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2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）
思维拓展07 新高考压轴题中函数的新定义问题（精讲+精练）
①定义新性质
②定义新概念
③定义新运算
一、新定义问题
“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.
二、新定义问题的方法和技巧
1.可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；
2.可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；
3.发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；
4.如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.
【典例1】（2024·福建泉州·模拟预测）固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线年，莱布尼茨等得出悬链线的方程为，其中为参数．当时，该表达式就是双曲余弦函数，记为，悬链线的原理常运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．已知三角函数满足性质：①导数：；②二倍角公式：；③平方关系：．定义双曲正弦函数为．
(1)写出，具有的类似于题中①、②、③的一个性质，并证明该性质；
(2)任意，恒有成立，求实数的取值范围；
(3)正项数列满足，，是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【典例2】（2024·山东滨州·二模）定义：函数满足对于任意不同的，都有，则称为上的“类函数”．
(1)若，判断是否为上的“2类函数”；
(2)若为上的“3类函数”，求实数a的取值范围；
(3)若为上的“2类函数”，且，证明：，，．
【典例3】（23-24高三下·浙江·开学考试）置换是代数的基本模型，定义域和值域都是集合的函数称为次置换.满足对任意的置换称作恒等置换.所有次置换组成的集合记作.对于，我们可用列表法表示此置换：，记.
(1)若，计算；
(2)证明：对任意，存在，使得为恒等置换；
(3)对编号从1到52的扑克牌进行洗牌，分成上下各26张两部分，互相交错插入，即第1张不动，第27张变为第2张，第2张变为第3张，第28张变为第4张，......，依次类推.这样操作最少重复几次就能恢复原来的牌型？请说明理由.
【题型训练-刷模拟】
①定义新性质
一、解答题
1．（2024·浙江绍兴·三模）若函数在区间上有定义，且，，则称是的一个“封闭区间”．
(1)已知函数，区间且的一个“封闭区间”，求的取值集合；
(2)已知函数，设集合．
（i）求集合中元素的个数；
（ii）用表示区间的长度，设为集合中的最大元素．证明：存在唯一长度为的闭区间，使得是的一个“封闭区间”．
2．（2024·上海普陀·二模）对于函数，和，，设，若，，且，皆有成立，则称函数与“具有性质”.
(1)判断函数，与是否“具有性质”，并说明理由；
(2)若函数，与“具有性质”，求的取值范围；
(3)若函数与“具有性质”，且函数在区间上存在两个零点，，求证.
3．（2024·上海·模拟预测）已知为实数集的非空子集，若存在函数且满足如下条件：①定义域为时，值域为；②对任意，，均有. 则称是集合到集合的一个“完美对应”.
(1)用初等函数构造区间到区间的一个完美对应；
(2)求证：整数集到有理数集之间不存在完美对应；
(3)若，，且是某区间到区间的一个完美对应，求的取值范围.
4．（2024·上海黄浦·二模）若函数的图象上的两个不同点处的切线互相重合，则称该切线为函数的图象的“自公切线”，称这两点为函数的图象的一对“同切点”.
(1)分别判断函数与的图象是否存在“自公切线”，并说明理由；
(2)若，求证：函数有唯一零点且该函数的图象不存在“自公切线”；
(3)设，的零点为，，求证：“存在，使得点与是函数的图象的一对‘同切点’”的充要条件是“是数列中的项”.
5．（2024·浙江绍兴·三模）若函数有且仅有一个极值点，函数有且仅有一个极值点，且，则称与具有性质．
(1)函数与是否具有性质？并说明理由．
(2)已知函数与具有性质．
（i）求的取值范围；
（ii）证明：．
②定义新概念
一、解答题
1．（2024·江西·二模）随着大数据时代来临，数据传输安全问题引起了人们的高度关注，国际上常用的数据加密算法通常有AES、DES、RSA等，不同算法密钥长度也不同，其中RSA的密钥长度较长，用于传输敏感数据.在密码学领域，欧拉函数是非常重要的，其中最著名的应用就是在RSA加密算法中的应用.设p，q是两个正整数，若p，q的最大公约数是1，则称p，q互素.对于任意正整数n，欧拉函数是不超过n且与n互素的正整数的个数，记为.
(1)试求，的值；
(2)设p，q是两个不同的素数，试用p，k表示（），并探究与和的关系；
(3)设数列的通项公式为（），求该数列的前m项的和.
2．（2024·安徽合肥·三模）把满足任意总有的函数称为和弦型函数.
