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3.1.2　函数的单调性
第1课时　单调性的定义与证明、函数的最值
一、选择题
1.下列函数中在(-∞, 0)上为减函数的是 (　 )
A.y=- B.y=2x+1
C.y=x2 D.y=x0
2.已知四个函数的图象如图所示,其中在定义域内具有单调性的函数是 (　 )
A B C D
3.函数y=|x+2|在区间[-3,0]上 (　 )
A.单调递减 B.单调递增
C.先减后增 D.先增后减
★4.若f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,则不等式f(x)>f[8(x-2)]的解集是 (　 )
A.(0,+∞) B.(0,2)
C.(2,+∞) D.
★5.已知函数f(x)=是R上的增函数,则实数a的取值范围是 (　 )
A.[-3,0) B.[-3,-2]
C.(-∞,-2] D.(-∞,0)
6.设函数f(x)=min{x2-1,x+1,-x+5},其中min{x,y,z}表示x,y,z中的最小者,则y=f(x)的最大值为 (　 )
A.2 B.3
C.4 D.5
7.已知函数f(x)=g(x)=kx+5-2k(k>0),若对任意的x1∈[-1,1],总存在x2∈[-1,1],使得f(x1)≤g(x2)成立,则实数k的取值范围为 (　 )
A. B.(0,+∞)
C.(0,2] D.(2,+∞)
8.(多选题)设c<0,f(x)是区间[a,b]上的减函数,则下列结论中正确的是 (　 )
A.f(x)在[a,b]上有最小值f(a)
B.在[a,b]上有最小值f(a)
C.f(x)-c在[a,b]上有最小值f(b)-c
D.cf(x)在[a,b]上有最小值cf(a)
9.(多选题)已知函数f(x)=的最小值为f(1),则a的可能取值是 (　 )
A.1 B.3
C.5 D.7
二、填空题
10.函数f(x)=在区间(6,+∞)上　　　　　　.(填“单调递增”或“单调递减”)
11.已知函数f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数,且f(2x-3)>f(5x-6),则x的取值范围为　　　　.
12.用min{a,b}表示a,b两个数中的最小值.设f(x)=min{x+2,10-x}(x≥0),则f(x)的单调递增区间是　　　　,最大值为　　　　.
三、解答题
13.已知函数f(x)=x+.
(1)证明:函数f(x)在[2,+∞)上是增函数;
(2)求f(x)在[4,8]上的取值范围.
14.已知定义在R上的函数f(x)满足:①对任意x,y∈R,f(x+y)=f(x)+f(y)-1;②当x>0时,f(x)>1;③f(1)=3.
(1)求f(0),判断并证明f(x)的单调性;
(2)若对任意的x∈R,关于x的不等式f(ax2)+f(2x)<6恒成立,求实数a的取值范围.
15.已知函数f(x)=若对任意给定的不等实数x1,x2,不等式(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]>0恒成立,则实数a的取值范围是 (　 )
A. B.
C. D.
16.设函数f(x)的定义域是(0,+∞),且对任意的正实数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y)恒成立,已知f(2)=1,且当x>1时,f(x)>0.
(1)求f的值;
(2)判断函数f(x)在(0,+∞)上的单调性,并给出你的证明;
(3)解不等式f(x2)>f(8x-6)-1.
3.1.2　函数的单调性
第1课时　单调性的定义与证明、函数的最值
1.C　[解析] 对于A,函数y=-在区间(-∞,0)上是增函数,故A不正确;对于B,函数y=2x+1在区间(-∞,0)上是增函数,故B不正确;对于C,函数y=x2在(-∞,0)上是减函数,故C正确;对于D,函数y=x0=1为常函数,故D不正确.故选C.
2.B　[解析] 由题图可知,选项B对应的函数是定义域上的增函数,选项A,C,D对应的函数在定义域上不具有单调性.故选B.
3.C　[解析] 作出y=|x+2|的图象,如图所示,易知函数y=|x+2|在[-3,-2]上单调递减,在[-2,0]上单调递增.故选C.
4.D　[解析] 由题意得解得2[易错点] 此类问题易忽略定义域的使用,即忽略了“x>0”和“8(x-2)>0”两个不等式.
5.B　[解析] 因为函数f(x)=是R上的增函数,所以解得-3≤a≤-2.故实数a的取值范围是[-3,-2],故选B.
[易错点] 此类问题为分段函数单调性,易忽略两段接头函数值的大小比较.
6.B　[解析] 令即解得x≥2,故当x≥2时,f(x)=-x+5;令即
解得x≤-1或x=2,故当x≤-1时,f(x)=x+1;令即解得-1≤x≤2,故当-1≤x≤2时,f(x)=x2-1.综上,f(x)=其大致图象如图所示,由图知y=f(x)的最大值为3.故选B.
