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第01讲 3.1.1椭圆及其标准方程
课程标准 学习目标
①了解圆锥曲线的实际背景。 ②了解圆锥 曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。 ③掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程。 ④会根据相关的条件求椭圆的标准方程。 ⑤会求与椭圆有关的量。 1.通过本节课的学习，要求掌握椭圆的定义（相关的量的掌握）及椭圆的标准方程（满足的条件），会求与椭圆有关的几何量
知识点01：椭圆的定义
1、椭圆的定义：平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数，
这个动点的轨迹叫椭圆. 这两个定点（,）叫椭圆的焦点，两焦点的距离（）叫作椭圆的焦距.
说明：
若，的轨迹为线段；
若，的轨迹无图形
2、定义的集合语言表述
集合.
【即学即练1】（2023秋·四川南充·高二四川省南充高级中学校考期末）设定点，，动点P满足条件，则点P的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．线段 C．不存在 D．椭圆或线段
【答案】A
【详解】因为，，所以，
所以，所以点P的轨迹是以，为焦点的椭圆.
故选：A.
知识点02：椭圆的标准方程
焦点位置 焦点在轴上 焦点在轴上
标准方程 （） （）
图象
焦点坐标 ， ，
的关系
【即学即练2】（2023秋·广东广州·高二广州市第八十六中学校考期末）已知的周长为20，且顶点，则顶点的轨迹方程是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】错解：
∵△ABC的周长为20，顶点，
∴|BC|＝8，|AB|＋|AC|＝20－8＝12，
∵12＞8，
∴点A到两个定点的距离之和等于定值，
∴点A的轨迹是椭圆，
∵a＝6，c＝4，
∴b2＝20，
∴椭圆的方程是
故选：D.
错因：
忽略了A、B、C三点不共线这一隐含条件.
正解：
∵△ABC的周长为20，顶点，
∴|BC|＝8，|AB|＋|AC|＝20－8＝12，
∵12＞8，
∴点A到两个定点的距离之和等于定值，
∴点A的轨迹是椭圆，
∵a＝6，c＝4，
∴b2＝20，
∴椭圆的方程是
故选：B.
特别说明：
1、两种椭圆，（）的相同点是:它们的形状、大小都相同,都有,;不同点是:两种椭圆的位置不同,它们的焦点坐标也不同.
2、给出椭圆方程(，,),判断该方程所表示的椭圆的焦点位置的方法是:椭圆的焦点在轴上 标准方程中项的分母较大;椭圆的焦点在轴上 标准方程中项的分母较大,这是判断椭圆焦点所在坐标轴的重要方法.可简记作:焦点位置看大小,焦点跟着大的跑.
题型01椭圆的定义及辨析
【典例1】（2023春·新疆塔城·高二统考开学考试）设满足：，则点的轨迹为（ ）
A．圆 B．椭圆 C．线段 D．不存在
【典例2】．（2023·全国·高三专题练习）已知，是两个定点，且（是正常数），动点满足，则动点的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．线段 C．椭圆或线段 D．直线
【变式1】（2023·全国·高二专题练习）如果点在运动过程中，总满足关系式，则点的轨迹是（ ）．
A．不存在 B．椭圆 C．线段 D．双曲线
【变式2】（2023秋·四川成都·高二统考期末）椭圆上一点P与它的一个焦点的距离等于6，那么点P与另一个焦点的距离等于 .
题型02利用椭圆定义求方程
【典例1】（2023·上海·高二专题练习）方程，化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2023秋·广东广州·高二西关外国语学校校考期末）已知圆，圆，动圆M与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心M的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】（2023春·江苏南京·高二江苏省江浦高级中学校联考阶段练习）已知椭圆的左、右焦点为，且过点则椭圆标准方程为 ．
【变式2】（2023·高二课时练习）已知动点M到定点与的距离的和是，则点M的轨迹方程是 ．
题型03椭圆上点到焦点距离（含最值）问题
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆上一点到右准线的距离为，则点到它的左焦点的距离为（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2023秋·陕西宝鸡·高二统考期末）已知椭圆上的动点到右焦点距离的最大值为，则（ ）
A．1 B． C． D．
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）设是椭圆上一点，，分别是圆和上的点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【典例4】（2023·云南曲靖·宣威市第七中学校考模拟预测）已知椭圆的右焦点为是椭圆上一点，点，则的周长最大值为（ ）
A．14 B．16 C．18 D．20
【变式1】（2023·全国·高二专题练习）已知A为椭圆上一点，F为椭圆一焦点，的中点为，为坐标原点，若则（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023春·陕西宝鸡·高二虢镇中学校考开学考试）如图，把椭圆的长轴八等分，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于，，，七个点，是椭圆的一个焦点，则的值为 ．
【变式3】（2022秋·上海宝山·高二上海市行知中学校考期末）已知为椭圆上的一点，若分别是圆和上的点，则的最大值为 .
题型04椭圆上点到坐标轴上点的距离（含最值）问题
【典例1】（2023·江西上饶·校联考模拟预测）点为椭圆上一点，曲线与坐标轴的交点为，，，，若，则点到轴的距离为（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2023秋·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨三中校考期末）已知点，P是椭圆上的动点，则的最大值是 ．
【典例3】（2023·高二课时练习）已知P是椭圆上一点，，求的最小值与最大值．
【变式1】（2022秋·山东淄博·高一校考期末）椭圆上任一点到点的距离的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．
【变式2】（2023秋·山西晋城·高二统考期末）椭圆的左、右焦点为F1 F2，点P在椭圆上，若RtF1PF2，则点P到x轴的距离为 .
【变式3】（2022秋·天津和平·高二天津市第二南开中学校考期中）已知是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，且，则点P到y轴的距离为 .
.
题型05椭圆上点到焦点和定点距离的和差最值
【典例1】（2023·甘肃定西·统考模拟预测）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，A是C上一点，，则的最大值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．11
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知点P为椭圆上任意一点，点M、N分别为和上的点，则的最大值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【典例3】（2023秋·甘肃兰州·高二兰州一中校考期末）已知椭圆C：的左 右焦点分别为 ，M为椭圆C上任意一点，N为圆E：上任意一点，则的取值范围为 .
