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第二章 一元二次函数、方程和不等式综合检测
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2024·福建莆田·三模）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高二下·湖南娄底·学业考试）若，则下列各式一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高一上·浙江杭州·期中）2023年8月29日，华为在官方网站发布了Mate60系列手机，全系搭载麒麟芯片强势回归，5G技术更是遥遥领先，正所谓“轻舟已过万重山”.发布后的第一周销量约达80万台，第二周的增长率为a，第三周的增长率为b，这两周的平均增长率为x（a，b，x均大于零），则（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·全国·模拟预测）已知集合，，则（ ）．
A． B．
C． D．
5．（2024·山东滨州·二模）下列命题中，真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
6．（23-24高一上·广西南宁·阶段练习）设：实数满足，：一元二次方程“”有两个负数解，则是（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（2024·全国·模拟预测）如图所示，在中，为线段的中点，为线段上一点，，过点的直线分别交直线，于，两点．设，，则的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．6
8．（2024·全国·模拟预测）设为中最大的数.已知正实数，记，则的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．4
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（23-24高一下·江西赣州·期中）已知，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
10．（23-24高一上·浙江嘉兴·阶段练习）关于的不等式的解集可能是（ ）
A． B．或
C．或 D．
11．（2024·浙江绍兴·二模）已知，，，则（ ）
A．且 B．
C． D．
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（23-24高一下·上海·开学考试）若对于任意，恒成立，则实数的取值范围是 .
13．（23-24高一上·安徽安庆·期末）已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为 ．
14．（2023·山西·模拟预测）已知，且，则的最小值是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）（2024·全国·二模）已知实数，满足.
(1)求证：；
(2)求的最小值.
16．（15分）（23-24高一上·广东河源·阶段练习）设．
(1)若不等式对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围；
(2)在（1）的条件下，求的最小值；
(3)解关于x的不等式．
17．（15分）（22-23高二下·北京西城·期中）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划再修建一条连接两条公路、贴近山区边界的直线型公路．记两条相互垂直的公路为，山区边界曲线为，计划修建的公路为，如图所示．已知M，N为的两个端点，点到的距离分别为20千米和5千米，点到的距离分别为4千米和25千米，分别以所在的直线为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy．假设曲线符合函数（其中a，k为常数）模型．
(1)求a，k的值；
(2)设公路与曲线相切于点，点的横坐标为．
①求公路所在直线的方程；
②当为何值时，公路的长度最短 求如最短长度．
18．（17分）（23-24高一上·河北邯郸·期末）已知不等式的解集为，函数（，且），（，且）．
(1)求不等式的解集；
(2)若对于任意的，均存在，满足，求实数的取值范围．
19．（17分）（23-24高一下·安徽安庆·开学考试）（1）已知，求的最大值.
（2）已知且，求的最大值.
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第二章 一元二次函数、方程和不等式综合检测
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2024·福建莆田·三模）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由解一元二次不等式解出集合，再由交集的运算求出最后结果即可.
【详解】由题意可得，，则.
故选：B.
2．（2024高二下·湖南娄底·学业考试）若，则下列各式一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据不等式的性质以及反例即可求解.
【详解】对于A，因为，不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变，
所以，故A正确；
对于B，因为，不等式两边同时乘（或除以）同一个小于的整式，不等号方向改变，
所以，故B错误；
对于C，因为，不等式两边同时乘（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变，
所以，故C错误；
对于D，若，，此时，故D错误.
故选：A.
3．（23-24高一上·浙江杭州·期中）2023年8月29日，华为在官方网站发布了Mate60系列手机，全系搭载麒麟芯片强势回归，5G技术更是遥遥领先，正所谓“轻舟已过万重山”.发布后的第一周销量约达80万台，第二周的增长率为a，第三周的增长率为b，这两周的平均增长率为x（a，b，x均大于零），则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，列出等式，再利用基本不等式求解判断即可.
【详解】依题意，，而，
因此，当且仅当时取等号，
所以.
故选：B
4．（2024·全国·模拟预测）已知集合，，则（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先化简集合A，B，再利用并集的运算求解.
【详解】解：因为，
，
所以．
故选：B．
5．（2024·山东滨州·二模）下列命题中，真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【分析】由不等式的性质可判断A,B,C，利用基本不等式，当且仅当时等号成立，即可判断D.
【详解】对于A，由，可得，故A错误；
对于B，由，，，可得，故B错误；
对于C，若，且当时，可得为任意值，故C错误；
对于D，因为，当且仅当时，等号成立，
即，故D正确.
故选：D.
