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第二十二章 二次函数的最值问题 专项练
2024--2025学年上学期初中数学人教版九年级上册
1．如图，直线与轴、轴分别交于两点，抛物线经过点，与轴另一交点为，顶点为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在轴上找一点，使的值最小，求的最小值；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．
2．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，与轴负半轴交于点，长度为的线段在直线上滑动，以为对角线作正方形．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当正方形与抛物线有公共点时，求点横坐标的取值范围；
(3)连接，，直接写出的最小值．
3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为点，且与轴的正半轴交于点．

（1）连接，，则为 三角形；
（2）点为该抛物线对称轴上一点，当取最小值时， ．
4．已知抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点，顶点为．

(1)求此抛物线的解析式；
(2)如图1，点P为抛物线对称轴（直线l）上的动点，求当取得最小值时点P的坐标；
(3)如图2，在第一象限内，抛物线上有一动点M，求面积的最大值．
5．已知二次函数（，为常数）的图象经过点，
(1)求二次函数的表达式；
(2)当时，求二次函数的最大值；
(3)当时，二次函数的最大值与最小值的和为，求的值．
6．已知抛物线经过点，与轴交于点，顶点在直线上．如图1，若点的坐标为，点的横坐标为1．
(1)试确定抛物线的解析式；
(2)若当时，的最小值为2，最大值为11，请求出的取值范围；
(3)已知：点在抛物线上，点的坐标为，且，请直接写出符合题意的点的坐标．
7．如图所示抛物线过点，点，且
（1）求抛物线的解析式及其对称轴；
（2）点在直线上的两个动点，且，点在点的上方，求四边形的周长的最小值；
（3）点为抛物线上一点，连接，直线把四边形的面积分为3∶5两部分，求点的坐标.
8．如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点．
(1)求抛物线的解析式．
(2)点D在抛物线的对称轴上，当取得最小值时，求此时点D的坐标．
(3)点P是直线上方抛物线上一动点，连接、，求的面积的最大值，并求此时点P的坐标．
9．已知抛物线与y轴交于点，顶点为，过点直线与抛物线交于D，E两点（点D在点E的左侧）．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求面积的最小值；
(3)若D，E两点都在第四象限，过点D作直线的垂线，垂足为F，直线与直线交于点G，连接，求证：四边形是平行四边形．
10．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且．

(1)求这个二次函数的解析式；
(2)若点M是线段下方抛物线上的一个动点（不与点B，点C重合），过点M作直线轴于点D，交线段于点N．是否存在点M使得线段的长度最大，若存在，求线段长度的最大值，若不存在，请说明理由；
(3)当二次函数的自变量x满足时，此函数的最大值与最小值的差为2，求出t的值．
参考答案：
1．（1）；（2）；（3）（1，2＋2）或（1， 2 2）．
解：（1）直线与轴、轴分别交于两点，则点的坐标分别为，
将点的坐标代入二次函数表达式得：，解得：，
故函数的表达式为：，
令，则或3，故点；
（2）如图1，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则此时为最小，
函数顶点坐标为，点，
将的坐标代入一次函数表达式并解得：
直线的表达式为：，
当时， ，
故点；
（3）①当点在轴上方时，如下图2，
∵，则，
过点作，设，
则，
由勾股定理得：，
，解得：m2＝8＋4，
则PB2＝2m2＝16＋8
则yP＝
∴P（1，）；
②当点P在x轴下方时，
则yP＝ （2＋2）；
故点P的坐标为（1，2＋2）或（1， 2 2）．
2．(1)
(2)
(3)5
（1）解：在中，令得，令得，
，，
把，代入得：
，
解得：，
抛物线的解析式为；
（2）解：，四边形是正方形，
，
设，则；
当正方形与抛物线有唯一公共点时，如图：
把代入得：
，
解得或在左侧，舍去；
此时；
当正方形与抛物线有唯一公共点时，如图：
把代入得：
，
解得：或与重合，舍去，
此时；
由图可知，当时，正方形与抛物线有公共点；
当正方形与抛物线有公共点时，点横坐标的取值范围是；
（3）解：在中，令得：，
解得：或，
；
设，则，
，
，
，
当最小时，取最小值，
而可看作轴上的点到点和点的距离之和，如图：
当，，共线时，取最小值，最小值为的长，
，
的最小值为，
，
的最小值为．
3． 等边 2
解：连接，作于，于，如图，
当时，，
解得，，则，，
，则，，
，
而，
，
为等边三角形，
，
，
垂直平分，
，
，
当、、共线时，的值最小，最小值为的长，
而，
则，此时，
∴，
∴，
∴，
故答案为：等边；2．

4．(1)；
(2)点P的坐标为；
(3)面积的最大值为．
（1）解：设抛物线的解析式为，
∵经过点，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：令，则，
解得或，
∴，，
设点P的坐标为，
当时，，
当时，，
∴当时，取得最小值，
此时，即，
解得，
∴点P的坐标为；
（3）解：连接，如图，