【变式1】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的左焦点为F，P是椭圆上一点，若点，则的最小值为 ．
【变式2】（2023·广西柳州·高三统考阶段练习）已知F是椭圆的右焦点，P为椭圆C上一点，，则的最大值为 ．
【变式3】（2023·高二课时练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P为椭圆上一点，点，则的最小值为 ．
题型06判断方程是否表示椭圆
【典例1】（2023·高二课时练习）已知条件：，条件：表示一个椭圆，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【典例2】（2023·高二课时练习）设方程①；②．其中表示椭圆的方程是 ．
【典例3】（2023·高二课时练习）“”是“方程表示的曲线为椭圆”的 条件．
【变式1】（多选）（2023·全国·高二专题练习）已知曲线（ ）
A．若，则是椭圆，其焦点在轴上
B．若，则是椭圆，其焦点在轴上
C．若，则是圆，其半径为
D．若，，则是两条直线
【变式2】（2023春·四川遂宁·高二遂宁中学校考阶段练习）方程表示椭圆的充要条件是 ．
题型07求椭圆方程
【典例1】（2023秋·高二课时练习）若椭圆的中心为原点，对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点构成个正三角形，焦点到椭圆上点的最短距离为，则这个椭圆的方程为（ ）
A． B．或
C． D．以上都不对
【典例2】（2023秋·辽宁沈阳·高二东北育才双语学校校考期末）已知椭圆（）的一个焦点为，则（ ）
A． B．3 C．41 D．9
【典例3】（2023春·陕西宝鸡·高二虢镇中学校考开学考试）已知椭圆C:,四点,,,中恰有三点在椭圆上,则椭圆C的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【典例4】（2023·高二课时练习）已知椭圆以原点为中心，长轴长是短轴长的2倍，且过点，求此椭圆的标准方程．
【变式1】（2023·全国·高三专题练习）已知焦点在轴上的椭圆的焦距等于，则实数的值为（ ）
A．或 B．或 C． D．
【变式2】（2023·全国·高三专题练习）已知，两点在对称轴为坐标轴的椭圆上，则椭圆的标准方程为 .
【变式3】（2023春·江苏南京·高二江苏省江浦高级中学校联考阶段练习）已知椭圆的左、右焦点为，且过点则椭圆标准方程为 ．
【变式4】（2023秋·江苏连云港·高二校考期末）经过、两点的椭圆的标准方程是 ．
题型08根据椭圆方程求参数
【典例1】（2023·全国·高二专题练习）方程表示焦点在轴上的椭圆的一个充分但不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2023秋·山东威海·高二统考期末）已知椭圆的焦距为2，则实数m＝（ ）
A． B． C．或 D．或1
【典例3】（2023·高三课时练习）若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是 .
【变式1】（2023春·江西景德镇·高一景德镇一中校考期中）方程表示椭圆的一个充分不必要条件是（ ）
A．且 B． C． D．
【变式2】（2023·全国·高三专题练习）已知直线与椭圆恒有公共点，则实数m的取值范围（ ）
A． B．
C． D．
题型09椭圆中的轨迹方程问题
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，已知点，，动点满足.记的轨迹为.求的方程；
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，动圆与圆内切，且与圆：外切，记动圆的圆心的轨迹为.则轨迹的方程为 ；
【典例3】（2023秋·高二课时练习）已知的三边a，b，c成等差数列，且，A、C两点的坐标分别为，则顶点B的轨迹方程为 ．
【变式1】（2023·全国·高三专题练习）设O为坐标原点，动点M在椭圆C上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足.求点P的轨迹方程；
【变式2】（2023·全国·高三专题练习）已知点，动点到直线的距离为，且，记的轨迹为曲线．求的方程；
【变式3】（2023秋·高二课时练习）已知定圆，圆，动圆M和定圆外切和圆内切，求动圆圆心M的轨迹方程．
题型10椭圆中焦点三角形周长问题
【典例1】（2023春·河南开封·高二统考期末）直线与椭圆交于两点，则与椭圆的两个焦点构成的四边形的周长为（ ）
A．10 B．16 C．20 D．不能确定
【典例2】（2023·高二课时练习）若F为椭圆C：的右焦点，A，B为C上两动点，则△ABF周长的最大值为（ ）
A．4 B．8 C．10 D．20
【典例3】（2023·全国·高二专题练习）设,分别是椭圆：的左、右焦点，过点 的直线交椭圆于，，若，的周长为16，求.
【变式1】（2023秋·高二课时练习）设分别为椭圆的左右焦点，过的直线交椭圆于A、B两点，则的周长为（ ）
A．12 B．24 C． D．
【变式2】（2023秋·广东·高二统考期末）椭圆的一个焦点是F，过原点O作直线(不经过焦点)与椭圆相交于A，B两点，则的周长的最小值是（ ）
A．14 B．15 C．18 D．20
【变式3】（2023·北京·101中学校考三模）已知分别是双曲线的左右焦点，是上的一点，且，则的周长是 ．
题型11椭圆中焦点三角形面积问题
【典例1】（2023秋·高二单元测试）已知点是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为、，且，则的面积为（ ）
A．6 B．12 C． D．
【典例2】（2023春·四川德阳·高二德阳五中校考阶段练习）椭圆的左，右焦点为，且，点P是椭圆C上异于左、右端点的一点，若M是的内心，且，则实数（ ）
A． B．
C． D．
【典例3】（2023春·江西·高二校联考开学考试）椭圆的左右焦点分别为，，为椭圆上一点，则面积与周长的比值的最大值为 .
【典例4】（2023春·陕西西安·高二校考期末）已知点在椭圆上，是椭圆的焦点，且，求
(1)
(2)的面积
【变式1】（2023·全国·高三专题练习）已知是椭圆上的点， 分别是椭圆的左 右焦点，若，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023·全国·高三专题练习）已知是椭圆的左 右焦点，点在椭圆上.当最大时，求（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2023·全国·高二专题练习）设椭圆C：(a>0，b>0)的左 右焦点分别为，，离心率为.P是C上一点，且⊥.若的面积为4，则a=
A．1 B．2 C．4 D．8
【变式4】（2023春·上海黄浦·高二上海市大同中学校考期中）设和为椭圆的两个焦点，点在椭圆上，且满足，则的面积是 .
题型12椭圆中焦点三角形其他问题
【典例1】（2023春·广东深圳·高二深圳市耀华实验学校校考阶段练习）在椭圆上有一点P，是椭圆的左 右焦点，为直角三角形，这样的点P有（ ）
A．2个 B．4个 C．6个 D．8个
【典例2】（2023春·甘肃白银·高二校考期末）已知分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆在第一象限内的一点，若，则 ．
【典例3】（2023春·陕西西安·高二校考期末）已知点在椭圆上，是椭圆的焦点，且，求
(1)
(2)的面积
【典例4】（2023·全国·高三对口高考）已知椭圆的焦点为、，点在椭圆上，若，则 ，的大小为 .
【变式1】（2023·全国·高三专题练习）设为椭圆上的一点，、分别为椭圆的左、右焦点，且，则等于（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023春·四川遂宁·高二射洪中学校考期中）已知，是椭圆C的两个焦点，P为C上一点，，若C的离心率为，则（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2023秋·陕西宝鸡·高二统考期末）已知，是椭圆的两个焦点，点在上，则的最大值为 ．
【变式4】（2023·全国·高三专题练习）设椭圆的左、右两焦点分别为，，是上的点，则使得是直角三角形的点的个数为 .
