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2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）
第12讲 函数的图像（精讲）
①画函数的图像
②已知解析式选图像
③已知图像选解析式
④函数图像的平移、对称、伸缩变换
⑤函数图像的其他应用
一、基本初等函数的图像
（1）一次函数；（2）二次函数；（3）反比例函数；（4）指数函数；（5）对数函数；（6）三角函数．
二、描点法作图要点
描点法作函数图象的基本步骤是列表、描点、连线，具体为：
(1)①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、最值等)．
(2)列表(找特殊点：如零点、最值点、区间端点以及与坐标轴的交点等)．
(3)描点、连线．
三、函数图像变换
（1）平移变换
提醒：“左加右减”只针对x本身，与x的系数无关，“上加下减”指的是在f (x)整体上加减．
（2）对称变换
①y＝f (x)的图象y＝－f (x)的图象；
②y＝f (x)的图象y＝f (－x)的图象；
③y＝f (x)的图象y＝－f (－x)的图象；
④y＝ax(a＞0且a≠1)的图象y＝logax(a＞0且a≠1)的图象．
（3）含绝对值的对称变换
①的图像是将函数的图像保留轴上方的部分不变，将轴下方的部分关于轴对称翻折上来得到的（如图（a）和图（b））所示
②的图像是将函数的图像只保留轴右边的部分不变，并将右边的图像关于轴对称得到函数左边的图像即函数是一个偶函数（如图（c）所示）．
注：的图像先保留原来在轴上方的图像，做出轴下方的图像关于轴对称图形，然后擦去轴下方的图像得到；而的图像是先保留在轴右方的图像，擦去轴左方的图像，然后做出轴右方的图像关于轴的对称图形得到．这两变换又叫翻折变换．
（4）伸缩变换
①的图像，可将的图像上的每一点的纵坐标伸长或缩短到原来的倍得到．
②的图像，可将的图像上的每一点的横坐标伸长或缩短到原来的倍得到．
1.若恒成立，则的图像关于直线对称．
2.设函数定义在实数集上，则函数与的图象关于直线对称．
3.若，对任意R恒成立，则的图象关于直线对称．
4.函数与函数的图象关于直线对称．
5.函数....与函数的图象关于直线对称．
6.函数与函数的图象关于点中心对称．
7.函数平移遵循自变量“左加右减”，函数值“上加下减”．
【题型一 画函数的图像】
作函数图象的两种常用方法
【典例1】（2024高三·全国·专题练习）画下列函数的图象
(1)；
(2).
一、解答题
1．（2024高三·全国·专题练习）（1）利用函数f（x）＝2x的图象，作出下列各函数的图象．
① y＝f（－x）; ② y＝f（|x|）; ③ y＝f（x）－1；④ y＝|f（x）－1|；⑤ y＝－f（x）；⑥ y＝f（x－1）.
（2）作出下列函数的图象．
① y＝（）|x|；
② y＝|log2（x＋1）|；
③ y＝.
2．（23-24高一上·河南濮阳·阶段练习）已知函数.
