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(共54张PPT)
平衡位置
所在位置
x0
在平衡位置时：
mg
kx0
x
mg
k(x0+x)
在距平衡位置x处时：
则该振动系统做简谐运动,且周期为
振动系统1
竖直面内振动的弹簧振子
mg
T
F回
当θ角很小时
O
B
则有
l
振动系统2
单摆
如图所示，劲度系数为k的弹簧一端固定，另一端与质量为m的物体a相连，当弹簧处于自然长度时，将a无初速地放置在匀速运动（速度很大）的足够长的水平传送带上，弹簧轴线保持水平，设A与传送带间动摩擦因数为μ，试说明A将做什么运动？
在平衡位置时：
a
平衡位置
A
x
在距平衡位置x处时：
振动系统3
a
该振动系统做简谐运动,且周期为
v
a
　　　　　 如图所示，密度为ρ的液体注入一弯折细管中，弯折管之两段与水平面的交角为α、β，液柱总长为l．若对液体平衡状态加一扰动，则管中液柱即开始往复振动，求证：其属简谐运动并求振动周期．毛细管作用及摩擦忽略不计．
x
0
该液片在平衡位置时：
h0
取管之底端一截面积为s的液片
若液柱向右侧振动,液片在平衡位置右侧x时：
x
x
专题12-例2
x
L
R
A
B
Ｏ
d
F
F回
可知小球在隧道中做简谐运动!
小球过平衡位置时速度最大,为:
r
　　　　　 如图所示，设想在地球表面的A、B两地之间开凿一直通隧道，在A处放置一小球，小球在地球引力的作用下从静止开始在隧道内运动，忽略一切摩擦阻力．试求小球的最大速度，以及小球从A到B所需时间．已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，A和B之间的直线距离为L，地球内部质量密度设为均匀，不考虑地球自转．
专题12-例3
FB
FA
A
B
O
R
r
x
质点在平衡位置O时：
质点在距平衡位置x的某位置时：
　　　　　 力心A、B相距l，一质量为m的质点受与距离平方反比的有心斥力作用而平衡于两点连线上的O点，若将质点稍稍偏离平衡位置，试确定其运动情况．
专题12-例5
≈
在振动的某一位置，甲摆线偏离竖直方向一小角度θ时，乙摆线仍为竖直
乙甲
Mg
F回
由简谐振动周期公式：
M+m
如图所示，甲、乙二摆球质量分别为M、m，以不计质量的硬杆将二摆球连接在一起，甲球摆长为l，乙球摆线很长，两球在同一水平面上静止．现使之做小振幅的摆动，它的周期是 ．
框架处于静止 ,受力如图:
Mg
A
B
C
mg
f
对C点必有:
x
对松鼠有:
可知松鼠做谐振且有:
三根长度均为l＝2.00 m，质量均匀的直杆，构成一正三角形框架ABC，Ｃ点悬挂在一光滑水平转轴上，整个框架可绕转轴转动，杆AB是一导轨，一电动玩具松鼠可在导轨上运动，如图所示．现观察到松鼠正在导轨上运动而框架却静止不动，试论证松鼠的运动是一种什么样的运动并作描述．
当重物位置在距铰接点l时 ,系统处于平衡时,若弹簧形变量为x0受力如图:
Ｌ
l
kx0
mg
振动中重物有一对平衡位置位移x时,重物受力如图:
x
mg
FN
轻杆受力如图:
对轻杆有
对重物有
长度为Ｌ的轻铁杆，一端固定在理想的铰链上，另一端搁在劲度系数为k的弹簧上，如图．试确定铁杆小振动周期与质量为m的重物在杆上的位置之关系．
木板处于平衡位置时,受力如图
mg
l
F右
F左
f
若木板有一位移-重心向右轮移过x时
O
x
F右
F左
f
mg