A夯实基础 B能力提升 C综合素养
A夯实基础
一、单选题
1．（2023秋·四川南充·高二四川省南充高级中学校考期末）设定点，，动点P满足条件，则点P的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．线段 C．不存在 D．椭圆或线段
2．（2023秋·高二课时练习）已知椭圆的焦点在轴上，若椭圆的焦距为，则的值为（ ）
A． B． C．3 D．4
3．（2023秋·高二单元测试）过点且与有相同焦点的椭圆方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023·全国·高三专题练习）已知的顶点在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在边上，则的周长是（ ）
A．12 B． C．16 D．10
5．（2023秋·高二单元测试）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
12．（2023秋·高二课时练习）已知分别为椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，（O为坐标原点）是面积为的正三角形，则此椭圆的方程为 ．
四、解答题
13．（2023·全国·高三对口高考）P是椭圆上一点，，是椭圆的左、右两个焦点，且．
(1)求的最大值和最小值；
(2)求的面积．
14．（2023·全国·高二专题练习）椭圆的左、右焦点分别为，，且过的直线交椭圆于两点，且，若，，求椭圆的标准方程.
15．（2023秋·四川南充·高二四川省南充高级中学校考期末）已知点P是椭圆上的一点，和分别为左右焦点，焦距为6，且过.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若动直线l过与椭圆交于A、B两点，求的周长.
B能力提升
1．（2023春·四川达州·高二统考期末）椭圆任意两条相互垂直的切线的交点轨迹为圆：，这个圆称为椭圆的蒙日圆．在圆上总存在点P，使得过点P能作椭圆的两条相互垂直的切线，则r的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·四川成都·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考三模）19世纪法国著名数学家加斯帕尔 蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展，提出了著名的蒙日圆定理：椭圆的两条切线互相垂直，则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，椭圆的蒙日圆方程为.若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则的值为（ ）
A．±3 B．±4 C．±5 D．
3．（2023·陕西·西北工业大学附属中学校联考模拟预测）阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积．当我们垂直地缩小一个圆时，我们得到一个椭圆．椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知椭圆的面积为，点在椭圆上，且点与椭圆左、右顶点连线的斜率之积为，记椭圆的两个焦点分别为，则的值不可能为（ ）
A．4 B．7 C．10 D．14
4．（2023·浙江宁波·镇海中学校考模拟预测）已知椭圆，、分别是其左，右焦点，P为椭圆C上非长轴端点的任意一点，D是x轴上一点，使得平分．过点D作、的垂线，垂足分别为A、B．则的最大值是 ．
5．（2023春·云南曲靖·高三统考阶段练习）已知椭圆过点，是的左右焦点，为椭圆上任意一点，椭圆外的动点满足且，则的取值范围是
C综合素养
1．（2023春·江西赣州·高二校联考阶段练习）已知的两顶点坐标．
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)不垂直于轴的动直线与轨迹相交于两点，定点，若直线关于轴对称，求面积的取值范围．
2．（2023春·广西·高三统考阶段练习）已知点为椭圆的左顶点，点为右焦点，直线与轴的交点为，且，点为椭圆上异于点的任意一点，直线交于点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)判断是否恒成立，并说明理由.
3．（2023春·湖北·高二黄石二中校联考阶段练习）已知圆，圆，动圆与圆相外切，与圆相内切.
(1)求动圆的圆心的轨迹方程；
(2)过点的两直线，分别交动圆圆心的轨迹于、和、，.求四边形的面积.
第01讲 3.1.1椭圆及其标准方程
课程标准 学习目标
①了解圆锥曲线的实际背景。 ②了解圆锥 曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。 ③掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程。 ④会根据相关的条件求椭圆的标准方程。 ⑤会求与椭圆有关的量。 1.通过本节课的学习，要求掌握椭圆的定义（相关的量的掌握）及椭圆的标准方程（满足的条件），会求与椭圆有关的几何量
知识点01：椭圆的定义
1、椭圆的定义：平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数，
这个动点的轨迹叫椭圆. 这两个定点（,）叫椭圆的焦点，两焦点的距离（）叫作椭圆的焦距.
说明：
若，的轨迹为线段；
若，的轨迹无图形
2、定义的集合语言表述
集合.
【即学即练1】（2023秋·四川南充·高二四川省南充高级中学校考期末）设定点，，动点P满足条件，则点P的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．线段 C．不存在 D．椭圆或线段
【答案】A
【详解】因为，，所以，
所以，所以点P的轨迹是以，为焦点的椭圆.
故选：A.
知识点02：椭圆的标准方程
焦点位置 焦点在轴上 焦点在轴上
标准方程 （） （）
图象
焦点坐标 ， ，
的关系
【即学即练2】（2023秋·广东广州·高二广州市第八十六中学校考期末）已知的周长为20，且顶点，则顶点的轨迹方程是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】错解：
∵△ABC的周长为20，顶点，
∴|BC|＝8，|AB|＋|AC|＝20－8＝12，
∵12＞8，
∴点A到两个定点的距离之和等于定值，
∴点A的轨迹是椭圆，
∵a＝6，c＝4，
∴b2＝20，
∴椭圆的方程是
故选：D.
错因：
忽略了A、B、C三点不共线这一隐含条件.
正解：
∵△ABC的周长为20，顶点，
∴|BC|＝8，|AB|＋|AC|＝20－8＝12，
∵12＞8，
∴点A到两个定点的距离之和等于定值，
∴点A的轨迹是椭圆，
∵a＝6，c＝4，
∴b2＝20，
∴椭圆的方程是
故选：B.
特别说明：
1、两种椭圆，（）的相同点是:它们的形状、大小都相同,都有,;不同点是:两种椭圆的位置不同,它们的焦点坐标也不同.
2、给出椭圆方程(，,),判断该方程所表示的椭圆的焦点位置的方法是:椭圆的焦点在轴上 标准方程中项的分母较大;椭圆的焦点在轴上 标准方程中项的分母较大,这是判断椭圆焦点所在坐标轴的重要方法.可简记作:焦点位置看大小,焦点跟着大的跑.
题型01椭圆的定义及辨析
【典例1】（2023春·新疆塔城·高二统考开学考试）设满足：，则点的轨迹为（ ）
A．圆 B．椭圆 C．线段 D．不存在
【答案】B
【详解】∵表示为到定点的距离之和为5，即，
∴点的轨迹为椭圆.
故选：B.