7.C　[解析] 当x∈[-1,0)时,f(x)单调递减,f(x)的取值范围为(2,3];当x∈[0,1]时,f(x)单调递减,f(x)的取值范围为[2,3].故当x∈[-1,1]时,f(x)的取值范围为[2,3],则f(x)在[-1,1]上的最大值为3.而g(x)=kx+5-2k(k>0),当x∈[-1,1]时,g(x)单调递增,∴g(x)在[-1,1]上的最大值为g(1)=k+5-2k=5-k,∴3≤5-k,可得08.CD　[解析] 对于A,因为f(x)是区间[a,b]上的减函数,所以f(x)在[a,b]上有最小值f(b),故A错误;对于B,函数在[a,b]上的单调性无法确定,其最小值也无法确定,故B错误;对于C,因为f(x)是区间[a,b]上的减函数,所以f(x)-c在[a,b]上也是减函数,故f(x)-c在[a,b]上有最小值f(b)-c,故C正确;对于D,因为f(x)是区间[a,b]上的减函数,且c<0,所以cf(x)在[a,b]上是增函数,所以cf(x)在[a,b]上有最小值cf(a),故D正确.故选CD.
9.AB　[解析] 函数y=x+-3a在(1,3)上单调递减,在(3,+∞)上单调递增.当x>1时,函数f(x)的最小值为f(3)=6-3a.函数y=x2-2ax+2=(x-a)2+2-a2的图象的对称轴方程为x=a.若a≥1,函数y=x2-2ax+2在(-∞,1]上单调递减,f(1)=3-2a,因为函数f(x)的最小值为f(1),所以f(3)≥f(1),即6-3a≥3-2a,解得a≤3,故1≤a≤3;若a<1,当x≤1时,函数f(x)的最小值为f(a)=2-a2,不满足题意.综上所述,选项A,B满足题意,C,D不满足题意.故选AB.
10.单调递减　[解析] f(x)===1+,设x1,x2∈(6,+∞),且x1x1>6,所以(x1-6)(x2-6)>0,x2-x1>0,所以>0,即f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),所以f(x)在(6,+∞)上单调递减.
11.　[解析] 由题意可知解得x>,所以x的取值范围为.
12.[0,4]　6　[解析] 在同一平面直角坐标系内画出函数y=x+2和y=10-x的图象,如图所示.由题知,f(x)=所以函数f(x)的图象为图中的实线部分.由图知函数f(x)的单调递增区间是[0,4],最大值为6.
13.解:(1)证明:任取x1,x2∈[2,+∞),且x14,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)(2)由(1)可知f(x)在[4,8]上是增函数,因为f(4)=4+1=5,f(8)=8+=,所以f(x)在[4,8]上的取值范围为.
14.解:(1)令x=y=0,得f(0)=f(0)+f(0)-1,解得f(0)=1.f(x)在R上单调递增,证明如下:任取x10,则f(x2)-f(x1)=f(x2-x1+x1)-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)=f(x2-x1)-1,因为当x>0时,f(x)>1,所以当x10,即f(x2)>f(x1),所以f(x)在R上单调递增.
(2)令x=y=1,得f(2)=f(1)+f(1)-1=5,因为f(x+y)=f(x)+f(y)-1,所以f(x+y)+1=f(x)+f(y),不等式f(ax2)+f(2x)<6等价于f(ax2)+f(2x)=f(ax2+2x)+1<6,即f(ax2+2x)<5=f(2),因为f(x)在R上单调递增,所以ax2+2x-2<0恒成立.
①当a=0时,2x-2<0,解得x<1,不等式在R上不恒成立;
②当a≠0时,可得解得a<-.
综上可得,实数a的取值范围是.
15.D　[解析] 因为(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]>0恒成立,所以函数f(x)为增函数,所以解得≤a<2.故选D.
16.解:(1)函数f(x)对任意的正实数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y)恒成立.令x=y=1,可得f(1)=f(1)+f(1),解得f(1)=0;令x=2,y=,可得f(1)=f(2)+f,即1+f=0,解得f=-1.
(2)函数f(x)在(0,+∞)上为增函数.证明如下:设x1,x2∈(0,+∞)且x11时,f(x)>0,且>1,所以f>0,即f(x2)-f(x1)>0,即f(x2)>f(x1),所以函数f(x)在(0,+∞)上为增函数.
