资源简介

2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）
素养拓展01 柯西不等式与权方和不等式（精讲+精练）
一、柯西不等式
1.二维形式的柯西不等式
2.二维形式的柯西不等式的变式
3.扩展：，当且仅当时，等号成立.
注：有条件要用；没有条件，创造条件也要用.比如，对，并不是不等式的形状，但变成就可以用柯西不等式了.
二、权方和不等式
权方和不等式：若，则，当且仅当时，等号成立.
证明1：
要证
只需证
即证
故只要证
当且仅当时，等号成立
即，当且仅当时，等号成立.
证明2：对柯西不等式变形，易得在时，就有了当时，等号成立．
推广1：当时，等号成立．
推广:2：若，则，当时，等号成立.
推广3：若，则，当时，等号成立.
【典例1】实数x、y满足，则x+y的最大值是________.
解：，则
所以，当且仅当时等号成立.
答案：
【典例2】设，且.
（1）求的最小值；
（2）若成立，证明：或.
【分析】(1)根据条件，和柯西不等式得到，再讨论是否可以
当且仅当，即时，等号成立．【答案】C
【题型训练-刷模拟】
1.柯西不等式
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）柯西不等式最初是由大数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的.而后来有两位数学家Buniakowsky和Schwarz彼此独立地在积分学中推而广之，才能将这一不等式应用到近乎完善的地步.该不等式的三元形式如下：对实数和，有等号成立当且仅当已知，请你用柯西不等式，求出的最大值是（ ）
A．14 B．12 C．10 D．8
2．（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）已知空间向量，，且，则的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．4
二、填空题
3．（2024·山西·二模）柯西不等式是数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的一个重要不等式，而柯西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的：已知向量，，由得到，当且仅当时取等号.现已知，，，则的最大值为 .
4．（22-23高二下·浙江·阶段练习）已知，，则的最小值为 .
5．（22-23高一·全国·课堂例题）若不等式对任意正实数x，y都成立，则实数k的最小值为 .
6．（22-23高三上·河北衡水·期末）若⊙C：，⊙D：，M，N分别为⊙C，⊙D上一动点，最小值为4，则取值范围为 ．
7．已知正实数，，，满足，则的最小值是 ．
三、解答题
8．（2024·四川南充·三模）若a，b均为正实数，且满足.
(1)求的最大值；
(2)求证：.
9．（2024·四川·模拟预测）已知均为正实数，且满足．
(1)求的最小值；
(2)求证：.
10．（2024高三·全国·专题练习）已知实数a，b，c满足．
(1)若，求证：；
(2)若a，b，，求证：．
2.权方和不等式
一、填空题
1．已知，且满足，则的最小值为________．
2．已知x＞0，y＞0，且则的最小值是 ．
3．已知a＞0，b＞0，且，则的最小值是 ．
4．（23-24高一上·辽宁沈阳·阶段练习）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，则，当且仅当时等号成立.根据权方和不等式，函数的最小值 ．
5．（2023高三·全国·专题练习）已知正数，，满足，则的最小值为
6．（2023高三·全国·专题练习）已知，求的最小值为
7．（2023高三·全国·专题练习）已知为锐角，则的最小值为 .
8．（2023高三·全国·专题练习）已知正实数、且满足，求的最小值 .
9．（2024高三·全国·专题练习）已知，则的最小值是 ．
10．（2023高三·全国·专题练习）已知实数x，y满足，且，的最小值为 .
11．（2024高三·全国·专题练习）已知，则的最小值是 ．
12．（2023高三·全国·专题练习）已知正数满足，则的最小值为
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）
素养拓展01 柯西不等式与权方和不等式（精讲+精练）
一、柯西不等式
1.二维形式的柯西不等式
2.二维形式的柯西不等式的变式
3.扩展：，当且仅当时，等号成立.
注：有条件要用；没有条件，创造条件也要用.比如，对，并不是不等式的形状，但变成就可以用柯西不等式了.