【典例2】．（2023·全国·高三专题练习）已知，是两个定点，且（是正常数），动点满足，则动点的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．线段 C．椭圆或线段 D．直线
【答案】C
【详解】解：因为 （当且仅当 时，等号成立，所以，
当 且 时，，此时动点的轨迹是椭圆；
当 时，，此时动点 的轨迹是线段．
故选：C．
【变式1】（2023·全国·高二专题练习）如果点在运动过程中，总满足关系式，则点的轨迹是（ ）．
A．不存在 B．椭圆 C．线段 D．双曲线
【答案】B
【详解】表示平面由点到点的距离之和为，而，所以点的轨迹是椭圆，
故选：B
【变式2】（2023秋·四川成都·高二统考期末）椭圆上一点P与它的一个焦点的距离等于6，那么点P与另一个焦点的距离等于 .
【答案】14
【详解】设左、右焦点为, 设，
由题得
因为，所以.
所以点P与另一个焦点的距离等于14.
故答案为：14
故选：B.
题型02利用椭圆定义求方程
【典例1】（2023·上海·高二专题练习）方程，化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由，可得点到定点，的距离之和等于12，
即，
所以动点的轨迹是焦点在轴上的椭圆，设其方程为，
则，，
所以，，
故方程为.
【典例2】（2023秋·广东广州·高二西关外国语学校校考期末）已知圆，圆，动圆M与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心M的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】如图，由题意得：，，其中，
所以，
由椭圆定义可知：动圆圆心M的轨迹为以为焦点的椭圆，设，
则，解得：，
故动圆圆心M的轨迹方程为.
故选：D
【变式1】（2023春·江苏南京·高二江苏省江浦高级中学校联考阶段练习）已知椭圆的左、右焦点为，且过点则椭圆标准方程为 ．
【答案】
【详解】由题知：，①
又椭圆经过点，
所以，②
又，③
联立解得：，
故椭圆的标准方程为：.
故答案为：.
【变式2】（2023·高二课时练习）已知动点M到定点与的距离的和是，则点M的轨迹方程是 ．
【答案】
【详解】因为M到顶点和的距离的和为，
所以M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，设方程为（），
则，，所以，，
M的轨迹方程为.
故答案为：.
题型03椭圆上点到焦点距离（含最值）问题
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆上一点到右准线的距离为，则点到它的左焦点的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】设分别为椭圆的左、右焦点，到左准线的距离为，到右准线的距离为，
由圆锥曲线的统一定义知：，解得：，
又，解得：，到它的左焦点距离为．
故选：A.
【典例2】（2023秋·陕西宝鸡·高二统考期末）已知椭圆上的动点到右焦点距离的最大值为，则（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】A
【详解】根据椭圆的性质，椭圆上的点到右焦点距离最大值为，
即 ，又，所以，
由，所以；
故选：A
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）设是椭圆上一点，，分别是圆和上的点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】根据题意作出如图所示的图象，其中、是椭圆的左，右焦点，在中可得：
①，
当且仅当、、三点共线时，等号成立，
在中可得：②，
当且仅当、、三点共线时，等号成立，
由①②得：，
由椭圆方程可得：，即，
由椭圆定义可得：，
所以，.
故选：A.
【典例4】（2023·云南曲靖·宣威市第七中学校考模拟预测）已知椭圆的右焦点为是椭圆上一点，点，则的周长最大值为（ ）
A．14 B．16 C．18 D．20
【答案】C
【详解】如图所示设椭圆的左焦点为，则
，
则，
，
的周长，当且仅当三点M，，A共线时取等号．
的周长最大值等于18．
故选：C．
【变式1】（2023·全国·高二专题练习）已知A为椭圆上一点，F为椭圆一焦点，的中点为，为坐标原点，若则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】不妨设椭圆左焦点为，右焦点为，
因为的中点为，的中点为，所以，
又由，可得.
故选：B.
【变式2】（2023春·陕西宝鸡·高二虢镇中学校考开学考试）如图，把椭圆的长轴八等分，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于，，，七个点，是椭圆的一个焦点，则的值为 ．
【答案】28
【详解】设椭圆的另一个焦点为 由椭圆的几何性质可知： ，同理可得，且，故,故答案为.
【变式3】（2022秋·上海宝山·高二上海市行知中学校考期末）已知为椭圆上的一点，若分别是圆和上的点，则的最大值为 .
【答案】/
【详解】由题设圆和圆的圆心分别为，
半径分别为，则椭圆的焦点为，
，
又，，故，
当且仅当分别在的延长线上时取等号，
此时最大值为.
故答案为：.
题型04椭圆上点到坐标轴上点的距离（含最值）问题
【典例1】（2023·江西上饶·校联考模拟预测）点为椭圆上一点，曲线与坐标轴的交点为，，，，若，则点到轴的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由曲线与坐标轴的交点为，，，，
不妨设，，，.
则，为椭圆的焦点，而为椭圆上一点，
所以.
因为，所以，
又，
根据椭圆定义知点的轨迹为以C、D为焦点的椭圆，
所以轨迹方程为，
联立，消去得，则，
故点到轴的距离为.
故选：A.
【典例2】（2023秋·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨三中校考期末）已知点，P是椭圆上的动点，则的最大值是 ．
【答案】
【详解】解：设，
，
，
，
当时，取得最大值，
故答案为：
【典例3】（2023·高二课时练习）已知P是椭圆上一点，，求的最小值与最大值．
【答案】最小值为，最大值为11
【详解】因为P是椭圆上一点，
所以，且椭圆焦点在y轴上，
点P是椭圆上任意一点，设点P的坐标为，
则，
所以，
，
，
因为，
当时，，
所以
当时，
【变式1】（2022秋·山东淄博·高一校考期末）椭圆上任一点到点的距离的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【详解】设点的坐标为，其中，
由，可得，
又由，
当时，取得最小值，最小值为.
故选：B.
【变式2】（2023秋·山西晋城·高二统考期末）椭圆的左、右焦点为F1 F2，点P在椭圆上，若RtF1PF2，则点P到x轴的距离为 .
【答案】或
【详解】设点，则到轴的距离为，
因为，，
，
当或时，
则，得，
，即到轴的距离为．
当时，
则，
，
，
，
由（1）（2）知：到轴的距离为或，
故答案为：或．
【变式3】（2022秋·天津和平·高二天津市第二南开中学校考期中）已知是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，且，则点P到y轴的距离为 .
【答案】
【详解】如图，由椭圆可得 ,
所以, 则,
所以在中，，
因为, 且,所以 ,
设的坐标为, 且，即，解得，
所以点到轴的距离为.
故答案为：.
.
.
题型05椭圆上点到焦点和定点距离的和差最值
【典例1】（2023·甘肃定西·统考模拟预测）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，A是C上一点，，则的最大值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．11
【答案】A
【详解】
设椭圆的半焦距为，则，，
如图，连接，则，
而，当且仅当共线且在中间时等号成立，
故的最大值为.
故选：A.
