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(共34张PPT)
处理静力学平衡问题
技法三巧
巧取研究对象
巧解汇交力系
巧用矢量图解
F1
F2
F
矢量求和图解法则
矢量求差图解法则
F1
F2
F
相加矢量首尾相接，和从第一个加数“尾”指向最后一个加数“头”
相减两矢量箭尾共点，差连接两箭头，方向指向“被减数”
A
C
B
O
D
E
F
如图所示，三角形ABC三边中点分别为D、E、F，在三角形中任取一点O，如果 、 、 三个矢量代表三个力，那么这三个力的合力为
A. B. C. D.
O
A
G
R
mg
L+Δl
R
FN
FT
由几何关系知
由力△与几何△相似得
如图所示，一个重为G的小环，套在竖直放置的半径为R的光滑大圆环上．有一劲度系数为k，自然长度为L(L＜2R)的轻弹簧，其上端固定在大圆环的最高点A，下端与小环相连，不考虑一切摩擦，则小环静止时弹簧与竖直方向的夹角θ为多大？
m
mg
F约
tan-1
Fmax
F约
Fmin
tan-1
如图所示，倾角为θ的斜面与水平面保持静止,斜面上有一重为G的物体A与斜面间的动摩擦因数为μ,且μ静摩擦力达到最大时,斜面约束力作用线方向与斜面法线成摩擦角!
θ
θ
θ
F1
F2
F1
F2
F2
F
F
将力F分解为F1和F2两个分力，若已知F的大小及F1和F2的夹角θ，且θ为钝角，则当F1、F2大小相等时，它们的大小为 ;当F1有最大值时，F2大小为 .
专题2-问题1
F1
如图所示，放在水平面上的质量为m的物体，在水平恒力F1作用下，刚好做匀速直线运动．若再给物体加一个恒力，且使F1 ＝F2（指大小），要使物体仍按原方向做匀速直线运动，力F2应沿什么方向？此时地面对物体的作用力大小如何？
专题2-问题2
G
F
tan-1μ
水平恒力与重力、地面约束力作用而平衡时,三力构成闭合三角形：
F2
F2
加F2仍构成闭合三角形：
如图所示，一光滑三角支架，顶角为θ=45°，在AB和AC两光滑杆上分别套有铜环，两铜环间有细线相连，释放两环，当两环平衡时，细线与杆AB夹角60°，试求两环质量比M/m．
系统处于平衡时,两环所受绳拉力沿绳且等值反向, 支架施支持力垂直各杆,以此为依据作每环三力平衡矢量图:
B
C
A
mg
Mg
FT
FT
对环M
θ
对环M
θ/2
θ/2
如图所示，用细绳拴住两个质量为m1、m2（m1＜m2）的质点，放在表面光滑的圆柱面上，圆柱的轴是水平的，绳长为圆柱横截面周长的1/4．若绳的质量及摩擦均不计，系统静止时，m1处细绳与水平夹角α是多少？
系统处于平衡时,两质点所受绳拉力沿绳切向且等值, 圆柱施支持力垂直柱面,以此为依据作每质点三力平衡矢量图:
O
m1
m2
m1g
m2g
对质点1
对质点2
FT
FT
如图所示，两个质量相等而粗糙程度不同的物体m1和m2，分别固定在一细棒的两端，放在一倾角为α的斜面上，设m1和m2与斜面的摩擦因数为μ1和μ2 ，并满足tanα= ，细棒的质量不计，与斜面不接触，试求两物体同时有最大静摩擦力时棒与斜面上最大倾斜线AB的夹角θ．
系统处于平衡时,两物体所受轻杆力等值反向,沿斜面上每物体受下滑力、最大静摩擦力及杆作用力，每物体三力平衡矢量关系如图:
A
B
m1
m2
θ
分别以a、b、c表示各力：
c
b
a
c
在力矢量三角形中运用余弦定理：
在力矢量三角形中运用余弦定理：
代入题给数据：
尽量取整体
需“化内为外”时取部分
方程数不足时取部分
整、分结合，方便解题