如图，质量为m 的均匀长木板水平地置于两个匀速反向转动的轮上．设轮与木板间摩擦因数为μ，两轮间距离l，平衡时长木板重心在l/2处．若将木板稍稍拉过一小段后放手，则木板将在轮上做往复振动，这种振动是简谐运动吗？若是，求其周期．
x
⑴若左轮不光滑且顺时针转动,
l
O
kx0
x0
板在平衡位置时有
mg
F左
设再向右有一小位移x时
此时
如图，质量为m的均匀木板对称地放在两个滚柱上，两滚柱轴线间的距离为l，其中一个滚柱和板之间摩擦因数为μ，而在另一个滚柱上，板可无摩擦地滑动．用一劲度系数为k的弹簧将板连接在竖直墙壁上，当板处于平衡位置时，使不光滑的滚柱快速旋转起来．问摩擦因数μ为多大，木板相对平衡位置有了位移后可做简谐运动？振动的圆频率是多少？
⑵若左轮不光滑且逆时针转动,
l
O
x
kx0
x0
板在平衡位置时有
mg
F左
设再向左有一小位移x时
此时
右轮不光滑且逆时针转动同⑴
右轮不光滑且顺时针转动同⑵
质点P以角速度ω沿半径为R的圆轨道做匀速圆周运动，试证明：质点P 在某直径上的投影的运动为简谐运动．
x
R
Fn
P所受向心力Fn
P
P的投影运动所受回复力Fx
Fx
令为k
O
x
y
∴简谐运动的周期公式为
∵参考圆运动的周期
简谐运动的速度公式为
简谐运动的位移公式为
A
O
x
y
x
ωA
P
v
v
P
ωA
根据题给条件，物体振动方程为
⑴
⑵
得
⑷
⑶
质量为10 g的物体做简谐运动，振幅为24 cm，周期为4 s；当t＝０时坐标为+24 cm.试求⑴当t＝0.5 s时物体的位置．⑵当t＝0.5 s时作用在物体上力的大小和方向．⑶物体从初位置到x＝-12 cm处所需的最短时间．⑷当x＝－12 cm时物体的速度．
⑴作如图所示谐振参考圆，由图得
v
8
6
10
O
x
⑵
⑶路程末端小物体回复力由最大静摩擦力提供：
一物体在水平面上做简谐运动，振幅为10 cm，当物体离开平衡位置6 cm 时，速度为24 cm/s．
⑴问周期是多少？⑵当速度为±12 cm/s时，位移是多少？
⑶如果在振动的物体上加一小物体，当运动到路程的末端时，小物体相对于物块刚要开始滑动，求它们之间的摩擦因数？
⑴确定摆球振动的平衡位置；
⑵确定摆在此位置时摆线上的力FT；
⑶等效的重力加速度
由理想单摆周期公式
，通常可由三条途径确定T：
．
★确定等效悬点及摆长
⑴联结两悬点的直线为转轴；
⑵摆球所受重力作用线反向延长与转轴交点为首选等效悬点；
⑶取首选等效悬点与摆球间的距离为等效摆长
★确定等效的重力加速度
．
★确定等效的圆频率
⑴确定摆球振动中的机械能守恒关系
⑵比对异形摆的能量关系式与标准单摆的能量关系式
⑶在同一参考圆下提取等效的角速度
示例
示例
示例
若单摆在加速度竖直向上的电梯中做小幅振动，在振动的“平衡位置”
a
mg
FT
则
若单摆在加速度水平向左的车厢中做小幅振动，
a
在振动的“平衡位置”
mg
FT
ma
则
振动系统4
mg
qE
FT
E
带正电摆球在水平向右的电场中做小幅振动
在振动的“平衡位置”
则
振动系统5
φ
mg
FT
ma
a
则
如图所示，摆线长为l的单摆悬于架上，架固定于小车．使小车沿倾角为的斜面以加速度a做匀加速运动，求此时单摆振动的周期．
专题12-例5
某栋高层大楼的电梯服务员是位一丝不苟的人，他为按时结束一天的工作，把一台准确的摆钟挂在电梯的壁上．电梯向上加速和向下加速的时间相同，加速度大小也相同．试问电梯服务员是按时结束工作，还是超时或提早了呢？
向上加速的电梯中，摆的等效
而加速下降电梯中，摆的等效