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知点P为椭圆上任意一点，点M、N分别为和上的点，则的最大值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【详解】设圆和圆的圆心分别为,半径分别为.
则椭圆的焦点为.
又,，，
故，
当且仅当分别在的延长线上时取等号.
此时最大值为.
故选：C.
【典例3】（2023秋·甘肃兰州·高二兰州一中校考期末）已知椭圆C：的左 右焦点分别为 ，M为椭圆C上任意一点，N为圆E：上任意一点，则的取值范围为 .
【答案】
【详解】如图，
由为椭圆上任意一点，则，
又为圆上任意一点，则（当且仅当M、N、E共线时取等号），
∴，
当且仅当M、N、E、共线时等号成立.
∵，，则，
∴的最小值为，
当共线时，最大，如下图所示：，
最大值为，
所以的取值范围为，
故答案为：
【变式1】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的左焦点为F，P是椭圆上一点，若点，则的最小值为 ．
【答案】/
【详解】根据椭圆的定义：，
取得最小值时，
即最小，
如图所示：，当，，共线时取得最小值．
的最小值为：﹒
故答案为：.
【变式2】（2023·广西柳州·高三统考阶段练习）已知F是椭圆的右焦点，P为椭圆C上一点，，则的最大值为 ．
【答案】/
【详解】设椭圆的左焦点为，
，当共线且在中间时等号成立.
故答案为：
【变式3】（2023·高二课时练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P为椭圆上一点，点，则的最小值为 ．
【答案】1
【详解】依题意，椭圆的左焦点，右焦点，点P为椭圆上一点，点A在此椭圆外，
由椭圆的定义得，因此，
，当且仅当点P是线段与椭圆的交点时取“=”，
所以的最小值为1.
故答案为：1
题型06判断方程是否表示椭圆
【典例1】（2023·高二课时练习）已知条件：，条件：表示一个椭圆，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】由，若，则表示一个圆，充分性不成立；
而表示一个椭圆，则成立，必要性成立.
所以是的必要不充分条件.
故选：B
【典例2】（2023·高二课时练习）设方程①；②．其中表示椭圆的方程是 ．
【答案】①
【详解】对于①，方程表示平面内的动点到
定点与的距离之和等于8的点的轨迹，因为与之间的距离为6，且，
所以动点的轨迹是椭圆，所以方程①表示椭圆的方程，
对于②，方程表示平面内的动点到
定点与的距离之和等于2的点的轨迹，由于与之间的距离为2，
所以动点的轨迹是一条线段，所以方程②表示的不是椭圆方程，
故答案为：①
【典例3】（2023·高二课时练习）“”是“方程表示的曲线为椭圆”的 条件．
【答案】必要不充分
【详解】当时表示圆，当且时表示椭圆，充分性不成立；
当为椭圆，则，可得且，必要性成立；
综上，“”是“方程表示的曲线为椭圆”的必要不充分条件.
故答案为：必要不充分
【变式1】（多选）（2023·全国·高二专题练习）已知曲线（ ）
A．若，则是椭圆，其焦点在轴上
B．若，则是椭圆，其焦点在轴上
C．若，则是圆，其半径为
D．若，，则是两条直线
【答案】AD
【详解】对于A，若，则可化为，因为，所以，即曲线表示焦点在轴上的椭圆，故A正确，故B错误；
对于C，若，则可化为，此时曲线表示圆心在原点，半径为的圆，故C不正确；
对于D，若，则可化为，，此时曲线表示平行于轴的两条直线，故D正确；
故选：AD.
【变式2】（2023春·四川遂宁·高二遂宁中学校考阶段练习）方程表示椭圆的充要条件是 ．
【答案】答案不唯一
【详解】方程表示椭圆,
则必有解之得或
故答案为：,（答案不唯一，其他等价情况也对）
题型07求椭圆方程
【典例1】（2023秋·高二课时练习）若椭圆的中心为原点，对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点构成个正三角形，焦点到椭圆上点的最短距离为，则这个椭圆的方程为（ ）
A． B．或
C． D．以上都不对
【答案】B
【详解】
由题意，当椭圆焦点在轴上，设椭圆方程为：，
由题意，，
所以，，，，
所以椭圆方程为：，
当椭圆焦点在轴上时，同理可得：，
故选：B
【典例2】（2023秋·辽宁沈阳·高二东北育才双语学校校考期末）已知椭圆（）的一个焦点为，则（ ）
A． B．3 C．41 D．9
【答案】A
【详解】由题意可知：椭圆的焦点在y轴上，且，
则.
故选：A.
【典例3】（2023春·陕西宝鸡·高二虢镇中学校考开学考试）已知椭圆C:,四点,,,中恰有三点在椭圆上,则椭圆C的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】根据椭圆的对称性可知,在椭圆上,不在椭圆上,在椭圆上.
将,代入椭圆方程得:
,
解得,
椭圆C的标准方程为.
故选:D.
【典例4】（2023·高二课时练习）已知椭圆以原点为中心，长轴长是短轴长的2倍，且过点，求此椭圆的标准方程．
【答案】或
【详解】当焦点在轴上时，设椭圆方程，则，解得，故椭圆方程为；
当焦点在轴上时，设椭圆方程，则，解得，故椭圆方程为；
综上，椭圆方程为或.
【变式1】（2023·全国·高三专题练习）已知焦点在轴上的椭圆的焦距等于，则实数的值为（ ）
A．或 B．或 C． D．
【答案】D
【详解】因为椭圆的焦点在轴上，所以，根据题意可得，解得.
故选：D.
【变式2】（2023·全国·高三专题练习）已知，两点在对称轴为坐标轴的椭圆上，则椭圆的标准方程为 .
【答案】
【详解】当焦点在轴上时，设椭圆的标准方程为，
又因，在椭圆上，所以，解得，，
此时，，故舍弃.
当焦点在轴上时，设椭圆的标准方程为，
又因，在椭圆上，所以，解得，，所以椭圆的标准方程为.
故答案为：.
【变式3】（2023春·江苏南京·高二江苏省江浦高级中学校联考阶段练习）已知椭圆的左、右焦点为，且过点则椭圆标准方程为 ．
【答案】
【详解】由题知：，①
又椭圆经过点，
所以，②
又，③
联立解得：，
故椭圆的标准方程为：.
故答案为：.
【变式4】（2023秋·江苏连云港·高二校考期末）经过、两点的椭圆的标准方程是 ．
【答案】
【详解】设所求椭圆的方程为，
将点、的坐标代入椭圆方程可得，解得，
因此，所求椭圆的标准方程为.
故答案为：.
题型08根据椭圆方程求参数
【典例1】（2023·全国·高二专题练习）方程表示焦点在轴上的椭圆的一个充分但不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】方程可变形为，表示焦点在轴上的椭圆，则有，解得.