(1)已知为和弦型函数且，求的值；
(2)在（1）的条件下，定义数列：，求的值；
(3)若为和弦型函数且对任意非零实数，总有．设有理数满足，判断与的大小关系，并给出证明．
3．（2024·黑龙江·三模）若函数满足：对任意的实数，有恒成立，则
(2)令（为的导函数），分析与是否互为“零点相邻函数”；
(3)若，证明：.
③定义新运算
一、解答题
1．（2024·湖北·一模）我们知道通过牛顿莱布尼兹公式，可以求曲线梯形（如图1所示阴影部分）的面积，其中，．如果平面图形由两条曲线围成（如图2所示阴影部分），曲线可以表示为，曲线可以表示为，那么阴影区域的面积，其中．
(1)如图，连续函数在区间与的图形分别为直径为1的上、下半圆周，在区间与的图形分别为直径为2的下、上半圆周，设．求的值；
(2)在曲线上某一个点处作切线，便之与曲线和x轴所围成的面积为，求切线方程；
(3)正项数列是以公差为d（d为常数，）的等差数列，，两条抛物线，记它们交点的横坐标的绝对值为，两条抛物线围成的封闭图形的面积为，求证：．
2．（22-23高三下·上海闵行·阶段练习）设函数，其中a为常数．对于给定的一组有序实数，若对任意、，都有，则称为的“和谐数组”．
(1)若，判断数组是否为的“和谐数组”，并说明理由；
(2)若，求函数的极值点；
(3)证明：若为的“和谐数组”，则对任意，都有．
3．（2024·江西吉安·模拟预测）初中学过多项式的基本运算法则，其实多项式与方程的根也有密切关联.对一组变量，幂和对称多项式，且；初等对称多项式表示在中选出个变量进行相乘再相加，且.例如：对.已知三次函数有3个零点，且.记，.
(1)证明：；
(2)（i）证明：；
（ii）证明：，且；
(3)若，求.
4．（2024·甘肃兰州·一模）定义：如果在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，那么称为A，B两点间的曼哈顿距离．
(1)已知点，分别在直线，上，点与点，的曼哈顿距离分别为，，求和的最小值；
(2)已知点N是直线上的动点，点与点N的曼哈顿距离的最小值记为，求的最大值；
(3)已知点，点（k，m，，e是自然对数的底），当时，的最大值为，求的最小值．
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2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）
思维拓展07 新高考压轴题中函数的新定义问题（精讲+精练）
①定义新性质
②定义新概念
③定义新运算
一、新定义问题
“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.
二、新定义问题的方法和技巧
1.可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；
2.可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；
3.发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；
4.如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.
【典例1】（2024·福建泉州·模拟预测）固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线年，莱布尼茨等得出悬链线的方程为，其中为参数．当时，该表达式就是双曲余弦函数，记为，悬链线的原理常运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．已知三角函数满足性质：①导数：；②二倍角公式：；③平方关系：．定义双曲正弦函数为．
(1)写出，具有的类似于题中①、②、③的一个性质，并证明该性质；
(2)任意，恒有成立，求实数的取值范围；
(3)正项数列满足，，是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)答案见解析
(2)，
(3)存在实数，使得成立．
【分析】（1）①求导数，②用二倍角公式，③利用平方关系；证明即可；
（2）构造函数，求导数，利用导数讨论函数的单调性，求的取值范围即可；
（3）方法一、求出，，，猜想，用数学归纳法证明即可．方法二、构造数列，根据，利用递推公式求解即可．
【详解】（1）①导数：，，证明如下：
，
②二倍角公式：，证明如下：
；
③平方关系：，证明如下：
；
（2）令，，，
①当时，由，
又因为，所以，等号不成立，
所以，即为增函数，
此时，对任意，恒成立，满足题意；
②当时，令，，则，可知是增函数，
由与可知，存在唯一，使得，
所以当时，，则在上为减函数，
所以对任意，，不合题意；
综上知，实数的取值范围是；
（3）方法一、由，函数的值域为，
对于任意大于1的实数，存在不为0的实数，使得，
类比双曲余弦函数的二倍角公式，
由，，，
猜想：，
由数学归纳法证明如下：①当时，成立；
②假设当为正整数）时，猜想成立，即，则
，符合上式，
综上知，；
若，
设，则，解得：或，
即，所以，即．
综上知，存在实数，使得成立．
方法二、构造数列，且，
因为，所以，
则，
因为在上单调递增，所以，即是以2为公比的等比数列，
所以，所以，所以，
又因为，解得或，
所以，
综上知，存在实数，使得成立．
【点睛】方法点睛：对于新定义的题目，一定要耐心理解定义，新的定义不但考查的是旧的知识点的延伸，更考查对于新知识的获取理解能力，抓住关键点，解题不是事.