二、权方和不等式
权方和不等式：若，则，当且仅当时，等号成立.
证明1：
要证
只需证
即证
故只要证
当且仅当时，等号成立
即，当且仅当时，等号成立.
证明2：对柯西不等式变形，易得在时，就有了当时，等号成立．
推广1：当时，等号成立．
推广:2：若，则，当时，等号成立.
推广3：若，则，当时，等号成立.
【典例1】实数x、y满足，则x+y的最大值是________.
解：，则
所以，当且仅当时等号成立.
答案：
【典例2】设，且.
（1）求的最小值；
（2）若成立，证明：或.
【分析】(1)根据条件，和柯西不等式得到，再讨论是否可以达到等号成立的条件.(2)恒成立问题，柯西不等式等号成立时构造的代入原不等式，便可得到参数的取值范围.
【详解】(1) 故等号成立当且仅当而又因，解得时等号成立，所以的最小值为.
(2)因为，所以.
根据柯西不等式等号成立条件，当，即时有成立.
所以成立，所以有或.
【典例3】已知，且，则的最小值为（ ）
A．1 B． C．9 D．
【详解】因为，所以
由权方和不等式 可得
当且仅当，即时，等号成立．【答案】C
【题型训练-刷模拟】
1.柯西不等式
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）柯西不等式最初是由大数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的.而后来有两位数学家Buniakowsky和Schwarz彼此独立地在积分学中推而广之，才能将这一不等式应用到近乎完善的地步.该不等式的三元形式如下：对实数和，有等号成立当且仅当已知，请你用柯西不等式，求出的最大值是（ ）
A．14 B．12 C．10 D．8
【答案】A
【分析】
利用柯西不等式求出即可.
【详解】由题干中柯西不等式可得，
所以的最大值为，当且仅当时取等号.
故选：A
2．（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）已知空间向量，，且，则的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】B
【分析】由空间向量的坐标表示计算，然后由柯西不等式求解即可.
【详解】因为，
所以
，
当且仅当时等号成立，即时等号成立.
所以，所以的最小值为.
故选：B
二、填空题
3．（2024·山西·二模）柯西不等式是数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的一个重要不等式，而柯西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的：已知向量，，由得到，当且仅当时取等号.现已知，，，则的最大值为 .
【答案】
【分析】令，代入公式即可得解.
【详解】令，
又，，，
所以，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最大值为.
故答案为：
4．（22-23高二下·浙江·阶段练习）已知，，则的最小值为 .
【答案】9
【分析】根据柯西不等式求解最小值即可.
【详解】∵
∴,当且仅当时等号成立，即，
∵
，当且仅当时等号成立，可取
故答案为：9
5．（22-23高一·全国·课堂例题）若不等式对任意正实数x，y都成立，则实数k的最小值为 .
【答案】/
【分析】运用柯西不等式进行求解即可.
【详解】由柯西不等式的变形可知，整理得，
当且仅当，即时等号成立，
则k的最小值为.
故答案为：
6．（22-23高三上·河北衡水·期末）若⊙C：，⊙D：，M，N分别为⊙C，⊙D上一动点，最小值为4，则取值范围为 ．
【答案】
【分析】先根据的最小值求出，即，再使用柯西不等式求出取值范围.
【详解】由于最小值为4，圆C的半径为1，圆D的半径为2，故两圆圆心距离，
即，
由柯西不等式得：，
当且仅当，即时，等号成立，
即，解得：.
故答案为：
7．已知正实数，，，满足，则的最小值是 ．
【答案】/
【分析】
利用配凑法及柯西不等式即可求解.
【详解】
由题意可知，
，当且仅当时取“”号．
所以原式的最小值为．
故答案为：.
三、解答题
8．（2024·四川南充·三模）若a，b均为正实数，且满足.
(1)求的最大值；
(2)求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用柯西不等式直接求解；
（2）由分析法转化为求证，换元后由函数单调性得证.
【详解】（1）由柯西不等式得：，
即，故，
当且仅当，即时取得等号，
所以的最大值为.