易知当时，，当时未必有，
所以是的充分但不必要条件.
故选：B.
【典例2】（2023秋·山东威海·高二统考期末）已知椭圆的焦距为2，则实数m＝（ ）
A． B． C．或 D．或1
【答案】D
【详解】焦距为2，即.
当焦点在上时，，得；
当焦点在上时，，得；
综合得或.
故选：D.
【典例3】（2023·高三课时练习）若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【详解】∵方程表示焦点在x轴上的椭圆，
∴，解得或，
∴实数a的取值范围是．
故答案为：．
【变式1】（2023春·江西景德镇·高一景德镇一中校考期中）方程表示椭圆的一个充分不必要条件是（ ）
A．且 B． C． D．
【答案】B
【详解】若方程表示椭圆，则有，解得且，
因为是集合且的真子集，
所以“”是“方程表示椭圆”的充分不必要条件，
故选：B.
【变式2】（2023·全国·高三专题练习）已知直线与椭圆恒有公共点，则实数m的取值范围（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】直线过定点，
所以，解得①.
由于方程表示椭圆，所以且②.
由①②得的取值范围是.
故选：C
题型09椭圆中的轨迹方程问题
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，已知点，，动点满足.记的轨迹为.求的方程；
【答案】.
【详解】
设，则，，，
，.
，即，
的轨迹为的方程为.
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，动圆与圆内切，且与圆：外切，记动圆的圆心的轨迹为.则轨迹的方程为 ；
【答案】
【详解】设动圆的半径为，由已知得：
圆可化为标准方程：，
即圆心，半径，
圆可化为标准方程：，
即圆心，半径，，
经分析可得，，则.
由题意可知：，
两式相加得，，
所以点的轨迹为以为焦点的椭圆，
可设方程为，
则，，，，，
所以轨迹的方程为.
故答案为：
【典例3】（2023秋·高二课时练习）已知的三边a，b，c成等差数列，且，A、C两点的坐标分别为，则顶点B的轨迹方程为 ．
【答案】
【详解】因为的三边a，b，c成等差数列，A、C两点的坐标分别为，
所以，即，
所以点B的轨迹满足椭圆的定义，此椭圆是以A、C为焦点，长轴长为4的椭圆，
故椭圆方程为，
因为，所以，所以，
又因为B、A、C三点构成，所以B、A、C三点不能在一条直线上，所以，
所以顶点B的轨迹方程为.
故答案为：
【变式1】（2023·全国·高三专题练习）设O为坐标原点，动点M在椭圆C上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足.求点P的轨迹方程；
【答案】；
【详解】
设，，则，，
由得.因为在C上，所以.
因此点P的轨迹为.
【变式2】（2023·全国·高三专题练习）已知点，动点到直线的距离为，且，记的轨迹为曲线．求的方程；
【答案】
【详解】动点到直线的距离为，且，
由题意知，两边平方整即得，
所以曲线的方程为.
【变式3】（2023秋·高二课时练习）已知定圆，圆，动圆M和定圆外切和圆内切，求动圆圆心M的轨迹方程．
【答案】
【详解】圆，圆
因为圆M与圆外切，所以，
因为圆M与圆内切，所以，，
两式相加得，
所以M的轨迹是以为焦点的椭圆，故其方程为.
题型10椭圆中焦点三角形周长问题
【典例1】（2023春·河南开封·高二统考期末）直线与椭圆交于两点，则与椭圆的两个焦点构成的四边形的周长为（ ）
A．10 B．16 C．20 D．不能确定
【答案】C
【详解】设椭圆两个焦点为，由题可得，则与椭圆的两个焦点构成的四边形的周长为.
故选：C
【典例2】（2023·高二课时练习）若F为椭圆C：的右焦点，A，B为C上两动点，则△ABF周长的最大值为（ ）
A．4 B．8 C．10 D．20
【答案】D
【详解】解：设为椭圆的左焦点，
则由椭圆的定义可得：
，
当共线时，，
当不共线时，，
所以△ABF周长的最大值为20.
故选：D.
【典例3】（2023·全国·高二专题练习）设,分别是椭圆：的左、右焦点，过点 的直线交椭圆于，，若，的周长为16，求.
【答案】5
【详解】
由已知，，可得，.
因为的周长为16，则.
根据椭圆定义可得，，
所以，，
所以，，
所以，.
【变式1】（2023秋·高二课时练习）设分别为椭圆的左右焦点，过的直线交椭圆于A、B两点，则的周长为（ ）
A．12 B．24 C． D．
【答案】D
【详解】由题意可得，对于椭圆有长半轴长，
又过的直线交椭圆于A、B两点，
故的周长
，
故选：D
【变式2】（2023秋·广东·高二统考期末）椭圆的一个焦点是F，过原点O作直线(不经过焦点)与椭圆相交于A，B两点，则的周长的最小值是（ ）
A．14 B．15 C．18 D．20
【答案】C
【详解】如图所示：不妨取为左焦点，为右焦点，连接，，
则为平行四边形，
的周长为，
当，为椭圆上下顶点时等号成立.
故选：C
【变式3】（2023·北京·101中学校考三模）已知分别是双曲线的左右焦点，是上的一点，且，则的周长是 ．
【答案】34
【详解】因为，所以，
故，则，
又，故，则，，
所以的周长为.
故答案为：34.
题型11椭圆中焦点三角形面积问题
【典例1】（2023秋·高二单元测试）已知点是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为、，且，则的面积为（ ）
A．6 B．12 C． D．
【答案】C
【详解】由椭圆，得，，.

设，，
∴，在中，由余弦定理可得：，
可得，得，
故.
故选：C.
【典例2】（2023春·四川德阳·高二德阳五中校考阶段练习）椭圆的左，右焦点为，且，点P是椭圆C上异于左、右端点的一点，若M是的内心，且，则实数（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
设的内切圆半径为，
则 ，，，
可得 .
，解得.
又因为，所以，即，
所以，即，解得（舍去负值），
所以.
故选：A
【典例3】（2023春·江西·高二校联考开学考试）椭圆的左右焦点分别为，，为椭圆上一点，则面积与周长的比值的最大值为 .
【答案】/0.75
【详解】设椭圆的长半轴为，短半轴为，半焦距为，
则，
因为，，
所以的周长为16，
由椭圆的几何性质知，当点P为椭圆的短轴端点时，的面积最大，
所以面积的最大值为，
所以面积与周长的比值的最大值为.
故答案为：．
【典例4】（2023春·陕西西安·高二校考期末）已知点在椭圆上，是椭圆的焦点，且，求
(1)
(2)的面积
【答案】(1)48
(2)24
【详解】（1）因为椭圆方程为，则，
即，可得，
因为，则
即，所以.
（2）由（1）得，
因为，所以.