【典例2】（2024·山东滨州·二模）定义：函数满足对于任意不同的，都有，则称为上的“类函数”．
(1)若，判断是否为上的“2类函数”；
(2)若为上的“3类函数”，求实数a的取值范围；
(3)若为上的“2类函数”，且，证明：，，．
【答案】(1)为上的“2类函数”
(2)
(3)证明见详解
【分析】（1）根据题意结合“类函数”定义分析判断；
（2）根据题意分析可知，均恒成立，根据函数单调性结合导数可知在内恒成立，利用参变分类结合恒成立问题分析求解；
（3）分类讨论的大小关系，根据“类函数”定义结合绝对值不等式分析证明.
【详解】（1）对于任意不同的，不妨设，即，
则，
所以为上的“2类函数”.
（2）因为为上的“3类函数”，
对于任意不同的，不妨设，
则恒成立，
可得，
即，均恒成立，
构建，，则，
由可知在内单调递增，
可知在内恒成立，即在内恒成立；
同理可得：内恒成立；
即在内恒成立，
又因为，即，
整理得，可得，
即在内恒成立，
令，
因为在内单调递增，则在内单调递增，
当，；当，；可知，
可得在内恒成立，
构建，则，
当时，；当时，；
可知在内单调递增，在内单调递减，则，
构建，则在内恒成立，
可知在内单调递减，则；
可得，所以实数a的取值范围为.
（3）（i）当，可得，符合题意；
（ⅱ）当，因为为上的“2类函数”，不妨设，
①若，则；
②若，则
；
综上所述：，，.
【典例3】5．（23-24高三下·浙江·开学考试）置换是代数的基本模型，定义域和值域都是集合的函数称为次置换.满足对任意的置换称作恒等置换.所有次置换组成的集合记作.对于，我们可用列表法表示此置换：，记.
(1)若，计算；
(2)证明：对任意，存在，使得为恒等置换；
(3)对编号从1到52的扑克牌进行洗牌，分成上下各26张两部分，互相交错插入，即第1张不动，第27张变为第2张，第2张变为第3张，第28张变为第4张，......，依次类推.这样操作最少重复几次就能恢复原来的牌型？请说明理由.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)最少8次就能恢复原来的牌型，理由见解析
【分析】（1）根据题意，得到；
（2）解法一：分类列举出所有情况，得到结论；
解法二：，故至少有一个满足，当分别取时，记使得的值分别为，取为的最小公倍数即可得到答案；
（3）设原始牌型从上到下依次编号为1到52，故，列举出各编号在置换中的变化情况，得到连续置换中只有三种循环：一阶循环2个，二阶循环2个，八阶循环48个，从而得到最少8次这样的置换即为恒等置换.
【详解】（1），
由题意可知；
（2）解法一：①若，则为恒等置换；
②若存在两个不同的，使得，不妨设，则.
所以，即为恒等置换；
③若存在唯一的，使得，不妨设，则或.
当时，由（1）可知为恒等置换；
同理可知，当时，也是恒等置换；
④若对任意的，
则情形一：或或；
情形二：或或
或或或；
对于情形一：为恒等置换；
对于情形二：为恒等置换；
综上，对任意，存在，使得为恒等置换；
解法二：对于任意，都有，
所以中，至少有一个满足，
即使得的的取值可能为.
当分别取时，记使得的值分别为，
只需取为的最小公倍数即可.
所以对任意，存在，使得为恒等置换；
（3）不妨设原始牌型从上到下依次编号为1到52，则洗牌一次相当于对作一次如下置换：，即
其中.
注意到各编号在置换中的如下变化：
，，
，
，
，
，
，
，
，
所有编号在连续置换中只有三种循环：一阶循环2个，二阶循环2个，八阶循环48个，
注意到的最小公倍数为8，由此可见，最少8次这样的置换即为恒等置换，
故这样洗牌最少8次就能恢复原来的牌型.