规律
因加速，上升过程钟面时间t比客观时间t0长，
下降过程钟面时间t比客观时间t0少，
每上下一次，钟面读数与客观时间相差
说明每上下一次，钟面指示时间比实际时间少，
以此钟指示时间为据此人 工作了．
返回
t
0
正
误
不准钟当其钟面读数时间为t时，客观时间为t0．
t＞t0，钟走快；
t＜t0，钟走慢．
摆式钟的特点　 1.振动次数相同，则钟面读数变化相同
　　　　　　　 2.标准钟钟面读数与客观时间一致
不准钟钟面读数与客观时间不一致
　　　　　　　 3.T大钟慢，T小钟快
设标准钟摆的周期为T0，不准钟摆的周期为T．如图，当两钟从同一初始读数开始走时，分别出现读数t时
标准钟是在与钟面读数一致的时间t内走成这样的：
根据特点1，有　
．
不准钟是在客观时间t0(t0≠t)内走成这样的：
t
0
返回
l
l
mg
振动系统6
如图，小铁球用长度为l的细线AC、BC悬挂，两线与A、B连线的夹角均为α，AC恰好水平．球由于受到扰动，垂直于纸面向外略微偏离平衡位置，然后小球来回振动，求小球振动的周期．
A
C
B
如图所示， 光滑的细杆组成夹角为α的人字架．一根长度为l的轻线套在架子上，线的两端共系一个重球C，架竖直放置，试求重球在人字架平面内做小振动的周期．
专题12-例6
B
A
C
O
α
T
β
α
α
β
T
振动是在线拉力与重力之合力作用下发生的,若证得振动中线拉力之合力始终通过O点,即可与单摆等效!
O
A
B
D
C
专题12-例7
l1
C
A
B
a
b
l2
mg
O
x
由几何关系得C到AB的距离
等效摆长为
秋千周期为
如图所示，秋千的一根绳子的固定点A比另一根绳固定点B高b，秋千两根支架相距为a，两根绳子长度分别是l1和l2，并且 ．试求人坐在这样的秋千上小摇荡的周期．（人的大小与上述长度相比可忽略不计）
一端带有重物的轻硬杆，另一端用铰链固定在墙上A点，杆可以向各个方向转动，如图所示．一根长度为l的不可伸长的线沿竖直方向系在杆的中点，以保持杆处于水平位置．使重物具有垂直图面方向的动量，试求系统小振动的周期 T．
A
B
l
l
l
mg
如图是一种记录地震的仪器——倾斜摆的示意图.摆球m固定在边长为l、质量可忽略的等边三角形框架ABC上，可绕AB杆摆动，AB杆和竖直墙夹角为α.求摆球做微小摆动的周期.
A
B
C
α
m
l
l
mg
返回
专题12-例8
未放凹形滑块的单摆，是以圆频率
设带凹形滑块的异形摆圆频率为
,有
则
谐振,满足
比较两式得
如图，摆球质量为m，凹形滑块质量为M，摆长为l．m与M、M与水平面之间光滑，令摆线偏转很小角度后，从静止释放，求系统的振动周期T．
专题12-例9
未加另一质量重物的单摆
设带另一质量的复摆圆频率为
,有
则
谐振,满足
比较两式得
一个单摆，由一根刚性轻杆和杆端的重物组成，做小振幅的自由振动．如果在杆上某点再固定一个和杆端重物质量相同的重物，使原单摆变成一个异形复摆，其振动周期最多改变百分之几？
续解
时,有最小值
故
查阅
M
m
v0
在天花板下用两根长度同为l的轻绳吊一质量为M的光滑匀质木板，板中央有一质量为m的小滑块，如图．开始时系统静止，然后使板有一个水平的横向小速度v0，试求振动周期．
l
l
M
m
v0
摆长为l、振幅为lθ的理想单摆满足
对振动实体机械能守恒，有
比较两式得
则
数学摆是由长度为l的轻杆，一个固定在杆的自由端上的小铅球所组成．现在，在杆上套一粒同铅球质量相等的珍珠，它可以沿着杆中点的水平线自由地滑动，如图所示．试求这种摆小振动的周期，摩擦不计．