【变式1】（2023·全国·高三专题练习）已知是椭圆上的点， 分别是椭圆的左 右焦点，若，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】设椭圆的长半轴为，短半轴为，半焦距为，
则，，
即.
设，所以由椭圆的定义可得：①.
因为，所以由数量积的公式可得：
，所以.
在中，
所以由余弦定理可得：②，
由①②可得：，所以.
故选：A.
【变式2】（2023·全国·高三专题练习）已知是椭圆的左 右焦点，点在椭圆上.当最大时，求（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由椭圆的方程可得，，，则，
所以
，
当且仅当则时等号成立，即为椭圆短轴端点时最大，
此时，.
故选：C.
【变式3】（2023·全国·高二专题练习）设椭圆C：(a>0，b>0)的左 右焦点分别为，，离心率为.P是C上一点，且⊥.若的面积为4，则a=
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】C
【详解】，，由椭圆定义，，
由⊥得，
的面积为4，则，即，
，即,解得，即，
故选：C.
【变式4】（2023春·上海黄浦·高二上海市大同中学校考期中）设和为椭圆的两个焦点，点在椭圆上，且满足，则的面积是 .
【答案】/
【详解】椭圆，即，所以，，，
因为，所以点为短轴顶点，所以.
故答案为：
题型12椭圆中焦点三角形其他问题
【典例1】（2023春·广东深圳·高二深圳市耀华实验学校校考阶段练习）在椭圆上有一点P，是椭圆的左 右焦点，为直角三角形，这样的点P有（ ）
A．2个 B．4个 C．6个 D．8个
【答案】C
【详解】当为直角时，这样的点有2个，如下图中的点；
当为直角时，这样的点有2个，如下图中的点；
当为直角时，因为椭圆中，所以这样的点有2个，如下图中的点，
所以符合条件为直角三角形的点有6个，
故选：C.
【典例2】（2023春·甘肃白银·高二校考期末）已知分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆在第一象限内的一点，若，则 ．
【答案】/
【详解】由椭圆方程得：，，，；
设，由椭圆定义知：，
，，即，
解得：或；
为椭圆在第一象限内的点，，即，，；
.
故答案为：.
【典例3】（2023春·陕西西安·高二校考期末）已知点在椭圆上，是椭圆的焦点，且，求
(1)
(2)的面积
【答案】(1)48
(2)24
【详解】（1）因为椭圆方程为，则，
即，可得，
因为，则
即，所以.
（2）由（1）得，
因为，所以.

【典例4】（2023·全国·高三对口高考）已知椭圆的焦点为、，点在椭圆上，若，则 ，的大小为 .
【答案】 2
【详解】∵，，
∴，
∴，又，，
∴，由余弦定理，得，
∴.
故答案为：2，
【变式1】（2023·全国·高三专题练习）设为椭圆上的一点，、分别为椭圆的左、右焦点，且，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】椭圆，则，
，
两边平方得①，
在中，由余弦定理得,
即②，
由①②得.
故选：B
【变式2】（2023春·四川遂宁·高二射洪中学校考期中）已知，是椭圆C的两个焦点，P为C上一点，，若C的离心率为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：记，，由，及，得，，又由余弦定理知，得.
由，得，从而，∴.
∵，∴.
故选:B
【变式3】（2023秋·陕西宝鸡·高二统考期末）已知，是椭圆的两个焦点，点在上，则的最大值为 ．
【答案】4
【详解】因为点在上，
所以有，
由，当且仅当时取等号，
故答案为：4
【变式4】（2023·全国·高三专题练习）设椭圆的左、右两焦点分别为，，是上的点，则使得是直角三角形的点的个数为 .
【答案】6
【详解】由椭圆性质知：当为上下顶点时最大，此时，，
所以，故焦点三角形中最大为，故有2个；
又、对应的直角三角形各有2个；
综上，使得是直角三角形的点的个数为6个.
故答案为：6
A夯实基础 B能力提升 C综合素养
A夯实基础
一、单选题
1．（2023秋·四川南充·高二四川省南充高级中学校考期末）设定点，，动点P满足条件，则点P的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．线段 C．不存在 D．椭圆或线段
【答案】A
【详解】因为，，所以，
所以，所以点P的轨迹是以，为焦点的椭圆.
故选：A.
2．（2023秋·高二课时练习）已知椭圆的焦点在轴上，若椭圆的焦距为，则的值为（ ）
A． B． C．3 D．4
【答案】A
【详解】椭圆即，焦点在轴上，
所以，，所以，
又椭圆的焦距为，所以，解得.
故选：A
3．（2023秋·高二单元测试）过点且与有相同焦点的椭圆方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】由知，焦点为，，即，.
设所求椭圆方程为，则，解得，
故所求椭圆方程为.
故选：A.
4．（2023·全国·高三专题练习）已知的顶点在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在边上，则的周长是（ ）
A．12 B． C．16 D．10
【答案】C
【详解】设椭圆的另外一个焦点为，如图，

则的周长为，
故选：C.
5．（2023秋·高二单元测试）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
【答案】B
【详解】方法一：因为，所以，
从而，所以．
故选：B.
方法二：
因为，所以，由椭圆方程可知，，
所以，又，平方得：
，所以．
故选：B.
6．（2023秋·高二课时练习）椭圆的焦点为，点P在此椭圆上，如果线段的中点在y轴上，那么的值为（ ）
A． B．4 C．7 D．
【答案】C
【详解】由＝1可知，，
所以，
所以F1(－3,0)，F2(3,0)，
∵线段PF1的中点M在y轴上，且原点为线段的中点，
所以，所以轴，
∴可设P(3,m)，
把P(3,m)代入椭圆＝1，得.
∴|PF1|＝，|PF2|＝.
∴.
故选：C
7．（2023秋·高二课时练习）已知点P为椭圆上动点，分别是椭圆C的焦点，则的最大值为（ ）
A．2 B．3 C． D．4
【答案】D
【详解】由椭圆，可得，所以，
又由椭圆的定义可得，
因为，当且仅当时，等号成立，
所以的最大值为.
故选：D.
8．（2023·广东广州·广州市从化区从化中学校考模拟预测）已知椭圆的左 右焦点分别为.若点关于直线的对称点恰好在上，且直线与的另一个交点为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设关于直线的对称点，
由，得．

可知，又知，
所以，则为直角，
由题意，点恰好在上，根据椭圆定义，得，
，设，则，
在直角三角形中，，
解得，从而，
所以.