【题型训练-刷模拟】
①定义新性质
一、解答题
1．（2024·浙江绍兴·三模）若函数在区间上有定义，且，，则称是的一个“封闭区间”．
(1)已知函数，区间且的一个“封闭区间”，求的取值集合；
(2)已知函数，设集合．
（i）求集合中元素的个数；
（ii）用表示区间的长度，设为集合中的最大元素．证明：存在唯一长度为的闭区间，使得是的一个“封闭区间”．
【答案】(1)
(2)（i）2；（ii）证明见解析
【分析】（1）根据“封闭区间”的定义，对函数求导并求出其值域解不等式可得的取值集合；
（2）（i）对求导得出函数的单调性，利用零点存在定理即可求得集合中元素的个数为2个；
（ii）根据区间长度的定义，对参数进行分类讨论得出的所有可能的“封闭区间”即可得出证明.
【详解】（1）由题意，，，
恒成立，所以在上单调递增，
可得的值域为，
因此只需，
即可得，即，
则的取值集合为．
（2）（i）记函数，
则，
由得或；由得；
所以函数在和上单调递增，在上单调递减．
其中，因此当时，，不存在零点；
由在单调递减，易知，而，
由零点存在定理可知存在唯一的使得；
当时，，不存在零点．
综上所述，函数有0和两个零点，即集合中元素的个数为2．
（ii）由（i）得，假设长度为的闭区间是的一个“封闭区间”，
则对，，
当时，由（i）得在单调递增，
，即，不满足要求；
当时，由（i）得在单调递增，
，
即，也不满足要求；
当时，闭区间，而显然在单调递增，
，
由（i）可得，，
，满足要求．
综上，存在唯一的长度为的闭区间，使得是的一个“封闭区间”．
【点睛】关键点点睛：本题关键在于理解“封闭区间”的定义，结合导函数判断出各函数的单调性和对应的单调区间，再结合区间长度的定义分类讨论即可得出结论.
2．（2024·上海普陀·二模）对于函数，和，，设，若，，且，皆有成立，则称函数与 “具有性质”.
(1)判断函数，与是否“具有性质”，并说明理由；
(2)若函数，与 “具有性质”，求的取值范围；
(3)若函数与 “具有性质”，且函数在区间上存在两个零点，，求证.
【答案】(1)答案见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据条件，结合性质的定义判断即可；
（2）根据，，与 “具有性质”，可得对，,恒成立，再求出的范围即可；
（3）根据条件，得到，再构造函数，结合条件证明不等式即可．
【详解】（1）由，且，
得，即，
则，
即 ，
即 ，
则函数与 “具有性质”.
（2）由函数与 “具有性质”，
得，，且，
即，
整理得，
则对恒成立，
又，，
则，，即，
则，即所求的的取值范围为.
（3）由函数在有两个零点，得，
又函数与 “具有性质”，
则，
即，
即，
令，即，
记，即，
因为，
当时，；当时，，
所以函数在区间是减函数，在上是增函数.
要证，即证，
不妨设，即证，
只需证，
即证，
设，即，
因为，
所以函数在是减函数，且，
又，则，
即，则得证，
故 .
【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性，利用不等式恒成立求出参数的取值范围，关键是利用极值点偏移构造函数证明不等式．
3．（2024·上海·模拟预测）已知为实数集的非空子集，若存在函数且满足如下条件：①定义域为时，值域为；②对任意，，均有. 则称是集合到集合的一个“完美对应”.
(1)用初等函数构造区间到区间的一个完美对应；
(2)求证：整数集到有理数集之间不存在完美对应；
(3)若，，且是某区间到区间的一个完美对应，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）取，根据正切型函数的图象与性质即可证明其满足题意；
（2）利用反证法，假设有是集合到的一个完美对应，最后得到，这与假设矛盾；
（3）利用导数对分，和讨论即可.
【详解】（1），当时，，则其值域为，满足条件①，
根据复合函数单调性知在单调递增，则其满足条件②，
故可取.
（2）假设有是集合到的一个完美对应，
则有，其中，于是，，
由完美对应的定义，存在整数，使得且，
这与为整数矛盾，故假设不成立.
所以，整数集到有理数集之间不存在完美对应.
（3），
，得或，
若，则严格递增，且，此时；满足题意;
若，则时，；时，；时，；
则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增;
又，故只有极小值才满足题意，
即，，
若，则时，；时，；时，；
则在单调递增，在单调递减，在单调递增；
又，故只有极大值才满足题意，
即，即.
综上, 的取值范围是 .
【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是求导得，然后求出导函数零点或，最后对进行合理分类讨论即可.
4．（2024·上海黄浦·二模）若函数的图象上的两个不同点处的切线互相重合，则称该切线为函数的图象的“自公切线”，称这两点为函数的图象的一对“同切点”.