(3)由题意和(1)可得f(8x-6)-1=f(8x-6)+f=f=f(4x-3),所以不等式f(x2)>f(8x-6)-1,即f(x2)>f(4x-3).因为f(x)在(0,+∞)上为增函数,所以解得3.故不等式f(x2)>f(8x-6)-1的解集为.3.1.2　函数的单调性
第2课时　函数的平均变化率
一、选择题
1.已知A(-2,3),B(3,-2),C三点在同一条直线上,则m= (　 )
A. B.-
C.-2 D.2
★2.定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a,b,总有>0成立,则 (　 )
A.f(x)在R上是增函数
B.f(x)在R上是减函数
C.f(x)在R上先单调递增后单调递减
D.f(x)在R上先单调递减后单调递增
3.将函数f(x)=2x,g(x)=x2在[0,2]上的平均变化率分别记为m1,m2,则 (　 )
A.m1=m2 B.m1>m2
C.m2>m1 D.m1,m2的大小无法确定
4.在函数y=x2+2的图象上取一点(1,3)及附近一点(1+Δx,3+Δy),则等于 (　 )
A.Δx++2 B.Δx--2
C.Δx+2 D.2+Δx-
5.某物体沿水平方向运动,其前进距离s(t)(米)与时间t(秒)的关系为s(t)=5t+2t2,则该物体在前2秒运动的平均速度(单位:米/秒)为 (　 )
A.18 B.13
C.9 D.
6.若一射线OP从OA处开始,绕O点匀速逆时针旋转(到OB处为止),所扫过的图形内部的面积S是时间t的函数,S(t)的图象如图所示,则下列图形中,符合要求的是 (　 )
A B C D
7.若函数f(x)=x2由x=1至x=1+Δx的平均变化率的取值范围是(2,2.025),则Δx的取值范围为 (　 )
A.(2,2.025) B.(0,2.025)
C.(0,0.025) D.(0.025,2)
8.(多选题)[2023·江西余干黄金埠中学高一期中] 为满足人们对美好生活的向往,环保部门要求相关企业加强污水治理,排放未达标的企业要限期整改.设企业的污水排放量W与时间t的关系为W=f(t),用-的大小评价在[a,b]这段时间内企业污水治理能力的强弱.已知整改期内,甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示,则下列结论中正确的有 (　 )
A.在[t1,t2]这段时间内,甲企业的污水治理能力比乙企业强
B.在t2时刻,甲企业的污水治理能力比乙企业强
C.在t3时刻,甲、乙两企业的污水排放都已达标
D.甲企业在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]这三段时间中,在[0,t1]的污水治理能力最强
9.(多选题)下列函数中满足“对任意x1,x2∈(0,+∞),都有>0”的是 (　 )
A.f(x)=- 　　B.f(x)=3x-1
C.f(x)=x2-4x-3 　　D.f(x)=x-
二、填空题
10.已知曲线y=x2-1上两点A(2,3),B(2+Δx,3+Δy),当Δx=1时,直线AB的斜率是　　　　;当Δx=0.1时,直线AB的斜率是　　　　.
11.定义在R上的函数f(x)对任意两个不等实数a,b,总有>0成立,且f(-3)=2,f(-1)=4,则f(x)在[-3,-1]上的最大值是　　　　.
12.汽车行驶的路程s和时间t之间的关系如图所示,汽车在时间段[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]上的平均速度分别为,,,则三者的大小关系为　　　　　　.(由大到小排列)
三、解答题
13.已知函数f(x)=3x2+2,求函数f(x)在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率,并求当x0=2,Δx=0.1时平均变化率的值.
14.已知函数f(x)=+x,x∈[3,5].
(1)判断函数f(x)的单调性,并利用平均变化率的方法证明;
(2)求函数f(x)的最大值和最小值.
15.定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足<0,且f(2)=4,则不等式f(x)-2x>0的解集为 (　 )
A.(2,+∞) B.(0,2)
C. D.
16.已知函数f(x)=,x∈[1,+∞).
(1)当a=时,求函数f(x)的最小值;
(2)若对任意的x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立,求实数a的取值范围.
第2课时　函数的平均变化率
1.A　[解析] 因为A,B,C三点在同一条直线上,且-2≠3≠,所以直线AB,AC的斜率都存在,且kAB=kAC,因为kAB==-1,kAC=,所以=-1,解得m=.故选A.
2.A　[解析] 由题得对任意a,b∈R,且a≠b,有=>0,所以f(x)在R上是增函数.故选A.
[方法] 函数在给定区间上的平均变化率是判断函数单调性的重要方法之一,若平均变化率大于零,则函数是增函数,若平均变化率小于零,则函数是减函数.
3.A　[解析] 由题得m1==2,m2==2,故m1=m2.故选A.
4.C　[解析] 由已知得==2+Δx.故选C.