故选：D．
二、多选题
9．（2023·云南·校联考二模）已知椭圆，为C的左、右焦点，P为C上一点，且，若交C点于点Q，则（ ）
A．周长为8 B．
C．面积为 D．
【答案】AD
【详解】由题意，在椭圆中，，不妨设在轴上方，
则，，
所以，故B错；
的周长为，A正确；
设，
在中，
得，
所以，D正确；
，
所以，
故C不正确，
故选：AD．
10．（2023·高二课时练习）对于曲线，下面四个说法正确的是（ ）
A．曲线不可能是椭圆
B．“”是“曲线是椭圆”的充分不必要条件
C．“曲线是焦点在轴上的椭圆”是“”的必要不充分条件
D．“曲线是焦点在轴上的椭圆”是“”的充要条件
【答案】CD
【详解】对于A选项，若曲线为椭圆，则，解得且，A错；
对于B选项，因为或，
所以，“”是“曲线是椭圆”的必要不充分条件，B错；
对于C选项，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得，
又因为，
所以，“曲线是焦点在轴上的椭圆”是“”的必要不充分条件，C对；
对于D选项，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得，
所以，“曲线是焦点在轴上的椭圆”是“”的充要条件，D对.
故选：CD.
三、填空题
11．（2023春·上海金山·高二华东师范大学第三附属中学校考期末）已知P：，Q：表示椭圆，则P是Q的 条件．
【答案】必要不充分
【详解】若方程表示椭圆，
则且，
且，
是方程表示椭圆的必要不充分条件，
即P是Q的必要不充分条件.
故答案为：必要不充分．
12．（2023秋·高二课时练习）已知分别为椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，（O为坐标原点）是面积为的正三角形，则此椭圆的方程为 ．
【答案】
【详解】不妨设点位于第一象限，且，
因为 是面积为的正三角形，可得，解得，
所以，
由椭圆的定义得，
所以，则，
所以椭圆的标准方程为.
故答案为：.

四、解答题
13．（2023·全国·高三对口高考）P是椭圆上一点，，是椭圆的左、右两个焦点，且．
(1)求的最大值和最小值；
(2)求的面积．
【答案】(1)最小值，最大值
(2)
【详解】（1）设，椭圆的半焦距为，
则，可得，
则，
因为，则，可得，
同理可得，
所以，，
当时，取到最小值；
当时，取到最大值.
（2）因为，
在中，由余弦定理可得
，
即，整理得，
所以的面积
，
即.

14．（2023·全国·高二专题练习）椭圆的左、右焦点分别为，，且过的直线交椭圆于两点，且，若，，求椭圆的标准方程.
【答案】
【详解】
由椭圆的定义得，所以.
因为，所以有，
所以有，
即有，解得，
所以，，
故所求椭圆的标准方程为
15．（2023秋·四川南充·高二四川省南充高级中学校考期末）已知点P是椭圆上的一点，和分别为左右焦点，焦距为6，且过.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若动直线l过与椭圆交于A、B两点，求的周长.
【答案】(1)
(2)20
【详解】（1）设焦距为，由，得，
又椭圆过，∴，
得，
∴椭圆的标准方程为；
（2）动直线l过与椭圆交于A、B两点，
∴，，
∴，
∴的周长为20.

B能力提升
1．（2023春·四川达州·高二统考期末）椭圆任意两条相互垂直的切线的交点轨迹为圆：，这个圆称为椭圆的蒙日圆．在圆上总存在点P，使得过点P能作椭圆的两条相互垂直的切线，则r的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题意可知：与椭圆相切的两条互相垂直的直线的交点的轨迹为
圆：，圆心
由于在圆，圆心，
故两圆有公共点即可，
故两圆的圆心距为，故.
故选：D
2．（2023·四川成都·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考三模）19世纪法国著名数学家加斯帕尔 蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展，提出了著名的蒙日圆定理：椭圆的两条切线互相垂直，则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，椭圆的蒙日圆方程为.若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则的值为（ ）
A．±3 B．±4 C．±5 D．
【答案】B
【详解】由题意可得椭圆的蒙日圆的半径，
所以蒙日圆方程为，
因为圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，
所以两圆相外切，
所以，．
故选：B．
3．（2023·陕西·西北工业大学附属中学校联考模拟预测）阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积．当我们垂直地缩小一个圆时，我们得到一个椭圆．椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知椭圆的面积为，点在椭圆上，且点与椭圆左、右顶点连线的斜率之积为，记椭圆的两个焦点分别为，则的值不可能为（ ）
A．4 B．7 C．10 D．14
【答案】D
【详解】依题意，得，解得，则，故
，
故选：D．
4．（2023·浙江宁波·镇海中学校考模拟预测）已知椭圆，、分别是其左，右焦点，P为椭圆C上非长轴端点的任意一点，D是x轴上一点，使得平分．过点D作、的垂线，垂足分别为A、B．则的最大值是 ．
【答案】/0.1875
【详解】设，依题意，，，由，
得，即，
，
椭圆中，，
在中，由余弦定理得，
即有，
则，
因此
，当且仅当时取等号，
所以的最大值是.
故答案为：
5．（2023春·云南曲靖·高三统考阶段练习）已知椭圆过点，是的左右焦点，为椭圆上任意一点，椭圆外的动点满足且，则的取值范围是
【答案】
【详解】如图，延长交于，因为，
所以，，
所以，
所以，则，为的中点，，
所以，又为椭圆外的动点，
所以的轨迹方程为，又，
由，可知当时，，此时与的距离为，又，
所以.
故答案为：.
C综合素养
1．（2023春·江西赣州·高二校联考阶段练习）已知的两顶点坐标．
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)不垂直于轴的动直线与轨迹相交于两点，定点，若直线关于轴对称，求面积的取值范围．
【答案】(1)
(2)
因此，．
2．（2023春·广西·高三统考阶段练习）已知点为椭圆的左顶点，点为右焦点，直线与轴的交点为，且，点为椭圆上异于点的任意一点，直线交于点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)判断是否恒成立，并说明理由.
【答案】(1)
(2)恒成立，理由见解析
【详解】（1）
由已知得，故，
由得，，得，
又因，所以，
所以椭圆的标准方程；
（2）恒成立
理由：由（1），则设直线的方程为，
与椭圆方程联立，可得
得，
即，
直线与的交点，
所以，即；
，即，
又.
在中，显然，则，由，
所以，
特别的，当时，，则，
综上所述.
3．（2023春·湖北·高二黄石二中校联考阶段练习）已知圆，圆，动圆与圆相外切，与圆相内切.
(1)求动圆的圆心的轨迹方程；
(2)过点的两直线，分别交动圆圆心的轨迹于、和、，.求四边形的面积.
【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）设动圆的半径为，，∴，，∴，
∴是以，为焦点，以为长轴长的椭圆，
可设方程为，则，，
∴的轨迹方程是；
（2）
设，（为0时不符合题意），，，
联立与椭圆的方程得：，
，
∴ ，
同理设，不为0，可得，
∴，
∴，不妨取， ，
此时，∴
而
，
同理，
∴.
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