取两环一线为研究对象
FN
2mg
Ff
F
取下环为研究对象
mg
F
FT
FT
一个直角支架AOB，AO水平放置，表面粗糙，OB竖直，表面光滑，AO上套有小环P，OB上套有小环Q，两环质量均为m，两环间由一不可伸长的轻绳相连，并在某一位置平衡，如图所示．现将P向左移一小段距离，两环再次达到平衡，那么移动后的平衡状态与原来相比，AO杆对P环的支持力FN、摩擦力Ff及细绳上的拉力FT的变化情况是
A. FN不变，Ff变大 ， FT变大
B. FN不变，Ff变小， FT变小
C. FN变大，Ff不变 ，FT变大
D. FN变大，Ff变小，FT变大
P
Q
O
A
B
3
1
2
取2、3两环为研究对象，3环重力设为G
T
T
3G
取2环为研究对象
T
2G
由几何关系得
三根不可伸长的相同细绳，一端系在半径为r0的环1上，彼此间距相等．绳穿过半径为r0的第3个圆环，另一端用同样方式系在半径为2r0的圆环2上，如图所示．环1固定在水平面上，整个系统处于平衡．试求第2个环中心与第3个环中心之距离（三个环用同种金属丝制作，摩擦不计）
T
一个底面粗糙质量为Ｍ的劈放在粗糙的水平面上，劈的斜面光滑且与水平面成30°夹角，用一端固定的轻绳系一质量为m的小球，轻绳与斜面的夹角为30°,如图所示．当劈静止时，求绳中拉力的大小；若地面对劈的最大静摩擦力等于地面对劈的支持力的k倍，为使整个系统静止，求k的最小值
30°
专题2-问题3
取小球为研究对象求绳中拉力:
30°
取整体为研究对象求地面k值
(M+m)g
Φ=tan-1k
tan-1k
如图所示，一长L、质量均匀为M的链条套在一表面光滑，顶角为α的圆锥上，当链条在圆锥面上静止时，链条中的张力是多少？
专题2-问题4
链条的受力具有旋转对称性．链条各部分间的张力属于内力,需将内力转化为外力，我们可以在链条中隔离出任一微元作为研究对象，链条其它部分对微元的拉力就成为外力，对微元根据平衡规律求解:
FT
FT
Fi
α
链条微元处于平衡
△mg
FNi
Fi
压延机由两轮构成，两轮直径各为d＝50 cm，轮间的间隙为a＝0.5 cm，两轮按反方向转动，如图2-15上箭头所示．已知烧红的铁板与铸铁轮之间的摩擦系数μ＝0.1．问能压延的铁板厚度b是多少？
a
b
分析铁板受力如图：
FN
Ff
铁板能前进，应满足
分析几何关系求角θ：
解得
b≤0.75 cm
物体处于平衡时,其各部分所受力的作用线延长后必汇交于一点,其合力为零.
m1
m2
O
(m1+m2)g
取两球一杆为研究对象，分析受力
研究对象处于静止，所受三力矢量构成闭合三角形!
N1
N2
由力矢量三角形即得
如图所示，一个半球形的碗放在桌面上，碗口水平，O是球心，碗的内表面光滑．一根轻质杆的两端固定有两个小球，质量分别是m1、m2，当它们静止时，m1、m2与球心的连线跟水平面分别成60°30°角，则碗对两小球的弹力大小之比是
A. 1∶2 B. ∶1 C. 1∶ D. ∶2
C
A
B
D
FAB
BC球系统为一“三力杆”！
⑴由三力平衡关系图得
⑵由几何关系图得
FAB
细线BC与竖直成60°角
如图所示，BC两个小球均重G,用细线悬挂而静止于A、G两点，细线BC伸直.求:⑴AB和CD两根细线的拉力各多大？⑵细线BC与竖直方向的夹角是多大？
如图所示，光滑半球壳直径为a ，与一光滑竖直墙面相切，一根均匀直棒AB与水平成60°角靠墙静止，求棒长．
专题2-问题5
棒 AB受三力:
A
B
O
G
FA
FB
棒 AB处于静止,三力作用线汇交于一点!
