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第08讲 拓展二：圆锥曲线的方程（轨迹方程问题）
一、知识点归纳
知识点一：曲线方程的定义
一般地，如果曲线与方程之间有以下两个关系：
①曲线上的点的坐标都是方程的解；
②以方程的解为坐标的点都是曲线上的点．
此时，把方程叫做曲线的方程，曲线叫做方程的曲线．
知识点二：求曲线方程的一般步骤：
（1）建立适当的直角坐标系（如果已给出，本步骤省略）；
（2）设曲线上任意一点的坐标为；
（3）根据曲线上点所适合的条件写出等式；
（4）用坐标表示这个等式，并化简；
（5）确定化简后的式子中点的范围．
上述五个步骤可简记为：求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围．
知识点三：求轨迹方程的方法：
1、定义法：
如果动点的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。
2、直译法：
如果动点的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点所满足的几何上的等量关系，再用点的坐标表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。
3、参数法：
如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点运动的某个几何量，以此量作为参变数，分别建立点坐标与该参数的函数关系，
，进而通过消参化为轨迹的普通方程.
4、代入法（相关点法）：
如果动点的运动是由另外某一点的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出，用表示出相关点的坐标，然后把的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点的轨迹方程。
5、点差法：
圆锥曲线中与弦的中点有关的轨迹问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点的坐标
【典例3】（2023春·甘肃武威·高二统考开学考试）已知的斜边为，且.求：
(1)直角顶点的轨迹方程；
(2)直角边的中点的轨迹方程.
【变式1】（2023春·四川内江·高三四川省内江市第六中学校考阶段练习）已知定点和曲线上的动点，则线段的中点的轨迹方程为 ．
【变式2】（2023·全国·高三专题练习）已知点P是椭圆上任意一点，过点P作x轴的垂线，垂足为M，则线段PM的中点的轨迹方程为 ．
【变式3】（2023春·河北·高三统考阶段练习）已知椭圆的上 下顶点分别为，点是椭圆上异于的动点，记分别为直线的斜率.点满足.
(1)证明：是定值，并求出该定值；
(2)求动点的轨迹方程.
方法03定义法
【典例1】（2023秋·全国·高二期末）一动圆过定点，且与已知圆：相切，则动圆圆心的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知圆C1：（x＋3）2＋y2＝1和圆C2：（x－3）2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为 .
【变式1】（2023·上海·高二专题练习）一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为 ．
【变式2】（2023·高二课时练习）如果点M（x，y）在运动过程中，总满足关系式，那么点M的轨迹是 ．
方法04参数法
【典例1】（2023·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）已知斜率为的动直线与椭圆交于两点，线段的中点为，则的轨迹长度为 ．
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点为，平行于轴的两条直线分别交于两点，交的准线于两点，若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程.
【变式1】（2023·河南·校联考模拟预测）已知抛物线的焦点到准线的距离为2，直线与抛物线交于两点，过点作抛物线的切线，若交于点，则点的轨迹方程为 .
【变式2】（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）已知椭圆，，为C的左右焦点.点为椭圆上一点，且.过P作两直线与椭圆C相交于相异的两点A，B，直线PA、PB的倾斜角互补，直线AB与x，y轴正半轴相交.
(1)求椭圆C的方程；
(2)点M满足，求M的轨迹方程.
方法05点差法
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）（1）若双曲线的一条渐近线方程为，且两顶点间的距离为6，求该双曲线方程．
（2）一组平行直线与椭圆相交，求弦的中点的轨迹方程．
【典例2】（2023春·上海徐汇·高二上海市徐汇中学校考期中）已知双曲线C的方程为．
(1)直线截双曲线C所得的弦长为，求实数m的值；
(2)过点作直线交双曲线C于P、Q两点，求线段的中点M的轨迹方程．
【变式1】（2023·上海·高三专题练习）给定双曲线.
（1）过点A(2，1)的直线与所给双曲线交于两点P1 P2，求线段P1P2的中点轨迹方程.
第08讲 拓展二：圆锥曲线的方程（轨迹方程问题）
一、知识点归纳
知识点一：曲线方程的定义
一般地，如果曲线与方程之间有以下两个关系：
①曲线上的点的坐标都是方程的解；
②以方程的解为坐标的点都是曲线上的点．
此时，把方程叫做曲线的方程，曲线叫做方程的曲线．
知识点二：求曲线方程的一般步骤：
（1）建立适当的直角坐标系（如果已给出，本步骤省略）；
（2）设曲线上任意一点的坐标为；
（3）根据曲线上点所适合的条件写出等式；
（4）用坐标表示这个等式，并化简；
（5）确定化简后的式子中点的范围．
上述五个步骤可简记为：求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围．
知识点三：求轨迹方程的方法：
1、定义法：
如果动点的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。
2、直译法：
如果动点的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点所满足的几何上的等量关系，再用点的坐标表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。
3、参数法：
如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点运动的某个几何量，以此量作为参变数，分别建立点坐标与该参数的函数关系，
，进而通过消参化为轨迹的普通方程.