(1)画出函数的图象；
(2)当时，求实数的取值范围，
【题型二 已知解析式选图像】
辨析函数图象的入手点
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
(2)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．
(3)从函数的特征点，排除不合要求的图象．
(4)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．
(5)从函数的周期性，判断图象的循环往复．
【典例1】（单选题）（23-24高二下·云南大理·期中）函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
一、单选题
1．（23-24高三下·天津·阶段练习）函数的图象是下列的（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·四川·模拟预测）数形结合思想是数学领域中一种核心的思想方法，它将数的概念与几何图形的特性相结合，从而使抽象的数学问题具体化，复杂的几何问题直观化.“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞”是我国著名数学家华罗庚教授的名言，是对数形结合简洁而有力的表达.数与形是不可分割的统一体，彼此相互依存.已知函数，则的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·陕西商洛·模拟预测）函数的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·湖北·模拟预测）函数的图象大致为（ ）
A．B． C． D．
5．（2024·四川·模拟预测）函数的大致图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
【题型三 已知图像选解析式】
【典例1】（单选题）（2024·天津·二模）函数的图象如图所示，则的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
一、单选题
1．（2024·天津·二模）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ）．
A． B． C． D．
2．（2024·广东广州·一模）已知函数的部分图像如图所示，则的解析式可能是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·陕西汉中·二模）已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·四川成都·模拟预测）华罗庚是享誉世界的数学大师，国际上以华氏命名的数学科研成果有“华氏定理”“华氏不等式”“华氏算子”“华—王方法”等，其斐然成绩早为世人所推崇．他曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，告知我们把“数”与“形”，“式”与“图”结合起来是解决数学问题的有效途径．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数图象的特征．已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（ ）

A． B． C． D．
5．（23-24高三上·广东惠州·阶段练习）“家在花园里，城在山水间．半城山色半城湖，美丽惠州和谐家园”一首婉转动听的美丽惠州唱出了惠州的山姿水色和秀美可人的城市环境．下图是惠州市风景优美的金山湖片区地图，其形状如一颗爱心．图是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在轴上方的图象对应的函数解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024高三·全国·专题练习）如图，长方形的边，，是的中点．点沿着边，与运动，记．将动点到两点距离之和表示为的函数，则的图像大致为（ ）

A． B．
C． D．
【题型四 函数图像的平移、对称、伸缩变换】
【典例1】（单选题）（23-24高三上·北京·阶段练习）要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度
B．向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度
C．向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度
D．向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度
一、单选题
1．（23-24高三上·北京·阶段练习）要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度
B．向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度
C．向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度
D．向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度
2．（2024·北京西城·二模）将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象再关于轴对称，得到函数的图象，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·四川南充·二模）已知函数，则函数的图象（ ）
A．关于点对称 B．关于点对称
1.利用函数图象研究不等式
当不等式问题不能用代数法直接求解但其与函数有关时，可将不等式问题转化为两函数图象(图象易得)的上、下关系问题，利用图象法求解．若函数为抽象函数，可根据题目画出大致图象，再结合图象求解．
2.利用函数图象研究方程根的个数
当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象研究方程的根，方程f (x)＝0的根就是f (x)的图象与x轴交点的横坐标，方程f (x)＝g(x)的根是函数y＝f (x)与函数y＝g(x)图象的交点的横坐标．
【典例1】（单选题）（23-24高一上·广东韶关·期中）已知函数若函数图象与直线有且仅有三个不同的交点，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
一、单选题
1．（2024高二下·湖南·学业考试）如图，已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则（ ）