(1)分别判断函数与的图象是否存在“自公切线”，并说明理由；
(2)若，求证：函数有唯一零点且该函数的图象不存在“自公切线”；
(3)设，的零点为，，求证：“存在，使得点与是函数的图象的一对‘同切点’”的充要条件是“是数列中的项”.
【答案】(1)函数的图象存在“自公切线”； 函数的图象不存在“自公切线”，理由见解析；
(2)证明见解析；
(3)证明见解析.
【分析】（1）由直线切的图象于点判断，由导数确定意见性判断.
（2）利用导数探讨单调性结合零点存在性定理推理即得唯一零点，再假定存在“自公切线”，利用导数的几何意义求出切线方程，证明在上无解即得.
（3）求出在点与处的切线方程，利用（2）的结论，结合诱导公式，及充要条件的证明方法推理即得.
【详解】（1）显然直线切的图象于点，
直线是的图象的一条“自公切线”，因此函数的图象存在“自公切线”；
对于是严格减函数，则在不同点处的切线斜率不同，
所以函数的图象不存在“自公切线”.
（2）由恒成立，且仅当时，
则是上的严格增函数，可得它至多有一个零点，
令，
由的图象是连续曲线，且，
因此在上存在零点，即在上存在零点，所以有唯一零点；
假设的图象存在“自公切线”，则存在且，
使得的图象在与处的切线重合，即，有，不妨设，
切线，，
有相同截距，即，而，
则，即，
则有，即，令，，
即函数在上单调递增，，因此当时，，
即在上无解，
所以的图象不存在“自公切线”.
（3）对给定的，由（2）知有唯一零点，即唯一确定，
又在点处的切线方程为，即，
在点处的切线方程为，
若存在，使得点与是函数图象的一对“同切点”，
则，又，则，
所以，且，从而存在，
使得，代入，可得，则，即是数列中的项；
反之，若是数列中的项，则存在，使得，即，
由（2）中的严格增，可知严格增，又且，可知，
令，则且，
即，可得，所以存在，
使得点与是函数的图象的一对“同切点”.
所以存在，使得点与是函数图象的一对“同切点”的充要条件是“是数列中的项”.
【点睛】结论点睛：函数y=f(x)是区间D上的可导函数，则曲线y=f(x)在点处的切线方程为：.
5．（2024·浙江绍兴·三模）若函数有且仅有一个极值点，函数有且仅有一个极值点，且，则称与具有性质．
(1)函数与是否具有性质？并说明理由．
(2)已知函数与具有性质．
（i）求的取值范围；
（ii）证明：．
【答案】(1)具有，理由见解析
(2)（i）；（ii）证明见解析
【分析】（1）借助导数研究函数的单调性后，结合零点的存在性定理即可得其极值点及极值点范围或具体值，即可得解；
（2）（i）利用导数研究函数的单调性后，分及可得其是否存在极值点，在存在唯一极值点的情况下，再对细分，结合零点的存在性定理讨论不同的的情况下不同的极值点的范围，结合进行计算即可得解；
（ii）分及进行讨论，结合极值点满足的条件及所得函数单调性进行放缩处理即可得.
【详解】（1）函数与具有性质，理由如下：
，令，
则，故单调递减，
又，，
故存在，使，
则在上单调递增，在上单调递减，
故有且仅有一个极值点，
，则当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
故有且仅有一个极值点，
故函数与具有性质；
（2）（i）， 又，故，
当时，，此时没有极值点，故舍去，
当时， 令，
则恒成立，
故在上单调递增，
，，故，
由，令，
则恒成立，
故在上单调递减，
当时，有，又时，，
故此时存在，使在上单调递减，在上单调递增，
则有唯一极值点，
有，又时，，
故此时存在，使在上单调递增，在上单调递减，
则有唯一极值点，
即有，，
即，，此时需满足，则，
故有，即，即，故符合要求；
当时，，又时，，
故此时存在，使在上单调递减，在上单调递增，
则有唯一极值点，
有，又时，，
故此时存在，使在上单调递增，在上单调递减，
则有唯一极值点，
同理可得，此时需满足，即，则，
由，，故该不等式成立，故符合要求；
当时，有，，
此时，即、的极值点都为，不符合要求，故舍去；
综上，故；
（ii）当时，有，则，故，
在上单调递增，在上单调递减，
则，
令，则，令，
则，故在上单调递增，
则，
故，要证，只需证，
，
即当，有；
当时，有，则，即，
在上单调递增，在上单调递减，
则，
即要证，只需证，
，
即当，有；
综上所述，.