4、代入法（相关点法）：
如果动点的运动是由另外某一点的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出，用表示出相关点的坐标，然后把的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点的轨迹方程。
5、点差法：
圆锥曲线中与弦的中点有关的轨迹问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点的坐标代入圆锥曲线方程，然而相减，利用平方差公式可得，，，等关系式，由于弦的中点的坐标满足，且直线的斜率为，由此可求得弦中点的轨迹方程.
二、题型精讲
方法01直接法
【典例1】（2023秋·山东济宁·高二统考期末）已知圆心在轴上移动的圆经过点，且与轴，轴分别相交于两个动点，则点的轨迹方程为 .
【答案】
【详解】因为动圆圆心在轴上移动，且该动圆始终经过点和，所以，为该动圆的直径,
又因为点在该动圆上，所以，，即，
所以，点的轨迹方程为.
故答案为：
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出圆的另一种定义：平面内，到两个定点距离之比值为常数的点的轨迹是圆，我们称之为阿波罗尼奥斯圆．已知点P到的距离是点P到的距离的2倍．求点P的轨迹方程；
【答案】；
【详解】
解：设点，
点P到的距离是点P到的距离的2倍，可得，
即，整理得，
所以点P的轨迹方程为；
【变式1】（2023·高三课时练习）已知两定点A（1，1）、B（-1，-1），动点满足，则点P的轨迹是 .
【答案】
【详解】设，，，
则，，，
化简得.
故答案为：
【变式2】（2023秋·高二课时练习）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，动点P与两个定点，的距离之比为．求动点P的轨迹W的方程．
【答案】.
【详解】设点P坐标为，依题意得：，即，
又，，
所以2，
化简得：，
故动点P轨迹W方程为.
方法02相关点法
【典例1】（2023春·四川内江·高二四川省内江市第六中学校考期中）已知面积为16的正方形ABCD的顶点A、B分别在x轴和y轴上滑动，O为坐标原点，，则动点P的轨迹方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设，不妨令，
正方形ABCD的面积为16，则，则，
由，可得，即，
则，整理得
故选：B
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知点分别在轴、轴上运动，，点在线段上，且.则点的轨迹方程是 ；
【答案】
【详解】设，
因为，
所以，①
因为点在线段上，且，
所以，即代入①
，
即，
故答案为：.
【典例3】（2023春·甘肃武威·高二统考开学考试）已知的斜边为，且.求：
(1)直角顶点的轨迹方程；
(2)直角边的中点的轨迹方程.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：设，因为三点不共线，所以，
因为，所以，
又因为，所以，
整理得，即，
所以直角顶点的轨迹方程为.
（2）解：设，
因为，是线段的中点，
由中点坐标公式得，所以，
由（1）知，点的轨迹方程为，
将代入得，即
所以动点的轨迹方程为.
【变式1】（2023春·四川内江·高三四川省内江市第六中学校考阶段练习）已知定点和曲线上的动点，则线段的中点的轨迹方程为 ．
【答案】
【详解】设线段中点为，， 则，
即，
因为点为圆上的点，所以
所以，化简得：
故答案为：
【变式2】（2023·全国·高三专题练习）已知点P是椭圆上任意一点，过点P作x轴的垂线，垂足为M，则线段PM的中点的轨迹方程为 ．
【答案】
【详解】因为轴，垂足为M，且PM的中点为，
所以，又因为P是椭圆上任意一点，
所以，即.
故答案为：.
【变式3】（2023春·河北·高三统考阶段练习）已知椭圆的上 下顶点分别为，点是椭圆上异于的动点，记分别为直线的斜率.点满足.
(1)证明：是定值，并求出该定值；
(2)求动点的轨迹方程.
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【详解】（1）由题意可知,
设点，显然
，为定值.
（2）设点,
由于，
的方程：①.