A．0.5 B．1 C．1.5 D．2
2．（2024·广东江门·二模）若函数的图象与圆恰有4个公共点，则的解析式可以为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·北京昌平·二模）已知函数若对任意的都有恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高一下·安徽·阶段练习）定义在上的满足对，关于的方程有7个不同的实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
5．（23-24高一上·河南郑州·期末）已知函数，则（ ）
A．函数的定义域为 B．函数的值域为
C．函数是偶函数 D．函数是增函数
6．（23-24高一上·河南洛阳·期末）已知函数，则（ ）
A．的值域为
B．若有个零点，则或
C．若有个零点，则或
D．若的个零点分别为：，，，则的取值范围为
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2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）
第12讲 函数的图像（精讲）
①画函数的图像
②已知解析式选图像
③已知图像选解析式
④函数图像的平移、对称、伸缩变换
⑤函数图像的其他应用
一、基本初等函数的图像
（1）一次函数；（2）二次函数；（3）反比例函数；（4）指数函数；（5）对数函数；（6）三角函数．
二、描点法作图要点
描点法作函数图象的基本步骤是列表、描点、连线，具体为：
(1)①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、最值等)．
(2)列表(找特殊点：如零点、最值点、区间端点以及与坐标轴的交点等)．
(3)描点、连线．
三、函数图像变换
（1）平移变换
提醒：“左加右减”只针对x本身，与x的系数无关，“上加下减”指的是在f (x)整体上加减．
（2）对称变换
①y＝f (x)的图象y＝－f (x)的图象；
②y＝f (x)的图象y＝f (－x)的图象；
③y＝f (x)的图象y＝－f (－x)的图象；
④y＝ax(a＞0且a≠1)的图象y＝logax(a＞0且a≠1)的图象．
（3）含绝对值的对称变换
①的图像是将函数的图像保留轴上方的部分不变，将轴下方的部分关于轴对称翻折上来得到的（如图（a）和图（b））所示
②的图像是将函数的图像只保留轴右边的部分不变，并将右边的图像关于轴对称得到函数左边的图像即函数是一个偶函数（如图（c）所示）．
注：的图像先保留原来在轴上方的图像，做出轴下方的图像关于轴对称图形，然后擦去轴下方的图像得到；而的图像是先保留在轴右方的图像，擦去轴左方的图像，然后做出轴右方的图像关于轴的对称图形得到．这两变换又叫翻折变换．
（4）伸缩变换
①的图像，可将的图像上的每一点的纵坐标伸长或缩短到原来的倍得到．
②的图像，可将的图像上的每一点的横坐标伸长或缩短到原来的倍得到．
1.若恒成立，则的图像关于直线对称．
2.设函数定义在实数集上，则函数与的图象关于直线对称．
3.若，对任意R恒成立，则的图象关于直线对称．
4.函数与函数的图象关于直线对称．
5.函数....与函数的图象关于直线对称．
6.函数与函数的图象关于点中心对称．
7.函数平移遵循自变量“左加右减”，函数值“上加下减”．
【题型一 画函数的图像】
作函数图象的两种常用方法
【典例1】（2024高三·全国·专题练习）画下列函数的图象
(1)；
(2).
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【分析】
（1）（2）把函数表达式写成分段函数的形式，进一步把每一段函数图象画出来即可.
【详解】（1）由题意，其图象如图所示：

（2）由题意，其图象如图所示：

一、解答题
1．（2024高三·全国·专题练习）（1）利用函数f（x）＝2x的图象，作出下列各函数的图象．
① y＝f（－x）; ② y＝f（|x|）; ③ y＝f（x）－1；④ y＝|f（x）－1|；⑤ y＝－f（x）；⑥ y＝f（x－1）.
（2）作出下列函数的图象．
① y＝（）|x|；
② y＝|log2（x＋1）|；
③ y＝.
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析
【详解】
解：（1） ① 把f（x）的图象关于y轴对称得到y＝f（－x）的图象，如图．
② 保留f（x）图象在y轴右边部分，去掉y轴左侧的，并把y轴右侧部分关于y轴对称得到y＝f（|x|）的图象，如图．
③ 把f（x）图象向下平移一个单位长度得到y＝f（x）－1的图象，如图．
④ 结合③，保留x轴上方部分，然后把x轴下方部分关于x轴翻折得到y＝|f（x）－1|的图象，如图．
⑤ 把f（x）图象关于x轴对称得到y＝－f（x）的图象，如图．
⑥ 把f（x）的图象向右平移一个单位长度得到y＝f（x－1）的图象，如图．
（2） ① 作出y＝（）x（x≥0）的图象，再将y＝（）x（x≥0）的图象以y轴为对称轴翻折到y轴的左侧，即得y＝（）|x|的图象，如图①中实线部分．
② 将函数y＝log2x的图象向左平移1个单位长度，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y＝|log2（x＋1）|的图象，如图②中实线部分．
③ 因为y＝＝2＋，故函数图象可由y＝的图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，如图③.
　　　　
【考查意图】
基本的函数图象变换．
2．（23-24高一上·河南濮阳·阶段练习）已知函数.
(1)画出函数的图象；
(2)当时，求实数的取值范围，
【答案】(1)作图见解析；
(2)
【分析】（1）根据函数解析式直接画出函数图象；
（2）结合函数解析式分段得到不等式组，解得即可.
【详解】（1）因为，所以的图象如图所示：
（2）由题可得或或，
解得或或，
所以实数的取值范围为
【题型二 已知解析式选图像】
辨析函数图象的入手点
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
(2)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．
(3)从函数的特征点，排除不合要求的图象．
(4)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．
(5)从函数的周期性，判断图象的循环往复．
【典例1】（单选题）（23-24高二下·云南大理·期中）函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，利用函数的定义域，以及时，且，结合选项，即可求解.