【点睛】关键点点睛：本题最后一问关键点在于分及进行讨论，从而可得不同的的情况下不同的、的范围，结合放缩进行推导.
②定义新概念
一、解答题
1．（2024·江西·二模）随着大数据时代来临，数据传输安全问题引起了人们的高度关注，国际上常用的数据加密算法通常有AES、DES、RSA等，不同算法密钥长度也不同，其中RSA的密钥长度较长，用于传输敏感数据.在密码学领域，欧拉函数是非常重要的，其中最著名的应用就是在RSA加密算法中的应用.设p，q是两个正整数，若p，q的最大公约数是1，则称p，q互素.对于任意正整数n，欧拉函数是不超过n且与n互素的正整数的个数，记为.
(1)试求，的值；
(2)设p，q是两个不同的素数，试用p，k表示（），并探究与和的关系；
(3)设数列的通项公式为（），求该数列的前m项的和.
【答案】(1)，
(2)，
(3).
【分析】（1）由欧拉函数的定义，求和的值；
（2）由素数的性质和欧拉函数的定义，求，探究与和的关系；
（3）求数列的通项，错位相减法求.
【详解】（1）易得，
不超过9且与9互素的正整数有1，2，4，5，7，8，则，
不超过7且与7互素的正整数有1，2，3，4，5，6，则，
不超过21且与21互素的正整数有1，2，4，5，8，10，11，13，16，17，19，20，则，
所以，.
（2）在不大于的正整数中，只有p的倍数不与互素，而p的倍数有个，
因此.
由p，q是两个不同的素数，得，，
在不超过的正整数中，p的倍数有个，q的倍数有个，
于是，
所以.
（3）根据（2）得，
所以，
，
两式相减，得，
所以，
故.
2．（2024·安徽合肥·三模）把满足任意总有的函数称为和弦型函数.
(1)已知为和弦型函数且，求的值；
(2)在（1）的条件下，定义数列：，求的值；
(3)若为和弦型函数且对任意非零实数，总有．设有理数满足，判断与的大小关系，并给出证明．
【答案】(1)；
(2)
(3)，证明见解析
【分析】（1）利用所给定义，使用赋值法分别令、代入计算即可得解；
（2）令代入计算可得，即可得其通项公式，结合对数运算与等差数列求和公式计算即可得解；
（3）令，数列满足，从而只需证明数列为递增数列即可得证.
【详解】（1）令，则，可得，
令，则，则；
（2）令，则，
，
即，又，所以数列为以为公比，为首项的等比数列，
即，则
；
（3）由题意得：函数定义域为，定义域关于原点对称，令为任意实数，
则，即是偶函数，
为有理数，不妨设，令为，分母的最小公倍数，
且均为自然数，且，
设，则，
令，则，
即，，
故数列单调递增，则，
又是偶函数，所以有.
【点睛】关键点点睛：根据递推关系的特点，灵活应用特殊值法求函数值及函数关系，最后一问需根据有理数的性质：令，将问题转化为判断的增减性.
3．（2024·黑龙江·三模）若函数满足：对任意的实数，有恒成立，则称函数为“增函数”.
(1)求证：函数不是“增函数”；
(2)若函数是“增函数”，求实数的取值范围；
(3)设，若曲线在处的切线方程为，求的值，并证明函数是“增函数”.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)，证明见解析
【分析】（1）利用给定新函数定义，举反例即可证明.
（2）结合新函数定义得恒成立，利用不等式求解范围即可.
（3）借助导数的几何意义，对该函数求导后，令导数函数值为1，可得该方程的根，且时其中一个根，结合导数可证明该函数严格单调递增，故有且仅有，而后设出，根据在上是严格增函数，可得在上是严格增函数，又，则，即可证明.
【详解】（1）取，则，因为，
故函数不是“增函数”.
（2）因为函数是“增函数”，
故任意的，有恒成立，
即恒成立，
所以恒成立，
又，故，则，
则，即.
（3），
根据题意，得，可得方程的一个解，
令，则，故在上是严格增函数，
所以是唯一解，
又，此时在处的切线方程即为，故；
设，其中，
，由在上是严格增函数以及，
得，
即，
所以在上是严格增函数，
因为，则，故，得证，
所以函数是“增函数”.