的方程：②
由①②联立可得：，
代入①可得，
即点
点满足：，
代入可得点的轨迹方程为：
方法03定义法
【典例1】（2023秋·全国·高二期末）一动圆过定点，且与已知圆：相切，则动圆圆心的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：已知圆：圆心，半径为4，
动圆圆心为，半径为，
当两圆外切时：，所以；
当两圆内切时：，所以；
即，表示动点P到两定点的距离之差为常数4，符合双曲线的定义，
所以P在以M、N为焦点的双曲线上，且，，
，
所以动圆圆心的轨迹方程为：，
故选：C.
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知圆C1：（x＋3）2＋y2＝1和圆C2：（x－3）2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为 .
【答案】
【详解】设动圆圆心的坐标为，半径为，
则由题意可得，，相减可得，
故点的轨迹是以、为焦点的双曲线的左支，
由题意可得，，，
故点的轨迹方程为．
故答案为：
【变式1】（2023·上海·高二专题练习）一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为 ．
【答案】
【详解】圆，即，圆心为，，
圆，即，圆心为，，
设动圆的圆心为，半径为，
由题意得，，
则，
所以动圆的圆心为的轨迹是以为焦点的椭圆，
可设方程为，则，，
所以，，
所以动圆圆心的轨迹方程为.
故答案为：.
【变式2】（2023·高二课时练习）如果点M（x，y）在运动过程中，总满足关系式，那么点M的轨迹是 ．
【答案】椭圆
【详解】可看作M（x，y）到的距离之和为，由于,所以点M的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆.
故答案为：椭圆
方法04参数法
【典例1】（2023·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）已知斜率为的动直线与椭圆交于两点，线段的中点为，则的轨迹长度为 ．
【答案】/
【详解】设斜率为直线方程为：，
代入椭圆中，消元整理得：
，
线段的中点为，设，
则，
所以，
，
所以，消去得：，
所以线段的中点为的轨迹方程为：，
如图所示：
的轨迹即为线段，
由或，
所以，
所以的轨迹长度为：
，
故答案为：.
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点为，平行于轴的两条直线分别交于两点，交的准线于两点，若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程.
【答案】
【详解】
由抛物线，可得，设，则，
且，
记过两点的直线为，则的方程为，
设与轴的交点为，则，
因为的面积是的面积的两倍，
可得，所以或（舍去），
设满足条件的的中点为，可得，
当与轴不垂直时，由，可得．
又由，所以．
当与轴垂直时，与重合，所以，所求轨迹方程为.
【变式1】（2023·河南·校联考模拟预测）已知抛物线的焦点到准线的距离为2，直线与抛物线交于两点，过点作抛物线的切线，若交于点，则点的轨迹方程为 .
【答案】或
【详解】由焦点到准线的距离为2，可得抛物线.
其中，则，
所以，
因为直线、的倾斜角互补，所以，
所以，化简得，
即，
所以，若，此时直线AB过点P，不合题意舍去；
故，所以，所以直线AB方程为 ，
设，因为，所以M为AB的中点，
所以，则，
消去m得，又，且，所以，
所以，所以点M的轨迹方程为.
方法05点差法
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）（1）若双曲线的一条渐近线方程为，且两顶点间的距离为6，求该双曲线方程．
（2）一组平行直线与椭圆相交，求弦的中点的轨迹方程．
【答案】（1）；（2）.
【详解】解：（1）若焦点在轴上，渐近线方程为，所以
，又，所以
所以双曲线的标准方程为
若焦点在轴上，渐近线方程为，所以
，又，所以
所以双曲线的标准方程为
（2）设与椭圆的两交点，，， 的中点为，
则，
两式相减得：，
即即，
又，消去得，解得，
所以弦的中点的轨迹方程为．
【典例2】（2023春·上海徐汇·高二上海市徐汇中学校考期中）已知双曲线C的方程为．
(1)直线截双曲线C所得的弦长为，求实数m的值；
(2)过点作直线交双曲线C于P、Q两点，求线段的中点M的轨迹方程．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）联立,得，
直线被双曲线截得的弦长为,,
设直线与双曲线交于,
则,
由弦长公式得,
解得.
（2）设,，则
，
，
上式作差得，
当直线的斜率不存在时，根据双曲线对称性知，
当直线的斜率存在时，但时，此时直线为直线，根据双曲线对称性知，
当直线的斜率存在时，且时，，
，，化简得，其中，
而点，适合上述方程，
则线段的中点的轨迹方程是.

【变式1】（2023·上海·高三专题练习）给定双曲线.
（1）过点A(2，1)的直线与所给双曲线交于两点P1 P2，求线段P1P2的中点轨迹方程.
【答案】（1）；
【详解】（1）设，中点，则：
，
两式相减得，
而，
，
四点共线，
，
所以轨迹方程，即.
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