设，
∴
，
∵，
∴面积的最大值为．
5．(1)；
(2)最大值为2；
(3)或
（1）解：把，代入，得：，
解得：，
∴二次函数的表达式为；
（2）解：∵，
∴抛物线的顶点坐标为，
∵，
∴抛物线开口向下，
又∵，
∴当时，有最大值为2；
（3）解：由（2）得：抛物线的对称轴为直线，
∴当时，随的增大而减小；
当时，随的增大而增大，
①当时，
当时，有最小值为，
当时，有最大值为，
∴，
∴或（舍去）．
②当时，
当时，有最大值为，
∵的最大值与最小值之和为，
∴最小值为，
∴，
∴或（舍去）．
综上所述，或．
6．(1)
(2)
(3)或
（1）依题意，，
解得．
将及点的坐标代入抛物线解析式得
解得．
所以抛物线的解析式为．
（2）由知，．
∴点关于对称轴的对称点的坐标为．
∵当时，的最小值为2，最大值为11，
∴；
（3）由点A、N的坐标知，点A、N关于对称轴对称，则轴，
当点M在直线上方时，
设直线的解析式为，
把点的坐标代入得，
，
解得，
∴的解析式为，
∵，
∴与的交点在对称轴上，
∴当时，，
∴与的交点坐标为，
设直线的解析式为，
把分别代入得，
解得，
则直线的解析式为，
联立和并解得：
（不合题意，舍去），
∴M的坐标为；
当点M在直线下方时，
∵，
∴,
设直线的表达式为：，
当时，，解得，，
∴直线的表达式为：，
联立和并解得：
（不合题意，舍去），
∴M的坐标为；
综上，点M的坐标为：或；
7．（1），对称轴为直线；（2）四边形的周长最小值为；（3）
（1）∵OB=OC，∴点B（3，0），
则抛物线的表达式为：y=a（x+1）（x-3）=a（x2-2x-3）=ax2-2ax-3a，
故-3a=3，解得：a=-1，
故抛物线的表达式为：y=-x2+2x+3…①；
对称轴为：直线
（2）ACDE的周长=AC+DE+CD+AE，其中AC=、DE=1是常数，
故CD+AE最小时，周长最小，
取点C关于函数对称点C（2，3），则CD=C′D，
取点A′（-1，1），则A′D=AE，
故：CD+AE=A′D+DC′，则当A′、D、C′三点共线时，CD+AE=A′D+DC′最小，周长也最小，
四边形ACDE的周长的最小值=AC+DE+CD+AE=+1+A′D+DC′=+1+A′C′=+1+；
（3）如图，设直线CP交x轴于点E，
直线CP把四边形CBPA的面积分为3：5两部分，
又∵S△PCB：S△PCA=EB×（yC-yP）：AE×（yC-yP）=BE：AE，
则BE：AE，=3：5或5：3，
则AE=或，
即：点E的坐标为（，0）或（，0），
将点E、C的坐标代入一次函数表达式：y=kx+3，
解得：k=-6或-2，
故直线CP的表达式为：y=-2x+3或y=-6x+3…②
联立①②并解得：x=4或8（不合题意值已舍去），
故点P的坐标为（4，-5）或（8，-45）．
8．(1)
(2)
(3)4；
（1）∵抛物线过点
设抛物线解析式为，
故，
解得，
故抛物线的解析式为．
（2）∵抛物线，
∴对称轴为直线，
设直线的解析式为：，
将，代入直线的解析式得：
解得，
直线的解析式为：，
∵A，B是对称点，连接，交对称轴于点D，此时取得最小值，
当时，
，
故．
（3）如图，过点作轴的平行线，交于，
设，则，
则，，
∴
，由此可得，
当，最大为4，
当时，，
∴．
9．(1)
(2)8
(3)见解析
（1）解：∵抛物线的顶点为，
∴，
将代入，可得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）设过点的直线为，
将代入可得：，即：，
∴，
联立抛物线可得：，
整理得：，
点，点为直线与的交点，则方程的解为两点的横坐标，，
∴，，
∵，，
∴轴，
则，
要使得最小，即最小即可，
，
∵，
∴，
∴的最小值为：，
即：面积的最小值为．
（3）证明：∵，则点在直线上，
则，由题意可知：，则，
∵轴，则，
∴，则，
由（2）可知，为方程的解，
∴，，
则，，
，
设直线为，将，，代入可得，即，
∴当时，，
即：点的纵坐标，
∴，
即：
，
则，
又∵，
∴四边形是平行四边形．
10．(1)
(2)存在点M使得线段的长度最大，最大值是
(3)或
（1）解：，
点A、B的坐标分别为，
将点A、B的坐标代入函数表达式，
，解得：
抛物线的表达式为；
（2）当时，，
点C的坐标为，
设直线的关系式为，将代入，
，解得
直线的关系式为，
设，则，
当时，线段长度有最大值，
存在点M使得线段MN的长度最大，最大值是；
（3），
，
二次函数的顶点坐标是，
当时，，当时，，
当时，即，此时函数的最小值是，函数的最大值，
，
解得：；
当时，此时函数的最小值是，函数的最大值，
，
解得：；
当，函数的最小值是，函数的最大值，
，
解得：（舍去）或（舍去）；
当时，函数的最小值是，函数的最大值，
，
解得：（舍去）或（舍去）；
综上所述：或．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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