【点睛】关键点点睛：本题时给出函数的新定义，由此去判断求解问题，解答本题的关键是要理解函数的新定义，明确其含义，依此取判断解决问题.
4．（2024·河北唐山·二模）数学归纳法是一种数学证明方法，通常被用于证明某个给定命题在整个（或者局部）自然数范围内成立．证明分为下面两个步骤：1．证明当（）时命题成立；2．假设（，且）时命题成立，推导出在时命题也成立．用模取余运算：表示“整数除以整数，所得余数为整数”．用带余除法可表示为：被除数＝除数×商＋余数，即，整数是商．如，则；再如，则．当时，则称整除．现从序号分别为，，，，…，的个人中选出一名幸运者，为了增加趣味性，特制定一个遴选规则：大家按序号围成一个圆环，然后依次报数，每报到（）时，此人退出圆环；直到最后剩1个人停止，此人即为幸运者，该幸运者的序号下标记为．如表示当只有1个人时幸运者就是；表示当有6个人而时幸运者是；表示当有6个人而时幸运者是．
(1)求；
(2)当时，，求；当时，解释上述递推关系式的实际意义；
(3)由（2）推测当（）时，的结果，并用数学归纳法证明．
【答案】(1)
(2)，答案见解析
(3)，证明见解析
【分析】（1）用模取余法可求结论；
（2）由，，可求；
从个人中选出一个幸运者时，幸运者的序号下标为，从个人中选出一个幸运者时，幸运者的序号下标为，后者的圆环可以认为是前者的圆环退出一人而形成的，可推得结论；
（3）取时，分别求得，，，；
可得当（）时，，进而利用数学归纳法证明即可．
【详解】（1）因为，所以．
（2）因为，且，
所以，故．
当时，递推关系式的实际意义：
当从个人中选出一个幸运者时，幸运者的序号下标为，
而从个人中选出一个幸运者时，幸运者的序号下标为．
如果把二者关联起来，后者的圆环可以认为是前者的圆环退出一人而形成的，
当然还要重新排序，由于退出来的是，则原环的就成了新环的，
也就是说原环的序号下标要比新环的大，原环的就成了新环的．
需要注意，新环序号后面一直到，如果下标加上，就会超过．
如新环序号对应的是原环中的，…，新环序号对应的是原环中的．
也就是说，得用新环的序号下标加上再减去，才能在原环中找到对应的序号，
这就需要用模取余，即．
（3）由题设可知，由（2）知：
；
；
；
；
；
；
；
由此推测，当（）时，．
下面用数学归纳法证明：
1．当时，，推测成立；
2．假设当（，，且）时推测成立，
即．
由（2）知
．
（ⅰ）当时，；
（ⅱ）当时，，此时，
即．
故当时，推测成立．
综上所述，当（）时，．
推测成立.
5．（2024·河北沧州·模拟预测）对于函数和，设，若存在使得，则称和互为“零点相邻函数”.设，，且和互为“零点相邻函数”.
(1)求的取值范围；
(2)令（为的导函数），分析与是否互为“零点相邻函数”；
(3)若，证明：.
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）由互为“零点相邻函数”的概念，令和解出，再代入，则可求出的取值范围；
（2）令，解得，由（1）知，由，通过讨论的范围，确定的零点情况，再由互为“零点相邻函数”的概念，得出与是否互为“零点相邻函数”；
（3）通过换元，令，则由可得，
设，利用导函数，可得在上单调递减，由，得，即可得证.
【详解】（1）令，得，
令，得，
①，解得，
②，解得，
所以的取值范围为.
（2），则，
令，得，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
所以，
又，
当时，无零点，
所以与不互.为“零点相邻函数”；
当时，，函数的零点为，
所以与互为“零点相邻函数”；
当时，，又因为，
所以此时在区间内存在零点，所以与互为“零点相邻函数”；
当时，，又因为，
所以在区间内存在零点，所以与互为“零点相邻函数”.
综上，当时，与不互为“零点相邻函数”，
当时，与互为“零点相邻函数”.
（3）当时，，
设，则，
则，
设，则，
令，
则，
所以在上单调递减，
又，所以，即，所以在上单调递减，
又，所以，得证.