6．（23-24高一上·广西南宁·阶段练习）设：实数满足，：一元二次方程“”有两个负数解，则是（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由命题求出的范围，利用充分条件与必要条件的概念判断.
【详解】命题：一元二次方程有两个负数解，所以，解得，
所以是的充分不必要条件，
故选：A.
7．（2024·全国·模拟预测）如图所示，在中，为线段的中点，为线段上一点，，过点的直线分别交直线，于，两点．设，，则的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．6
【答案】B
【分析】由中点和三等分点得到，结合，，得到，
由三点共线得到，利用均值不等式中“1的代换”求得的最小值.
【详解】因为为线段的中点，所以，又因为，所以，
又，，则，
而，，三点共线，所以，即，
则，
当且仅当，即，时取等号．
故选：B．
8．（2024·全国·模拟预测）设为中最大的数.已知正实数，记，则的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．4
【答案】C
【分析】根据函数定义可知，，，再由基本不等式可得当时，取得最小值2.
【详解】由，得，，，
所以，即，因为，所以；
由基本不等式可得，所以，
所以，，
当，即时，取得最小值2.
故选：C
【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据函数定义得出，，，再结合基本不等式求得.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（23-24高一下·江西赣州·期中）已知，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【分析】由条件利用比差法比较的大小，判断A，由条件推出，结合不等式性质判断B，再结合不等式性质判断CD.
【详解】因为，
所以，所以，选项A错误；
因为，，所以，选项B正确；
由，，得，两边平方，得，选项C错误；
由，两边平方，得，即，选项D正确．
故选：BD．
10．（23-24高一上·浙江嘉兴·阶段练习）关于的不等式的解集可能是（ ）
A． B．或
C．或 D．
【答案】BC
【分析】分情况讨论解不等式即可.
【详解】由，
得，
当，即时，该不等式的解集为或，
当，即时，该不等式的解集为或，
当，即时，该不等式的解集为或，
故选：BC.
11．（2024·浙江绍兴·二模）已知，，，则（ ）
A．且 B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】由，可得，即可判断，同理判断，判断A；利用基本不等式可判断B，C，D；
【详解】对于A，，，，则，故，同理可得，A正确；
对于B，，，，
当且仅当时取等号，B正确；
对于C，，，，则，
则，
当且仅当，即时取等号，C错误；
对于D，由于，故，
当且仅当时取等号，而，故，D正确，
故选：ABD
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（23-24高一下·上海·开学考试）若对于任意，恒成立，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】分和两种情况讨论即可得解.
【详解】①当时，不等式恒成立，所以符合要求；
②当时，题意等价于，即，解得，
综上可知.
故答案为：.
13．（23-24高一上·安徽安庆·期末）已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】由题意首先得出的关系，进一步结合即可求解.
【详解】由已知，不等式的解集为，
故，且，为方程的两根，
所以，解得，故不等式为，
即，解得或.
故答案为：．
14．（2023·山西·模拟预测）已知，且，则的最小值是 .
【答案】8
【分析】通过对变形可得和，然后利用基本不等式可解.
【详解】因为，所以，
所以，所以.
又，所以，即，
即，所以，
则，当且仅当时，等号成立.
故答案为：8
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）（2024·全国·二模）已知实数，满足.
(1)求证：；
(2)求的最小值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）将两边平方后利用基本不等式证明；
（2）将变形后将条件代入，然后利用基本不等式求最值.
【详解】（1）由得，
当且仅当时等号成立，
所以；
（2）由已知，则，
则
，
当且仅当，即一个为，一个为时等号成立.
所以的最小值.
16．（15分）（23-24高一上·广东河源·阶段练习）设．
(1)若不等式对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围；
(2)在（1）的条件下，求的最小值；
(3)解关于x的不等式．
【答案】(1)
(2)4
(3)答案见解析
【分析】（1）分和讨论，当时，根据相应二次函数开口方向和判别式列不等式组即可求解；
（2）变形为，利用基本不等式求解可得；
（3）整理得，根据二次系数是否为0、相应二次函数开口分析、两根的大小关系分类讨论即可.
【详解】（1）由恒成立得：对一切实数x恒成立.
当时，不等式为，不合题意；
当时，，解得：；
综上所述：实数m的取值范围为．
（2），，
，
（当且仅当，即时取等号），的最小值为4．
（3）由得：；
①当时，，解得：，即不等式解集为；
②当时，令，解得：，；
1）当，即时，不等式解集为；
2）当，即时，不等式解集为；
3）当，即时，不等式可化为，
，不等式解集为；
4）当，即时，不等式解集为；
综上所述：当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为．
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