的轨迹方程
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知曲线上一动点到两定点，的距离之和为，过点 的直线与曲线相交于点，．
(1)求曲线的方程；
(2)动弦满足： ，求点的轨迹方程；
【答案】(1)
(2)；
【详解】（1）因为动点到两定点，的距离之和为，
所以曲线是以，为焦点的椭圆，，，
所以，，所以曲线的方程为；
（2）因为，所以为中点，设，
当的斜率存在且不为0时，将，代入椭圆方程中得：
两式相减得，即，所以，
即，，整理得；
当的斜率不存在或为0时，有或，也满足；
所以点的轨迹方程是；
综上，曲线 的方程为，点的轨迹方程是.
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线，过点作一条直线交抛物线于，两点，试求弦的中点轨迹方程.
【答案】.
【详解】方法1：设，，弦的中点为，则，
当直线的斜率存在时，.
因为两式相减，得.
所以，即，
即.
当直线斜率不存在，即轴时，的中点为，适合上式，
故所求轨迹方程为.
方法2：当直线的斜率存在时，设直线的方程为（），由得.
所以
所以.
设，，的中点为，
则，.
所以
.
所以
消去参数，得.
当直线的斜率不存在时，即轴时，的中点为，适合上式，
故所求轨迹方程为.
【变式1】（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的弦所在直线过点，求弦中点的轨迹方程.
【答案】
【详解】设，弦的中点，则，
将代入椭圆方程得，
两式相减得，
所以，
当时，，
因为，所以，则，
整理得；
当时，则直线方程为，代入椭圆方程解得
所以满足上述方程，
故点的轨迹方程.
【变式2】（2022·全国·高三专题练习）椭圆，则该椭圆所有斜率为的弦的中点的轨迹方程为 ．
【答案】
【详解】设斜率为的直线方程为，与椭圆的交点为，
设中点坐标为，则，
所以，两式相减可得，
，即，
由于在椭圆内部，由得，
所以时，即直线与椭圆相切，
此时由解得或，
所以，
所求得轨迹方程为．
故答案为：．
题型04确定参数的取值范围
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆：，A为椭圆的下顶点，设椭圆与直线相交于不同的两点、，为弦的中点，当时，求的取值范围.
【答案】
【详解】由题设，联立，得，
由题设知，即①，
设，则，
因为为弦的中点，
∴，从而，
又由题意知,，
∴，
∵，则，即②，
把②代入①得，解得，又，
故的取值范围是.
【典例2】（2022·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，直线和椭圆交于两点，且的周长为．
(1)求的方程；
(2)设点为线段的中点，为坐标原点，求线段长度的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）由椭圆的定义知，的周长为，所以，
由离心率，解得，所以的方程为．
（2）设，的坐标分别为，，，
则有 ①， ②，，
由① ②可得：，即，
将条件及，
带入上式可得点的轨迹方程为，
所以，，
所以，
所以线段长度的取值范围为．
【变式1】（2023·天津·校考模拟预测）已知曲线的方程为，曲线是以、为焦点的椭圆，点为曲线与曲线在第一象限的交点，且．
(1)求曲线的标准方程；
(2)直线与椭圆相交于A、B两点，若AB的中点在曲线上，求直线的斜率的取值范围．
【答案】(1)
(2)且
【详解】（1）设椭圆方程为，
依题意，，，利用抛物线的定义可得，解得，
点的坐标为，所以，
由椭圆定义，得．
，
所以曲线的标准方程为；
（2）设直线与椭圆的交点，，，，，的中点的坐标为，，
设直线的方程为，
(当时,弦中点为原点,但原点并不在上,同样弦中点为原点，不适合题意)
与联立，得，
由得①，
由韦达定理得，，，
则，，
将中点，代入曲线的方程为，
整理，得，②
将②代入①得，
令，则，解得，．
所以直线的斜率的取值范围为且．
【变式2】（2023春·内蒙古赤峰·高二校考阶段练习）已知椭圆的中心在原点，焦点为，且离心率.
（1）求椭圆的方程；
（2）直线（与坐标轴不平行）与椭圆交于不同的两点，且线段中点的横坐标为，求直线倾斜角的取值范围.
【答案】（1）；（2）直线倾斜角的取值范围为，，.
【详解】（1）设椭圆方程为，
由题意得，，所以，
，
所以椭圆的方程为；
（2）设直线的方程为，
由得，
则，即①，
设，，，，则，
因为线段中点的横坐标为，所以，
化简得，所以②，
把②代入①整理得，解得或，
所以直线倾斜角的取值范围为，，．
题型05定值问题
否存在半径为1的定圆，使得被圆截得的弦长为定值，若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)；
(2)存在，定圆：
【详解】（1）设双曲线的右焦点，则点到渐近线的距离为，
即，解得，又渐近线方程为，即，且，
解得，，所以双曲线方程为.
（2）设，AB的中点为，
由中点的横坐标为2可得，
因为，是双曲线上不同的两点，所以 ，
得，
当存在时，，
因为AB的中垂线为直线l，所以，即，
所以过定点，
当不存在时，，关于轴对称，的中垂线为轴，此时也过，
所以存在定圆：，使得被圆截得的弦长为定值.
【变式1】（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线：的焦点是，若过焦点的直线与相交于，两点，所得弦长的最小值为2．
(1)求实数的值；
(2)设，是抛物线上不同于坐标原点的两个不同的动点，且以线段为直径的圆经过点，作，为垂足，试探究是否存在定点，使得为定值，若存在，则求出该定点的坐标及定值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，定点为，为定值1
【详解】（1）抛物线：化为标准方程为：，其焦点，因为斜率一定存在，设其方程为，
联立方程得：，整理得：，恒成立．
其中，，，，
因为焦点弦长，所以当时，弦长．
所以，实数的值为．
（2）由题意可知直线的斜率存在，设其方程为．
联立方程得：，整理得：，．
其中，，，，
因为以为直径的圆经过点，所以．
又因为，
∵，∴．
所以直线过定点，
又因为，所以为直角三角形，
所以当为斜边中点时，为定值，
此时．
所以定点为，为定值1．
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