在三角形BCD中由正弦定理:
C
又
如图所示，在墙角处有一根质量为m的均匀绳，一端悬于天花板上的A点，另一端悬于竖直墙壁上的B点，平衡后最低点为C，测得绳长AC=2CB，且在B点附近的切线与竖直成α角，则绳在最低点C处的张力和在A处的张力各多大？
专题2-问题6
A
α
C
取BC段绳为研究对象:
α
mg/3
最低点C处的张力FTC为
FTC
FB
取AC段绳为研究对象:
FTC
FA
2mg/3
2mg/3
如图所示，有一轻杆AO竖直放在粗糙的水平地面上，A端用细绳系住，细绳另一端固定于地面上B点，已知θ=30°，若在AO杆中点施一大小为F的水平力，使杆处于静止状态，这时地面O端的作用力大小为________，方向________ 。
F
A
B
O
θ
60°
F
与杆成30°
分析杆AO受力:
研究对象处于静止，所受三力矢量构成闭合三角形!
一均匀光滑的棒，长l，重Ｇ，静止在半径为Ｒ的半球形光滑碗内，如图所示，Ｒ＜l/2＜2R．假如θ为平衡时的角度，P为碗边作用于棒上的力．求证： ⑴ P＝（l／4R）G；
⑵（cos2θ／cosθ）＝l／4R．
分析棒的受力如图：
G
P
棒 处于平衡,三力作用线汇交于一点!
FB
由几何关系：
三力构成闭合三角形!
A
B
Q
P
O
由正弦定理:
在力三角形中
一吊桥由六对钢杆悬吊着，六对钢杆在桥面上分列两排，其上端挂在两根钢绳上，如图所示为其一侧截面图．已知图中相邻两钢杆间距离均为9m，靠桥面中心的钢杆长度为5m（即CC′=DD′=5m），AA′=FF′，BB′=EE′，又已知两端钢绳与水平成45°角，若不计钢杆与钢绳自重，为使每根钢杆承受负荷相同，则 AA′=____ m，BB′= m．
A′
B′
C′
D′
E′
F′
45°
45°
A
B
C
D
E
F
A′
B′
C′
D′
E′
F′
45°
45°
A
B
C
D
E
F
A′
B′
C′
45°
A
B
C
FCD
FA
3F
FCD
FA
3F
2F
FB
2F
FCB
FCB
F
F
α
β
FB
α
β
综合运用三技巧
14
8
β
α
β
如图所示，一根重量为G的绳子，两端固定在高度相同的两个钉子上，在其最低点再挂上一重物．设α、β分别是绳子在最低点和悬点处的切线与竖直方向的夹角，试求所挂物体的重量．
G/2
FT
G0
绳最低点受重物拉力：
半边绳的受力：
FT
FT
三力构成闭合三角形!
对力三角形运用正弦定理：
如图所示，半圆柱体重G，重心C到圆心O的距离为4R/3π ，其中R为圆柱体半径．如半圆柱体与水平面间的摩擦因数为μ，求半圆柱体被拉动时所偏过的角度θ．
F
C
G
P
由半圆柱处于平衡,三力作用线汇交于一点来确定地面约束力!
半圆柱所受三力矢量构成闭合三角形
F约
摩擦角
由三角形与几何三角形相似,得
如图所示，一个半径为R的 光滑圆柱面放置在水平面上．柱面上置一线密度为λ的光滑均匀铁链，其一端固定在柱面顶端A，另一端B恰与水平面相切，试求铁链A端所受拉力以及均匀铁链的重心位置．
A
B
求A处拉力介绍两种方法
方法一微元法
将铁链均匀细分n等分,n→∞,研究第i元段:
1
2
3
…
i
n
微元处于静止,有
即,i=1
i=2
…
i=n
则
续解
利用数列和公式
利用极限
读题
续解
方法二元功法
A
B
O
确定链子重心,可用三力杆平衡法!
读题
C
θ
由图示三力汇交平衡关系得
在图示三角形中由正弦定理
θ
θ
α
F
如图所示，对均匀细杆的一端施力F，力的方向垂直于杆．要将杆从地板上慢慢地无滑动地抬起，试求杆与地面间的最小摩擦因数．
杆处于一系列可能的动态平衡,当杆抬起α,重力、地面约束力及F力三力汇交，以此为依据作杆三力平衡矢量图:
θ
F约
由图示几何关系
θ
整理得
利用基本不等式性质：

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