摆长为l、振幅为lθ 的理想单摆满足
此题中复摆振动实体机械能守恒，有
比较两式得
则
l
l/2
如图所示，质量为M、长为L的均匀细刚杆一端悬挂，可在竖直平面内绕悬点O无摩擦地摆动．质量为m=M/3的小虫相对杆以速度v缓慢地沿杆向下爬行．开始时，杆静止并与竖直线成一个小角度θ0，小虫位于杆上端悬点处．释放杆，杆开始摆动，小虫开始爬行，试求⑴小虫沿杆爬行l距离时，杆振动的圆频率；⑵小虫爬行到杆下端时，系统的能量减为初时的 ，求杆的摆动幅度θt．
确定绕杆一端以角速度转动的均匀细杆的动能，如图
续解
⑴当小虫爬到距悬点l处时，虫与杆构成的振动系统能量关系为
对A=Lθ 的理想单摆满足
比较两式得
⑵小虫在悬点时
小虫在杆最下端时
则
查阅
O
O
摆长为l、振幅为lφ的理想单摆满足
此题中复摆振动实体机械能守恒，有
其中角速度为ω、半径为r圆板的动能为
比较两式得
则
如图所示，一质量为m、半径为r的圆板用三根长均为l的细线悬于天花板上，连接点恰好三等分圆板的圆周，若圆板绕其过中心O的铅直轴做微小转动，试求其周期．
如图所示，细轴环用铰链固定于A点，开始这样放置轴环，使它的质心位于A点正上方，此后轴环自由下落，经时间τ＝0.5 s，轴环的质心处于最低位置．有一摆是小重球B固定在轻硬杆上，杆的长度等于轴环的半径，如果开始小球处于最高位置并自由落下．试问此摆经过多少时间t返回到下面的平衡位置．
比较两者的角速度关系：
对轴环：
对重球：
则
故转过半周所需时间
如图所示，半径为R的细圆环，其质量与固定在其上的两个相同小重物相比可忽略不计．在环上与两小重物等距处钻个孔，将孔穿过墙壁上的钉子而把环悬挂起来，使环可以在竖直平面内无能量损失地做微小简谐振动（象摆一样）．两小重物的位置关系可以用它们之间的角距离2α表征．试求该摆的振动周期T及其随变化的图线．
α
θ
系统从平衡位置偏离最大幅度为角θ：
取小重物其摆长为：
l
振幅为：
摆长为l、振幅为A的理想单摆满足
续解
此题中复摆振动实体机械能守恒，有
θ
则
查阅
如图所示，质量为M的小平板固定在劲度系数为k的轻弹簧上，弹簧的另一端固定在地上，有一质量为m的小球沿入射角θ方向以速度v0射向小平板，并发生完全弹性碰撞．忽略一切摩擦，求碰撞后小平板的振动方程．
专题12-例10
振动标准方程：
对本题振动实体：
M
k
v0
v
θ
m
O
x
k
v
V
θ
v0
θ
速度关系如示:
由图示关系:
由弹性碰撞能量关系:
续解
由振动中能量关系:
查阅
专题12-例11
车与缓冲器一起自由振动过程是谐振过程,其中
平衡位置时的压缩量为:
初相位时的速度为:
振幅由振动能量关系求得:
弹簧最大压缩量为:
振动时间借助参考圆:
O
x
y
M
x0
A
缓冲时间为:
如图所示，小车质量M＝4 kg，由静止开始沿倾角的斜面自h=5 m高处滑下，与一弹簧缓冲器相碰而自由振动，然后又冲上斜面．若缓冲器弹簧的劲度系数k=100 N/m．求缓冲器弹簧的最大压缩量及小车被缓冲的时间．
h
如图所示，在盛密度为的液体的大容器中放入一只底面积为S的小圆柱形容器，在这个容器的底部又插入一根细导流管．两只容器壁均静止不动，在小的容器中注入密度为（ρ2＞ρ1）的染了颜色的液体，使其高度至H ，以使与外面容器的液面相平．然后打开细管上端，可以看到重液通过细管流入大容器并沉入底部，但经过一段时间轻液开始进入小容器中，以后这个过程重复地进行着．如果假设液体不会混合且表面张力不计，试求第一次从小容器里流出的重液的质量Δm1是多少？在以后每次循环中，流进小容器的轻液的质量Δmn和从小容器里流出的重液的质量Δmk各是多少？