（2）要证：，
只需证：，
只需证：，
即证：，
由a，b均为正实数，且满足可得，
当且仅当时等号成立，即，
设，则设，
在上单调递增，在上单调递减，
又，，
即.
9．（2024·四川·模拟预测）已知均为正实数，且满足．
(1)求的最小值；
(2)求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）结合已知等式，将化为，利用基本不等式，即可求得答案；
（2）利用柯西不等式，即可证明原不等式.
【详解】（1）因为均为正实数，，
所以
，当且仅当，
即时等号成立．
（2）证明：根据柯西不等式有，
所以．
当且仅当，即时等号成立，
即原命题得证.
10．（2024高三·全国·专题练习）已知实数a，b，c满足．
(1)若，求证：；
(2)若a，b，，求证：．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由题意可得，又，结合基本不等式可得，化简求得，得证；
（2）法一，由已知条件得，同理可得，，三式相加得证；法二，根据已知条件可得，所以，利用柯西不等式求解证明.
【详解】（1）因为，所以．
因为，
所以，当且仅当时等号成立，
整理得，所以．
（2）解法一： 因为，且a，b，，
所以，，，所以，
同理可得，，
以上三式相加得，当且仅当时等号成立．
解法二：因为，且a，b，，
所以，，，且，
所以
，
当且仅当时等号成立．
2.权方和不等式
一、填空题
1．已知，且满足，则的最小值为________．
【答案】
【分析】由知：，为保证分母和为定值，对所求作适当的变形，然后就可以使用权方和不等式了.
【解析】（等号成立条件，略）.
2．已知x＞0，y＞0，且则的最小值是 ．
【答案】
【解析】
当，即时，等号成立．
3．已知a＞0，b＞0，且，则的最小值是 ．
【答案】
【解析】
当，即时，等号成立，．
4．（23-24高一上·辽宁沈阳·阶段练习）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，则，当且仅当时等号成立.根据权方和不等式，函数的最小值 ．
【答案】
【分析】由，再利用权方和不等式即可得解.
【详解】由，得，
由权方和不等式可得，
当且仅当，即时取等号，
所以函数的最小值为.
故答案为：.
5．（2023高三·全国·专题练习）已知正数，，满足，则的最小值为
【答案】
【分析】根据权方和不等式可得解.
【详解】因为正数，满足，
所以，
当且仅当即时取等号.
故答案为：.
6．（2023高三·全国·专题练习）已知，求的最小值为
【答案】
【分析】应用权方和不等式即可求解.
【详解】
【详解】令，
则，
当时，即时，两个等号同时成立，原式取得最小值8．
故答案为：8
10．（2023高三·全国·专题练习）已知实数x，y满足，且，的最小值为 .
【答案】/1.6
【分析】巧妙运用权方和不等式求解和式的最小值问题，关键是找到所求式的两个分母与题设和式的内在联系.
【详解】要求最小值，先来证明权方和不等式，即：有当且仅当时取等号.
证明：利用柯西不等式：，当且仅当时取等号，
要证只须证，
因则=
当且仅当时，即时取等号.
不妨令,整理得，
则解得则 ，
当且仅当时等式成立，由解得：，即当时，的最小值为.
故答案为：
11．（2024高三·全国·专题练习）已知，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】利用权方和不等式求解最值即可.
【详解】由题意得，．
（权方和的一般形式为：,,当且仅当时等号成立）
当，即时，取得最小值．故答案为：
12．（2023高三·全国·专题练习）已知正数满足，则的最小值为
【答案】
【分析】
运用权方和不等式求和式的最小值，关键在于找到所求和式的两个分母与题设和式之间的联系，满足条件则迅速求解.
【详解】
要求最小值，先来证明权方和不等式，即：有当且仅当时取等号.
证明：利用柯西不等式：，当且仅当时取等号，
要证只须证，
因则=
当且仅当时，即时取等号.
故由
当且仅当时取等号.由解得：，
即当时，的最小值为.
故答案为：
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