【详解】由函数，可得函数的定义域为，且，
故排除B,C,当时，且，排除A.
故选：D.
一、单选题
1．（23-24高三下·天津·阶段练习）函数的图象是下列的（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】求出函数的定义域可排除B；求出的奇偶可排除C，D.
【详解】因为函数的定义域为，解得：，故B错误.
，则函数为奇函数，故C，D错误；
故选：A.
2．（2024·四川·模拟预测）数形结合思想是数学领域中一种核心的思想方法，它将数的概念与几何图形的特性相结合，从而使抽象的数学问题具体化，复杂的几何问题直观化.“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞”是我国著名数学家华罗庚教授的名言，是对数形结合简洁而有力的表达.数与形是不可分割的统一体，彼此相互依存.已知函数，则的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用定义判断函数的奇偶性，排除选项B D，再举特殊区间，排除C即可.
【详解】对于，
因为，所以定义域为R，
又
，
所以函数为奇函数，排除B D：
当时，总有，，
当时，，，所以，排除C，
故选：A.
3．（2024·陕西商洛·模拟预测）函数的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】取特值可排除B，C；判断为奇函数可排除D，即可得出答案.
【详解】当时，，故排除选项C；
当时，，故排除选项B；
令，则在上恒成立，
函数在区间上是奇函数，其函数图象关于原点对称，
故排除选项D，A选项正确.
故选：A.
4．（2024·湖北·模拟预测）函数的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据时的单调性可排除BC；再由奇偶性可排除D.
【详解】，
因为当时，都为增函数，
所以，在上单调递增，故B，C错误；
又因为，
所以不是奇函数，即图象不关于原点对称，故D错误.
故选：A
5．（2024·四川·模拟预测）函数的大致图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】结合函数的定义域及特殊值的函数值的符号判断即可.
【详解】因为函数的定义域为，故排除B项、D项，
又因为，故排除C项.
故选：A.
【题型三 已知图像选解析式】
【典例1】（单选题）（2024·天津·二模）函数的图象如图所示，则的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据奇偶性判断A；验证的值判断B；根据奇偶性、单调性判断C；根据单调性判断D.
【详解】由图象知，该函数图象关于原点对称，所以函数为奇函数，且，
对于A，，为偶函数，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，，为奇函数，当时，，
因为，在为单调递增函数，所以在单调递增，故C正确；
对于D，当时，，，所以时，，
单调递增，当时，，单调递减，故D错误，
故选：D.
一、单选题
1．（2024·天津·二模）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据排除A，根据定义域排除B，根据奇偶性排除C，进而可得答案.
【详解】对于A， 在处无意义，故A错误；
对于B：的定义域为，故B错误；
对于C：的定义域为，
且，则为偶函数，故C错误；
对于D，满足图中要求，故D正确.
故选：D.
2．（2024·广东广州·一模）已知函数的部分图像如图所示，则的解析式可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用函数的奇偶性、定义域结合三角函数的性质判定即可.
【详解】观察图象可知函数为偶函数，
对于A，，为奇函数，排除；
对于B，，为奇函数，排除；
同理，C、D选项为偶函数，而对于C项，其定义域为，不是R，舍去，故D正确.
故选：D
3．（2024·陕西汉中·二模）已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】依题意可得为奇函数，即可排除B、D，由函数在上的函数值的特征排除A.
【详解】由图可知的图象关于原点对称，则为奇函数，
对于A ：定义域为，
当时，，所以，不符合题意，故A错误；
对于B：定义域为，
且，
所以为非奇非偶函数，不符合题意，故B错误；
对于D：定义域为，
且，
所以为非奇非偶函数，不符合题意，故D错误；
对于C：定义域为，，
所以为奇函数，
且当时，，所以，符合题意，故C正确；
故选：D
4．（2024·四川成都·模拟预测）华罗庚是享誉世界的数学大师，国际上以华氏命名的数学科研成果有“华氏定理”“华氏不等式”“华氏算子”“华—王方法”等，其斐然成绩早为世人所推崇．他曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，告知我们把“数”与“形”，“式”与“图”结合起来是解决数学问题的有效途径．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数图象的特征．已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用指数函数、正弦函数的单调性、复合函数的单调性求解.