解答
H
设小容器底部开口与细管相接部截面积为s，从此处流过的小液片恰受力平衡时，重液液面下降x0，若称此为平衡面，则有
x0
x
H
在此前（后）液面高（低）于平衡面x时，对应地正流经细管上口的小液片所受合力为
即:小液片以谐振形式从开口流出，当重液面下降2x0时，重液片向下速度减为零，此后将换成轻液片上升．故第1次从小容器中流出的重液质量为
读题
续解
此后将换成轻液片上升,静止于重液上层，当细管口轻液片受力平衡时，小容器内下部是高(H-2x0)的重液，上部轻液高度设为
H
即:轻液片亦以谐振形式从开口流入，当轻液面上升2x0时，轻液片向上速度减为零，此后将换成重液片下降．故第2次流入小容器的轻液质量为
x
每次循环中进出小容器的重液与轻液质量相同,直至小容器中重液全部替换成轻液!
查阅
如图所示，平台A的质量为m，由劲度系数为k的轻弹簧来支持．弹簧上端与A相连，下端与地面相连，物块B的质量也是m，自由地放在平台中心，现用竖直向下的力F=mg把弹簧压下（仍在弹性限度内），并在系统静止时撤去外力，求此后A、B的运动情况及两者各自到达的最大高度．
A
k
O
y
B
A、B处于平衡位置时弹簧压缩
系统振幅为
圆频率为
续解
A、B一起振动的运动方程
A、B一起振动至弹簧自然伸长时速度为
O
y
x
x0
A
A、B在此位置分离，B竖直上抛到达最大高度
B返回分离位置处历时
续解
查阅
A
k
A、B分离后A谐振！
圆频率为
振幅由
O
y
x
x0/2
A′
初相位
A振动的运动方程
O′
A继续上升可达最大高度为
A返回分离位置处历时一周期
查阅
续解
由于A、B分离后经相同时间回到分离处，故对碰而交换速度，再经
A、B同速相遇一起向下做参数为A、ω及初相为
的谐振，至向上过初始位置
vy
t
0
查阅
续解
整个过程中B到达的最高点距释放点
整个过程中A到达的最高点距释放点
两系统以2v速度接近，经时间
发生完全弹性碰撞
相碰撞的两物体交换速度!
m
m
m
m
v
v
v
v
碰撞后瞬时系统情况如图:
两系统各做简谐振动,经半周期发生第二次碰撞:
m
m
m
m
v
v
v
v
相碰撞的两物体再次交换速度!
m
m
m
m
v
v
v
v
两系统以2v速度分离经
又相距L
符合题意的总时间为
如图所示，两个系统，每个都是由两个质量均为m的相同物体组成，两物体间用劲度系数为k的弹簧相连．两系统以大小相同的恒定速度v相向运动．某时刻，将相碰的两物体间距离L．问经过多少时间后，这两物体间的距离又等于L？设碰撞是完全弹性的．
成因
摩擦阻力
形成波
振动能转变为热及向四周辐射!
阻尼因数
阻力系数
阻尼振动周期
阻尼振动振幅
阻尼振动图象
v
t
0
如图所示 实验装置可以测定液体的粘滞系数：在弹簧上悬挂一薄板A，测定它在空气中的周期T0，然后把薄板放在欲测粘滞系数的液体中，令其振动，测定周期T．已知薄板质量为m,表面积为S，液体的粘滞阻力 ，v为运动速度．确定液体的粘滞系数．
专题12-例12
如图所示，在弹簧上悬挂重6 kg的物体．当无阻力时，物体振动周期T=0.4πs，而在阻力与速度成正比时，其周期为T1=0.5πs，试求当振动速度为1cm/s时所受的阻力大小．

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