③定义新运算
一、解答题
1．（2024·湖北·一模）我们知道通过牛顿莱布尼兹公式，可以求曲线梯形（如图1所示阴影部分）的面积，其中，．如果平面图形由两条曲线围成（如图2所示阴影部分），曲线可以表示为，曲线可以表示为，那么阴影区域的面积，其中．
(1)如图，连续函数在区间与的图形分别为直径为1的上、下半圆周，在区间与的图形分别为直径为2的下、上半圆周，设．求的值；
(2)在曲线上某一个点处作切线，便之与曲线和x轴所围成的面积为，求切线方程；
(3)正项数列是以公差为d（d为常数，）的等差数列，，两条抛物线，记它们交点的横坐标的绝对值为，两条抛物线围成的封闭图形的面积为，求证：．
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据所给新定义、公式计算即可；
（2）利用导数求出切线方程，根据公式计算面积，据此求出切线方程中参数，得解；
（3）根据所给面积公式及定积分的运算得出，利用裂项相消法求和即可得证.
【详解】（1）由题意可知，，
.
（2）设切点为，，切线的斜率为，
则切线方程为，所以切线与轴的交点为，
所以由题意可知围成的面积：,
所以切点坐标为，切线方程为.
（3）联立，
由对称性可知，两条抛物线围成的封闭图形的面积为
,
令，（C为常数）,
，
，，
则.
2．（22-23高三下·上海闵行·阶段练习）设函数，其中a为常数．对于给定的一组有序实数，若对任意、，都有，则称为的“和谐数组”．
(1)若，判断数组是否为的“和谐数组”，并说明理由；
(2)若，求函数的极值点；
(3)证明：若为的“和谐数组”，则对任意，都有．
【答案】(1)是的“和谐数组”，理由见解析；
(2)为函数的一个极大值点,为的一个极小值点.
(3)见解析
【分析】（1）代入有，根据指数函数、幂函数性质可得，再将代入即可证明；
（2）代入值有，直接求导，令导函数为0即可得到其极值点；
（3）假设存在,使得,通过和谐数组定义转化得对任意恒成立，设，再利用二次函数的性质即可证明假设不成立.
【详解】（1）是的“和谐数组”,理由如下：
当时,.根据幂函数、指数函数的性质,对任意,都有.对任意,代入,得:
是的“和谐数组”.
（2）当,
于是可列表如下:
0 0
极大值 极小值
为函数的一个极大值点,为的一个极小值点.
（3）反证法:假设存在,使得,则对任意,都有.
对任意恒成立.令，则在上恒成立,
由二次函数性质可知,必存在使得当时,恒成立,且此时,
当时有，
其中，
由二次函数性质可知,必存在使得当时，.
这与在上恒成立矛盾.
对任意,都有
【点睛】关键点睛：本题第3问的关键是运用反证法，首先假设存在,使得,根据和谐数组的定义转化得存在,使得,设，通过二次函数与指数函数的图象与性质即可推理出与假设矛盾的结论，最后即得到证明.
3．（2024·江西吉安·模拟预测）初中学过多项式的基本运算法则，其实多项式与方程的根也有密切关联.对一组变量，幂和对称多项式，且；初等对称多项式表示在中选出个变量进行相乘再相加，且.例如：对（ii）①，②，③各乘，得
④+⑤+⑥得，
即.
（3）由题可知，
，
，
由，得，
解得，
由（2）（ii）得，
解得
，
解得，
即.
【点睛】关键点点睛：本题三小问的关键全是能够理解题目中多项式的新定义，再结合新定义计算即可.
4．（2024·甘肃兰州·一模）定义：如果在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，那么称为A，B两点间的曼哈顿距离．
(1)已知点，分别在直线，上，点与点，的曼哈顿距离分别为，，求和的最小值；
(2)已知点N是直线上的动点，点与点N的曼哈顿距离的最小值记为，求的最大值；
(3)已知点，点（k，m，，e是自然对数的底），当时，的最大值为，求的最小值．
【答案】(1)的最小值为；的最小值为
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意，由曼哈顿距离的定义，代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，由曼哈顿距离的定义即可得到，从而得到的最大值；
（3）根据题意，令，然后分别构造函数，即可得到，从而得到结果.
【详解】（1），
则，即的最小值为；
，
则，即的最小值为.
（2）当时，，
点为直线上一动点，
则当时，
即；
当时，，
即；
所以，又当时，，
当时，，
所以的最大值为.
（3）令，则，，
，
令，则在区间内成立，
则在区间内单调递增，则，
令，则在区间内成立，
则在区间内单调递减，则，
所以，
所以，
当且时，取最小值，
的最小值
【点睛】关键点睛：本题主要考查了新概念问题，难度较大，解答问题的关键在于理解题中曼哈顿距离的定义，然后转化为所学知识求解问题.
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