【详解】由函数图象可知，的图象不关轴对称,
而，，
即这两个函数均关于轴对称，则排除选项、；
由指数函数的性质可知为单调递增函数，为单调递减函数，
由的图象可知存在一个极小的值，使得在区间上单调递增，
由复合函数的单调性可知，在区间上单调递增，在区间上单调递减，
由图象可知符合题意，
故选： .
5．（23-24高三上·广东惠州·阶段练习）“家在花园里，城在山水间．半城山色半城湖，美丽惠州和谐家园”一首婉转动听的美丽惠州唱出了惠州的山姿水色和秀美可人的城市环境．下图是惠州市风景优美的金山湖片区地图，其形状如一颗爱心．图是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在轴上方的图象对应的函数解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据函数是偶函数，逐项分析函数解析式可排除B,D;求得C,D中函数的最大值可排除C，即可.
【详解】由图可知，“心形”关于轴对称，所以上部分的函数为偶函数，
则函数和都不满足，故排除B、D；
的图象过点，，，
且时，，当且仅当时，等号成立，
即函数的最大值为，又“心形”函数的最大值为，故排除；
由的图象过点，，，且时，
，当时，等号成立，
即函数的最大值为，满足题意，故C满足．
故选：．
6．（2024高三·全国·专题练习）如图，长方形的边，，是的中点．点沿着边，与运动，记．将动点到两点距离之和表示为的函数，则的图像大致为（ ）

A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】借助排除法，计算、可排除C、D，计算时的情况可得时图像不是线段，可排除A.
【详解】由题意可得，，
故，由此可排除C、D；
当时点在边上，，，
所以 ，可知时图像不是线段,可排除A，故选B．
故选：B.
【题型四 函数图像的平移、对称、伸缩变换】
【典例1】（单选题）（23-24高三上·北京·阶段练习）要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度
B．向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度
C．向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度
D．向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度
【答案】A
【分析】先变形得到，故利用“上加下减，左加右减”得到答案.
【详解】，
故先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位得到.
故选：A
一、单选题
1．（23-24高三上·北京·阶段练习）要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度
B．向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度
C．向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度
D．向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度
【答案】A
【分析】先变形得到，故利用“上加下减，左加右减”得到答案.
【详解】，
故先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位得到.
故选：A
2．（2024·北京西城·二模）将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象再关于轴对称，得到函数的图象，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据正切函数图象的平移变换、对称变换即可得变换后的函数的解析式.
【详解】将函数的图象向右平移个单位长度，所得函数为，
则函数的图象再关于轴对称得函数.
故选：D.
3．（2024·四川南充·二模）已知函数，则函数的图象（ ）
A．关于点对称 B．关于点对称
C．关于点对称 D．关于点对称
【答案】A
【分析】
首先判断函数为奇函数，再根据函数平移规则判断即可.
【详解】函数的定义域为，又，
所以为奇函数，则函数的图象关于原点对称，
又的图象是由的图象向右平移个单位，再向上平移个单位得到，
所以函数的图象关于点对称.
故选：A
4．（2024·重庆·三模）设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】首先推导出，即函数的对称中心为，再根据函数的平移只需将函数向右平移个单位，向上平移个单位，得到函数，则该函数关于对称，即可判断.
【详解】因为定义域为，
则，所以函数的对称中心为，
所以将函数向右平移个单位，向上平移个单位，得到函数，
该函数的对称中心为，故函数为奇函数.
故选：A.
5．（22-23高二上·贵州遵义·期末）已知函数的图象如下图所示，则的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先由函数的图象变换得到偶函数的图象，再根据平移变换得到的图象.
【详解】在轴左侧作函数关于轴对称的图象，得到偶函数的图象，
向左平移一个单位得到的图象.
故选：A.