5.C　[解析] 根据题意,物体前进距离s(t)与时间t的关系为s(t)=5t+2t2,则s(0)=0,s(2)=10+8=18,则该物体在前2秒运动的平均速度为===9(米/秒),故选C.
6.D　[解析] 选项A中,OP扫过的圆内面积在开始时段增加缓慢,中间增速最快,后面时段增速越来越慢,不符合题意;选项B中,OP扫过的圆内面积是匀速变化的,不符合题意;选项C中,OP扫过的正方形内面积在开始时段增加缓慢,中间增速最快,后面时段增速越来越慢,不符合题意;选项D中, OP扫过的三角形内面积在开始时段的增速和最后时段的增速比中间时段的增速快,选项D符合题意.故选D.
7.C　[解析] 由题得Δy=f(1+Δx)-f(1)=(Δx+1)2-12=(Δx)2+2Δx,∴函数f(x)=x2由x=1至x=1+Δx的平均变化率=Δx+2,∵=Δx+2∈(2,2.025),∴Δx∈(0,0.025).
8.ABC　[解析] 由题图可知甲企业的污水排放量在t1时刻高于乙企业,而在t2时刻甲、乙两企业的污水排放量相同,故在[t1,t2]这段时间内,甲企业的污水治理能力比乙企业强,故A正确;由题图知在t2时刻,甲企业在该点的切线斜率的绝对值大于乙企业的,故B正确;在t3时刻,甲、乙两企业的污水排放量都低于污水达标排放量,故都已达标,故C正确;由题意可知,甲企业在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]这三段时间中,在[0,t1]时的污水治理能力明显低于[t1,t2]时的,故D错误.故选ABC.
9.ABD　[解析] 因为对任意x1,x2∈(0,+∞),都有>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增.对于A,易知f(x)=-在(0,+∞)上单调递增,故A正确;对于B,f(x)=3x-1在R上单调递增,故B正确;对于C,f(x)=x2-4x-3的图象开口向上,对称轴方程为x=2,所以f(x)在(-∞,2]上单调递减,在[2,+∞)上单调递增,故C错误;对于D,因为y=x在(0,+∞)上单调递增,y=-在(0,+∞)上单调递增,所以f(x)=x-在(0,+∞)上单调递增,故D正确.故选ABD.
10.5　4.1　[解析] 当Δx=1时,直线AB的斜率k1====5.当Δx=0.1时,直线AB的斜率k2===4.1.
11.4　[解析] 由题意可知函数f(x)在R上为增函数,则f(x)在[-3,-1]上的最大值是f(-1)=4.
12.>>　[解析] 连接OA,AB,BC.根据题意,汽车在时间段[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]上的平均速度分别为,,,即直线OA,AB,BC的斜率.由题得kBC>kAB>kOA,则>>.
13.解:∵f(x)=3x2+2,∴f(x0)=3+2,f(x0+Δx)=3(x0+Δx)2+2=3+6x0Δx+3(Δx)2+2,则f(x0+Δx)-f(x0)=6x0Δx+3(Δx)2,故f(x)在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率为==6x0+3Δx,则当x0=2,Δx=0.1时,平均变化率为6×2+3×0.1=12.3.
14.解:(1)f(x)为增函数.证明如下:任取x1,x2∈[3,5],且x1≠x2,则==,∵x1,x2∈[3,5],∴x1x2>0,x1x2-1>0,∴>0,∴函数f(x)为增函数.
(2)由(1)知函数f(x)为增函数,∴f(x)max=f(5)=,f(x)min=f(3)=.
15.B　[解析] 任取x1,x2∈(0,+∞),且x1>x2,设g(x)=,因为<0,所以x2f(x1)-x1f(x2)<0,所以g(x1)-g(x2)=-=<0,所以g(x)=在(0,+∞)上单调递减.不等式f(x)-2x>0即为>2,因为g(2)==2,所以原不等式等价于g(x)>g(2).因为g(x)=在(0,+∞)上单调递减,所以00的解集为(0,2).故选B.
16.解:(1)当a=时,f(x)==x++2.任取x1,x2∈[1,+∞),且x1≠x2,则==1-.因为x1≠x2,且x1≥1,x2≥1,所以x1x2>1,所以1->0,所以>0,即函数f(x)在[1,+∞)上是增函数,所以函数f(x)在[1,+∞)上的最小值为f(1)=1++2=.
(2)因为f(x)=>0在[1,+∞)上恒成立,所以x2+2x+a>0在[1,+∞)上恒成立.记y=x2+2x+a,x∈[1,+∞),则y=(x+1)2+a-1在[1,+∞)上单调递增,故当x=1时,y取得最小值,最小值为3+a.所以当3+a>0,即a>-3时,f(x)>0恒成立,所以实数a的取值范围为(-3,+∞).

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