6．（2024·辽宁·三模）已知对数函数，函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标扩大为原来的3倍，得到函数的图象，再将的图象向上平移2个单位长度，所得图象恰好与函数的图象重合，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据函数图像变换法则求出函数的解析式，由条件列方程，解方程求解即可
【详解】因为将函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标扩大为原来的3倍，得到函数的图象，
所以，即，
将的图象向上平移2个单位长度，所得图象的函数解析式，
因为所得图象恰好与函数的图象重合，
所以，
所以，又且，
解得，
故选：D
【题型五 函数图像的其他应用】
函数图像的其他应用
1.利用函数图象研究不等式
当不等式问题不能用代数法直接求解但其与函数有关时，可将不等式问题转化为两函数图象(图象易得)的上、下关系问题，利用图象法求解．若函数为抽象函数，可根据题目画出大致图象，再结合图象求解．
2.利用函数图象研究方程根的个数
当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象研究方程的根，方程f (x)＝0的根就是f (x)的图象与x轴交点的横坐标，方程f (x)＝g(x)的根是函数y＝f (x)与函数y＝g(x)图象的交点的横坐标．
【典例1】（单选题）（23-24高一上·广东韶关·期中）已知函数若函数图象与直线有且仅有三个不同的交点，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】画出函数的图象，结合图象求解即可.
【详解】将的图象向下平移1个单位得到，再将的图象的轴下方的图象以轴为对称轴翻转至轴上方可得到，
将的图象向右平移1个单位得到，
所以的图象如图所示，

由图可知，当时，函数与图象有且仅有三个不同的交点.
故选：B.
一、单选题
1．（2024高二下·湖南·学业考试）如图，已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则（ ）
A．0.5 B．1 C．1.5 D．2
【答案】D
【分析】利用函数图象上取点，求得关于对称直线的对称点，代入函数求得参数值，再检验即得.
【详解】依题意，在函数的图象上取点，点关于直线的对称点必在函数的图象上，
则有，解得，
此时函数即，相当于将函数的图象向右平移2个单位长度得到，符合题意.
故选：D.
2．（2024·广东江门·二模）若函数的图象与圆恰有4个公共点，则的解析式可以为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用绝对值函数的图象特征，分别作出选项中的函数图象，观察即可判断.
【详解】作出的图象，如图1所示，
作出的图象，如图2所示，由图可知，满足题意．
故选：D.
3．（2024·北京昌平·二模）已知函数若对任意的都有恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先画出函数的图象，再利用数形结合求实数的取值范围.
【详解】因为，令，作出图象，如图所示，
令，由图知，要使对任意的都有恒成立，则必有，
二、多选题
5．（23-24高一上·河南郑州·期末）已知函数，则（ ）
A．函数的定义域为 B．函数的值域为
C．函数是偶函数 D．函数是增函数
【答案】BC
【分析】根据对数函数真数大于0求解定义域判断A，根据偶函数定义判断C，根据函数图象判断BD.
【详解】要使函数有意义，则，解得，
所以函数的定义域为，关于原点对称，
又，所以函数是定义域为的偶函数，
故选项A错误，C正确；
作出函数的图象，如图：
由图象可知，函数的值域为，
也可根据偶函数性质易得函数的值域为，故选项B正确；
函数在上单调递增，在上单调递减，故选项D错误.
故选：BC
6．（23-24高一上·河南洛阳·期末）已知函数，则（ ）
A．的值域为
B．若有个零点，则或
C．若有个零点，则或
D．若的个零点分别为：，，，则的取值范围为
【答案】ACD
【分析】作出分段函数的图象，通过观察并验证易得函数值域；对于的零点问题，可以转化成与的图象公共点问题，易于判断B,C两项，对于D项，则需要就这条等高线确定函数零点，，对应的函数值得到，结合即得的取值范围.
【详解】
对于A选项，先作出的图象如图，可得时，；时，.
则的值域为，故A项正确；
对于B选项，由，即，由图知当或时，与只有一个交点，
即有一个零点，故B项错误；
对于C选项，同理由图知，当或时，与有两个交点，即有两个零点，故C项正确；
对于D选项，如图，当时，与有三个交点，即有三个零点，，，
则,且,则，于是，
因，可得，故.故D项正确．
故选：ACD．
【点睛】关键点点睛：解决的关键在于要作出函数的图象，并会利用函数的零点与方程的根及对应的两函数图象的交点进行转化的观点来处理，有时还需要利用等高线选设未知数列出方程来求解.
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